3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs

3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Conséquences vérifiables du théorème de Gauss
Le théorème de Gauss peut fournir certains renseignements intéressants
concernant les charges et les champs associés aux conducteurs
Rappel pour un conducteur à l’équilibre.
1. Lorsqu’un conducteur homogène atteint l’état d’équilibre, le champ
résultant à l’intérieur de ce conducteur est nul.
2. Lorsque l’équilibre est atteint, le champ électrique extérieur à
proximité du conducteur est partout perpendiculaire à la surface du
conducteur.
3. Lorsque l’équilibre est atteint, toute la charge nette d’un conducteur
homogène se répartit sur sa surface.
1
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Par exemple :
Lorsque l’équilibre est atteint, toute la charge nette d’un
conducteur homogène se répartit sur sa surface.
+
E=0
q=0
+
ΦE =
+
+
+
+
+
+
Qint érieur
ε0
 
= ∫ E • dA
Puisque E = 0
ΦE = 0 =
Qint érieur
ε0
Donc q (nette) uniquement à
l’extérieur
Conséquence vérifiable du théorème de Gauss
2
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Exemple : Détermination du champ à la surface d’un conducteur.
On connaît la forme du champ
E
+
+
+
dA
+
+
+
+
+
+
E=0
+
+
+
Quelle surface prendre?
+
+
Surface de Gauss cylindrique
ou un prisme
Les conditions pour utiliser le théorème de Gauss sont
réunies.
3
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Partant du théorème
E
Qint
  Qint érieur
Φ E = ∫ E • dA =
dA1
ε0
∫ EdA
2
=0
∫ EdA1 =
∫ EdA
3
=0
+
Qint
ε0
+
+
+
E=0
+
++
dA3
+
+
+
+
+
+
Qint
On définit σ la
densité surfacique
de charge par
Qint
σ=
A
+
dA2
+
C/m 2
E
+
+
+
+
+
E=0
+
+
A
+
+
+
+
+
+
+
4
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
∫ EdA1 =
Qint
dA
ε0
σA
EA =
ε0
D’où
E
Qint
+
+
+
dA
+
+
+
+
+
+
++
E=0
+
σ
E=
ε0
+
+
σ
E=
ε0
E
+
+
+
Le champ résultant à la
surface du conducteur
+
+
+
+
+
+
+
E=0
+
+
+
+
+
5
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
∫
  Qint
E • dA =
ε0
Le champ résultant entre deux
plaques conductrices E15 chap3
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
6
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
∫
  Qint
E • dA =
ε0
σA
EA =
ε0
D’où
σ
E=
ε0
Hyperphysic
Le champ résultant entre deux
plaques conductrices E15 chap3
E=0
E=0
σ
E=
ε0
E=0
E=0
On calcule un champ résultant de toutes les
charges sur les plaques en prenant uniquement
celles à l’intérieur de la surface de Gauss
7
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Champ électrique à la surface d’un conducteur
quelque soit sa forme.
σ
E=
ε0
+
+
+
++
+
+
+
E=0
+
+
+
+
+
+
++
Utilité du théorème
Déterminer un champ électrique venant de toutes les charges en
prenant uniquement celles à l’intérieur de la surface de Gauss.
Superposition d’un champ lointain et champ local (Benson)
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3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Information sur la distribution de la charge électrique.
+
+
-
-
Q +
+
+
-
q(-)
+
-
-
-
+
q(+)
Soit une
charge + Q,
suspendue à
l’intérieur
d’une coquille
conductrice
neutre.
+
E=0
+
Que vaut q(-) et q(+)
sur les surfaces
intérieure et extérieure
la coquille?
9
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Information sur la distribution de la charge électrique
  Qint érieur
Φ E = ∫ E • dA =
ε0
+
+
-
Q +
+
+
-
+
-
Qint érieur
= Q + q ( −) = 0
-
+
q(+)
 
Φ E = ∫ E • dA = 0
q(-)
-
Partant du
théorème
+
E=0
q (−) = −Q
+
10
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Information sur la distribution de la charge électrique
Puisque la coquille
est neutre,
+
+
-
-
Q +
+
+
-
q(-) + q(+) =0
q(-)
+
-
-
donc
-
+
q(+)
+
E=0
+
q(-) = - q(+)
Utilité du théorème
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3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Preuve expérimentale du théorème de Gauss
Seau à glace de Faraday :
+
-
+
-
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+ - +
+
12
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Preuves expérimentales du théorème de Gauss
A) Seau à glace de Faraday :
Comme le prédit le théorème, la
charge d’un conducteur à l’équilibre
se trouve sur sa surface extérieure.
Simulation
+
+
+
Tiré de :
http://www.saburchill.com/physics/chapters/00
35.html
+
13
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Preuves expérimentales du théorème de Gauss
B) Expérience de Cavendish :
+
A
+
+
+
B
+
+
+
+
En chargeant la
coquille métallique
A, aucune charge
n’est allée sur la
sphère B,
conformément au
théorème de
Gauss.
D’autres mesures précises on
été faites en 1971
14
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Utilité du théorème de Gauss, savoir où se placer en cas
d’orage?
-
-
-
-
-
-
-
15
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Équivalence entre le théorème de Gauss la loi de
Coulomb.
En conclusion, pour une charge ponctuelle, le théorème
de Gauss confirme que le champ électrique est donné
par
  Q
Φ E = ∫ E • dA =
E 4πr =
2
q
kq
E=
= 2
2
r
4πε 0 r
int érieur
ε0
q
ε0
N/C
Aussi appelée loi de coulomb
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3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
En définissant la force électrique par
F = qessai E
On déduit que la force électrique de
Coulomb entre deux charges
ponctuelles sera
F
kqqessai
F=
2
r
N
Ce qui confirme la loi de Coulomb, 50 ans après son
expérience.
17
3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Il y a donc une certaine équivalence entre le loi de
Coulomb et le théorème de Gauss.
Cependant le théorème est plus général. Pour cette
raison, et comme nous le verrons plus tard, il fait partie
des quatre équations de Maxwell à partir desquelles nous
pouvons expliquer 90 % des effets électrique et
magnétique.
Éq. (1) de
Maxwell
  Qint érieur
Φ E = ∫ E • dA =
ε0
Utile pour calculer un champ électrique venant de toutes les
charges en prenant uniquement celles à l’intérieur de la surface
de Gauss
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3.5 Le théorème de Gauss et les conducteurs
Le résumé des points importants à retenir dans le
chapitre 3
Conditions d’utilisation du théorème de Gauss
Savoir, quand, comment et pourquoi
utiliser le théorème dans différentes
situations.
Site : Hyperphysics
  Qint érieur
Φ E = ∫ E • dA =
ε0
Voir sur ce site américain les applications dans la section «
Gauss’s law »
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Le théorème de Gauss
Synthèse : réseau de concepts
Le flux électrique traversant une surface
fermée est égale à la charge située à
l’intérieur de la surface divisée par ε0
Expériences de
Faraday et
Cavendish
Loi de coulomb
Prédictions reliées aux
propriétés importantes
des conducteurs à
l’équilibre
Situations pratiques
Théorème de
Gauss
∫
ΦE
 Qint érieur

E • dA =
ε0
Calcul d’un champ électrique
résultant ayant de la symétrie
avec uniquement une partie des
charges électriques
Isolant et conducteur
Site Hyperphysics
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