DM sur l`irrationnalité de $\sqrt{2}

Correction du 31 p 92
a. 2 = p
q donc ( 2)
2
= ( p
q )
2
donc 2 = p
2
q
2
donc 2 q
2
= p
2
b. 2 q
2
2 = q
2
q est un nombre entier.
Donc q
2
est un nombre entier, donc 2 q
2
est bien divisible
par 2
Conclusion : 2 q
2
est pair.
De plus, 2 q
2
= p
2
. On sait donc que p
2
est pair.
Or, si p était impair, alors p
2
le serait aussi puisque le
produit de deux nombres impairs est impair.
Conclusion : p est un nombre pair.
c. p est pair. Il existe donc un nombre p ' tel que: p = 2 p’
2 q
2
= p
2
, donc 2 q
2
= (2 p’)
2
donc 2 q
2
= 4 p’
2
.
Par simplification des deux membres de l’égalité, on
obtient q
2
= 2 p’
2
.
par le même raisonnement qu'à la question b., on en
déduit que q
2
est pair, donc q aussi.
d. p est pair. Il est donc divisible par 2.
p
q est irréductible. Donc les nombres p et q sont premiers
entre eux. Ils n’admettent pas d’autres diviseurs communs
que 1. On en déduit que q n’est pas divisible par 2.
Conclusion : q est impair.
e. Par les questions c. et d., on a montré que le nombre q
était à la fois pair et impair, ce qui est contradictoire.
Donc l’hypothèse de départ « il existe une fraction
irréductible p
q telle que 2 = p q » est fausse
c’est-à-dire : il n’existe pas de fraction irréductible égale
à 2.
Donc 2 est irrationnel.
Correction du 31 p 92
a. 2 = p
q donc ( 2)
2
= ( p
q )
2
donc 2 = p
2
q
2
donc 2 q
2
= p
2
b. 2 q
2
2 = q
2
q est un nombre entier.
Donc q
2
est un nombre entier, donc 2 q
2
est bien divisible
par 2
Conclusion : 2 q
2
est pair.
De plus, 2 q
2
= p
2
. On sait donc que p
2
est pair.
Or, si p était impair, alors p
2
le serait aussi puisque le
produit de deux nombres impairs est impair.
Conclusion : p est un nombre pair.
c. p est pair. Il existe donc un nombre p ' tel que: p = 2 p’
2 q
2
= p
2
, donc 2 q
2
= (2 p’)
2
donc 2 q
2
= 4 p’
2
.
Par simplification des deux membres de l’égalité, on
obtient q
2
= 2 p’
2
.
par le même raisonnement qu'à la question b., on en
déduit que q
2
est pair, donc q aussi.
d. p est pair. Il est donc divisible par 2.
p
q est irréductible. Donc les nombres p et q sont premiers
entre eux. Ils n’admettent pas d’autres diviseurs communs
que 1. On en déduit que q n’est pas divisible par 2.
Conclusion : q est impair.
e. Par les questions c. et d., on a montré que le nombre q
était à la fois pair et impair, ce qui est contradictoire.
Donc l’hypothèse de départ « il existe une fraction
irréductible p
q telle que 2 = p q » est fausse
c’est-à-dire : il n’existe pas de fraction irréductible égale
à 2.
Donc 2 est irrationnel.
Correction du 31 p 92
a. 2 = p
q donc ( 2)
2
= ( p
q )
2
donc 2 = p
2
q
2
donc 2 q
2
= p
2
b. 2 q
2
2 = q
2
q est un nombre entier.
Donc q
2
est un nombre entier, donc 2 q
2
est bien divisible
par 2
Conclusion : 2 q
2
est pair.
De plus, 2 q
2
= p
2
. On sait donc que p
2
est pair.
Or, si p était impair, alors p
2
le serait aussi puisque le
produit de deux nombres impairs est impair.
Conclusion : p est un nombre pair.
c. p est pair. Il existe donc un nombre p ' tel que: p = 2 p’
2 q
2
= p
2
, donc 2 q
2
= (2 p’)
2
donc 2 q
2
= 4 p’
2
.
Par simplification des deux membres de l’égalité, on
obtient q
2
= 2 p’
2
.
par le même raisonnement qu'à la question b., on en
déduit que q
2
est pair, donc q aussi.
d. p est pair. Il est donc divisible par 2.
p
q est irréductible. Donc les nombres p et q sont premiers
entre eux. Ils n’admettent pas d’autres diviseurs communs
que 1. On en déduit que q n’est pas divisible par 2.
Conclusion : q est impair.
e. Par les questions c. et d., on a montré que le nombre q
était à la fois pair et impair, ce qui est contradictoire.
Donc l’hypothèse de départ « il existe une fraction
irréductible p
q telle que 2 = p q » est fausse
c’est-à-dire : il n’existe pas de fraction irréductible égale
à 2.
Donc 2 est irrationnel.

Enoncé du devoir
L'irrationnalité de 2 semble avoir été découverte par les pythagoriciens. La démonstration proposée ci-dessous est très voisine de celle d'Euclide dans son
ouvrage intitulé Éléments.
Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une fraction irréductible p
q telle que 2 = p q
avec p et q entiers.
8. Expliquer pourquoi alors: p
2
= 2 q
2
.
b. Le nombre 2q
2
est-il pair ou impair? En déduire que p est pair.
c. Posons p = 2 p'.
Expliquer pourquoi: q
2
= 2p'
2
. En déduire que q est pair.
d. On sait que p est pair et que p
q est irréductible. En déduire que q est impair.
e. Où est la contradiction?
Donc l'hypothèse rajoutée au début est fausse, c'est-à-dire: il n'existe pas de fraction irréductible égale à 2. Donc 2 est un nombre irrationnel.
"II y a plus de 2000 ans les Chinois connaissaient déjà des nombres irrationnels du type des racines de nombres entiers» affirme Karine Chelma (CNRS,
Université Paris VII), Dans les Neuf chapitres sur les procédures mathématiques (auteurs chinois inconnus, premier siècle avant ou après notre ère), elle
découvre des problèmes dont on pensait que seuls les mathématiciens grecs les avaient affrontés.
(D'après Le Monde, février 1999)