CHAPITRE III. PGCD, Bezout, Gauss. ARITHMETIQUE I. PLUS

CHAPITRE III.
ARITHMETIQUE
PGCD, Bezout, Gauss.
I. PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN
a) Définition pgcd
Soient a et b deux entiers positifs non nuls :
le plus grand des diviseurs communs à a et à b est appelé pgcd de a et de b, noté pgcd(a,b)
Exemple : Déterminer le PGCD et 18 et de 30.
Cas où l’un des deux est nul ?
PROPRIETE : Pour a ≠ 0, pgcd(a,0) = a
Dem : tous les entiers sont diviseurs de 0 ;
Les diviseurs communs à 0 et a sont les diviseurs de a, dont le plus grand est a.
2. Premières propriétés :
soient a et b deux entiers naturels tels que a > b.
* pgcd(a,b)= pgcd(b,a)
* si a divise b alors pgcd(a,b) = a
* PGCD ( ka, kb) = k pgcd (a,b)
3. Nombres premiers entre eux :
Définition : Deux entiers a et b sont premiers entre eux lorsque pgcd(a,b) = 1.
Exemple : pgcd(18;35) =1
II. ALGORITHMES
1. Algorithme par soustraction :
Propriété des diviseurs : si c divise a et b alors c divise ua+vb,
En particulier: si c divise a et b alors c divise a+b, a-b, (mais aussi 2a+3b, 5a-4b , ...)
PROPRIETE : pgcd(a,b) = pgcd(a-b,b)
On doit ici démontrer l’égalité de deux ensembles :
L'ensemble des diviseurs communs à a et b = l'ensemble des diviseurs communs à a-b et b:
Or dans deux ensembles contenant les mêmes éléments, le plus grand élément est le même!
Le procédé général est de démontrer une « double inclusion » :
chaque élément de l’un est contenu dans l’autre ; et réciproquement, chaque élément de l’autre est
contenu dans l’un. Les deux ensembles sont alors bien identiquement les mêmes.
Dem : si d divise a et b alors d divise aussi a-b → si d divise a et b alors d divise b et a-b ;
si d divise b et a-b alors d divise aussi a → si d divise b et a-b alors d divise a et b
→ {div (a,b)} = {div(a-b;b) } → pgcd(a,b) = pgcd(a-b,b)
Exemples :
1) PGCD (245, 105) = PGCD (105, 140) =PGCD ( 105, 40) = PGCD( 40, 65) =PGCD( 40, 25)
=PGCD ( 25, 15) = PGCD (15, 10) = PGCD( 10, 5) = PGCD ( 5, 0) = 5
2) Soit n un entier non nul. Déterminer le PGCD de 2n et 2n+1 :
2. Algorithme d’Euclide :
PROPRIETE : Soient a et b deux entiers naturels
Si a = b q + r alors pgcd(a ; b) = pgcd(b ; r)
Démonstration :
si d divise a et b alors (PROP) d divise aussi r = 1.a-q.b
=> si d divise a et b alors d divise b et r ;
si d divise b et r alors d divise aussi a = qb+1r
=> si d divise b et r alors d divise a et b
d’où {div (a,b)} = {div(b,r) }
donc pgcd(a,b) = pgcd(b,r)
Remarque intéressante : cette propriété est valable si a=bq+r, mê me si la condition 0
pas respectée (donc même si ce n'est pas une écriture de division euclidienne);
r
b-1 n'est
Autre remarque : En particulier, en écrivant a=1*b + (a-b), on retrouve la propriété « pgcd et
soustraction ».
Mais l’algorithme d’Euclide est plus rapide.
Exemple : pgcd(145,15) = pgcd(15,10) = pgcd (10,5) = pgcd(5,0) = 5
III. PGCD ET DIVISIBILITÉ
PROPRIETE :
pgcd(ka,kb) = k*pgcd (a,b)
Démonstration :
L'égalité a= b q + r équivaut à ka = k b q + k r, donc pgcd(ka , kb) = pgcd (kb , kr )
Conséquence : la succession d'égalités de l'algorithme d'Euclide conduit à un dernier reste non nul
égal à k* ….
