Julien Lagarde PhD

Position et déplacement (d)
„
La position (s) est l’emplacement d’un objet
dans l’espace
„
unités : m, cm, km, inches, miles
Le déplacement (∆s = sf - si) est le
changement de position d’un objet
„
s2
déplacement = d
s1
d
d = s2 – s1
Problème :
• Comment décrire s1 et s2?
Si vous indiquez une flèche sur la figure
vous décrivez la position avec des
coordonnées x et y
Y
s2 = (x2,y2)
d
d = s2 – s1
s1 = (x1,y1)
X
d = s2 – s1
d = (x2,y2) – (x1,y1)
• Le déplacement d est un vecteur ainsi les
coordonnées Cartésiennes ou Polaires
peuvent être déterminées
Y
s2 = (x2,y2)
d
d = s2 – s1
s1 = (x1,y1)
X
Le temps :
Galilée étudiait le mouvement d’une balle roulant sur
un plan en mesurant les positions successives à chaque
battement de son cœur.
Le temps est donné par une horloge : La définition du
temps est fondée par la répétition du évènement
apparemment périodique.
Rappel :
Coordonnées Cartésiennes
1
S
Vecteurs e1 et e2 formant une base
orthonormée.
et e2 = j
Classiquement : e1 = i
position
Pour situer le point mobile M dans le repère R à un instant t
quelconque, il est nécessaire de connaître les coordonnées
x(t), y(t) et z(t) de M dans le repère R.
Dans l’espace
Z
Dans le plan
Y
z
B(y)
M
Position :
r r
k j
r
i
o
r
j
r
O i
M
A(x)
x
X
M( x (t) , y (t) )
OM = OA + OB
Vecteur position :
r
r
OM = x(t ).i + y(t ).i
y
Y
m
X
M( x (t) , y (t) , z (t) )
OM = Om + mM
r
r
r
OM = x (t ).i + y (t ). j + z (t ).k
Repérage d’un point dans l’espace
Dans l’espace : 3 dimensions
M
Z
x (t)
y (t)
z
z (t)
M
r r
k j
r
i
x
X
(Ox,y,z) repère orthonormé
OM = Om + mM
r
r
r
OM = x (t ).i + y (t ). j + z (t ).k
y
Y
2
2
2
=
+
+
OM
x y z
m
Combien de coordonnées faut il
pour positionner un solide (ex. : le
pied) dans l’espace 3D ?
z
?
o
x
y
z
o
y
x
3 coordonnées de position
z
o
z
y
x
Référentiel A
Référentiel B
o
y
3 rotations, 3 angles
x
3 coordonnées d’orientation
3 coordonnées de position
3 coordonnées d’orientation
= 6 coordonnées
Vecteurs
Vecteur : Direction, sens, et longueur
Deux choix pour décrire le vecteur
déplacement en 2 dimensions :
• Coordonnées Cartésiennes (dx,dy)
•dx = x2 – x1 = déplacement axe des x
•dy = y2 – y1 = déplacement axe des y
• Coordonnées Polaires (d,q)
• “Jusqu’où et dans quelle direction”
d = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2
q = atan((y2-y1)/(x2-x1))
Rappels de trigonométrie utiles
Atan = inverse de tan
Y
=
Y
X
X
Y, côté opposé
θ
X, côté adjacent
Second problème : Vue que ce mouvement se produit au
cours du temps, le déplacement (soit un vecteur) NE
représente PAS exactement les changements de direction
du mouvement.
Par exemple – Si s1 vous représente à un Building A et s2
vous représente au Building B 10 minutes plus tard.
Y
s2
d
d = s2 – s1
s1
X
En supposant que cette ville est comme la plupart des
villes :
vous devez monter et descendre les quartiers de la ville
et non au travers des buildings.
Y
s2
d
s1
X
Ainsi votre réelle route est aux alentours des
buildings, en vous déplaçant en haut et en bas des
quartiers de la ville.
Y
s2
d
s1
dy
dx
X
Donc la distance réelle que vous allez couvrir est
supérieure au déplacement d représenté ci dessous.
Distance réelle = longueur de votre déplacement selon
l’axe des x (dx) plus la longueur de votre déplacement
selon l’axe des y.
Y
distance = dx + dy
d
s1
s2
dy
dx
X
Distance ( )
„
„
La distance est la longueur du chemin
parcourue ; C’est une quantité scalaire.
unité : identique au déplacement
dx + dy = distance =
d
dy
dx
Exemple : Distance vs.
