Microéonomie I: théorie du consommateur Analyse - Sen

Microéonomie I: théorie du consommateur
Analyse microéconomique du comportement du consommateur : préférences et contrainte
budgétaire par Simonet Jean-Paul
Sommaire

Des préférences à l’utilité

Les courbes d’indifférence

Utilité marginale et taux de substitution

La contrainte budgétaire
Il s’agit d’expliquer le comportement d’un individu disposant d’un revenu monétaire donné et
cherchant à satisfaire des besoins par l’acquisition de biens et services ayant un prix.
Notre consommateur a un objectif - satisfaire des besoins - et il est soumis à une contrainte - son
pouvoir d’achat qui dépend du revenu dont il dispose et des prix des produits.
Pour traiter ce problème il faut attribuer au consommateur et à son environnement certaines
caractéristiques.
Le consommateur doit être capable d’apprécier son état de satisfaction, il doit pouvoir dire s’il
préfère la situation A à la situation B et son jugement doit respecter des règles de cohérence : c’est
l’objet de la théorie de l’utilité.
L’environnement doit s’imposer au consommateur, il doit être contraignant ce qui revient à dire que
le consommateur sait parfaitement que "choisir c’est exclure", chaque décision ayant un coût
d’opportunité .
Des préférences à l’utilité
Les économistes savent parfaitement que les "préférences" du consommateur ne tombent pas du
ciel, et que les "goûts" individuels sont socialement construits donc susceptibles d’être influencés.
Pour essayer de construire une représentation du comportement du consommateur face aux
décisions qu’il doit prendre il faut cependant raisonner "toutes choses égales par ailleurs" ce qui
revient à traiter les préférences comme si elles étaient entièrement données (les économistes disent
qu’elles sont exogènes). Les développements de l’analyse permettent d’intégrer des phénomènes
d’interdépendance et d’améliorer le réalisme de la présentation.
Pour l’instant nous nous en tiendrons à la version "basique".
Un grand nombre de produits sont offerts aux choix du consommateur. Ce dernier constitue un
panier de consommation en choisissant des quantités de certains produits. Le consommateur est
supposé être capable de classer ses préférences c’est-à-dire d’indiquer s’il préfère consommer le
panier A ou le panier B.
La relation de préférence s’écrit
si le panier A est préféré ou équivalent au panier B,
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si A est strictement préféré à B et
si A est équivalent (indifférent) à B.
Cette relation permet de classer les paniers mais pour qu’elle soit une relation de préordre complet
au sens des mathématiciens (ce qui permet ensuite de lui associer une fonction d’utilité) il faut faire
trois hypothèses particulières : les axiomes des préférences [1].
Cette axiomatique des préférences fonde la rationalité du comportement du consommateur, qui de
ce fait est soumise à la même faiblesse logique : elle repose sur des hypothèses invérifiables [2].
Les trois axiomes sont : l’axiome de totalité, l’axiome de réflexivité et l’axiome de transitivité.
- L’axiome de totalité énonce que pour tous les paniers de consommation A et B le consommateur
est toujours capable de dire que
- La réflexivité signifie simplement qu’un panier est toujours au moins équivalent à lui même
- La transitivité implique que si le panier A est préféré ou indifférent au panier B et si le panier B est
préféré ou indifférent au panier C, alors le panier A est préféré ou indifférent au panier C.
Les trois propriétés précédentes suffisent à faire de cette relation de préférence ce que les
mathématiciens appellent une relation de préordre complet sur l’ensemble des paniers de
consommation envisagés par le consommateur.
Si la relation de préférence est une relation de préordre total, on peut lui associer une fonction
d’utilité U qui est une application de l’espace des produits dans celui des nombres réels. Cette
application associe aux quantités consommées x et y des marchandises (X et Y) des nombres U tels
que si le panier constitué d’une quantité x1 du bien X et y1 du bien Y est préféré à celui constitué des
quantité x2 du bien X et y2 du bien Y alors le nombre représentant l’utilité du premier panier est
supérieur à celui du second panier.
Les nombres associés aux paniers de consommation sont des indices d’utilité, situant un panier
relativement aux autres.
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Du point de vue de l’analyse économique la référence à l’utilité est introduite par Daniel Bernouilli
dans Théorie sur la mesure du risque (1738) [3]. Mais c’est Heinrich Gossen qui a proposé en 1854 [4]
la première version d’une théorie de l’utilité. Selon Herman Heinrich Gossen la consommation d’une
unité supplémentaire d’un bien augmente l’utilité totale ressenti par le consommateur, mais l’utilité
procurée par cette dernière unité consommée est plus faible que celles procurée par l’unité
précédente. Ainsi la fonction d’utilité liant quantité consommée et utilité procurée est une fonction
croissante mais de moins en moins vite : on dit que l’utilité marginale est décroissante.
