Corrigé du calcul de la charge appliquée aux fixations 1. Calcul du

Corrigé du calcul de la charge appliquée aux fixations
1. Calcul du chargement en fatigue de la vis de fixation du robot
Afin de calculer la charge sur chaque fixation, on calcule le moment des différentes forces appliquées
au système (bras + socle), en négligeant celle liée aux fixations qui travaillent en compression. On
choisit comme axe celui qui passe par le centre du socle, horizontalement, en diagonale (configuration
pour laquelle le moment est maximal sur les deux fixations les plus éloignées) (Figure 1.) On
considère une configuration la plus défavorable possible : le bras étant complètement déplié (bras de
levier au bout du bras : 1m), ce qui nous ramène à un problème plan. Afin de rendre le calcul
conservatif, on prend également la valeur maximale de la vitesse de rotation (195°/s) ainsi que la
masse maximale de pièce rapportée pour ce robot (190 kg).
Dans cette première partie, on calcule les contraintes comme si la vis était une pièce cylindrique lisse.
C’est dans la partie suivante qu’on tiendra compte de la concentration des contraintes dans le lieu de
rupture, à savoir le fond de filet et qu’on estimera la durée de vie de ces vis en fatigue.
d mi
n
d ma
x
axe par rapport auquel on calcule
les moments des efforts appliqués au système
Figure 1 : Géométrie (simplifiée) de la pièce et axe par rapport auquel on calcule les moments. On
suppose la pièce d’épaisseur très faible devant sa longueur et sa largeur.
On distingue quatre contributions au chargement mécanique :
• Le poids propre du bras
• La mise en mouvement du bras (accélération)
• Le poids propre de la pièce
• La mise en mouvement de la pièce (accélération).
On rappelle les principales données nécessaires au calcul dans les Tableaux 1 et 2. On prendra pour
l’accélération de la pesanteur : g = 9,81 m.s-2. Comme on travaille en élasticité et en petites
déformations, on utilise le théorème de superposition et on calcule chaque contribution séparément.
Comme les vis sont en principe bien serrées (c’est en tout cas l’hypothèse que l’on fait dans ce calcul),
les efforts de cisaillement ne sont pas pris en compte ; seuls les efforts de traction (verticaux) sont
considérés dans le calcul.
1
Lz
mm
250
Lxy
mm
260
dmin
mm
63
dmax
mm
472
Lbras
mm
1000
Rext
mm
85
Svis
mm²
245
mbras
kg
150
ω
°/s
195
∆t
s
0,3 à 1
Ν
pièces/an
150.000
DDV
années
10 à 15
Tableau 1 : Données numériques du robot nécessaires au calcul. N est le nombre de pièces produites
par an sur la ligne (et manutentionnées une seule fois chacune par le robot), DDV est la durée de vie
rapportée par la documentation du robot.
Rp0,2
MPa
1134
Rm
MPa
1260
Arupture
%
8
σD (80%)
σD (100%) Kf
MPa
52,5
MPa
39,2
1à2
A
dmin
mm
1,7 63
dmax
mm
472
Tableau 2 : Données numériques « matériau » nécessaires au calcul. A est l’amplification de la limite
de fatigue (endurance illimitée) liée au fait que les filets sont roulés.
1.1. Contribution du poids propre du bras
On note Sbras la section du bras et pour calculer le moment Mmasse_bras du poids du bras, on fait une
intégrale par tranches le long de ce bras. Le bras étant horizontal, le moment d’une tranche située à
une distance x de l’axe est égal à la masse de cette tranche multipliée par x, ce qui donne :
Lbras
M masse _ bras =
∫ xS (x)ρ bras gdx = ρ bras Sbras g
0
Lbras
ρ bras S bras gL2bras
∫ xdx =
2
0
=
gmbras Lbras
2
Application numérique :
M masse _ bras =
9,81∗150 ∗1
= 735,7 N.m.
2
1.2. Contribution de la mise en mouvement du bras
Pour calculer la force locale, à une abscisse x, d’une tranche de section Sbras et d’épaisseur dx, il faut
connaître l’accélération de cette tranche. On utilise pour cela la vitesse angulaire que l’on multiplie par
x pour obtenir la vitesse linéaire locale. On estime l’accélération en l’assimilant au quotient de cette
vitesse linéaire par l’intervalle de temps ∆t utilisé pour passer d’une vitesse angulaire nulle à la vitesse
angulaire ω. On aboutit à l’équation suivante :
Lbras
M accél . _ bras =
∫
xS ( x )ρ bras
0
ωx
∆t
dx = ρ bras S bras
ω
∆t
Lbras
∫
x 2 dx =
0
Application numérique :
M accél . _ bras =
195 π ∗ 150 ∗ 12
= 567,2 N.m pour ∆t = 0,3 s
180 ∗ 3 ∗ 0,3
Μ accél . _ bras =
195 π ∗150 ∗12
= 340,3 N.m pour ∆t = 0,5 s
180 ∗ 3 ∗ 0,5
M accél . _ bras =
195 π ∗ 150 ∗ 12
= 170,2 N.m pour ∆t = 1 s.