Déplacement
N
marche 3 = 2 miles
marche 2 = 3 miles
marche 1 = 2 miles
DISTANCE totale parcourue
= 2 miles + 3 miles + 2 miles
= 7 miles
Description du Déplacement
Description du Déplacement :
ve
c te
ur
dé
pl
ac
em
en
t
N
Première Méthode (Cartésienne)
3 miles Est
4 miles Nord
(3, 4) miles
marquer en premier les
coordonnées
‘horizontale’ puis ‘verticale’
Grandeur du Déplacement
Ve
cte
4 miles
ur
dé
pl
ac
em
en
t
N
Seconde Méthode (Polaire)
1° - calculer la longueur du
vecteur déplacement
θ
3 miles
v
2
2
d = 3 +4
v
d = 25
v
d = 5 miles
Direction du Déplacement
θ
⎛
⎜ dver
−
1
= tan ⎜
⎜d
⎝ hor
θ
⎛ 4miles ⎞
−
1
⎟ = 53.1°
= tan ⎜
Ve
cte
4 miles
ur
dé
pl
ac
em
en
t
N
2° – Calculer l’angle en
utilisant les relations
trigonométriques
θ
3 miles
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎜ 3miles ⎟
⎝
⎠
Vecteur Déplacement
(Notation Polaire)
di
sp
lac
4 miles
em
en
tv
ec
to
r
N
Décrire le vecteur
déplacement par sa
longueur et sa direction
θ
3 miles
d = 5 miles
θ = 53.1 °
Relations entre coordonnées
Cartésiennes et polaires
Atan = inverse de tan
Y
=
Y
X
X
Y, côté opposé
θ
X, côté adjacent
Exemple :
Cinématique : notion de mouvement
Les notions de mouvement et d’immobilité
sont relatives !
Nécessité de définir un référentiel
Terminologie …
• Cinématique du solide :
On parle du mouvement d’un objet S par rapport à un
repère R.
• Cinématique du point :
On parle du mouvement d’un point P, appartenant à un
objet, S par rapport à un repère R.
Le point O1 appartenant au buste est en mouvement par rapport au
repère R0 mais immobile par rapport au repère R1 (lié au buste).
Mouvement dans le plan sagittal (2D)
ry
ry
O
ry
1
O1
rx
1
1
O1
r
x1
r
x
Temps (% du cycle de marche)
Vitesse moyenne
„
„
„
La vitesse est une quantité scalaire
C’est une quantité de distance sur le temps
unité : m/s (S.I.)
Vitesse = distance
temps
Quelle est la vitesse moyenne du
ballon de basket?
0.5
s
(80,40)
(60,10)
(0,0)
l=
20² +30 ² =36 m
vitesse = l = 36 =72 m/s
t 0 .5
Vitesse moyenne (v)
„
„
Variation du déplacement en fonction du
temps : taux de changement de la position
la vitesse est un vecteur
‰
„
“ A quelle vitesse et dans quelle direction”
unité : m/s, km/h
v
v ∆d
vitesse =v =
∆t
r
v
moyen
r xr − xr
∆x
=
=
∆t
∆t
f
i
NOTE : le déplacement (d)
est un vecteur donc se
conforme aux règles des
vecteurs lors des calculs de
vitesses
•Quand deux vitesses agissent sur un objet, on trouve un
effet net ou résultant en ajoutant les vitesses.
•Parce que la vitesse est un vecteur, on ne peut pas
simplement ajouter les nombres.
•A la place – on doit utiliser l’algèbre vectorielle pour
additionner les vitesses.
Dans cette exemple le
bateau est propulsé
vers la droite par son
moteur alors que le
courant de la rivière le
transporte vers le haut
de la figure. Ceci
décrit 2 vitesses
D’autres exemples de
vecteurs vitesses qui peuvent
être additionnées ensemble
inclus la direction du vent lors
du vol.
Addition de Vecteurs
Vitesse
courant
Vitesse
nageur
Vitesse
résultante
Utilisation des lois de
l’algèbre vectorielle
Exemple - le chemin
du nageur est
déterminé par la vecteur
somme de la vitesse du
nageur et la vitesse du
courant de la rivière.
Vitesse
courant
Exemple :
vnageur = 2 m/s
vrivière = 0,5 m/s
Vitesse
nageur
Vitesse
résultante
Quelle est la vitesse
résultante du nageur?
