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© S.Boukaddid Eléctromagnétisme MP2 Equations de Maxwell Table des matières 1 Conservation de la charge électrique 1.1 Densité de charge et vecteur densité volumique de courant . . . . . . . . . . 1.2 Conservation de la charge éléctrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 Equations de Maxwell 2.1 Equation de Maxwell-Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Equations de Maxwell en régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Equations de Maxwell dans un régime permanent . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 5 3 Potentiels vecteur et scalaire 3.1 Définitions . . . . . . . . 3.2 Choix de la jauge . . . . 3.3 Equations des potentiels 3.4 Potentiels retardés . . . 5 5 5 6 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Approximation des régimes quasi-permanents (ARQP)où quasi-stationnaires (ARQS) 7 4.1 Aproximation des régimes quasi-permanents (ARQP) . . . . . . . . . . . . . 7 4.2 Equations de Maxwell dans le cadre de l’ARQP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 Relations de passage en régime variable 8 1/9 © S.Boukaddid Eléctromagnétisme MP2 1 Conservation de la charge électrique 1.1 Densité de charge et vecteur densité volumique de courant Ï la densité de charge volumique en un point M d’un milieu est donnée par ρ(M) = dq dτ Ï la densité de charge pour un conducteur s’écrit sous la forme ρ = ρm + ρ f • ρm : densité des charges mobiles • ρ f : densité des charges fixes − Ï si les charges mobiles d’un milieu se caractérisent par une vitesse → v et une densité → − ρm ,le vectur densité de courant volumique j associé à ce mouvement est : → − − j (M) = ρm (M).→ v (M) 1.2 Conservation de la charge éléctrique Ï Principe de conservation de la charge •Enoncé : La charge totale d’un système fermé se conserve au cours du temps. Ï Forme intégrale de la conservation de charge Considérons un système contenu dans le volume V de l’espace,fixe dans un référentiel d’étude • la charge de V à l’instant t Ñ Q(t ) = ρ(M, t )d τ V • la variation de la charge de V par unité de temps Ñ dQ ∂ρ(M, t ) = dτ dt ∂t V → − j VQ M dτ → − n (Σ) dQ Ï la conservation de la charge : = −I où I le courant sortant du volume V d t Ñ Ó → − − ρ(M, t )d τ et I = j .d S → n Ï Q= V Σ Ñ Ñ d ∂ρ(M, t ) Ï ρ(M, t )d τ = dτ dt ∂t V V Ñ Ó ∂ρ(M, t ) → − − Ï dτ = − j .d S → n ∂t V Σ • Conclusion : l’équation intégrale traduisant la conservation de charge d’un volume V fixe dans un référentiel fixe (R) est donnée par Ñ Ó ∂ρ(M, t ) → − − dτ = − j .d S → n ∂t V Σ 2/9 © S.Boukaddid Eléctromagnétisme MP2 Ï Forme locale de la conservation de charge Ó Ñ → − → − → − • Green-Ostrogradski : j .d S n = di v j dτ Σ V ¶ Ñ µ ∂ρ(M, t ) → − • + d i v j (M, t ) d τ = 0 ∂t V ∂ρ → − + di v j = 0 ∂t 2 Equations de Maxwell 2.1 Equation de Maxwell-Ampère ∂ρ → − + di v j = 0 ∂t → − → − → − → − → − −−→ −−→ • l’équation r ot B = µ0 j ⇒ d i