180 ∗ 3 ∗1
2
ρ bras S bras ω L3bras
3∆t
=
ω mbras L2bras
3∆t
1.3. Contribution du poids de la pièce transportée
Le moment de la masse de la pièce transportée ne peut, en toute rigueur, être calculé que si l’on
connaît la position géométrique de tous les points matériels de la pièce dans l’espace. Faute de cette
information, on suppose que l’ensemble de la pièce est un point matériel situé à une distance Lz du
bout du bras et on espère que le raisonnement est conservatif. Il donnera, en tout cas, une estimation
indispensable de la contribution de la masse de la pièce transportée à la charge exercée sur les
fixations.
Le moment du poids d’un point matériel de masse mpièce = 190 kg situé à une distance (Lbras + Lz) de
l’axe est égal à :
M masse _ pièce = g m pièce (Lbras + L z ) = 9,81 * 190 * (1 + 0,25) = 2329,9 N.m.
1.4. Contribution de la mise en mouvement de la pièce transportée
On fait le même raisonnement que pour le bras, en supposant comme précédemment que toute la
masse de la pièce est située en son centre de gravité. On obtient l’équation suivante :
M accél . _ pièce = m pièce (Lbras + L z )
2
Application numérique :
ω
∆t
M accél. _ pièce =190 * (1 + 0,25)
195π
= 3367,9 N.m pour ∆t = 0,3 s
180 * 0,3
M accél. _ pièce =190 * (1 + 0,25)
195π
= 2020,8 N.m pour ∆t = 0,5 s
180 * 0,5
M accél. _ pièce =190 * (1 + 0,25)
195π
= 1010,4 N.m pour ∆t = 1 s .
180 *1
2
2
2
Conclusion : Moment total des efforts imposés par le poids et la mise en mouvement de la pièce et du
bras
M total = M masse _ bras + M masse _ pièce + M accél. _ bras + M accél. _ pièce
Application numérique : elle est résumée dans le Tableau 3 en fonction de la valeur de ∆t.
On en déduit la valeur de l’effort maximal exercé sur chaque fixation, Fmax, en fonction de la valeur de
∆t. Les valeurs sont également reportées dans le Tableau 3. En divisant cet effort par la section
moyenne
nominale de la vis (245mm²) on obtient les valeurs de contrainte nominale maximale, σ max
,
également reportées dans le Tableau 3.
∆t
Mmasse_bras (N.m)
Mmasse_pièce (N.m)
Maccél._bras (N.m)
Maccél._pièce (N.m)
Mtotal (N.m)
Fmax (N)
moyenne
σ max
(MPa)
0,3 s
735,7
2329,9
567,2
3367,9
7000,2
7415,5
30,27
0,5 s
735,7
2329,9
340,3
2020,8
5426,2
5748,1
23,46
1s
735,7
2329,9
170,2
1010,4
4245,7
4497,6
18,36
Tableau 3 : Moment total sur l’axe en fonction de la valeur de ∆t. Force maximale et contrainte
maximale nominale associées sur chaque fixation.
3
2. Calcul de l’amplitude et de la contrainte moyenne des cycles de fatigue des deux fixations
On considère les fixations comme correctement serrées : seul l’effort de traction est transmis, l’effort
de compression étant repris par les contacts entre le socle et la semelle sur laquelle il est fixé.
L’amplitude des cycles de fatigue vaut donc la moitié de la contrainte maximale induite par les efforts
calculés ci-dessus.
Pour obtenir l’amplitude du cycle de fatigue, on considère que la vis est chargée entre la contrainte de
moyenne
serrage, σserrage, et σserrage + σ max
. L’amplitude (ou demi-étendue) du chargement, σa, également
moyenne
appelée contrainte alternée, vaut donc la moitié de σ max
. Les valeurs numériques sont reportées
dans le Tableau 4.
∆t
moyenne
σ max
(MPa)
σa (MPa)
0,3 s
30,27
0,5 s
23,46
1s
18,36
15,13
11,73
9,18
Tableau 4 : Amplitude de contrainte associée à la sollicitation en service.
3. Conclusions
Le calcul montre que dans les conditions de service connues (serrage suffisant, masse de 190 kg
accélérée en 0,3 s à 195°/s), l’amplitude de contrainte maximale atteint 15,13 MPa. Il reste à comparer
cette amplitude à la durée de vie de la vis en fatigue.
4