Mathématiquement l’indice d’utilité associé à la quantité x consommée du bien X est telle que :
U = f(x)
U’x= dU / dx > 0
U"x= d2U / dx2 < 0
En supposant qu’un individu est capable d’attacher un indice d’utilité à la consommation d’un bien
revient à dire que l’utilité est mesurable, c’est une théorie de l’utilité cardinale . C’est cette
conception qui est retenue par les fondateurs de l’analyse marginaliste : Léon Walras, Carl Menger et
Stanley Jevons. Conscient de l’impossiblité de mesurer directement l’utilté Vilfredo Pareto introduit
la théorie de l’utilité ordinale . Dans la conception ordinale les indices doivent simplement respecter
l’ordre des préférences pas les "mesurer".
Le passage de la conception cardinale de l’utilité à la conception ordinale revient simplement à
admettre qu’il existe plusieurs fonctions d’utilité respectant les préférences du consommateur [5].
Admettons que les trois hypothèses permettant de passer de la relation de préférence à la fonction
d’utilité sont remplies (la relation de préférence est totale, réflexive et transitive).
Admettons en plus que les quantités consommées des biens et les préférences associées peuvent
varier de manière infinitésimale, c’est-à-dire continue.
On peut considérer comme vraisemblable le fait que toute augmentation de la consommation de l’un
des produits du panier, sans diminution de la consommation des autres, augmente l’utilité de ce
panier.
Il n’est pas absurde de penser que le plus souvent pour une même utilité procurée par un panier
composé d’un seul bien et un panier composé de plusieurs biens le consommateur choisira le
second, ce qui traduit une préférence pour les mélanges (ou pour la variété).
Ces trois hypothèses complémentaires [6] correspondent à trois propriétés mathématiques de la
fonction d’utilité, la continuité, la monotonicité et la convexité.
Sous ces hypothèses (cette axiomatique des préférences), la fonction d’utilité peut être représentée
graphiquement en respectant les propriétés exigées. Dans le cas simple [7] de paniers constitués de
deux biens X et Y on a par exemple le graphique suivant :
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Sur ce graphique les paniers A, B et C procurent la même utilité U*, autrement dit Ua = Ub = Uc = U*.
Pour le consommateur il est indifférent de consommer A, B ou C.
En revanche le panier D est préféré aux trois autres.
Cette représentation en trois dimensions est délicate, il est plus commode de s’en tenir à deux
dimensions par exemple en observant tous les paniers procurant une même utilité. Graphiquement
cela revient à couper l’axe vertical de la représentation en trois dimensions par un plan parallèle au
repère constitué par les axes des quantités de produits. En coupant la surface représentant la
fonction d’utilité par un plan pour un niveau d’utilité donné (par exemple U*) on obtient une "trace"
qui donne tous les paniers "indifférents" donnant une utilité U*.
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Les courbes d’indifférence
Pour un panier de deux biens une courbe
d’indifférence du consommateur est l’ensemble des paniers de ces deux biens qui ont la même utilité
pour le consommateur. Ici les quantités (x1, y1) et (x2, y2) des biens X et Y donnent la même utilité : le
consommateur est indifférent face au choix du panier A1 ou du panier A2. En mettant une quantité
plus grande de bien Y dans le panier A1 l’utilité de ce nouveau panier augmente. On peut obtenir la
même utilité que celle de ce nouveau panier B1 en modifiant le panier A2 par une augmentation de la
quantité du bien Y. Le panier B2 correspond à un indice d’utilité plus grand que celui du panier A2 et
identique à celui du panier B1.
Plus les courbes d’indifférence sont éloignées de l’origine des axes plus l’indice d’utilité auquel elle
corresponde est élevé. Cela revient à considérer que le consommateur est insatiable, ce qui peut
s’exprimer de manière "savante" - la propriété mathématique de monocité est aussi l’axiome de la
non saturation des préférences – ou de manière triviale – le consommateur « veut toujours plus ».
Si les préférences sont transitives les
courbes d’indifférence ne peuvent pas se couper. Un raisonnement par l’absurde permet de le
montrer facilement. Sur le graphique on voit que les paniers A1 et A2 sont indifférents et qu’il en va
de même pour A1 et B2. C’est impossible car le panier B2 a une plus grande utilité que le panier A2
puisqu’il contient la même quantité du bien X mais une plus grande quantité du bien Y.
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Ainsi le consommateur dispose d’une "carte d’indifférence" décrivant un peu comme une carte
topographique indiquant les lignes d’altitude, toutes les combinaisons conduisant à une même
utilité. Et puisque l’axiome de continuité des préférences a été retenu, le nombre de courbe
d’indifférence est infini.
