Espaces vectoriels - Exo7

Exo7
Espaces vectoriels
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile
I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exercice 1 *T
Soit Ele R-espace vectoriel des applications de [0,1]dans R(muni de f+get λ.fusuels) (ne pas hésiter à
redémontrer que Eest un Respace vectoriel). Soit Fl’ensemble des applications de [0,1]dans Rvérifiant l’une
des conditions suivantes :
1)f(0) + f(1) = 0 2)f(0) = 0 3)f(1
2) = 1 44)∀x∈[0,1],f(x) + f(1−x) = 0
5)∀x∈[0,1],f(x)>0 6)2f(0) = f(1) + 3
Dans quel cas Fest-il un sous-espace vectoriel de E?
Correction H[005164]
Exercice 2 **T
On munit Rndes lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants Fde Rn, lesquels sont des sous-
espaces vectoriels ?
1)F={(x1,...,xn)∈Rn/x1=0}2)F={(x1,...,xn)∈Rn/x1=1}
3)F={(x1,...,xn)∈Rn/x1=x2}4)F={(x1,...,xn)∈Rn/x1+... +xn=0}
5)F={(x1,...,xn)∈Rn/x1.x2=0}
Correction H[005165]
Exercice 3 **
Soit Eun K-espace vectoriel. Soient A,Bet Ctrois sous-espaces vectoriels de Evérifiant A∩B=A∩C,
A+B=A+Cet B⊂C. Montrer que B=C.
Correction H[005166]
Exercice 4 **T
Soit RNle R-espace vectoriel des suites réelles (muni des opérations usuelles). On considère les trois éléments
de Esuivants : u= (cos(nθ))n∈N,v= (cos(nθ+a))n∈Net w= (cos(nθ+b))n∈Noù θ,aet bsont des réels
donnés. Montrer que (u,v,w)est une famille liée.
Correction H[005167]
Exercice 5 **T
Soit Fle sous-espace vectoriel de R4engendré par u= (1,2,−5,3)et v= (2,−1,4,7). Déterminer λet µréels
tels que (λ,µ,−37,−3)appartienne à F.
Correction H[005168]
Exercice 6 **T
1

Montrer que a= (1,2,3)et b= (2,−1,1)engendrent le même sous espace de R3que c= (1,0,1)et d=
(0,1,1).
Correction H[005169]
Exercice 7 **T
1. Vérifier qu’il existe une unique application linéaire de R3dans R2vérifiant f((1,0,0)) = (1,1)puis
f((0,1,0)) = (0,1)et f((0,0,1)) = (−1,1). Calculer f((3,−1,4)) et f((x,y,z)) en général.
2. Déterminer Ker f. En fournir une base. Donner un supplémentaire de Ker fdans R3et vérifier qu’il est
isomorphe à Im f.
Correction H[005170]
Exercice 8 **I
Soit Eun K-espace vectoriel et fun élément de L(E).
1. Montrer que [Ker f=Ker f2⇔Ker f∩Im f={0}]et [Im f=Im f2⇔E=Ker f+Im f](où f2=f◦f).
2. Par définition, un endomorphisme pde Eest un projecteur si et seulement si p2=p.
Montrer que
[pprojecteur ⇔Id −pprojecteur]
puis que
[pprojecteur ⇒Imp=Ker(Id −p)et Kerp=Im(Id −p)et E=Kerp⊕Imp].
3. Soient pet qdeux projecteurs, montrer que : [Kerp=Kerq⇔p=p◦qet q=q◦p].
4. pet qétant deux projecteurs vérifiant p◦q+q◦p=0, montrer que p◦q=q◦p=0. Donner une
condition nécessaire et suffisante pour que p+qsoit un projecteur lorsque pet qle sont. Dans ce cas,
déterminer Im(p+q)et Ker(p+q)en fonction de Kerp, Kerq, Impet Imq.
Correction H[005171]
Exercice 9 **
Soient Eun K-espace vectoriel et A,Bet Ctrois sous-espaces de E.
1. Montrer que : (A∩B)+(A∩C)⊂A∩(B+C).
2. A-t-on toujours l’égalité ?
3. Montrer que : (A∩B)+(A∩C) = A∩(B+ (A∩C)).
Correction H[005172]
Exercice 10 **T
Dans E=R4, on considère V={(x,y,z,t)∈E/x−2y=0 et y−2z=0}et W={(x,y,z,t)∈E/x+z=y+t}.
1. Montrer que Vet Wsont des sous espaces vectoriels de E.
2. Donner une base de V,Wet V∩W.
3. Montrer que E=V+W.
Correction H[005173]
Exercice 11 ***
Soit f:[0,+∞[×[0,2π[→R2
(x,y)7→ (xcosy,xsin y)
.
1. fest-elle injective ? surjective ?
2. Soient a,b,αet βquatre réels. Montrer qu’il existe (c,γ)∈R2tel que : ∀x∈R,acos(x−α) +
bcos(x−β) = ccos(x−γ).
2