v(r ot B ) = µ0 d i v j = 0 ⇒ d i v j = 0,cette équation est incompatible avec l’équation de la conservation de charge en régime variable • l’équation de la conservation de la charge : • pour surmonter ce problème il est nécessaire d’introduire un terme supplémen→ − taire au second membre,appelé courant de déplacement noté j D • l’équation de Maxwell-Ampère s’écrit → − → − − −−→→ r ot B = µ0 ( j + j D ) • cette forme est compatible avec la conservation de la charge électrique si ∂ρ → − → − → − − −−→→ µ0 d i v( j + j D ) = d i v(r ot B ) = 0 soit d i v j D = ∂t à → −! ρ ∂ρ ∂E → − • di v E = ⇒ = d i v ε0 ε0 ∂t ∂t → − ∂E → − j D = ε0 ∂t • l’équation de Maxwell-Ampère à → −! ∂E → − − −−→→ r ot B = µ0 j + ε0 ∂t 2.2 Equations de Maxwell en régime variable Ï En présence de charges,le champ électromagnétique satisfait aux quatres équations de Maxwell • équation de Maxwell-Faraday (M-F) : → − ∂B − −−→→ r ot E = − ∂t • équation de Maxwell-flux (Maxwell-Thomson)(M-φ) : → − di v B = 0 • équation de Maxwell-Gauss (M-G) : 3/9 © S.Boukaddid Eléctromagnétisme MP2 ρ → − di v E = ε0 • équation de Maxwell-Ampère (M-A) : à → −! ∂ E → − → − −−→ r ot B = µ0 j + ε0 ∂t → − → − Ï Equations de Maxwell dans le vide : ρ = 0, j = 0 • Maxwell-Gauss : → − di v E = 0 • Maxwell-flux : → − di v B = 0 • Maxwell -Faraday : → − ∂B − −−→→ r ot E = − ∂t • Maxwell-Ampère : → − ∂E − −−→→ r ot B = µ0 ε0 ∂t Ï Forme intégrale des équations de Maxwell Ñ Ñ Ó ρ ρ → − → − → − −→ q i nt • di v E = ⇔ di v E dτ = dτ ⇔ E .d S = ε0 ε0 V V ε0 Σ la forme intégrale de l’équation de Maxwell-Gauss est le théorème de Gauss Ó → − −→ q i nt E .d S = ε0 Σ Ñ Ó → − → − → − −→ • di v B = 0 ⇔ d i v B .d τ = 0 ⇔ B .d S = 0 donc l’équation de MaxwellΣ V flux traduit la conservation du flux magnétique la forme intégrale de l’équation de Maxwell-flux Ó → − −→ B .d S = 0 Σ → − − Ï Ï → I → ∂B ∂ B −→ dφ − − −→ → − − −−→→ −−→→ • r ot E = − ⇔ r ot E .d S = dS ⇔ donc l’équaE .d l = − ∂t dt S S ∂t C tion de Maxwell-Faraday traduit le phénomène d’induction l’équation intégrale de Maxwell-Faraday est I → dφ → − − E .d l = − dt C à à ! → −! → − Ï Ï ∂ E −→ ∂E → − → − − − −→ −−→→ −−→→ µ0 j + ε0 • r ot B = µ0 j + ε0 ⇔ r ot B .d S = d S,donc l’équa∂t ∂t S S tion de Maxwell-Ampère traduit le théorème d’Ampère généralisé − I Ï → → ∂ E −→ → − − B .d l = µ0 Ienl acé + µ0 ε0 dS C S ∂t 4/9 © S.Boukaddid Eléctromagnétisme MP2 2.3 Equations de Maxwell dans un régime permanent • Maxwell-Gauss : ρ → − di v E = ε0 • Maxwell-flux : → − di v B = 0 • Maxwell -Faraday : − −−→→ r ot E = 0 • Maxwell-Ampère : → − − −−→→ r ot B = µ0 j 3 Potentiels vecteur et scalaire 3.1 Définitions → − → − → − • d i v B = 0 : B est un champ rotationnel,il dérive d’un potentiel vecteur A → − −−→→ − B = r ot A à → à − −! → −! → − −−→→ ∂r ot A ∂B − ∂A − −−→ ∂ A −−→ → −−→→ =− = −r ot ⇔ r ot E + =0 • r ot E = − ∂t ∂t ∂t ∂t → − → − ∂A donc le champ E + dérive d’un potentiel scalaire V ∂t → − ∂ A −−−−→ → − E =− − g r ad V ∂t 3.2 Choix de la jauge → − → − • A est définit à un gradient près. Le potentiel V dépend du choix fait pour A → − → − −−−−→ • si on prend A 0 = A + g r ad ψ,alors V 0 est telle que → − → − −−−−→ −−−−→ ∂ψ −−−−→ − ∂ A −−−−→ ∂ψ → − ∂A0 → =E+ + g r ad = −g r ad V + g r ad = −g r ad V 0 E+ ∂t ∂t ∂t ∂t ∂ψ → −0 → − −−−−→ A = A + g r ad ψ et V 0 = V − ∂t → − • en régime permanent le potentiel A est choisi en respectant la jauge de Coulomb → − di v A = 0 → − • en régime variable le potentiel A est choisi en respectant la jauge de Lorentz ∂V → − d i v A + µ0 ε0 =0 ∂t 5/9 © S.Boukaddid Eléctromagnétisme MP2 3.3 Equations des potentiels ρ → − • di v E = ε0 → − −−−−→ ∂A → − • E = −g r ad V − ∂t à → −! −−−−→ ∂A ∂ ρ → − • d i v −g r ad V − = −∆V − d i v A = ∂t ∂t ε0 ∂V 1 → − • la jauge de Lorentz : d i v A = −µ0 ε0 avec µ0 ε0 = 2 ou c représente la vitesse ∂t c de la lumière dans le vide 1 ∂2 V ρ ∆V − 2 2 = − c ∂t ε0 à → −! ∂E → − − −−→→ • r ot B = µ0 j + ε0 ∂t → − −−→→ − • B = r ot A à → −! ³ ´ ³ ´ −−−−→ −−−−→ ∂ ∂A → − − → − → − −−→ −−→→ −g r ad V − • r ot r ot A = g r ad d i v A − ∆ A = µ0 j + µ0 ε0 ∂t ∂t µ ¶ → − ∂V ∂2 A → − → − −−−−→ → − • ∆ A − g r ad d i v A + µ0 ε0 − µ0 ε0 2 = −µ0 j ∂t ∂t ∂V → − =0 • jauge de Lorentz : d i v A + µ0 ε0 ∂t → − 1 ∂2 A → − → − ∆A − 2 = −µ0 j 2 c ∂t 3.4 Potentiels retardés La solution générale des équations des potentiels M • l’équation relative à V µ ¶ PM Ñ ρ P, t − 1 c V(M, t ) = dτ 4πε0 PM D → − • l’équation relative à A µ ¶ PM → − Ñ j P, t − µ0 → − c A (M, t ) = dτ 4π PM D P dτ → − (ρ, j ) D Ï ces solutins sont appelées potentiels retardés,car elles correspondent aux expressions trouvées en régime permanent,mais en faisant intervenir les sources à l’insPM PM tant antérieur t − ,où représente le temps nécessaire à la propagation de c c l’information dans le vide de P à M. La valeur du champ en un point M ne fait interPM venir que l’état de la source en P à l’instant t − c 6/9 © S.Boukaddid Eléctromagnétisme MP2 Ï l’évolution du potentiel est en retard par rapport à celle des sources,ce retard est la PM durée de propagation du signal τp = c 4 Approximation des régimes quasi-permanents (ARQP)où quasi-stationnaires (ARQS) 4.1 Aproximation des régimes quasi-permanents (ARQP) • ARQP : Dans le cadre de l’ARQP,on considère que l’évolution de la source est suffisamment lente,c’est-à-dire la durée T caractéristique de cette évolution est très grande devant la durée de propagation τp du signal. τp << T PM << T soit PM << cT = l ,où l représente la distance parcourue par le signal c pendant la durée caractéristique de variation des sources 2π = 2πν on a Ï pour un signal sinusoïdal,de pulsation ω = T Ï τp = PM << c =λ ν λ : la longueur d’onde du signal dans le vide Ï Exemples • un circuit électrique de dimensions inférieures à 1m (r < 1m) (le cas usuel dans les laboratoires),est alimenté par un générateur délivrant un signal de fréqence ν. L’ARQP est valable