Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide 1. Introduction 2

Spéciale PSI - Cours "Electromagnétisme"
1
Equations locales de l’éléctromagnétisme
Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
Objectif :
• Equations de Maxwell dans le vide
• Cas de l’ARQS
• Energie électromagnétique
1. Introduction
On recherche les équations régissant l’évolution du champ électromagnétique dans le cas des régimes variables.
Rappel : Dans le chapitre I : Charges et courants - Champ électromagnétique en régime permanent nous avons montré
que le champ électromagnétique véri!e en régime permanent les quatre équations suivantes :
En régime permanent :
rot E = 0
E.d = 0
E est à circulation conservative
C
div E =
E.dS =
0
S
rot B = µ0 j
1
0
Qint avec Qint =
j.dS
B.d = µ0 Ienlacé = µ0
C
div B = 0
(P )d
théorème de Gauss
V
théorème d’Ampère
S
B.dS = 0
B est à 'ux conservatif
S
Dans le cas d’un régime quelconque, la loi de conservation de la charge s’écrit :
div j +
=
t
0 équation locale de conservation de la charge
V
(M, t)
d =
t
j.dS équation intégrale de conservation de la charge
S
On remarque que ces équations ne sont pas compatibles :
rot B
=
µ0 j
div rot B = div µ0 j
0 = µ0 div j
incompatible avec div j =
t
excepté en régime permanent
Il est donc nécessaire de généraliser les équations précédentes.
2. Généralisation des équations locales
2.1. Equation de Maxwell-Gauss
On admet que l’équation de Maxwell-Gauss div E =
des régimes variables.
, qui traduit le théorème de Gauss, se généralise au cas
0
2.2. Equation de $ux magnétique
On admet que l’équation du $ux magnétique div B = 0, qui traduit le traduit le caractère conservatif du $ux
du champ magnétostatique, se généralise au cas des régimes variables.
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
2
2.3. Equation de Maxwell-Faraday
Expérimentalement, on constate que la force électromotrice induite dans un circuit !liforme fermé C évoluant dans une région
de l’espace où règne le champ magnétique B variable dans le temps, est donnée par la loi de Faraday :
d (t)
avec
dt
e(t) =
B(P, t).dS
(t) =
S
De plus, dans un circuit )xe la force électromotrice induite est (cf. cours sur l’induction) :
e(t) =
E.d
C
en identi!ant les deux expressions précédentes, on obtient
E.d
=
C
d
dt
B.dS
S
S
B
.dS
t
S
B
.dS th de Stokes-Ampère
t
=
rot E.dS
soit
=
S
rot E +
S
car S est !xe
B
t
.dS
B
= 0 car S est une surface quelconque s’appuyant sur C
t
B
rot E =
t
rot E +
Cette équation, appelée équation de Maxwell-Faraday, est la généralisation aux régimes variables de l’équation locale
rot E = 0.
2.4. Equation de Maxwell-Ampère
D’après le paragraphe 1. l’équation rot B = µ0 j ne convient pas dans le cas des régimes variables. On se propose, à l’aide
d’un exemple, de trouver un terme supplémentaire homogène à j.
2.4.1. Etude d’une sphère radioactive
On considère une sphère de matière radioactive, initialement neutre, de rayon R su+sament faible par rapport aux autres
dimensions pour que cette sphère soit confondue avec son centre O.
A partir de l’instant t = 0, cette sphère émet par désintégration, de manière isotrope, des particules de charge q animées
d’une vitesse v0 = v0 er constante. Soit le nombre de particules émises par unité de temps ( = cste ).
Il apparaît donc dans l’espace au voisinage de la sphère un courant de charges. Si le /ux de particules est su+sament intense,
on peut adopter une description continue : soit alors j (M, t) le vecteur densité de courant volumique.
• Détermination de j =
m v0
:
— Symétrie du problème :
La vitesse des particules chargées est v0 = v0 er , on a donc j(r, ", #, t) = j(r, ", #, t)er
L’émission est isotrope m ne dépend donc que de (r, t) et j aussi : j(r, ", #, t) = j(r, t)
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
On a donc
m (r, ", #, t)
— Détermination de
m
=
m (r, t)
3
et j(r, ", #, t) = j(r, t)er =
m (r, t)v0 er
:
si r > v0 t il n’y a aucune particule en M et on a donc m (r > v0 t, t) = 0
si r < v0 t la charge &Q comprise à l’instant t entre les sphères de centre O et de rayon r et r + dr a été émise
en O entre les instants t1 = t r/v0 et t2 = t (r + dr) /v0 soit pendant une durée dt = t2 t1 = dr/v0 ; on
a donc
&Q
=
dtq =
qdr
v0
qdr
m (r < v0 t, t) =
q 1
&Q
= v02 =
d
4(r dr
4(v0 r2
— Expression de j :
on obtient
j (r, t) =
0 si r > v0 t
q 1
er si r < v0 t
4( r2
• Détermination de B :
Tous les plans passant par le point M et par le centre de la sphère sont des plans de symétrie de la distribution de
courant ; le champ magnétique B, étant un vecteur axial, est donc perpendiculaire à tous ces plans, il est donc nul
B = 0.
• Insu,sance de l’équation rot B = µ0 j :
Pour r < v0 t les résultats ne sont pas compatibles avec l’équation locale rot B = µ0 j.
On doit donc compléter cette équation par un terme s’annulant en régime permanent. On recherche alors un terme
homogène à une densité de courant volumique s’annulant en régime permanent rot B = µ0 j + j? .
