LES SUITES 1. Définitions Une suite numérique (un) est une liste ordonnée de nombres réels telle qu'à tout entier n on associe un nombre réel noté un et appelé terme de rang n. Exemple : On considère une liste de nombres formée par tous les nombres impairs rangés dans l'ordre croissant : 1, 3, 5, 7, … On note (un) l'ensemble des "éléments" de cette suite : u0 = 1, u1 = 3, u2 = 5, u3 = 7, … Remarque : On peut lui associer une fonction définie sur ℕ par u : ℕ→ℝ n u n un Une suite définie par une formule explicite est une suite dans laquelle chaque terme est exprimé en fonction de n et indépendamment des termes précédents. Exemple : Pour tout n de ℕ, on donne : un 2n qui définit la suite des nombres pairs. Les premiers termes sont : u0 = 2 x 0 = 0, u1 = 2 x 1 = 2, u2 = 2 x 2 = 4, … Une suite définie par une relation de récurrence est une suite dans laquelle chaque terme est exprimé en fonction du terme précédent. Exemple : On définit la suite (un) par : u0 = 5 et chaque terme de la suite est le triple de son précédent. Les premiers termes sont : u0 = 5, u1 = 3 x u0 = 3 x 5 = 15, u2 = 3 x u1 = 3 x 15 = 45, … YDV 150922 Suites, 1ere STMG 1 2. Représentation graphique Dans un repère du plan, on représente une suite par un « nuage » de points de coordonnées n ; un Exemple : Pour tout n de ℕ, on donne : 𝑢𝑛 = 𝑛² 2 −3 On construit le tableau de valeurs avec les premiers termes de la suite : n un 0 -3 1 -2,5 2 -1 3 1,5 4 5 5 9,5 6 15 7 21,5 8 29 On place ensuite ces points dans un repère : YDV 150922 Suites, 1ere STMG 2 3. Sens de variation Une suite numérique (un) est croissante si pour tout entier 𝑛, on a 𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛 Une suite numérique (un) est décroissante si pour tout entier 𝑛, on a 𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 Exemple : On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d'une suite (un) : YDV 150922 Suites, 1ere STMG 3 4. Suites arithmétiques Une suite (un) est une suite arithmétique s'il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑟. Le nombre r est appelé raison de la suite. La formule explicite du terme de rang 𝑛 est : 𝑢𝑛 = 𝑢0 + 𝑛 × 𝑟 Si r > 0 alors la suite (un) est croissante. Si r = 0 alors la suite (un) est constante Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés Exemple 1 : Considérons une suite (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. La suite est définie par : 𝑢0 = 3 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 5 Les premiers termes sont : u0 = 3, u1 = 8, u2 = 13, u3 = 18 … Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3. Exemple 2 : La suite arithmétique (un) définie par un1 un 4 et u0 5 est décroissante car de raison négative et égale à -4. Exemple 3 : On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4. La somme des n+1 premiers termes d’une suite arithmétique (un) est (𝑛 + 1)(𝑢0 + 𝑢𝑛 ) 𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 2 YDV 150922 Suites, 1ere STMG 4 5. Suites géométriques Une suite (un) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel q, strictement positif, tel que pour tout entier n, on a : 𝑢𝑛+1 = 𝑞 × 𝑢𝑛 . Le nombre q est appelé raison de la suite. La formule explicite du terme de rang 𝑛 est : 𝑢𝑛 = 𝑞 𝑛 × 𝑢0 Si q > 1 alors la suite (un) est croissante Si q = 1 alors la suite (un) est constante Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante Les points de la représentation graphique d'une suite géométrique suivent une courbe Exemple 1 : Considérons une suite (un) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égal à 2. La suite est définie par : 𝑢0 = 5 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 Les premiers termes sont : u0 = 5, u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5. Exemple 2 : On place un capital de 500€ sur un compte dont les intérêts annuels s'élève à 4%. Chaque année, le capital est multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04. On a ainsi : u1 1,04 500 520 , u2 1,04 520 540,80 , u3 1,04 540,80 562, 432 De manière générale : un1 1, 04 un avec u0 500 La somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique (un) de raison 𝑞 est (1 − 𝑞 𝑛+1 ) 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 𝑢0 1−𝑞 YDV 150922 Suites, 1ere STMG 5 6. Formulaire (un) une suite arithmétique - de raison r - de premier terme u0 La différence entre un terme et son précédent est égale à -0,5. Variations Si r > 0 : (un) est croissante. Si r < 0 : (un) est décroissante. Représentation graphique Remarque : Les points de la représentation graphique sont alignés. Somme des n premiers termes - (un) une suite géométrique - de raison q > 0 - de premier terme u0 > 0 Variations Si q > 1 : (un) est croissante. Si 0 < q < 1 : (un) est décroissante. YDV 150922 La suite (un) est décroissante. Exemple : q 0,5 et u0 5 un1 0,5 un un1 q un Somme des n premiers termes r 0,5 0 (𝑛 + 1)(𝑢0 + 𝑢𝑛 ) 2 Définition Représentation graphique r 0,5 et u0 4 un1 un 0,5 un1 un r Définition Exemple : Le rapport entre un terme et son précédent est égal à 0,5. q 0, 5 1 La suite (un) est décroissante. Remarque : Si q < 0, la suite géométrique n'est ni croissante ni décroissante. 𝑢0 (1 − 𝑞 𝑛+1 ) 1−𝑞 Suites, 1ere STMG 6