Exemple - Solution
vR = (2 m/s)2 + (0,5 m/s)2
vR = 2,06 m/s
50 m
0,5 m/s
2 m/s
vR
θ= 14
θ= atan(2/0.5)/pi*180
Opérations sur les vecteurs :
9 Somme vectorielle
r
r
B
A
+
=
r r r
S = A+ B
r
A
r
B
r
S
S ≠ A+B
mais
9 Différence vectorielle
r
r
A
B
-
r
r
=
A
-B
+
r
r
= S
-B
r
A
Marathon Olympique
Homme
2:12:36
Femme
2:26:05
Distance =
42,21 km
Vitesse moyenne & Marathon
„
Exemple du marathon
t = 2 : 12 : 36
t = 2 hrs (3600s/1 hr) + 12 min (60 s/ 1min) + 36 s
= 7 956 s
t = 2 : 26 : 05
= 8 765 s
„
Vitesse moyenne = distance / temps
vitesse = 42 210m / 7956 s
= 5,3 m/s
vitesse = 42 210 / 8765 s
= 4,8 m/s
Cinématique : vitesse moyenne
r
∆x
r =
vmoyAD ∆t
r
vmoyAD = + 40m
3.0 s
Position (m)
Interprétation graphique …
= + 13 m s
Temps (s)
La vitesse moyenne sur un intervalle de temps [t1 t2] est la pente
de la sécante joignant les positions x(t1) et x(t2).
Vitesse Moyenne vs.
Instantanée
„
„
Vitesse moyenne n’est pas très significative
lors des événements athlétiques où plusieurs
changements de directions se produisent.
Exemple du marathon
v
‰
„
départ et arrivée au même endroit donc
d = 0
v
v = 0 ???
Vitesse instantanée (v) plus importante
‰
spécifie “à quelle vitesse” et dans quelle direction
on bouge à un point et à un instant donné
Pour quoi la vitesse instantanée ?
Les lois qui gouvernent les modifications que peut
subir un objet au fur et à mesure que le temps
s’écoule
ÆOn s’intéresse aux changements,
ÆEx. aux changements de positions
Vitesse moyenne vs. Instantanée
14
Championnat Monde 1991 - Tokyo
speed(m/s)
(m/s)
Vitesse
12
10
8
Lewis
Burrell
Mitchell
Lewis Avg
Burrell Avg
Mitchell Avg
6
4
2
0
0
2
4
6
time (s)(s)
Temps
8
10
La vitesse instantanée :
La vitesse instantanée représente le taux de changement
instantanée de la position. Contrairement à la vitesse moyenne,
la vitesse instantanée permet de décrire le comportement à
chaque instant t.
v
v ∆d
vitesse =v =
∆t
r
r
∆x dx
r
r
=
v = v = lim
∆t dt
inst
∆t → 0
• Le vecteur vitesse instantanée est toujours tangent à la trajectoire.
La vitesse instantanée est calculée en prenant la limite
d’un intervalle de temps tendant vers 0.
•
Pente (coefficient directeur) de la droite
tangente au point (t)
Y=aX+b
V(t)
X(t), Y(t)
Calcul différentiel
r
r
∆x dx
r
r
=
v = v = lim
∆t dt
inst
∆t → 0
dt tend vers 0, l’intervalle de temps est
infiniment petit : « instantané »
Trouver la distance
si nous connaissons
la vitesse ?
V
dt
t
Dans l’intervalle de
temps de a à b,
La formule ∆X = V. ∆t
donne le déplacement
En prenant la limite dt
tend vers 0, intégrale
de la vitesse :
t
S
V t
t
Calculs numériques des dérivées à partir de
mesures empiriques
Mouvement unidimensionnel
X
C (X3)
B (X2)
0
t1
t2
t3
t4
t
Méthode « pas à pas » :
V = (X3 – X2)/(∆ t) = (X3 – X2)/(t3-t2) m/s
∆ t = constant
X
C (X3)
B (X2)
0
t1
t2
t3
t
t4
M
la vitesse calculée « pas à
pas » donne la vitesse pour
l’instant au milieu de
l’intervalle
Cœfficient
directeur (pente)
de la tangente
X
C (X3)
B (X2)
A (X1)
0
t1
t2
t3
t4
t
Méthode « différence centrale » :
V = (X3 – X1)/(2*∆ t) = (X3 – X1)/(t3-t1) m/s
Exemple : Shoot en football
Hanche
Angle cuisse
Genou
Angle jambe
7
angles (rad)
6
5
4
3
angle cuisse (rad)
2
1
angle jambe (rad)
13
11
9
7
5
3
1
0
temps (images)
Convention : 0 à 2 *pi rad (2* 3.14 = 6.28)
temps (images)
13
11
9
7
5
3
1
vitesse (rad/s)
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
centrale cuisse
(rad/s)
pas à pas cuisse
(rad/s)
centrale jambe
(rad/s)
pas à pas jambe
(rad/s)
Accélération (a) moyenne
• Variation de vitesse en fonction du temps
“A quelle vitesse la vitesse évolue ?”