• Recherche d’un terme homogène à une densité de courant volumique
— Recherche du champ électrique E :
La distribution de charges ne dépend que de r, le champ électrique ne dépend donc que de r : E(r, ", #, t) =
E(r, t) ;
La droite D passant par M et par le centre de la sphère est une droite de symétrie de la distribution de charges
; le champ électrique en tout point de cette droite est donc porté par cette droite : E(r, ", #, t) = E(r, ", #, t) er
;
en regroupant les deux expressions précédentes on obtient
E(r, ", #, t) = E(r, t) er
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
4
On peut alors déterminer le champ électrique par application du théorème de Gauss (cf. 2.1.) :
E.dS
=
1
(P )d =
0
S
Q(r, t)
0
V
E(r, t) er .dS er =
Q(r, t)
0
S
E(r, t)
Q(r, t)
dS =
0
S
4(r2 E(r, t) =
Q(r, t)
0
Q(r, t) représente la charge totale présente à l’instant t dans le sphère de centre O et de rayon r ; il ne faut
pas oublier la charge de la sphère égale à l’opposée de la charge émise depuis t = 0 (principe de conservation
de la charge) :
0 si r > v0 t
Q(r, t)
r
=
r
(r, t) 4(r2 dr =
qt +
qt +
0
•
0
Q(r, t) =
0 si r > v0 t
qt + v0q r si r < v0 t
E(r, t) =
0 si r > v0 t
r
1
q
4( 0
v0
t
q 1
2
4 v0 r2 4(r dr
1
er si r < v0 t
r2
— Identi-cation :
on remarque que
E(r, t)
=
t
Le terme
j(r, t)
0
( 0 E(r, t))
apparaît donc comme une densité de courant volumique.
t
2.4.2. Courant de déplacement de Maxwell et équation de Maxwell-Ampère
L’idée de Maxwell fut d’écrire l’équation locale rot B = µ0 j sous la forme
rot B
soit rot B
Exercice n 01 : Véri!er que
= µ0 j + jD
= µ0 j + µ0
0
avec jD =
( 0 E))
t
E
t
( 0 E(r, t))
est bien homogène à une densité de courant volumique.
t
si r < v0 t
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
5
3. Equations de Maxwell (1864)
3.1. Les postulats de l’électromagnétisme
L’objet de l’électromagnétisme est de décrire les interactions qui s’exercent à l’intérieur d’un système de particules chargées.
Les postulats de l’électromagnétisme sont :
• la loi de force de Lorentz F = q(E + v B) ;
• les quatre équations de Maxwell qui régissent l’évolution locale du champ électromagnétique dans
tout référentiel galiléen :
équation de Maxwell-Gauss (M-G) : div E =
0
équation de Maxwell-Ampère (M-A) : rot B = µ0 j + µ0
E
t
0
équation du Flux magnétique (M- ) : div B = 0
équation de Maxwell-Faraday (M-F) : rot E =
B
t
Remarques fondamentales :
1. Les constantes fondamentales µ0 et 0 , respectivement perméabilité du vide et permitivité du vide, sont des grandeurs
dimensionnées dont les valeurs dépendent donc du choix des unités. Dans le système internationale µ0 = 4(.107 H. m 1
1
et comme 0 µ0 c2 = 1, où c désigne la vitesse de la lumière dans le vide, 0 =
F. m 1 .
36(.109
2. Les deux premières équations (M-G et M-A) expriment le lien entre le champ électromagnétique E, B et sa source
, j . Les deux dernières équations (M-
et M-F) expriment des propriétés intrinsèques du champ électromagnétique
E, B .
3. Les équations de Maxwell forment un système d’équations couplées vis à vis des champs E et B. Ces deux grandeurs
sont indissociables et forment un tout qu’on appelle champ électromagnétique. Ce couplage disparaît en régime
stationnaire : on a alors des équations séparées portant sur E ou sur B.
4. Les équations de Maxwell sont linéaires par rapport aux sources
, j . Le champ électromagnétique obéit donc à un
théorème de superposition (cf. th de superposition en électrocinétique 1ère année). En particulier, lorsqu’on intègre
par rapport au temps les équations de Maxwell, les constantes qui peuvent intervenir pour E et B correspondent à des
champs statiques ; elles peuvent être prises nulles si le problème concerne des sources non statiques.
5. Conservation de la charge : L’ensemble des deux équations (M-G et M-A) est compatible avec l’équation de
conservation de la charge :
rot B
=
µ0 j + µ0
0
E
(M-A)
t
div rot B = µ0 div j + µ0
0
E
t
div E
t
( / 0)
(M-G)
t
0 = µ0 div j + µ0
0 = div j +
0 div
0
On obtient bien :
div j +
t
= 0 équation de conservation de la charge
6. Les quatre équations de Maxwell précédentes sont valables dans tous les milieux. On peut théoriquement déterminer le
champ électromagnétique E, B à partir des sources , j . Mais dans la pratique, en présence de milieux matériels,
la détermination de , j est très délicate car il apparait au sein de la matière des charges et courants dont il faut
tenir compte. Dans une telle situation on reformulera les équations. Par abus de langage, les quatre équations de
Maxwell précédentes sont appelées équations de Maxwell dans le vide ; elles seront exploitables dans le vide, dans
les métaux et dans les plasmas (gaz ionisé) c’est à dire les milieux où , j s’expriment "facilement".
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
6
3.2. Interprétation physique
3.2.1. Contenu physique de l’équation de Maxwell-Gauss
L’équation de Maxwell-Gauss donne
div E
=
div E d =
0
(P )d
0
V
E.dS =
th de Green-Ostrogradsky
1
1
(P )d
0
S
V
V
L’équation de Maxwell-Gauss exprime la validité générale du théorème de Gauss :
(M-G) div E =
=
0
E.dS =
S
1
V
0
(P )d
3.2.2. Contenu physique de l’équation de Maxwell-Ampère
L’équation de Maxwell-Ampère donne
rot B
=
µ0 j + µ0
0
E
t
S
S
j.dS + µ0
B.d = µ0
C
µ0 j .dS +
rot B .dS =
S
E
.dS
t
0
S
µ0
0
S
E
t
.dS
th de Stokes -Ampère
L’équation de Maxwell-Ampère exprime la forme généralisée du théorème d’Ampère :
B.d = µ0 S j + jD .dS
(M-A) rot B = µ0 j + µ0 0 Et
C
avec jD =
0
E
t
= vecteur densité de courant de déplacement
Remarques :
1) le vecteur jD ne représente ni un courant, ni un déplacement. La signi!cation physique du terme jD = 0 Et est la
suivante : un champ électrique dépendant du temps est, au même titre qu’un courant, une source de champ
magnétique.
