Statistique 2/2
II) Résumé d’une série par le couple (moyenne ; écart-type)
1) La moyenne (vue en 2nde) : mesure de tendance centrale
Définition : Soit une série de valeurs xi.
• Sans les effectifs avec un effectif total N:
x
=
.
• Avec les effectifs ni :
x
=
.
• Avec les fréquences fi
i
=
:
=
.
Exemple : Soit la série de 20 valeurs donnée par le tableau suivant
D’où le tableau :
• 6618
20
x+++
==
L.
• 627182181
20
x×+×+×++×
==
L.
•
x
L
2) La variance
Définition : Soit une série de valeurs xi.
• Sans les effectifs avec un effectif total N:
( )
i
VN−
=∑.
• Avec les effectifs ni :
( )
ii
i
Vn−
=∑∑.
Remarque : L’utilisation des listes sur la calculatrice est efficace pour calculer la variance. On calcule successivement
les carrés des écarts puis leurs produits par les effectifs. Enfin, la somme de ces produits divisés par le nombre de
données donne la Variance.
3) L’écart type: mesure de dispersion
Définition : L’écart type noté s est la racine carrée de la variance V :
=.
Remarques :
• Le couple (moyenne ; écart-type) est très sensible aux valeurs extrêmes, mais sa détermination par les formules
précédentes est aisée.
‚ Plus l’écart type est grand, plus la dispersion est importante.
4) Propriété : La moyenne
d’une série minimise la fonction « dispersion autour d’un point x »
( )
:ii
i
dx n−
∑∑
a et le minimum obtenu pour
est la variance V.
III) Influence d’une transformation affine des données
Propriété : Soit a et b deux nombres réels, a étant non nul.
Soit une série S dont les valeurs de caractère xi sont affectées des coefficients ni et la série S’ dont les valeurs du
caractère a xi + b sont affectées des mêmes coefficients ni.
Si la série S a pour écart type s et pour écart interquartile Q, alors la série S’ a pour écart type s’ = |a| s et pour écart
interquartile Q’ = |a| Q.
Remarques :
• La série S’ a pour moyenne
= a
+ b et pour médiane Me’ = a Me + b.
‚ Cette propriété permet un changement d’origine et/ou d’échelle pour le calcul de l’écart type et de l’écart
interquartile.
xi
6
6
7
8
8
9
10
10
11
12
12
12
14
14
15
15
15
16
16
xi 6 7 8 9 10 11 12 14 15 16 18
ni 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 1
fi 0.1 0.05
0.1 0.05
0.1 0.05
0.15
0.1 0.15
0.1 0.05