mth1101: nombres complexes

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MTH1101: NOMBRES COMPLEXES
Probl`eme
D´efinitions et r`egles de calcul dans C
Repr´esentation g´eom´etrique des nombres complexes
Conjugu´e d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
Module et argument d’un nombre complexe
Diff´erentes formes d’´ecriture d’un nombre complexe
Formules de Moivre et formules d’Euler
Les racines ned’un nombre complexe
Quelques propri´et´es des nombres complexes
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MTH1101: NOMBRES COMPLEXES
Issmail El Hallaoui
Polytechnique Montr´eal
D´epartement de math´ematiques et de g´enie Industriel
Issmail El Hallaoui MTH1101: NOMBRES COMPLEXES

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Draft
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MTH1101: NOMBRES COMPLEXES
Probl`eme
D´efinitions et r`egles de calcul dans C
Repr´esentation g´eom´etrique des nombres complexes
Conjugu´e d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
Module et argument d’un nombre complexe
Diff´erentes formes d’´ecriture d’un nombre complexe
Formules de Moivre et formules d’Euler
Les racines ned’un nombre complexe
Quelques propri´et´es des nombres complexes
...
1Probl`eme
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2D´efinitions et r`egles de calcul dans C
...
3Repr´esentation g´eom´etrique des nombres complexes
...
4Conjugu´e d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
...
5Module et argument d’un nombre complexe
...
6Diff´erentes formes d’´ecriture d’un nombre complexe
...
7Formules de Moivre et formules d’Euler
...
8Les racines ned’un nombre complexe
...
9Quelques propri´et´es des nombres complexes
Issmail El Hallaoui MTH1101: NOMBRES COMPLEXES

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Draft
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MTH1101: NOMBRES COMPLEXES
Probl`eme
D´efinitions et r`egles de calcul dans C
Repr´esentation g´eom´etrique des nombres complexes
Conjugu´e d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
Module et argument d’un nombre complexe
Diff´erentes formes d’´ecriture d’un nombre complexe
Formules de Moivre et formules d’Euler
Les racines ned’un nombre complexe
Quelques propri´et´es des nombres complexes
L’´equation x+ 2 = 1 n’a pas de solution dans N, mais elle en a dans un
ensemble plus grand : Z(x=−1). De mˆeme, l’´equation 2x= 1 n’a pas de
solution dans Z, alors que dans un ensemble plus grand, Qpar exemple, il y en
a une: x=1
2. Et puis, l’´equation x2= 2 n’a pas de solution dans Q; il faut
chercher dans l’ensemble des nombres r´eels Rpour en trouver une.
Quand une ´equation n’a pas de solution, une d´emarche naturelle consiste `a en
chercher une dans un ensemble plus grand. A ce stade, l’ensemble le plus grand
que l’on a rencontr´e est R. Pourtant, l’´equation x2+ 1 = 0 n’a pas de solution
dans R.
On va donc, dans ce chapitre construire ou imaginer un ensemble plus grand
que Rdans lequel l’´equation x2+ 1 = 0 a des solutions. On l’appellera C:
ensemble des nombres complexes.
Issmail El Hallaoui MTH1101: NOMBRES COMPLEXES

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Probl`eme
D´efinitions et r`egles de calcul dans C
Repr´esentation g´eom´etrique des nombres complexes
Conjugu´e d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
Module et argument d’un nombre complexe
Diff´erentes formes d’´ecriture d’un nombre complexe
Formules de Moivre et formules d’Euler
Les racines ned’un nombre complexe
Quelques propri´et´es des nombres complexes
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Principe
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On note Cl’ensemble des nombres complexes de la forme Z=a+ib o`u
i2=−1 avec a et b r´eels
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Th´eor`eme
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Deux nombres complexes Z =a+ib et Z′=a′+ib′sont ´egaux si et
seulement si a=a′et b =b′.
Les r`egles de calcul (la multiplication et l’addition) sont les mˆemes que dans R,
en rempla¸cant i2par −1
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Th´eor`eme
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L’ensemble Rest un sous ensemble de C
Issmail El Hallaoui MTH1101: NOMBRES COMPLEXES

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MTH1101: NOMBRES COMPLEXES
Probl`eme
D´efinitions et r`egles de calcul dans C
Repr´esentation g´eom´etrique des nombres complexes
Conjugu´e d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul
Module et argument d’un nombre complexe
Diff´erentes formes d’´ecriture d’un nombre complexe
Formules de Moivre et formules d’Euler
Les racines ned’un nombre complexe
Quelques propri´et´es des nombres complexes
Munissons le plan d’un rep`ere orthonorm´e (O,−→ i,−→ j).
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Principe
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A tout nombre complexe Z=a+ib, on peut associer le point M(a;b).
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Vocabulaire
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Le point M(a;b) s’appelle image du nombre complexe Z=a+ib.
Le nombre complexe Z=a+ib s’appelle l’affixe du point M(a;b). On note
souvent Z=affixe(M) ou Z=aff (M).
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Autre interpr´etation
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On peut ´egalement associer `a chaque nombre complexe Z=a+ib le vecteur
−→
w(a;b) = −−→ OM, ce vecteur −→ ws’appelle le vecteur image du nombre complexe Z.
Issmail El Hallaoui MTH1101: NOMBRES COMPLEXES