2) en régime permanent jD = 0 Et = 0 et on retrouve bien le théorème d’Ampère
j.dS
B.d = µ0
C
S
3.2.3. Contenu physique de l’équation du $ux magnétique
L’équation du /ux magnétique donne
div B
=
0
div B d = 0
V
B.dS = 0
th de Green-Ostrogradsky
S
L’équation du $ux magnétique exprime le caractère conservatif du $ux magnétique en régime variable :
(M- ) div B = 0
B.dS = 0
S
Remarques :
• Tous les résultats concernant la topographie du champ magnétostatique sont valables en régime variable (cf. § chapitre
I).
• Le /ux magnétique est indépendant du choix de la surface S s’appuyant sur un contour C ; on peut donc dé!nir le /ux
de B à travers le contour C.
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
7
3.2.4. Contenu physique de l’équation de Maxwell Faraday
L’équation de Maxwell Faraday donne
rot E
B
t
=
B
t
rot E .dS =
S
S
d
dt
E.d =
th de Stokes -Ampère
C
B.dS =
S
.dS
S surface !xe s’appyant sur un contour fermé C
d
dt
L’équation de Maxwell Faraday exprime qu’un champ magnétique dépendant du temps
donne naissance à un champ électrique à circulation non conservative :
d
B.dS
(M-F) C E.d =
dt S
Cette équation rend compte du phénomène d’induction électromagnétique.
Remarque : en régime permanent
d
dt
S
B.dS = 0 et on retrouve bien le fait que E est à circulation conservative
E.d = 0
C
4. Changement de référentiel du champ électromagnétique
4.1. Transformation galiléenne du champ électromagnétique
Les quatre équations de Maxwell qui régissent l’évolution locale du champ électromagnétique dans tout référentiel galiléen
lient le champ E, B aux sources , j et , j dépend du référentiel dans lequel on se place.
un référentiel en translation à la vitesse ve = cste par rapport à ( est donc un
Soit un référentiel galiléen et soit
référentiel galiléen).
Une particule de charge q se déplaçant à la vitesse v par rapport à
dans une région de l’espace où règne le champ
électromagnétique E, B est soumise à la force de Lorentz F = q(E + v B).
le champ électromagnétique est (E , B ).
Dans
En mécanique classique les forces sont invariantes par changement de référentiel galiléen, on a donc :
F = q(E + v
D’après la loi de composition des vitesses v = v
q(E + (v
B ) = F = q(E + v
B)
ve d’où
ve )
B ) = q(E + v
soit E + v
B
=
E
ve
B)
B
+v
B
cette dernière égalité doit être véri!ée pour toute vitesse v :
Lors d’un changement de référentiel galiléen le champ électromagnétique est donné par les formules de
transformation galiléenne du champ électromagnétique :
B =B
E = E + ve
B
4.2. Exemple
Un !l rectiligne in!ni de charge linéique +, portée par l’axe (Oz), se déplace à vitesse constante v = vez (avec v
un référentiel galiléen .
c) dans
• Un observateur lié à voit le !l comme une distribution caractérisée par une densité de charge linéique + et par un
courant i = dq/dt = (+vdt) /dt = +v. Pour cet observateur
E=
+ 1
er
2( 0 r
et B = µ0
+v 1
e
2( r
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
• Pour un observateur lié à
8
le !l est immobile :
E =
+ 1
er
2( 0 r
et B = 0
• Les deux résultats précédents ne sont pas compatibles avec les formules de transformation galiléenne du champ électromagnétique.
4.3. Conclusion
Le champ électromagnétique, solution des équations de Maxwell, dépend du référentiel galiléen dans lequel
on se place.
Le changement de référentiel pour le champ électromagnétique ne peut pas être traité dans le cadre de la mécanique
newtonnienne. Il est nécessaire de se placer dans le cadre d’une théorie relativiste et utiliser la transformation de Lorentz.
En limitant les calculs à l’ordre 1 en v/c on a les expressions suivantes :
ve
c
E = E + ve
B =B
E
c
B
En reprenant les expressions du 4.2. on obtient :
B =B
ve
c
E = E + ve
1
vez
E
+v 1
+v 1
2 0 r er
= µ0
e
= µ0
e
c
2( r
c
c
2( r
+ 1
+ 1
+v 1
B=
er + vez µ0
e =
er
2( 0 r
2( r
2( 0 r
+v 1 1
e =0
2( 0 c2 r
+ v2 1
+ 1
er
er
2
2( 0 c r
2( 0 r
5. Equations des champs
5.1. Equations de propagation
On suppose connues les distributions de charges et de courants ( (r, t) et j(r, t) sont donc des données) et on recherche le
champ électromagnétique solution des équations de Maxwell.
• Cas du champ électrique E :
(M-F) rot E
B
t
=
rot
rot E = rot
B
t
rot B
grad div E
grad
E=
E=
0
t
µ0 j + µ0
µ0
0
On dé!nit ”l’opérateur d’alembertien” par
1 2
c2 t2
=
Le champ électrique obéit donc à l’équation
E=
E
1
c2
2
E
t
t
1
E
j
= grad + µ0
2
t
t
0
2
E
0
1
E
j
= grad + µ0
t2
t
0
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
9
• Cas du champ magnétique B
(M-A) rot B
=
µ0 j + µ0
rot
0
E
t
rot B = rot µ0 j + µ0
0
E
t
rot E
B = µ0 rot j + µ0
grad div B
B = µ0 rot j + µ0
B = µ0 rot j
1
c2
0
t
B
t
0
t
2
B
t2
Le champ magnétique obéit donc à l’équation
B=
B
1
c2
2
B
= µ0 rot j
t2
En un point de l’espace où = 0 et j = 0, les champs E et B satisfont à la même équation
1 2E
1 2B
E
=
0
et
B
= 0 équation de d’Alembert
c2 t2
c2 t2
Remarque : nous verrons plus tard dans le cours que l’équation de d’Alembert est une équation rendant compte de la
propagation d’une onde.
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
10
5.2. Conditions aux limites : discontinuité du champ électromagnétique
A la traversée d’une nappe, séparant deux milieux 1 et 2, portant les charges et les courants surfaciques . et
jS , le champ électromagnétique présente une discontinuité )nie :
E2
B2
E1 = 0 N1 2
B1 = µ0 jS N1
2
Soit une surface S, éventuellement chargée, séparant deux milieux notés 1 et 2. Soit M un point de S et dS l’élément de
surface entourant le point M . Soient . (M) et js (M ) la densité surfacique de charge et le courant surfacique en M.
