TD N°3 Probabilité-Statistique

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Univérsité Djillali Liabes de Sidi Bel Abbes
Faculté de Technologie Département EBST
Probabilité-Statistique 2016/2017
Soit X une variable aléatoire nie prenant 2 valeurs: 0 et 1. On suppose que
P (X = 1) = p, where p ∈ R, 0 ≤ p ≤ 1 (on dit que X est une variable de Bernoulli).
1) Calculer E(X) et V(X).
2) Calculer les moments centrés d-ordre k (k ∈ N∗ ) de X
Exercice2: Soit X une variable aléatoire nie prenant les n valeurs x1 ; x2 ; ..........; xn avec les
probabilités respectives p1 ; p2 ; ..........; pn . (pi = P (X = xi ))
Soient a et b deux nombres réels, et Y = aX + b une variable aléatoire fonction de X.
Montrer que
1) E(Y ) = aE(X) + b
2) V (Y ) = a2 V (X)
Exercice3: Dénition: Si la fonction de répartition F d'une variable aléatoire continue X est
dérivable en tout point x ∈ R, de dérivée f (x), sauf peut-etre en un nombre ni de points, et
si:
Exercice1:
∫
∀x ∈ R, P (X ≤ x) = F (x) =
x
f (t)dt
−∞
on dit que X est une variable aléatoire absolument continue.
Supposons que X est une variable aléatoire réellé absolument continue de densité de probabilité
f.
Si a et b sont deux nombres réels, Y = aX + b Montrer que:
1) E(Y ) = aE(X) + b
2) V (Y ) = a2 V (X)
Exercice4: Soit X une variable aléatoire réelle absolument continue de densité de probabilité
f. On suppose E(X) et V(X) existent.
Montrer que V (x) = E(X 2 ) − [E(X)]2
Exercice5: Loi continue uniforme
Soit [a, b] (a < b) un intervalle de R. On dit que la variable aléatoire X absolument continue
est uniformément répartie sur [a, b] si sa densité de probabilité f est constante sur cet intervalle
et nulle ailleurs.
1) Déterminer f en fonction de a et b.
2) Calculer E(X) et V(X).
3) Déterminer la fonction de répartition F de X.
Exercice6: Soit f la fonction numérique d'une variable réelle dénie par
∀x, f (x) =
c
, where c ∈ R
1 + x2
1) Déterminer c pour que f soit une densité de probabilité.
2) Soit X une variable aléatoire absolument continue de densité de probabilité f. Montrer que
2
X n'admet pas d'espérance mathématique.
Exercice7: Une enquete a permis de constater que sur 200 acons d'un meme produit pharmaceutique, 50 ne pouvaient etre utilisées au-delà de 4 mois apres leur livraisons. Ces 200 acons
sont rangés de façon aléatoire sur une étagère. Trois personnes achétent chacune un acon dès
le 1er jour de livraison. Quelle est la probabilité pour que:
1) deux de ces 3 personnes aient un acon ne pouvant etre utilisé 4 mois après
2) aucune de ces personnes n'ait un acon ne pouvant etre utilisé 4 mois après. (On supposera que les 200 acons sont disposés de telle sorte qu'il puissent etre pris au hasard de façon
equiprobable.)
Exercice8: L'observation de 200 personnes hospitalisées à montrer que les résultats d'une série
de tests sont tous négatifs pour 10 d'entre elles, et partiellement positifs pour les 190 autres.
1) Quelle est la probabilité pour que tous les tests d'une personne soient négatifs?
2) Quelle est la valeur moyenne du nombre de tests possitifs par individu sachant que ce nombre
obéit à une loi de Poisson?
3) Construire l'histogramme de la distribution.
Exercice9: En utilisant le changement de variables x = r cos θ et y = r sin θ , ce qui entraine
dxdy = rdrdθ, calculer:
1) I1 =
∫
+∞
e−x
2 /2
dx
−∞
1
2) Montrer que I2 = √
σ 2π
∫
+∞
−∞
e−1/2(
x−m 2
)
σ
dx = 1