3. Soit Ele R-espace vectoriel des applications de Rdans R. Soit F={u∈E/∃(a,b,α,β)∈R4tel que ∀x∈
R,u(x) = acos(x−α) + bcos(2x−β)}. Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de E.
4. Déterminer {cos x,sin x,cos(2x),sin(2x),1,cos2x,sin2x}∩F.
5. Montrer que (cos x,sin x,cos(2x),sin(2x)) est une famille libre de F.
Correction H[005174]
Exercice 12 **
Soit Cl’ensemble des applications de Rdans R, croissantes sur R.
1. Cest-il un espace vectoriel (pour les opérations usuelles) ?
2. Montrer que V={f∈RR/∃(g,h)∈C2tel que f=g−h}est un R-espace vectoriel.
Correction H[005175]
Exercice 13 **
Montrer que la commutativité de la loi +est une conséquence des autres axiomes de la structure d’espace
vectoriel.
Correction H[005176]
Exercice 14 ***
Soient Eun K-espace vectoriel et A,Bet Ctrois sous-espaces vectoriels de E. Montrer que
(A∩B)+(B∩C)+(C∩A)⊂(A+B)∩(B+C)∩(C+A).
Correction H[005177]
Exercice 15 **IT
Soient u= (1,1,...,1)et F=Vect(u)puis G={(x1,...,xn)∈Rn/x1+... +xn=0}. Montrer que Gest un
sous-espace vectoriel de Rnet que Rn=F⊕G.
Correction H[005178]
Exercice 16 ****
1. Soit nun entier naturel. Montrer que si nn’est pas un carré parfait alors √n/∈Q.
2. Soit E={a+b√2+c√3+d√6,(a,b,c,d)∈Q4}. Vérifier que Eest un Q-espace vectoriel puis
déterminer une base de E.
Correction H[005179]
Exercice 17 ***T
Dans E=RR, étudier la liberté des familles suivantes Ade vecteurs de E:
1. a,bet cétant trois réels donnés, A= ( fa,fb,fc)où, pour tout réel x,fu(x) = sin(x+u).
2. A= ( fn)n∈Zoù, pour tout réel x,fn(x) = nx +n2+1.
3. A= (x7→ xα)α∈R(ici E= (]0;+∞[)2).
4. A= (x7→ |x−a|)a∈R.
Correction H[005180]
Exercice 18 ****
Soit Eun K-espace vectoriel et soit (u,v)∈(L(E))2.
1. Montrer que [Kerv⊂Keru⇔ ∃w∈L(E)/u=w◦v].
3

2. En déduire que [vinjectif ⇔ ∃w∈L(E)/w◦v=IdE].
Correction H[005181]
Exercice 19 ***
Soit E=R[X]le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels.
— Soit f:E→E
P7→ P0
.fest-elle linéaire, injective, surjective ? Fournir un supplémentaire de Ker f.
— Mêmes questions avec g:E→E
P7→ Rx
0P(t)dt
.
Correction H[005182]
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4