5.2.1. Composantes normales du champ
Nous construisons la surface fermée en translatant l’élément de surface dS de part et d’autre de S (hauteur h) :
5.2.1.1. Cas du champ électrique
Appliquons le théorème de Gauss à la surface fermée
E.dS =
=
:
Qint
0
E2 .dS2 + E1 .dS1 +
latéral
=
.dS
0
+
1
d
0
V
Pour obtenir la condition de passage nous prenons la limite quand h tend vers 0 de l’égalité précédente :
E2 .dS N1
2
+ E1 .dS
N1
2
=
.dS
E2
E1 =
.
0
0
5.2.1.2. Cas du champ magnétique
Le champ magnétique B est à /ux conservatif :
=
B.dS = 0
B2 .dS2 + B1 .dS1 +
latéral
=0
Quand h tend vers 0 nous obtenons :
B2
B1 = 0
5.2.2. Composantes tangentielles du champ
Nous construisons le contour fermé rectangulaire
passant de part et d’autre de S :
N1
2
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
11
5.2.2.1. Cas du champ électrique
L’équation de Maxwell Faraday donne :
(M-F)
d
dt
E.d =
B.dS où S
est une surface orientée s’appuyant sur
S
Lorsque h tend vers 0 nous obtenons
lim
h
0
E.d
= E2
d
dt
E1 .dl = lim
h
0
B.dS
B
.dS
t
= lim
h
S
0
S
B et sa dérivée temporelle restent !nis :
B
.dS
t
lim
h
0
S
=0
E1 .dl = 0
E2
L’orientation du vecteur dl est quelconque (tout en restant ”parallèle” à S) nous avons donc :
E2//
E1// = 0
5.2.2.2. Cas du champ magnétique
L’équation de Maxwell-Ampère donne
j.dS + µ0
B.d = µ0
S
0
S
E
.dS
t
Lorsque h tend vers 0 nous obtenons
lim
h
avec lim
h
0
µ0
0
0
S
Nous obtenons B2
donc
B.d
E
.dS
t
=
B1 .dl = lim
B2
h
= 0 et lim
h
B1 .dl = µ0 js
N1
2
0
0
µ0
S
j.dS
µ0
E
.dS
t
0
+ lim
h
0
= µ0 js .dl u = µ0 js . N1
j.dS
µ0
S
2
dl = µ0 js
N1
2
.dl
S
.dl égalité vraie pour toute oientation de dl (tout en restant ”parallèle” à S)
B2//
B1// = µ0 js
N1
2
6. Introduction des potentiels A et V
6.1. Liens entre les potentiels et les champs
L’équation du Flux magnétique assure l’existence d’un potentiel vecteur pour B
div B = 0
B = rot A
L’équation de Maxwell-Faraday donne
rot E =
B
=
t
rot A
t
=
rot
A
t
rot E + rot
A
t
=0
rot
E+
A
t
=0
Il existe donc un potentiel scalaire V pour le vecteur E + At
Les équations du Flux magnétique et de Maxwell-Faraday assurent l’existence d’un potentiel scalaire V et d’un
potentiel vecteur A tel que :
B = rot A et E =
grad V
A
t
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
12
6.2. Equations aux potentiels
On recherche maintenant à établir, comme pour les champs E et B, des équations reliant A et V aux sources (charges
courants j).
L’équation de Maxwell-Gauss donne
div
div E =
div A
A
t
grad V
0
et
V +
=
=
t
0
0
L’équation de Maxwell-Ampère donne
rot B
=
µ0 j + µ0
0
E
= µ0 j + µ0
t
A = µ0 j
grad div A
A
t
grad V
0
µ0
t
0
2
V
t
grad
µ0
0
A
t2
En adoptant une écriture plus symétrique on obtient
1
c2
1
c2
V
A
2
V
t2
2
A
t2
+
t
div A +
1
c2
grad div A +
V
=
t
1 V
c2 t
0
=
µ0 j
On rappelle que les potentiels ne sont pas uniques ; on les choisit alors pour simpli!er les expressions précédentes :
Avec le choix de jauge de Lorentz div A + c12 Vt = 0, les potentiels scalaire V et vecteur A sont liés aux charges
et aux courants par les équations
1
c2
V
2
V
=
t2
et
A
0
1
c2
2
A
=
t2
µ0 j
Remarques :
1) Les équations précédentes sont découplés.
2) En un point de l’espace où = 0 et j = 0, les potentiels scalaire V et vecteur A satisfont à la même équation (même
équation pour E et B dans les mêmes conditions)
1
c2
V
2
V
= 0 et
t2
1
c2
A
2
A
= 0 équation de d’Alembert
t2
3) Choix de la jauge de Lorentz : (Hors programme)
Soit (A0 , V0 ) un couple de potentiel pour le champ électromagnétique (E, B) ; on cherche à contruire à partir de (A0 , V0 ) un
nouveau couple (A, V ) de potentiel véri!ant la jauge de Lorentz.
!
t)
Pour toute fonction scalaire # des coordonnées d’espace et du temps, le couple (A, V ) = (A0 + grad #, V0
; en eLet
(A0 , V0 ) est tel que B
=
rot A0
et E =
convient également
A0
t
grad V0
rot A = rot A0 + grad # = rot A0 + rot grad # = rot A0 = B
A
t
grad V
=
1 V
1
div A + 2
= div A0 + grad # + 2
c t
c
!
t
grad V0
!
t
V0
t
= div A0 +
pour obtenir la jauge de Lorentz il faut annuler la dernière égalité soit
#
On admet que cette équation admet une solution #.
1
c2
2
#
=
t2
A0 +grad !
div A0 +
1 V0
c2 t
t
1 V0
+
c2 t
=
A0
t
grad V0
#
1
c2
2
#
t2
=E
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
13
6.3. Solution des potentiels retardés
Les équations précédentes ”ressemblent” à l’équation de Poisson mais avec un terme supplémentaire :
les expressions obtenues dans le cas du régime permanent :
V (M ) =
1
4( 0
(P )d
rP M
D
et A(M) =
µ0
4(
D
1
c2
2
t2 .