si λ >> 1m ⇔ ν << 300MHz • dans le cas courant industriel,de fréquence ν = 50Hz,l’ARQP est valables pour des circuits de dimensions importantes c r << λ avec λ = = 6000km ν Ï Dans le cadre de l’ARQP les potentiels prennent les mêmes valeurs qu’en régime permanent Ñ 1 ρ(P, t ) V(M, t ) = dτ 4πε0 D PM µ0 → − A (M, t ) = 4π − Ñ → j (P, t ) dτ D PM 4.2 Equations de Maxwell dans le cadre de l’ARQP Ï Dans le cadre de l’ARQP,le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction → − || j || γE γE γT • Pour un conducteur : → = = = − ε0 || j D || ε ∂E ε0 E 0 T ∂t 7/9 © S.Boukaddid Eléctromagnétisme MP2 → − || j || 6.107 T • pour le cuivre : γ = 6.10 Ω .m on trouve → ≈ 6, 8.1018 T = − −12 || j D || 8, 85.10 donc le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction 7 −1 −1 Ï les équations de Maxwell dans le cadre de l’ARQP • Maxwell-Gauss : ρ → − di v E = ε0 • Maxwell-Faraday → − ∂B − −−→→ r ot E = − ∂t • Maxwell-flux → − di v B = 0 • Maxwell-Ampère → − − −−→→ r ot B = µ0 j 5 Relations de passage en régime variable Considérons une surface chargée avec une densité surfacique σ et parcourue par un cou→ − rant surfacique j s Ï Discontinuité de champ électrique à travers une surface chargé avec une densité σ Considérons un contour (C) rectangulaire ABCDEF orthogonal à la surface,le contour B C → − d’étendue assez petite pour que le champ E D A à travers sa partie supérieure (respectivement → − inférieure) soit uniforme,égal à E + (M) (res→ − F E pectivement E − (M)) → − → − I Ï → ∂B ∂ B −→ dφ − → − − −−→→ ,la formule de Stokes donne : E .d l = − dS = − • r ot E = − ∂t ∂t dt (C) S I ³ ´ ³ ´ ³ ´ → → → − − − −→ −→ −−→ → − − → −→ − → −→ → − → − • E .d l = E + BC + AB + CD + E − EF + DE + FA = BC E + − E − (C) → − • lorsque la hauteur FB du rectangle tend vers 0,le flux de B tens vers 0,donc −→ ³→ − → − ´ BC E + − E − = 0 ³→ − → − ´ − E + − E − est parallèle à la normale → n à la surface chargée Ó ρ → − → − −→ Qi nt E dS = • d i v E = ,la formule de Green donne : ε0 ε0 S → − −→ σS E .d S = , avec S la section du cyε0 S lindre Ó ³→ → − −→ − → − ´ → − • E .d S = S. n E + − E − → − E+ Ó • S → − n → − E− 8/9 © S.Boukaddid Eléctromagnétisme MP2 → − • le flux de E à travers la surface latéralle lorsque la hauteur du cylindre tend vers 0 est nul σ− → − → − E+− E−= → n ε0 → − → − Ï Discontinuité de B à travers une répartition superficielle de courants j s → − • di v B = 0 → − • en procédant comme pour E on trouve ³→ − → − ´→ B+− B− − n =0 → − donc la composante normale de B est continue à → −! ∂ E → − → − −−→ • r ot B = µ0 j + ε0 ∂t • l’application de la formule de Stokes sur un petit contour comme précédent on trouve − Ï Ï → ∂ E −→ → − −→ 1 −→ ³→ − → − ´ BC B + − B − = µ0 j dS + 2 .d S c S S ∂t Ï → − −→ → − ³→ −→´ − • lorsque la hauteur du rectangle tend vers 0, j .d S tend vers j s n ∧ BC (S) → − et le flux de E à travers la surface du contour tens vers 0 → − → − → − − B − B = µ j ∧→ n + − 0 s 9/9
