Chapitre 3 : VARIABLES ALEATOIRES ABSOLUMENT

Variables aléatoires absolument continues - page 1
Chapitre 3 : VARIABLES ALEATOIRES ABSOLUMENT
CONTINUES
1. VARIABLES ALEATOIRES ABSOLUMENT CONTINUES
1.1. Densité de probabilité
Définition 1 :
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (, A, P).
Soit FX fonction de répartition.
On dit que X est absolument continue ou abusivement, continue, s’ il existe une fonction
appelée densité de probabilité de X, notée  X , définie sur et vérifiant les propriétés
suivantes :

  X est positive
 (a;b)  R2 ,


b
a
X
(t)dt existe


 (t)dt est convergente
 X

x
telle que x  R, Fx (x)   X (t)dt



Propriétés :
   X (t)dt = 1
 FX est continue sur
 En tout point où  X est continue, FX est dérivable et on a, en ce point,
dFX

(x)  X (x)
dx




1.2. Moments d’une variable aléatoire continue
 Définition 2 :
Soit X une variable aléatoire absolument continue et soit  X sa densité de probabilité.
Soit r un entier naturel non nul.
On appelle moment d’ordre r de la variable X le nombre noté mr (X) défini par
l’intégrale suivante, si elle existe : mr (X) 

 r

Propriété :
Si mr (X) existe, alors, r r, mr (X) existe .


t X (t)dt .


Définition 3 :
Si X possède un moment d’ordre 1, celui-ci est appelé espérance de X et est noté E(X).

Remarque :
Les propriétés vues à la section 2.3 du chapitre précédent sont encore vraies.
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2. LOIS USUELLES
2.1. Loi uniforme
2.1.1. Définition :
Soit a et b deux nombres réels tels que a < b.
On appelle variable uniforme sur a ;b la variable aléatoire X absolument continue
admettant comme densité la fonction  X constante sur a ;b et nulle à l’extérieur de cet
intervalle.
2.1.2. Propriété :
 1

si x  a; b

 La fonction  X est définie par : X (x)  b  a
 0 si x  a; b

ab
 E(X) 
2

(b  a)2

 V(X) 
12

2.2. Loi exponentielle
2.2.1. Définition :

Soit  un réel strictement positif.
On appelle variable exponentielle de paramètre  la variable aléatoire absolument
e-x si x  0
continue X admettant comme densité la fonction  X définie par : X (x)  
 0 si x < 0
2.2.2. Propriétés :

1
 E(X) 


1
 V(X)  2

2.3. Loi normale ou de Laplace-Gauss

2.3.1. Définition :
Soit m un réel et  un réel strictement positif.
appelle variable normale ou gaussienne de paramètres m et  la variable aléatoire
On
absolument continue X admettant comme densité la fonction  X définie par :
X (x) 

1
 2

e
(xm ) 2
2 2

2.3.2. Propriétés
 E(X) = m
 V(X) = 2
2.3.3. Loi normale centrée réduite
Définition :
On appelle loi normale centrée réduite, la loi de la variable normale de paramètres 1 et
0.
x
x
1
Sa fonction de répartition sera notée (x)   f (t)dt    f (t)dt .

0
2

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Propriétés :
 Les valeurs de la fonction  sont données par une table pour toute valeur
positive de la variable.
 x  0, (x) = 1- (-x)
 Si X est une variable normale de paramètres m et , alors la variable
Xm
est une variable normale centrée réduite.
X* 