Correction de l’exercice 1 N
1. La fonction nulle est dans Fet en particulier, F6=∅. Soient alors (f,g)∈F2et (λ,µ)∈R2.
(λf+µg)(0)+(λf+µg)(1) = λ(f(0) + f(1)) + µ(g(0) + g(1)) = 0.
Par suite, λf+µgest dans F. On a montré que :
F6=∅et ∀(f,g)∈F2,∀(λ,µ)∈R2,λf+µg∈F.
Fest donc un sous-espace vectoriel de E.
2. Même démarche et même conclusion .
3. Fne contient pas la fonction nulle et n’est donc pas un sous-espace vectoriel de E.
4. La fonction nulle est dans Fet en particulier, F6=∅. Soient alors (f,g)∈F2et (λ,µ)∈R2.
Pour xélément de [0,1],
(λf+µg)(x)+(λf+µg)(1−x) = λ(f(x) + f(1−x)) + µ(g(x) + g(1−x)) = 0
et λf+µgest dans F.Fest un sous-espace vectoriel de E.
Remarque. Les graphes des fonctions considérés sont symétriques par rapport au point (1
2,0).
5. Fcontient la fonction constante 1 mais pas son opposé la fonction constante −1 et n’est donc pas un
sous-espace vectoriel de E.
6. Fne contient pas la fonction nulle et n’est donc pas un sous-espace vectoriel de E.
Correction de l’exercice 2 N
Dans les cas où Fest un sous-espace, on a à chaque fois trois démarches possibles pour le vérifier :
- Utiliser la caractérisation d’un sous-espace vectoriel.
- Obtenir Fcomme noyau d’une forme linéaire ou plus généralement, comme noyau d’une application
linéaire.
- Obtenir Fcomme sous-espace engendré par une famille de vecteurs.
Je vous détaille une seule fois les trois démarches.
1. 1ère démarche. Fcontient le vecteur nul (0,...,0)et donc F6=∅. Soient alors ((x1,...,xn),(x0
1,...,x0
n)) ∈
F2et (λ,µ)∈R2. On a
λ(x1,...,xn) + µ(x0
1,...,x0 n) = (λx1+µx0 1,...,λxn+µx0 n)
avec λx1+µx0
1=0. Donc, λ(x1,...,xn) + µ(x0 1,...,x0
n)∈F.Fest un sous-espace vectoriel de Rn.
2ème démarche. L’application (x1,..., xn)7→ x1est une forme linéaire sur Rnet Fen est lenoyau. Fest
donc un sous-espace vectoriel de Rn.
3ème démarche.
F={(0,x2,...,xn),(x2,...,xn)∈Rn−1}={x2(0,1,0,...,0) + ... +xn(0,...,0,1),(x2,...,xn)∈Rn−1}
=Vect((0,1,0,...,0),...,(0,...,0,1)).
Fest donc un sous-espace vectoriel de Rn.
2. Fne contient pas le vecteur nul et n’est donc pas un sous-espace vectoriel de Rn.
3. (Ici, n>2). L’application (x1,...,xn)7→ x1−x2est une forme linéaire sur Rnet Fen est le noyau. Fest
donc un sous-espace vectoriel de Rn.
4. L’application (x1,...,xn)7→ x1+... +xnest une forme linéaire sur Rnet Fen est le noyau. Fest donc
un sous-espace vectoriel de Rn.
5. (Ici, n>2). Les vecteurs e1= (1,0,...,0)et e2= (0,1,0...,0)sont dans Fmais e1+e2= (1,1,0...0)
n’y est pas. Fn’est donc pas un sous espace vectoriel de E.
Remarque. Fest la réunion des sous-espaces {(x1,...,xn)∈Rn/x1=0}et {(x1,...,xn)∈Rn/x2=0}.
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