La convexité des courbes d’indifférence
est déduite de l’hypothèse de "préférence pour les mélanges". Supposons que nous décidions de
mélanger deux paniers de biens comme (x1, y1) et (x2, y2) situés sur une même courbe d’indifférence.
Si on opère le mélange en équilibrant davantage la composition du panier - plus de bien Y que dans
le panier 1 et plus de bien X que dans le panier 2 on obtient des paniers qui se situent sur le segment
de droite joignant les deux paniers 1 et 2. Comme tous ces points sont "au-dessus" de la courbe
d’indifférence de niveau UA ils correspondent à des paniers ayant une plus grande utilité que les deux
paniers 1 et 2. Le panier "mélangé" donnant la plus grande utilité est (x3, y3).
Lorsque le consommateur "préfère les mélanges", les courbes d’indifférences sont forcément
convexes ce qui n’est pas le cas dans les deux exemples ci-dessous.
Dans tout ce qui précède il y a une hypothèse implicite : les biens sont substituables. Le
consommateur compose son panier de consommation en combinant des quantités des deux biens
parce qu’il peut remplacer l’un par l’autre.
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Cette propriété, la substituabilité peut être plus ou moins
bien satisfaite, les biens peuvent être plus ou moins substituables. Lorsque la subsituabilité est
parfaite les courbes d’indifférence sont des droites, lorsque la substitaubilité se réduit la convexité
est plus forte et lorsque la substitution disparait les courbes prennent la forme d’un L.
Supposons qu’un litre d’essence et un litre de gas-oil procurent les mêmes performances et qu’il
existe un véhicule acceptant l’un ou l’autre y compris les mélanges dans n’importe quelle proprtion.
Un litre de carburant est constiuté dans ces conditions de x% d’essence et de (1 - x)% de gas-oil. Le
propriétaire peut substituer sans aucun problème n’importe quelle quantité d’un carburant à l’autre.
S’il utilise deux litres de carburant l’utilité procurée augmente et ainsi de suite comme le montre le
graphique.
Supposons maintenant que notre consommateur aime le
thé et le sucre uniquement quand ils sont associés dans la proportion d’un morceau de sucre pour
une tasse de thé, en dehors de cette configuration ni le sucre ni le thé ne lui procure aucun plaisir. Il
lui est donc indifférent de recevoir une, deux ou trois tasses de thé s’il n’a qu’un morceau de sucre et
de la même manière s’il n’a qu’une seule tasse de thé, deux ou trois morceaux de sucre ne lui
procure pas plus de bien être qu’un seul. Cela signifie que le panier A (une tasse de thé et un
morceau de sucre) ou le panier B (deux tasses de thé et deux morceaux de sucre) sont désirées, B
étant préféré à A puisque la consommation est plus importante. Les courbes d’indifférence sont
orthogonales et dessinées en pointillés pour bien montrer qu’en dehors des combinaisons telles de A
et B, le consommateur n’améliore pas sa satisfaction. Dans cet exemple, le sucre et le thé sont des
biens complémentaires. La complémentarité est une caractéristique traduisant le fait que la
consommation d’un bien implique celle d’un autre dans une proportion constante.
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Utilité marginale et taux de substitution
En présentant la théorie de l’utilité nous avons vu qu’on appelle utilité marginale d’un bien le
supplément d’utilité procuré par la consommation d’une unité supplémentaire de ce bien (toutes
choses égales par ailleurs - en particulier les quantités consommées des autres biens) :
l’utilité marginale du bien X quand on passe de x1 à x2 est le
rapport de l’augmentation de l’utilité procurée par ce changement de quantité à cette augmentation
de quantité.
Soit (UB - UA) / (x2 - x1)
En faisant varier x d’une très petite quantité le rapport précédent devient la dérivée première de la
fonction d’utilité U’x= dU / dx >.
Calculer l’utilité marginale est possible si on peut mesurer les niveaux d’utilité c’est-à-dire si on
retient la conception cardinale de l’utilité. Dans la conception ordinale de l’utilité le calcul de l’utilité
marginale n’a pas de sens. En revanche on peut dire si en passant d’un panier à un autre l’utilité
augmente ce qui revient à dire si l’utilité marginale augment ou diminue.
Les fonctions d’utilité retenues par l’analyse économique sont celles ayant les propriétés introduites
par Heinrich Gossen : une utilité marginale positive (augmenter la consommation de l’un des biens
sans diminuer celle des autres procure une plus grande utilité totale) et décroissante (chaque unité
supplémentaire augmente l’utilité mais de moins en moins).
Les courbes d’indifférence permettent de rendre compte
visuellement de la manière dont s’opère la substitution entre les quantités des biens X et Y procurant
une même utilité totale. Sur le graphique le passage de x1 à x2 laisse l’utilité totale inchangée si dans
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le même temps on passe de y1 à y2.