PROPRIETE :si d divise a et b alors d divise pgcd(a,b)
Démonstration :
Si d divise a et b alors a = da' et b = db' donc pgcd(a,b) = d*pgcd(a',b')
ce qui montre que d divise pgcd(a,b)
la réciproque est évidente :
si d divise le pgcd de a et de b, comme le pgcd de a et b est lui-même un diviseur de a (et de b), par
transitivité d divise a (et b)
PROPRIETE : CARACTERISATION DU PGCD
pgcd(a,b)= Δ Si et Seulement Si
a=Δ a' et b=Δ b' avec pgcd(a' , b')=1
(C’est à dire a' et b' premiers entre eux)
Démonstration : on va montrer la double implication
* Si Δ = pgcd(a,b) alors a=Δa' et b=Δb' et l'égalité pgcd(a,b) = Δ*pgcd(a',b') = Δ donne pgcd(a',b') = 1
* Réciproquement, si a=Δa' et b=Δb' avec pgcd (a', b')=1 alors pgcd(a,b) = Δ*pgcd(a',b') = Δ*1 = Δ.
Exemple : Pgcd(18,30) = 6 et on a bien 18=6*3 et 30=6*5 avec 3 et 5 premiers entre eux.
II. Le théorème de BEZOUT
1. Identité de BEZOUT
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Si d = PGCD (a ;b)
Alors il existe des nombres entiers relatifs u et v tels que au + bv =d.
!!! Le couple (u ;v) n’est pas unique !!!
Démonstration : - voir livre
2. Théorème de BEZOUT
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Dire que a et b sont premiers entre eux EQUIVAUT à DIRE qu’il existe deux entiers relatifs u et v
tels que au + bv = 1.
Démonstration : => et <=
- voir livre.
Exercice 1 : Comment trouver les coefficients de Bezout u et v ?
A = 145 et b =55 déterminer u et v tels que au+bv = 5.
ETAPE 1) algo d’euclide pour calculer PGCD de a et b.
a
b
reste
145
55
35
145 = 55x2 + 35
55
35
20
55 = 35 x1 + 20
35
20
15
35 = 20 x1 + 15
20
15
5
20 = 15 x 1 + 5
15
5
0
15 = 5 x 3
Donc PGCD (a ; b) = 5
ETAPE 2) On remonte l’ algo d’euclide
5 = 20 – 15 x 1 or 15 = 35 – 20 x 1
D’où 5 = 20 – (35 – 20 x 1) x1
5 = -35 + 20 x 2
or 20 = 55 – 35 x 1
D’où 5 = -35 + (55 – 35 x 1) x 2
5 = 55 x 2 – 35 x 3
Or 35 = 145 – 55 x 2
D’où 5 = 55 x 2 – (145 – 55 x 2) x 3
5 = 55 x 2 – 145 x 3 + 55 x 6
5 = 55 x 8 – 145 x 3
Donc : 5 = 55 x 8 +145 x ( -3)
Exercice 2 : Démontrer que deux nombres sont premiers entre eux.
n désigne un nombre entier naturel non nul. Démontrer que a = 2n+1 et b = 3n + 2 sont premiers entre
eux.
Méthode :
FABRIQUER UNE COMBINAISON LINEAIRE : - 3a +2b = …….. = 1
Donc d’après le théorème de BEZOUT, 2n+1 et 3n+2 sont premiers entre eux.
3. Corollaire du théorème de BEZOUT (soient a,b,c des enteirs naturels)
L’équation ax + by = C admet des solutions entières si et seulement si
C est un multiple du pgcd(a, b).
Démonstration :
4. Algorithme de Bezout.
Exercices type BAC/
III. Théorème de Gauss :
Théorème de Gauss
Soient a, b et c des entiers relatifs non nuls.
Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c.
abc
et
pgcd (a ;b) =
1

ac
Démonstration
Si a est premier avec b, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1.
En multipliant les deux membres de cette égalité par c, on obtient : acu + bcv = c.
Or, a divise acu et bc par hypothèse, donc a divise bcv : on en déduit que a divise acu + bcv, c'est-à-dire c.