On rappelle
j(P )d
rP M
on admet que dans le cas d’un régime variable, la solution dite des potentiels retardés convient :
Les solutions des équations aux potentiels sont
V (M, t) =
1
4(
PM
c
P, t
0
d
et A(M, t) =
rP M
D
avec c =
µ0
4(
1
0 µ0
PM
c
j P, t
D
d
Potentiels retardés
rP M
Remarque : Ces solutions sont semblables à celles des régimes permanents mais le terme t
temps de propagation de l’information du point P au point M à la vitesse c.
PM
c
permet de tenir compte du
Exercice n 02 : Equations aux potentiels
1) On admet que le champ électromagnétique E, B
que du couple de potentiels
A ,V
en M (x, y, z), à l’instant t,dérive aussi bien du couple de potentiels A, V
. Exprimer les potentiels A et V en fonction des potentiels A et V et d’une fonction scalaire
arbitraire f(x, y, z) ; conclure.
2.a) Déterminer la condition de jauge de Lorentz (relation à imposer entre les potentiels A et V pour que l’équation locale sourcepotentiel dans le vide, relative à A, s’écrive :
A + µ0 j =
1
c2
2
A
t2
(I)
où j est le vecteur densité de courant volumique en M , et c la célérité de la lumière dans le vide.
2.b) En déduire l’équation diLérentielle du type (I) relative au potentiel scalaire.
7. Approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS)
7.1. Champs et potentiels dans l’ARQS
Comme nous l’avons déjà signalé au chapitre I paragraphe 1.2.5. , l’approximation des régimes quasi stationnaires consiste
à négliger le retard de propagation de l’information. Ce temps de propagation doit être négligeable devant les temps caractéristiques du phénomène étudié : pour obtenir les solutions il ”su+t” de prendre la limite c
+ dans la solution des
potentiels retardés.
Dans l’approximation des régimes quasi stationnaires, les solutions des équations aux potentiels sont :
V (M, t) =
1
4
0
D
(P,t)d&
rP M
et A(M, t) =
µ0
4
D
j(P,t)d&
rP M
avec c =
1
0 µ0
Ces expressions sont identiques à celles des régimes permanents.
La jauge de Lorentz est équivalente à la jauge de Coulomb.
On obtient B à partir de A par la relation B = rot A : cette relation ne fait intervenir que des dérivations par rapport aux
coordonnées d’espace, B est donc donné par la même expression qu’en régime permanent.
A
Dans le cas du champ électrique on a E = grad V
t ; par rapport au régime permanent, il y a le terme supplémentaire
A
t.
Dans l’approximation des régimes quasi stationnaires, les solutions des équations aux champs sont :
B(M, t) =
et E =
µ0
4
grad V
D
j(P,t)d& eP M
même expression qu’en régime permanent
2
rP
M
A
expression di3érente de celle du régime permanent
t
7.2. Equations de Maxwell dans l’ARQS
La loi d’ohm locale est applicable dans un milieu si son temps de relaxation est négligeable par rapport au temps T
caractéristique des phénomènes étudiés. Dans les bons conducteurs (comme le cuivre utilisé dans les circuits électriques) le
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
temps de relaxation est très faible = 10
L’équation de Maxwell-Ampère donne :
14
14
s, la loi d’ohm sera donc applicable dans l’ARQS.
rot B = µ0 j + jD
avec jD =
0
E
t
dans un conducteur et dans le cas où la loi d’ohm locale est applicable :
j
9E
=
E
0 t
jD
pour le cuivre 9 = 6.107
1
.m
1
et
0
9E
=
12
= 8.854187817 × 10
j
=
9T
jD
Fm
E
0T
=
9T
0
1
= 6, 776 5 × 1018 T
0
Dans un conducteur et dans le cadre de l’ARQS :
• le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction
jD
j
• les équations de Maxwell s’écrivent :
— équation de Maxwell-Gauss (M-G) : div E =
0
— équation de Maxwell-Ampère (M-A) : rot B = µ0 j
— équation du Flux magnétique (M- ) : div B = 0
— équation de Maxwell-Faraday (M-F) : rot E =
B
t
Remarques :
1) (M-A) et (M- ) sont les mêmes qu’en régime permanent, cela con!rme que le champ magnétique est bien le même en
régime permanent et dans le cas de l’ARQS.
2) Les champs E et B sont toujours couplés (M-F).
Exercice n 03 : Potentiel vecteur A. Sphère en rotation
Soit un champ magnétique uniforme B , et une origine arbitraire O !xe. Un point M est repéré par ses coordonnées cartésiennes
x, y, z dans le référentiel du laboratoire de base orthonormée ux , uy , uz .
1) Véri!er, par deux méthodes, que le potentiel vecteur en tout point M (OM = r) où règne ce champ B uniforme est A =
r.
2) Montrer que le champ magnétique uniforme B = B.ux , dirigé suivant l’axe Ox dérive aussi du potentiel vecteur : A4 = zBuy
3) Application : En régime quasistationnaire, règne en M à l’intérieur d’une sphère conductrice en rotation à la vitesse angulaire
: , autour d’un diamètre Ox le champ magnétique uniforme :
(1/2)B
B = B1 ux + B0 sin :t uy + B0 cos :t uz
3.a) Exprimer les composantes du potentiel vecteur A(M, t) en M(x, y, z), à l’instant t.
3.b) En déduire le champ électrique E(M, t) qui règne en M (x, y, z) à l’instant t.
Exercice n 04 : Conducteurs !liformes
On repèrera un point M par ses coordonnées cylindriques (r, ", z) et on désignera par ur , u et uz les vecteurs unitaires radial,
orthoradial et axial formant une base orthonormée.
1) Conducteur !liforme : calculer, par deux méthodes diLérentes, le potentiel vecteur A(r) en tout point M à la distance M H = r
d’un conducteur !liforme vertical z z in!niment long, parcouru par un courant I constant.