La fonction d’utilité pour ces deux biens s’écrit U = f (x,y)
Si l’utilité totale reste constante lorsque x ou y varient cela signifie que la différentielle totale le long
d’une courbe d’indifférence est nulle :
(δU / δx) dx + (δU / δy) dy = 0
Ce qui implique : dx / dy = - (δU / δy) / (δU / δx)
Le rapport de la quantité du bien x qu’il faut substituer au bien Y pour maintenir l’utilité constante
est le taux marginal de substitution.
Nous venons de montrer que pour un point donné de la courbe d’indifférence le taux marginal de
substitution est égal au rapport des utilités marginales des biens X et Y mesurées à ce point.
Graphiquement le taux marginal de substitution en un point de la courbe d’indifférence, est le
coefficient directeur de la tangente à la courbe d’indifférence tracée à ce point.
La contrainte budgétaire
Pour accéder aux biens le consommateur doit les payer. La taille et le contenu de son panier de
consommation dépendent de la quantité de monnaie dont il dispose, son revenu monétaire ou
encore son budget, et des prix des biens qu’ils souhaite consommer.
Le consommateur ne peut pas modifier à lui seul les prix des biens et le budget dont il dispose, il doit
considérer ces prix et ce revenu comme des données exogènes : elles s’imposent à lui comme des
contraintes.
Si les prix des n biens X1 à Xn sont respectivement p1 à pn, si le budget total disponible est R et si les
quantités consommées des biens sont x1 à xn alors la contrainte budgétaire exprime simplement le
fait que la dépense totale ne peut pas dépasser le revenu disponible pour cette dépense :
Si on retient seulement deux biens X et Y la contrainte
budgétaire devient :
R ≥ (px x) + (py y)
soit
x = (R / px) - y (py / px)
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expression de la droite AB représentée sur le graphique.
Toutes les combinaisons des quantités de X et de Y situées dans le triangle OAB sont possibles
financièrement pour le consommateur. On voit que si le revenu disponible diminue sans que le
rapport des prix se modifie le domaine des combinaisons possibles se réduit.
Que se passe-t-il si le prix du bien x augmente
passant de px à px’ sans changement pour celui du bien Y ?
Le pouvoir d’achat du revenu en bien X diminue ce qui réduit le domaine des combinaisons possibles,
une même quantité du bien Y est désormais associée à une plus faible quantité du bien X.
Le prix du bien Y est inchangé dans l’absolu mais relativement à celui du bien X il diminue ce qui rend
le produit Y plus accessible (relativement au bien X).
Retenons que le coefficient directeur (la pente) de la contrainte budgétaire est négatif et égal au
rapport des prix des deux biens.
[1] Il s’agit bien d’axiomes parce que ces hypothèses ne sont pas vérifiables, elles ne sont pas
scientifiques (pas falsifiables).
[2] Qu’elles soient invérifiables ne signifie pas qu’elles sont absurdes ou sans rapport avec la réalité.
[3] Au début des années 1950, Milton Friedman et Leonard Savage fondent les théories modernes de
l’étude des risques en commentant cet essai de Bernouilli dans "The Expected-Utility Hypothesis and
the Measurability of Utility", Journal of Political Economy Vol. 60, No. 6, décembre 1952, pp. 463474.
[4] Dans un livre publié à compte d’auteur, sans aucun succès jusqu’à sa traduction en 1879 par Léon
Walras et Charles Secrétan : Exposition des lois de l’échange et des règles de l’industrie qui s’en
déduisent.
[5] Imaginons deux fonction d’utilité donnant les indices d’utilité suivants pour quatre paniers A, B, C
et D
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Indices d’utilité
Paniers
Fonction F
Fonction G
A
1
1
B
2
4
C
3
9
D
4
16
Les deux fonctions sont différentes puisqu’elles
ne donnent pas les mêmes indices d’utilité pour
les paniers de consommation A, B, C et D, mais
elles respectent le même ordre de préférences.
Dans cet exemple le passable de la fonction F à
la fonction G est simple puisque la fonction G
n’est autre que la fonction F élevée au carré,
mais il y a un très grand nombre de fonctions
donnant le même classement que F : toutes les
fonctions qui se déduisent de F par une
transformation monotone croissante. Une
transformation monotone croissante transforme
un ensemble de nombre en un autre ensemble
tout en conservant le classement. Ainsi, dans la
conception ordinale de l’utilité, la fonction
d’utilité est définie à une transformation
monotone croissante près.
[6] Ce sont des axiomes puisque ces propositions sont invérifiables.
[7] Mathématiquement le traitement est le même avec n biens mais la représentation graphique
d’un espace à n+1 dimensions (n biens et l’indice d’utilité) est impossible. Ce qui est gagné en
vraisemblance est perdu pédagogiquement car les graphiques permettent de mieux comprendre les
notions clés d’indifférence, taux de substitution, contrainte budgétaire...