Chapitre 3 : VARIABLES ALEATOIRES ABSOLUMENT

Variables aléatoires absolument continues - page 1
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Chapitre 3 : VARIABLES ALEATOIRES ABSOLUMENT
CONTINUES
1. VARIABLES ALEATOIRES ABSOLUMENT CONTINUES
1.1. Densité de probabilité
Définition 1 :
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (, A, P).
Soit
FX
fonction de répartition.
On dit que X est absolument continue ou abusivement, continue, s’ il existe une fonction
appelée densité de probabilité de X, notée
X
, définie sur et vérifiant les propriétés
suivantes :
X
est positive
(a;b) R2, X(t)dt
a
b
 existe
X(t)dt est convergente
telle que
xR, Fx(x)  X(t)dt
x
Propriétés :
X(t)dt =1
FX
est continue sur
 En tout point où
X
est continue,
FX
est dérivable et on a, en ce point,
dFX
dx (x)  X(x)
1.2. Moments d’une variable aléatoire continue
Définition 2 :
Soit X une variable aléatoire absolument continue et soit
X
sa densité de probabilité.
Soit r un entier naturel non nul.
On appelle moment d’ordre r de la variable X le nombre noté
mr(X)
défini par
l’intégrale suivante, si elle existe :
mr(X) trX(t)dt
.
Propriété :
Si
mr(X)
existe, alors,
r r, m 
r (X) existe
.
Définition 3 :
Si X possède un moment d’ordre 1, celui-ci est appelé espérance de X et est noté E(X).
Remarque :
Les propriétés vues à la section 2.3 du chapitre précédent sont encore vraies.

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2. LOIS USUELLES
2.1. Loi uniforme
2.1.1. Définition :
Soit a et b deux nombres réels tels que a < b.
On appelle variable uniforme sur a ;b la variable aléatoire X absolument continue
admettant comme densité la fonction
X
constante sur a ;b et nulle à l’extérieur de cet
intervalle.
2.1.2. Propriété :
 La fonction
X
est définie par :
X(x) 
1
ba si x a;b
0 si x a;b
E(X) ab
2
V(X) (ba)2
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2.2. Loi exponentielle
2.2.1. Définition :
Soit  un réel strictement positif.
On appelle variable exponentielle de paramètre  la variable aléatoire absolument
continue X admettant comme densité la fonction
X
définie par :
X(x) e-x si x 0
0 si x < 0
2.2.2. Propriétés :
E(X) 1
V(X) 1
2
2.3. Loi normale ou de Laplace-Gauss
2.3.1. Définition :
Soit m un réel et  un réel strictement positif.
On appelle variable normale ou gaussienne de paramètres m et  la variable aléatoire
absolument continue X admettant comme densité la fonction
X
définie par :
X(x) 1
2e(xm)2
22
2.3.2. Propriétés
 E(X) = m
 V(X) = 2
2.3.3. Loi normale centrée réduite
Définition :
On appelle loi normale centrée réduite, la loi de la variable normale de paramètres 1 et
0.
Sa fonction de répartition sera notée
(x) f(t)dt 1
2f(t)dt
0
x x
.

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Propriétés :
 Les valeurs de la fonction  sont données par une table pour toute valeur
positive de la variable.
x0, (x) =1-(-x)
 Si X est une variable normale de paramètres m et , alors la variable
X*Xm
est une variable normale centrée réduite.