EN PRATIQUE : Résoudre des équations du type : 7x – 11y = 0 avec x et y des entiers relatifs.
 Si 7x = 11y alors 11 divise 7x.
Or 7 et 11 sont premiers entre eux, donc d’après les théorème de Gauss 11 divise x.
Par conséquent, il existe un entier relatif k tel que x = 11k.
Et l’équation devient : 7.11k = 11y soit 7k = y
 Réciproquement :
Tous les couples (11k ; 7k) sont solutions de 7x = 11y.
En effet : 7 . 11k = 11 . 7k.
CONCLUSION : Les solutions de l’équation 7x – 11y = 0 sont les couples (11k ; 7k) avec k ∈ ℤ
Et ses Corollaires :
Soient a, b et c des entiers relatifs non nuls.
1) Si a et b sont premiers entre eux et divisent c alors leur produit ab divise c aussi.
2) Si un nombre premier p divise un produit ab alors p divise a ou p divise b.
pgcd (b;c) = 1

et
ba et ca
bca
Démonstrations
1) Comme c est divisible par a et b, alors il existe des entiers k et k’ tels que c = ka = k’b.
Cette égalité montre que a divise k’b ; comme a et b sont premiers entre eux, le théorème de Gauss assure que a
divise k’. Donc il existe un entier q tel que k’ = qa. On en déduit c = qab. Donc ab divise c.
2) Soit p un nombre premier divisant le produit ab.
- Si p divise a, la conclusion est assurée.
- Si p ne divise pas a, alors a et p sont premiers entre eux ; comme p divise ab, alors p divise b d’après le théorème
de Gauss.
V. EQUATIONS DIOPHANTIENNES
Ce sont les équations d’inconnues entières x et y de la forme :
ax + by = c
où a, b, c sont des entiers, a et b non nuls.
Voici de célèbres autres équations diophantiennes :
x2 + y2 = z2
(Pythagore)
x4 + y4 = z4
(Fermat en degré 4)
2
2
x − dy = ±1 (Pell)
Remarque : on peut rapprocher cette équation de l’équation cartésienne d’une droite. On ne
considérait que les points de coordonnées (x; y), couple d’entiers… or il n’y en a pas toujours….
Cette équation admet des solutions SSI le PGCD (a ;b) divise c. Sinon il n’y a pas de solutions.
En effet, posons d = PGCD(a;b).
Comme d|a et d|b, d divise toute combinaison linéaire (ax+by) de a et b.
Donc nécessairement d|c. Si ce n’est pas le cas, alors l’équation n’a pas de solution.
EN PRATIQUE : COMMENT Résoudre 7x – 11y = 3 où x et y entiers
ETAPE 1 : On trouve un couple « évident » ou on vérifie qu’un couple (13; 8) est solution de l’équation.
ETAPE 2 : En déduire la solution de l’équation.
Résoudre : 1)4x−6y=12
2) 15x+6y=9
3) 7x+23y=5
IV. LE PETIT THEOREME DE FERMAT
Fermat Mathématicien Français, de Beaumont de Lomagne (Sud Ouest).
Dans sa correspondance avec FRénicle de Bessy il énonce sont théorème mais on n’a pas trouvé sa
démonstration ( bien qu’un écrit précise qu’il l’a faite)
Le théorème de Fermat :
Si p est un nombre premier et n entier, alors np ≡ n [p].
Démonstration : Par récurrence
Le Petit Théorème de Fermat :
Soit n un entier.
Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors np-1 ≡ 1 [p].
Démonstration :
En effet, d’après le théorème précédent, np – n est congru à 0 modulo p, d’où p divise np – n = n(np-1 – 1).
Or, p et n sont premiers entre eux, donc le théorème de Gauss montre que p divise np-1 – 1 et alors :
np-1 –1 ≡ 0[p] soit
np-1 ≡ 1[p].
Le Grand théorème de Fermat :
« Lorsque n ≥ 3, l’équation xn + yn = zn, n’admet aucun triplet de solutions entiéres strictement
positives. »
Formulé par Fermat en 1 659, ce théorème n’a été démontré qu’en 1 994 par le mathématicien anglais
Andrew Wiles.