2) Conducteur cylindrique plein : on considère un conducteur cylindrique plein, in!niment long, de rayon R et d’axe z z , parcouru
par un courant d’intensité I correspondant à une densité volumique de courant j = juz uniforme. En considérant ce conducteur
comme un assemblage de conducteurs !liformes in!nis, déterminer le potentiel vecteur A en tout point M (on distinguera les deux cas
: r < R et r > R). On supposera que A s’annule sur la surface du conducteur.
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
15
8. Energie électromagnétique
8.1. Energie du champ électromagnétique
Le champ électrique E régnant entre les armatures d’un condensateur plan, de capacité C =
champs créés par chaque plaque :
E = Esup + Einf =
0S
e
, est la superposition des
.
.
.
U
ez +
( ez ) = ez = ez avec U ddp aux bornes du condensateur
2 0
2 0
e
0
L’énergie électrostatique d’un tel système est :
Wcondensateur
=
=
1
1
2
CU 2 = C (Ee)
2
2
1 0S
2
(Ee)
2 e
En considérant que cette énergie est répartie dans l’espace entre les armatures, on obtient une énergie volumique
wE =
W
W
=
=
Volume
Se
(Ee)2
=
Se
1 0S
2 e
0E
2
2
Dans la suite :
• On cherche à généraliser l’expression de wE au cas d’un champ électromagnétique (E,B) : w = wE + wB sera l’énergie
localisée dans une région de l’espace ou règne le champ électromagnétique.
• On fera un bilan énergétique. On rappelle que le transport d’énergie par un champ électromagnétique est appelé
rayonnement.
8.2. Puissance cédée par le champ électromagnétique à des charges mobiles
Une charge q plongée dans le champ électromagnétique (E,B) est soumise à la force de Lorentz :
F = q(E + v
B)
Si la modélisation de la charge est volumique, de densité volumique de charges , la force élémentaire exercée sur un volume
d s’écrit :
dF = d (E + v B)
La puissance dP reçue par la charge d est donc, en notant p la puissance volumique reçue par le milieu :
dP = pd = v.dF = v.Ed = j.Ed
La puissance @ reçue par un volume V est alors :
j.Ed
dP =
@=
V
V
Remarque : si par exemple il s’agit d’un milieu conducteur ohmique, alors j = 9 E et la puissance volumique est la puissance
Joule :
p = j.E = 9E 2
8.3. Equation de conservation de l’énergie
On utilise une démonstration du même type que dans les autres cas de conservation d’une grandeur physique (masse en
mécanique des /uides, nombre de particules en diLusion, énergie en conduction de la chaleur et charge en électromagnétisme).
Soit un volume !ni V de l’espace délimité par une surface de contrôle (fermée) S !xe dans le référentiel d’étude.
A un instant t l’énergie électromagnétique contenue dans ce volume est
W (t) =
w(P, t)d
V
avec w =
&W
= densité volumique d’énergie électromagnétique
d
Le principe de conservation de l’énergie permet d’écrire que la puissance fournie par une diminution de W se retrouve
sous forme de puissance cédée à la matière contenue dans V et sous forme de puissance évacuée à travers S sous forme de
rayonnement.
dW
= @cédée à la m atière + @rayonnée
dt
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
D’après le paragraphe 7.2. @cédée
à la m atière
d
V
=
j.Ed ; on a donc :
V
wd
w
d =
t
=
dt
16
V
j.Ed
@rayonnée
V
Dans le cas de la conservation de la charge il n’y a pas de terme équivalent à ”@cédée
t
V
à la m atière ”
et on a l’équation :
j.dS
d =
S
on cherche alors, par analogie, à écrire :
@rayonnée =
.dS
avec
V
w
d =
t
vecteur densité de courant d’énergie.
S
On obtient alors :
j.Ed
.dS
V
S
Le théorème de Green-Ostrogradsky donne :
.dS =
div d
S
soit
V
w
d
t
V
j.Ed
=
div d
V
V
w
+ j.E + div
t
V
w
+ j.E + div
t
d = 0 vrai pour tout volume
=0
Le bilan énergétique traduisant l’évolution de l’énergie du champ électromagnétique contenue dans un volume
V délimité par la surface fermée S s’écrit :
• sous forme intégrale
w
td
V
• sous forme locale
=
j.Ed
V
div +
w
t
.dS
S
+ j.E = 0
où
est le vecteur densité de courant d’énergie appelé vecteur de Poynting et w la densité volumique
d’énergie électromagnétique.
Remarque : si on compare l’équation de conservation de l’énergie électromagnétique div + wt + j.E = 0 et l’équation de
conservation de la charge divj + t = 0 on constate la présence du terme supplémentaire j.E ; ce terme supplémentaire dans
le bilan de puissance électromagnétique est dû au transfert de puissance par eLet Joule entre le milieu et l’extérieur : il n’y a
pas d’équivalent pour le bilan de charge. Dans un milieu sans courants, les deux bilans sont alors rigoureusement identiques.
8.4. Identi)cation du couple ( , w)
L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit rot B = µ0 j + µ0
apparaître le terme j.E :
0
E
t.
On multiplie scalairement cette équation par E pour faire
rot B .E = µ0 j.E + µ0
E
.E
t
0
on rappelle l’identité :
div E
B = B.rot E
B
µ0 j.E + µ0
E.rot B
on obtient alors :
B.rot E
div E
équation de Maxwell-Faraday
=
B
t
B.
E
.E
t
div E
B
t
1
B.
µ0
div
0
E
B
µ0
div
+
B = µ0 j.E + µ0
E
B
µ0
0E
t
2
2
+
= j.E +
B2
2µ0
0
E
.E
t
0 E.
+ j.E = 0
E
t
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
17
Cette dernière égalité correspond à la forme locale de l’équation de conservation de l’énergie électromagnétique div + wt +
j.E = 0 ; on ne peut pas justi!er l’identi!cation terme à terme mais cela correspond à la solution la plus simple et les
conséquences de ces expressions sont con!rmées expérimentalement.
Le bilan énergétique traduisant l’évolution de l’énergie du champ électromagnétique contenue dans un volume
V délimité par la surface fermée S
• s’écrit :
— sous forme intégrale
V
w
d =
t
j.Ed
V
— sous forme locale
.dS
S
w
+ j.E = 0
t
div +
• avec :
—
=
— w=
E B
µ0
0E
2
2
vecteur de Poynting
+
B2
2µ0
densité volumique d’énergie électromagnétique.
