Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide 1. Introduction 2
Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme" 1
Equations locales de l’éléctromagnétisme
Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
Objectif :
•Equations de Maxwell dans le vide
•Cas de l’ARQS
•Energie électromagnétique
1. Introduction
On recherche les équations régissant l’évolution du champ électromagnétique dans le cas des régimes variables.
Rappel : Dans le chapitre I :Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent nous avons montré
que le champ électromagnétique véri!e en régime permanent les quatre équations suivantes :
En régime permanent :
rot
E=
0 C
E.d
=0
Eest à circulation conservative
div
E=
0 S
E.d
S=1
0Qint avec Qint =V
(P)dthéorème de Gauss
rot
B=µ0
j C
B.d
=µ0Ienlac´e=µ0S
j.d
Sthéorème d’Ampère
div
B=0 S
B.d
S=0
Best à 'ux conservatif
Dans le cas d’un régime quelconque, la loi de conservation de la charge s’écrit :
div
j+
t=0équation locale de conservation de la charge
V
(M, t)
td=S
j.d
Séquation intégrale de conservation de la charge
On remarque que ces équations ne sont pas compatibles :
rot
B=µ0
jdiv
rot
B=div µ0
j
0=µ0div
jincompatible avec div
j=
texcepté en régime permanent
Il est donc nécessaire de généraliser les équations précédentes.
2. Généralisation des équations locales
2.1. Equation de Maxwell-Gauss
On admet que l’équation de Maxwell-Gauss div
E=
0
, qui traduit le théorème de Gauss, se généralise au cas
des régimes variables.
2.2. Equation de $ux magnétique
On admet que l’équation du $ux magnétique div
B=0, qui traduit le traduit le caractère conservatif du $ux
du champ magnétostatique, se généralise au cas des régimes variables.
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide 2
2.3. Equation de Maxwell-Faraday
Expérimentalement, on constate que la force électromotrice induite dans un circuit !liforme fermé Cévoluant dans une région
de l’espace où règne le champ magnétique
Bvariable dans le temps, est donnée par la loi de Faraday :
e(t)=d(t)
dt avec (t)=S
B(P, t).d
S
De plus, dans un circuit )xe la force électromotrice induite est (cf. cours sur l’induction) :
e(t)=C
E.d
en identi!ant les deux expressions précédentes, on obtient
C
E.d
=d
dt S
B.d
S
=S
B
t.d
Scar Sest !xe
soit S
rot
E.d
S=S
B
t.d
Sth de Stokes-Ampère
S
rot
E+
B
t.d
S
rot
E+
B
t=
0car Sest une surface quelconque s’appuyant sur C
rot
E=
B
t
Cette équation, appelée équation de Maxwell-Faraday, est la généralisation aux régimes variables de l’équation locale
rot
E=
0.
2.4. Equation de Maxwell-Ampère
D’après le paragraphe 1. l’équation
rot
B=µ0
jne convient pas dans le cas des régimes variables. On se propose, à l’aide
d’un exemple, de trouver un terme supplémentaire homogène à
j.
2.4.1. Etude d’une sphère radioactive
On considère une sphère de matière radioactive, initialement neutre, de rayon Rsu+sament faible par rapport aux autres
dimensions pour que cette sphère soit confondue avec son centre O.
A partir de l’instant t=0, cette sphère émet par désintégration, de manière isotrope, des particules de charge qanimées
d’une vitesse v0=v0erconstante. Soit le nombre de particules émises par unité de temps ( =cste ).
Il apparaît donc dans l’espace au voisinage de la sphère un courant de charges. Si le /ux de particules est su+sament intense,
on peut adopter une description continue : soit alors
j(M,t)le vecteur densité de courant volumique.
•Détermination de
j=mv0:
—Symétrie du problème :
La vitesse des particules chargées est v0=v0er,onadonc
j(r, ",#,t)=j(r, ",#,t)er
L’émission est isotrope mne dépend donc que de (r, t)et
jaussi :
j(r, ",#,t)=
j(r, t)
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide 3
On a donc m(r, ",#,t)=m(r, t)et
j(r, ",#,t)=j(r, t)er=m(r, t)v0er
—Détermination de m:
si r>v
0til n’y a aucune particule en Met on a donc m(r>v
0t, t)=0
si r<v
0tla charge &Qcomprise à l’instant tentre les sphères de centre Oet de rayon ret r+dr a été émise
en Oentre les instants t1=tr/v0et t2=t(r+dr)/v0soit pendant une durée dt =t2t1=dr/v0;on
a donc
&Q= dtq = qdr
v0
m(r<v
0t, t)=&Q
d=
qdr
v0
4(r2dr = q
4(v0
1
r2
—Expression de
j:
on obtient
j(r, t)=
0si r>v
0t
q
4(
1
r2ersi r<v
0t
•Détermination de
B:
Tous les plans passant par le point Met par le centre de la sphère sont des plans de symétrie de la distribution de
courant ; le champ magnétique
B, étant un vecteur axial, est donc perpendiculaire à tous ces plans, il est donc nul
B=
0.
•Insu,sance de l’équation
rot
B=µ0
j:
Pour r<v
0tles résultats ne sont pas compatibles avec l’équation locale
rot
B=µ0
j.
On doit donc compléter cette équation par un terme s’annulant en régime permanent. On recherche alors un terme
homogène à une densité de courant volumique s’annulant en régime permanent
rot
B=µ0
j+
j?.