• L’accélération est une quantité
vectorielle
• Unités : m/s/s ou m/s2 , m·s-2
−v
accélérati on =a=∆v= vt −
t
∆t
f
f
i
i
Accélération moyenne
Vitesse
velocity(m/s)
(m/s)
V0,0 = 0 m/s
v2,5 = 5 m/s
v5,0 = 0 m/s
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
time (s)
3
temps (s)
4
5
velocity (m/s)
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
time (s)
3
4
5
1er intervalle
m
−
5m
0
v
v
−
2
,
5
0
,
0
a0,0→2,5=
= s s =+2,0 m
2,5−0
2,5s
s²
Note : la vitesse est positive ainsi que l’accélération.
velocity (m/s)
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
time (s)
3
4
5
2nd intervalle
m
−
0m
5
−
v
v
5
,
0
2
,
5
a2,5→5,0=
= s ms =−2,0m
s2
5,0−2,5 2,5 s
Note : vitesse positive mais accélération négative.
velocity (m/s)
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
time (s)
3
4
Intervalle entier
m
m
0
0
−
v
v
−
a0,0→5,0= t5,0 −t 0,0= s s =0m
5s−0s s2
5,0 0,0
5
Six Cas d’Accélération
1 - accélérer dans la direction positive = accél. positive
t = 3 secondes
final
initial
+ direction
a
vi = 5 m/s
vf = 8 m/s
Être capable de calculer l’accélération moyenne!
Six Cas d’Accélération
1 - accélérer dans la direction positive = accél. positive
2 - a ralenti dans la direction positive = accél. négative
t = 3 secondes
final
initial
+ direction
a
vi = 8 m/s
vf = 5 m/s
Six Cas d’Accélération
1 - accélérer dans la direction positive = accél. positive
2 - a ralenti dans la direction positive = accél. négative
3 - accélérer dans la direction négative = accél. négative
final
+ direction
initial
t = 3 secondes
a
vf = -8 m/s
vi = -5 m/s
Six Cas d’Accélération
1 - accélérer dans la direction positive = accél. positive
2 - a ralenti dans la direction positive = accél. négative
3 - accélérer dans la direction négative = accél. négative
4 - a ralenti dans la direction négative = accél. positive
final
initial
+ direction
t = 3 secondes
vf = -5 m/s
vi = -8 m/s
Six Cas d’Accélération
t = 3 secondes
+ direction
final
initial
1 - accélérer dans la direction positive = accél. positive
2 - a ralenti dans la direction positive = accél. négative
3 - accélérer dans la direction négative = accél. négative
4 - a ralenti dans la direction négative = accél. positive
5 - directions opposées de pos. à nég. = accél. négative
a
vi = +1 m/s
vf = -1 m/s
Six Cas d’Accélération
+ direction
t = 3 secondes
initial
final
1 - accélérer dans la direction positive = accél. positive
2 - a ralenti dans la direction positive = accél. négative
3 - accélérer dans la direction négative = accél. négative
4 - a ralenti dans la direction négative = accél. positive
5 - directions opposées de pos. à nég. = accél. négative
6 - directions opposées de nég. à pos. = accél. positive
a
vi = +1 m/s
vf = -1 m/s
Relations entre s, v, & a
„
„
„
v est la variation de s en fonction du temps
a est la variation de v en fonction du temps
considérons un graphe de s vs. temps
‰
‰
‰
s sur l’axe vertical
temps sur l’axe horizontal
la variation est interprétée comme la pente
Pente
„
“Pente” = nombre qui décrit l’inclinaison
d’une ligne
„
élévation / distance
θ
‰
Note : ceci est la définition pour la tangente de
θ, opposé / adjacent
Changements de pente
„
Pente positive
‰
„
Pente négative
‰
„
vers le bas et la droite
changement rapide
‰
„
vers le haut et la droite
très forte pente
Changement lent
‰
pente presque plate
s
v
a
Relations de
s, v, & a
• La courbe vitesse
instantanée (v) est le
tracé des variations
de la pente de s vs. t.
• une relation similaire
existe entre a et v