Remarque : l’expression de w généralise celle du paragraphe 7.1. et on peut la démontrer directement en régime permanent
en considérant séparément les contributions de E (soit wE =
0E
2
2
) et B (soit wB =
B2
2µ0
).
Exercice n 05 : Pression de radiation
L’onde incidente plane, progressive, caractérisée par le champ électrique E1 = E0 . cos (:t + kx) .uy , est re/échie normalement par
un miroir parfaitement conducteur.
1) Déterminer la moyenne temporelle < w1 > de la densité volumique d’énergie de l’onde incidente. Calculer le champ total :
E(x, t) , B(x, t).
2) Calculer la densité js des courants super!ciels qui parcourent le miroir.
3) Montrer qu’un élément d’aire dS du miroir subit une force
df =
1
js
2
B dS
4) Calculer la moyenne temporelle < p > de la pression de radiation, puis véri!er que l’on a bien < p >= 2 < w1 >.
9. Application : eAet de peau
9.1. Cas du conducteur parfait
9.1.1. Champs, charge et courant dans un conducteur parfait
Dans un conducteur de conductivité 9, la puissance Joule dissipé par unité de volume s’écrit
p = j.E = 9E 2
Un conducteur dont la conductivité électrique 9 tend vers l’in!ni est un conducteur parfait. Dans une telle situation, p
devant rester !nie, on obtient :
p
=0
E = lim
/
9
L’équation de Maxwell-Gauss donne :
= 0 div E = 0
L’équation de Maxwell-Faraday donne :
B
= rot E = 0
t
L’équation de Maxwell-Ampère donne :
B = cste = 0 (pas de champ statique)
µ0 j = rot B
µ0
Dans un conducteur parfait (de conductivité très grande)
• le champ électrique E est nul ;
• le champ magnétique B est nul ;
• la densité volumique de charge totale
est nulle ;
• la densité j de courant volumique est nulle.
0
E
=0
t
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
18
9.1.2. Champs au voisinage extérieur d’un conducteur parfait
9.1.2.1. Cas d’un conducteur chargé
D’après le paragraphe précédent = 0 et j = 0 dans un conducteur parfait ; les charges sont donc localisées en surface et
on note . la densité surfacique de charge correspondante. Soit jS la densité de courant surfacique.
En utilisant les relations de passage du paragraphe 4.2. on peut écrire les expressions des champs dans le vide (ou dans l’air)
au voisinage extérieur du conducteur parfait :
• pour le champ électrique
Eext
Eint =
.
nint
avec Eint = 0
ext
Eext =
0
.
nint
ext
0
• pour le champ magnétique
Bext
Bint = µ0 jS
nint
avec Bint = 0
ext
Bext = µ0 jS
nint
ext
Au voisinage extérieur d’un conducteur parfait (de conductivité très grande)
• le champ électrique est Eext =
0
nint
ext
• le champ magnétique B est Bext = µ0 jS
(composante tangentielle nulle) ;
nint
ext
(composante normale nulle).
9.1.2.2. Cas d’un conducteur non chargé
D’après les résultats précédents, si le conducteur n’est pas chargé (. = 0) alors
• le champ électrique est nulle au voisinage d’un conducteur parfait ;
• le champ magnétique B est Bext = µ0 jS
nint
ext
(composante normale nulle).
9.1.3. Limite de validité du modèle
L’annulation ”brutale” de j, B et E à l’entrée du conducteur parfait est la conséquence du cas limite 9
. Dans le cas
d’un bon conducteur, la décroissance est rapide mais pas discontinue : l’onde électromagnétique E, B et les courants associés
j pénètre dans le conducteur sur une épaisseur caractéristique appelée épaisseur de peau.
9.2. EAet de peau
9.2.1. Position du problème
Nous allons chercher la forme exacte de la décroissance de l’amplitude des champs et du courant qui pénètre dans un bon
conducteur.
Nous adoptons un modèle unidimensionnel : le métal (conducteur ohmique de conductivité 9) occupe la zone d’espace z > 0.
En surface du conducteur existe un champ magnétique sinusoïdal de la forme
B(z = 0, t) = B0 cos (:t) uy
Le courant super!ciel jS obtenu dans le cas du conducteur parfait cède la place à une densité de courant volumique notée j.
On suppose que :
· les champs E, B et le courant j ne dépendent que de z et t.
· le champ magnétique qui pénètre dans le conducteur est de la forme B(z > 0, t) = B(z, t)uy
9.2.2. Equation de diAusion des champs et du courant dans un bon conducteur
9.2.2.1. Equations de Maxwell pour les champs
On se place dans le conducteur :
Les équations de Maxwell-Gauss et du /ux magnétique donne :
= 0 et div B = 0
div E =
0
Le milieu étant un bon conducteur, on peut négliger le courant de déplacement devant le courant de conduction ; les équations
de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday s’écrivent :
rot B = µ0 j + µ0
0
E
t
µ0 j et rot E =
B
t
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
19
9.2.2.2. Relation constitutive du milieu
Le conducteur obéit à la loi d’ohm locale :
j = 9E
9.2.3. Equation de diAusion
Montrer que le découplage de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday conduit à la même équation pour les champs E, B et la
densité de courant volumique j :
j
E
B
=0
E µ0 9
=0
B µ0 9
=0
t
t
t
Remarque : l’équation précédente est du même type que celle obtenue dans l’étude de la conduction de la chaleur : équation
1 T
de diLusion thermique dans un matériau homogène T = H
t (voir la propagation d’une onde thermique dans un milieu
unidimensionnel).
j
µ0 9
9.2.4. Recherche de la solution de l’équation de diAusion
9.2.4.1. Ecriture réelle des champs et courant recherchés
Les hypothèses du paragraphe 8.2.1. nous conduisent à rechercher le champ magnétique B et le courant j sous la forme
B(z, t) = B(z) cos [:t
et j(z, t) = j(z) cos [:t
(z)] uy
C(z)] ux
Les fonctions recherchées sont sinusoïdales, on utilisera donc la notation complexe (on note J le nombre complexe tel que
J 2 = 1)
9.2.4.2. Ecriture complexe des champs et courant
Sous forme complexe, les grandeurs recherchées peuvent donc à priori s’écrire :
B(z, t) = B(z, t)uy = B(z) exp ( J:t) uy
et j(z, t) = j(z, t)ux = j(z) exp ( J:t) ux
Les fonctions B(z) et j(z) sont des fonctions complexes de la variable réelle z.