•Recherche d’un terme homogène à une densité de courant volumique
—Recherche du champ électrique
E:
La distribution de charges ne dépend que de r, le champ électrique ne dépend donc que de r:
E(r, ",#,t)=
E(r, t);
La droite Dpassant par Met par le centre de la sphère est une droite de symétrie de la distribution de charges
; le champ électrique en tout point de cette droite est donc porté par cette droite :
E(r, ",#,t)=E(r, ",#,t)er
;
en regroupant les deux expressions précédentes on obtient
E(r, ",#,t)=E(r, t)er
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide 4
On peut alors déterminer le champ électrique par application du théorème de Gauss (cf. 2.1.) :
S
E.d
S=1
0V
(P)d=Q(r, t)
0
S
E(r, t)er.dS er=Q(r, t)
0
E(r, t)S
dS =Q(r, t)
0
4(r2E(r, t)=Q(r, t)
0
Q(r, t)représente la charge totale présente à l’instant tdans le sphère de centre Oet de rayon r;ilnefaut
pas oublier la charge de la sphère égale à l’opposée de la charge émise depuis t=0(principe de conservation
de la charge) :
Q(r, t)=
0si r>v
0t
qt +r
0
(r, t)4(r2dr = qt +r
0
q
4v0
1
r24(r2dr si r<v
0t
Q(r, t)=0si r>v
0t
qt +q
v0rsi r<v
0t
E(r, t)=
0si r>v
0t
1
4(0
qr
v0t1
r2ersi r<v
0t
•—Identi-cation :
on remarque que
E(r, t)
t=
j(r, t)
0
Le terme (0E(r, t))
tapparaît donc comme une densité de courant volumique.
2.4.2. Courant de déplacement de Maxwell et équation de Maxwell-Ampère
L’idée de Maxwell fut d’écrire l’équation locale
rot
B=µ0
jsous la forme
rot
B=µ0
j+
jDavec
jD=(0E))
t
soit
rot
B=µ0
j+µ00
E
t
Exercice n01 :Véri!er que (0E(r, t))
test bien homogène à une densité de courant volumique.
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide 5
3. Equations de Maxwell (1864)
3.1. Les postulats de l’électromagnétisme
L’objet de l’électromagnétisme est de décrire les interactions qui s’exercent à l’intérieur d’un système de particules chargées.
Les postulats de l’électromagnétisme sont :
•la loi de force de Lorentz
F=q(
E+v
B);
•les quatre équations de Maxwell qui régissent l’évolution locale du champ électromagnétique dans
tout référentiel galiléen :
équation de Maxwell-Gauss (M-G) : div
E=
0
équation de Maxwell-Ampère (M-A) :
rot
B=µ0
j+µ00
E
t
équation du Flux magnétique (M-): div
B=0
équation de Maxwell-Faraday (M-F) :
rot
E=
B
t
Remarques fondamentales :
1. Les constantes fondamentales µ0et 0, respectivement perméabilité du vide et permitivité du vide, sont des grandeurs
dimensionnées dont les valeurs dépendent donc du choix des unités. Dans le système internationale µ0=4(.107H.m1
et comme 0µ0c2=1,où cdésigne la vitesse de la lumière dans le vide, 0=1
36(.109F.m1.
2. Les deux premières équations (M-G et M-A) expriment le lien entre le champ électromagnétique
E,
Bet sa source
,
j. Les deux dernières équations (M-et M-F) expriment des propriétés intrinsèques du champ électromagnétique
E,
B.
3. Les équations de Maxwell forment un système d’équations couplées vis à vis des champs
Eet
B. Ces deux grandeurs
sont indissociables et forment un tout qu’on appelle champ électromagnétique. Ce couplage disparaît en régime
stationnaire : on a alors des équations séparées portant sur
Eou sur
B.
4. Les équations de Maxwell sont linéaires par rapport aux sources ,
j. Le champ électromagnétique obéit donc à un
théorème de superposition (cf. th de superposition en électrocinétique 1`ere année). En particulier, lorsqu’on intègre
par rapport au temps les équations de Maxwell, les constantes qui peuvent intervenir pour
Eet
Bcorrespondent à des
champs statiques ; elles peuvent être prises nulles si le problème concerne des sources non statiques.
5. Conservation de la charge :L’ensemble des deux équations (M-G et M-A) est compatible avec l’équation de
conservation de la charge :
rot
B=µ0
j+µ00
E
t(M-A)
div
rot
B=µ0div
j+µ00div
E
t
0=µ0div
j+µ00
div
E
t
0=div
j+0
(/0)
t(M-G)
On obtient bien :
div
j+
t=0 équation de conservation de la charge
6. Les quatre équations de Maxwell précédentes sont valables dans tous les milieux. On peut théoriquement déterminer le
champ électromagnétique
E,
Bà partir des sources ,
j. Mais dans la pratique, en présence de milieux matériels,
la détermination de ,
jest très délicate car il apparait au sein de la matière des charges et courants dont il faut
tenir compte. Dans une telle situation on reformulera les équations. Par abus de langage, les quatre équations de
Maxwell précédentes sont appelées équations de Maxwell dans le vide ; elles seront exploitables dans le vide, dans
les métaux et dans les plasmas (gaz ionisé) c’est à dire les milieux où ,
js’expriment "facilement".
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
1
/
21
100%
