Contrôle de mathématiques N°2 - ES - Statistique - E

Contrôle de mathématiques N°2 - ES - Statistique - Correction
Aucun document n’est autorisé, mis à part la calculatrice (individuelle). Cette feuille doit être impérativement rendue. La présentation et la rédaction compteront
dans la note finale : calculs (arrondis à 0,01 près) et résultats doivent être rédigés et détaillés.
Exercice Le contrôle difficile.
Voici, en vrac, les notes sur 20 obtenues lors d’un contrôle par les élèves d’une classe :
1
7
4
2
2
9
6
6
8
7
3
7
5
7
8
1
0
3
4
6
7
10
7
2
3
4
6
5
3
7
1) a) Ordonner cette suite de notes par ordre croissant.
0,1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,8,8,9,10
b) Déterminer la note minimale et la note maximale.
La note minimale est de 0.
La note maximale est de 10.
c) Déterminer la note médiane, Expliquer précisément la méthode.
30
Il y a 30 notes en tout (nombre pair). La médiane est donc la note comprise entre la 15ème valeur ( 2 ) et la 16ème
30
valeur ( 2 + 1) (il y aura ainsi 15 notes inférieures à la médiane et 15 notes supérieures à la médiane).
La 15ème note vaut 5.
La 16ème note vaut 6.
La médiane vaut donc 5.5 (par exemple, mais n’importe quelle valeur entre 5 et 6 est une médiane possible).
d) Déterminer les notes des premier et troisième quartiles. Expliquer précisément la méthode. En déduire l’écart
interquartile et l’intervalle interquartile.
30
Calcul du 1er quartile Q1: Il y a 30 notes. 4 = 7.5 Je prends donc la 8ème valeur pour que 25% des notes soient
inférieures à Q1.
Le premier quartile Q1 vaut donc 3.
Calcul du 3ème quartile Q3: Il y a 30 notes. 3 ×
soient inférieures à Q3.
Le troisième Q3 vaut donc 7.
30
4
= 22.5 Je prends donc la 23ème valeur pour que 75% des notes
L’intervalle interquartile est donc [3;7].
L’écart interquartile est donc 7-3 = 4.
e) Représenter cette série de notes sur la partie haute de ce diagramme en boîte ci-dessous.
Diagramme en boite
2) a) Calculer l’amplitude.
10-0 = 10. L’amplitude (ou l’étendue) vaut 10.
b) Rappeler la formule générale de la moyenne
série de notes. Calculer x .
x
. Donner la formule de la note moyenne
x=
Pour cette série de notes : x =
x
dans le cas de cette
𝑥1+𝑥2+𝑥3+⋯.+𝑥𝑁
𝑁
0+1+1+2+2+⋯.+9+10
ou
30
alors x =
0+2×1+3×2+⋯.+9+10
30
On trouve x = 5
La moyenne de cette série est de 5.
c) Rappeler la formule générale de la variance V. Donner la formule de V des notes dans le cas de cette série.
Calculer V. En déduire l’écart-type.
2
V=
Pour cette série de notes : V=
On trouve V≈ 6.46
2
2
(𝑥1− x ) +(𝑥2− x ) +(𝑥3− x ) +⋯.+(𝑥𝑁− x )²
𝑁
(0−5)2 +(1−5)2 +(1−5)2 +⋯+(10−5)²
30
ou alors V =
(0−5)2 +2 ×(1−5)2 +3 ×(2−5)2 +⋯+(10−5)²
30
L’écart-type est la racine de la variance V.
D’où l’écart-type de cette série vaut √6.46 ≈ 2.54
3) Constatant que le contrôle était trop difficile, le professeur veut relever les notes. Il envisage d’ajouter 4 points à
tout le monde.
a) Donner la nouvelle série de notes.
4,5,5,6,6,6,7,7,7,7,8,8,8,9,9,10,10,10,10,11,11,11,11,11,11,11,12,12,13,14
b) Recalculer l’étendue, la note moyenne et la variance. Indiquer comment ces indicateurs ont évolué par rapport
à leurs valeurs avant modification.
La note minimale est de 4.
La note maximale est de 14.
14-4=11
L’étendue vaut donc toujours 10.
4+5+5+6+6+⋯.+13+14
4+2×5+3×6+⋯.+13+14
30
Pour cette nouvelle série de notes : x =
ou alors x =
30
On trouve x =9
La moyenne de cette nouvelle série est de 9. Elle a évoluée de 4 points elle aussi.
Pour cette série de notes : V=
On trouve V≈ 6.46
(4−9)2 +(5−9)2+(5−9)2 +⋯+(14−9)²
30
ou alors V =
(4−9)2 +2 ×(5−9)2 +3 ×(6−9)2 +⋯+(14−9)²
30
La variance n’a pas bougé pour cette nouvelle série.
On remarque que les indicateurs de mesure centrale (comme la moyenne) ont été décalés de 4 points alors que
tous les paramètres de dispersion (étendue, variance, écart-type) restent inchangés.
c) Représenter cette nouvelle série de notes sur la partie basse du diagramme plus haut en précisant les nouveaux
indicateurs de ce diagramme.
Pour représenter un diagramme en boite il faut aussi calculer les quartiles Q1 et Q3 ainsi que la médiane
30
Calcul du 1er quartile Q1: Il y a 30 notes . 4 = 7.5 Je prends donc la 8ème valeur pour que 25% des notes soient
inférieures à Q1.
Le premier quartile Q1 vaut donc 7.
Calcul du 3ème quartile Q3: Il y a 30 notes . 3 ×
soient inférieures à Q3.
Le troisième Q3 vaut donc 11.
30
=
4
22.5 Je prends donc la 23ème valeur pour que 75% des notes
30
Il y a 30 notes en tout (nombre pair). La médiane est donc la note comprise entre la 15ème valeur ( 2 )et la 16ème
30
valeur ( 2 + 1) (il y aura ainsi 15 notes inférieures à la médiane et 15 notes supérieures à la médiane).
La 15ème note vaut 9.
La 16ème note vaut 10.
La médiane vaut donc 9.5 (par exemple, mais n’importe quelle valeur entre 9 et 10 est une médiane possible).
d) Comparer les deux diagrammes en boîte obtenus en 1)e) et 3)c).
Les deux diagrammes en boite sont parfaitement identiques, sauf que l’augmentation des notes de 4 points fait
que ces deux diagrammes sont justes décalés de 4 points sur l’axe gradué.