9.2.4.3. Ecriture sous forme complexe de l’équation de diAusion
Montrer que l’équation de diLusion pour le vecteur densité de courant s’écrit
2
j(z, t)
z2
µ0 9
j(z, t)
=0
t
et se transpose sur j(z, t)
2
j(z)
+ Jµ0 9:j(z) = 0
z2
Montrer que :
• les solutions complexes de cette équation s’écrivent
• et donc
j(z) =
exp
j(z, t) =
exp
(1
J)
&
z
exp
&
J
z
+ :t
&
• les solutions physiquement acceptables sont
+ E exp
avec & =
z
z
exp J
&
&
z
z
exp J
&
&
:t
j(z, t) = j0 exp
z
cos :t
&
z
ux
&
j0
exp
9
z
cos :t
&
z
ux
&
µ0
exp
9:
z
cos :t
&
z
&
j(z, t) = j0 exp
• soit en revenant à la grandeur réelle
• le champ électrique est
(1 J)
z
&
z + E exp
E(z, t) =
• le champ magnétique est
B(z, t) = j0
(
uy
4
2
9:µ0
:t
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
20
9.2.5. Pénétration de l’onde dans le conducteur
La grandeur &, homogène à une longueur, s’appelle épaisseur de peau (cf. 8.1.3.).
9.2.5.1. Propagation
Le terme cos :t z1 correspond à une propagation du champ électromagnétique variable, de pulsation : à la vitesse
V = :&, dans le conducteur.
9.2.5.2. Dispertion
V = &: =
2:
9µ0
La vitesse de propagation varie avec la fréquence de l’onde, il y a donc un phénomène de dispersion.
9.2.5.3. Atténuation
z
Le terme exp
1 nous indique que cette propagation s’accompagne d’une atténuation : le champ électromagnétique
interagit avec les charges du milieu conducteur, et l’énergie contenue dans cette onde électromagnétique est progressivement
convertie par eLet Joule.
La profondeur caractéristique de la pénétration du champ magnétique est la longueur &.
Considérons le cas d’un bon conducteur comme le cuivre, de conductivité 9 = 6.107 S. m 1 . Le tableau ci-dessous indique
quelques valeurs de l’épaisseur & pour des fréquences allant de 50 Hz à 1 THz, pour lesquelles la loi d’Ohm est applicable (le
temps de relaxation du milieu est de l’ordre de 10 14 s) :
Fréquence v
50 Hz
1 kHz
1 MHz
1 GHz
1 THz
Longueur d’onde +
6000 km
300 km
300 m
30 cm
300 µm
Epaisseur de peau &
9, 3 mm
6, 5 mm
0, 21 mm
6, 5 µm
0, 21 µm
Nous constatons que l’épaisseur de peau diminue lorsque la fréquence augmente. À haute fréquence, le champ magnétique
(ainsi que le champ électrique et les courants de conduction) est localisé dans une !ne pellicule d’épaisseur de l’ordre de &,
au voisinage de la surface du conducteur.
Ceci justi!e l’appellation d’épaisseur de peau donnée à la longueur &.
9.2.5.4. Remarques
• Notons qu’à très haute fréquence, il n’est pas possible de propager un signal électromagnétique à l’intérieur de !ls
électriques. Lors de l’étude des ondes électromagnétiques, nous verrons qu’il est alors envisageable de laisser les ondes
se propager dans le vide (ou l’air), ou même de les guider le long de surfaces conductrices.
• À haute fréquence, la conduction s’eLectue sur des surfaces très minces : nous sommes alors en présence de courants
modélisables par des courants surfaciques.
• Le conducteur s’oppose à la pénétration du champ variable en son sein (comme le sol s’oppose aux variations journalières
ou annuelles de température imposées par l’air à son contact).
• Le modèle unidimensionnel précédent (le métal occupe la zone d’espace z > 0) est utilisable lorsque
l’épaisseur de peau & est très faible devant le rayon de courbure.
Exercice n 06 : Champ dans un conducteur parfait
1) Montrer, à partir des équations de Maxwell, que dans un conducteur parfait (de conductivité in!nie) :
1.a) le champ électromagnétique
E, B est nul ;
1.b) les densités volumiques de courant et de charge sont nulles.
2) Dans le vide,entre deux longs conducteurs cylindriques coaxiaux, d’axe Oz et de rayons R1 et R2 (R2 > R1 ), se propage une
onde electromagnétique dont le champ électrique en M de coordonnées cylindriques (r, ", z) est radial à tout instant t :
E(M, t) = E0 .
R1
. cos (:(t
r
z/c)) ur
où c est la célérité de la lumière dans le vide, et ur le vecteur radial en M ; on donne la permitivité
des armatures de ce câble coaxial
0
du vide. Calculer, sur chacune
Electromagnétisme. Chapitre II : Equations de Maxwell dans le vide
2.a) les densités surfaciques de charge . 1 et . 2 ;
2.b) les densités surfaciques de courant j1 et j2 ;
2.c) l’intensité e+cace du courant dans ce câble en fonction de
0 , c, E0
21
et R1 .
Exercice n 07 : Densité volumique de charge dans un conducteur
1) Etablir la loi (t) d’évolution de la densité volumique de charges dans un milieu conducteur homogène, de conductivité 9 , non
1
diélectrique et non magnétique. Conclure. On donne 9 = 107
. m 1.
V
2) On utilise la jauge : div A + µ0 9V + 0 t = 0. En déduire les équations diLérentielles véri!ées par le potentiel-vecteur A
d’une part, et par le potentiel scalaire V d’autre part.
3) On pose A = µ0 9 J + 0 Jt et V = div J . Véri!er la compatibilité de ces relations,et déterminer l’équation véri!ée par la
grandeur J .
4) Exprimer les champs E et B dans ce conducteur en fonction de J .