Sur une généralisation des nombres complexes: les

Sur une généralisation des nombres complexes: les
tétranombres
Par
Dominic Rochon
Département de mathématiques & de Statistiques
Faculté des Arts et des Sciences
Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures
en vue de l’obtention du grade de
Maître ès sciences (M. Sc.)
en mathématiques fondamentales
20 août 1997
c
Dominic Rochon, 1997

Université de Montréal
Faculté des études supérieures
Ce mémoire intitulé:
Sur une généralisation des nombres complexes: Les tétranombres
Présenté par
Dominic Rochon
a été évalué par un jury composé des personnes suivantes:
Paul Gauthier
Directeur de recherche
Université de Montréal
Walter Hengartner
Codirecteur de recherche
Université de Montréal
Jean-Marc Terrier
Juge
Q. I. Rahman
Juge
Mémoire accepté le : 14 novembre 1997 .

À Ramdam
« Celui dont le cri fait trembler les montagnes »
Le véritable esprit de joie, d’exaltation, le sentiment d’être
plus qu’un homme, qui sont la pierre de touche de l’ex-
cellence la plus haute, se trouve dans les mathématiques
comme dans la poésie. -Bertrand Russel

iv
Sur une généralisation des nombres complexes: les tétranombres
Dominic Rochon
Sommaire
Le but de ce mémoire est de présenter une structure mathématiques généralisant les nombres
complexes. Les éléments de cette structure seront ici considérés comme de nouveaux nombres et
appelés « tétranombres ».
Différente des quaternions [4], qui se veulent la généralisation standard des nombres complexes,
la structure présentée dans ce mémoire dote R4∼
=C2d’une multiplication commutative dans le
but de permettre une extension de l’analyse complexe dans Cet une particularisation de l’analyse
complexe dans C2.
Les tétranombres se voudront aussi une généralisation de ce que Sobczyk dans [14] présente
comme les nombres hyperboliques. Ainsi, en plus de généraliser plusieurs résultats de l’analyse
complexe dans C, les tétranombres généralisent certains résultats obtenus dnas le cas des nombres
hyperboliques.
Il faut aussi préciser que la structure présentée ici a déjà été traitée dans un contexte plus
général par Ryan dans [12]. Par contre, la plupart des résultats rencontrés dans ce mémoire seront
différents ou plus précis que ceux rencontrés dans [12], car le caractère « général » de l’article de
Ryan n’a pas permis de faire ressortir le caractère « commutatif » de la structure présentée dans
ce mémoire.

Table des matières
Sommaire iv
Table des matières v
Introduction 1
1 Propriétés de base 3
2 Caractérisation de l’inverse 12
3 L’équation du second degré 21
4 Fonctions trigonométriques 24
5 Coordonnées hyper-polaires 34
6 Le logarithme 45
7 Les normes 47
8 La notion de fonction T-holomorphe 53
9 La T-différentiabilité par limite 62
10 Développement en série 65
11 Le principe d’identité 74
Conclusion 78