1S - Perpendiculaires

Mathématiques en Première S
David ROBERT
2012–2013
Sommaire
1 Second degré
1.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définition, forme développée . . . . .
1.2.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Racines et discriminant . . . . . . . .
1.2.4 Forme factorisée, signe d’un trinôme
1.3 Fonction trinôme . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Sens de variation . . . . . . . . . . . .
1.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Démonstration(s) . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Technique . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Algorithmique . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Technologie . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . .
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Devoir maison n°1 : Intersection droite – parabole
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Devoir surveillé n°1 : Second degré
2 Vecteurs dans le plan
2.1 Rappels de Seconde . . . . . . . . . . .
2.1.1 Translations et vecteurs . . . . .
2.1.2 Somme de deux vecteurs . . . .
2.1.3 Produit d’un vecteur par un réel
2.1.4 Colinéarité . . . . . . . . . . . . .
2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Devoir maison n°2 : Trinôme – Centre de gravité
3 Généralités sur les fonctions
3.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Notion de fonction (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions . . . . . . . . . . .
3.3.2 Variations de f + g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Fonctions associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Comparaisons de fonctions – Positions relatives de courbes
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Devoir surveillé n°2 : Vecteurs – Fonctions
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
5
6
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13
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SOMMAIRE
Première S
4 Suites arithmétiques, suites géométriques
4.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Petit historique sur les suites . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Définition et notations . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Modes de génération d’une suite . . . . . . . . . . .
4.2.4 Représentation graphique d’une suite . . . . . . . .
4.2.5 Monotonie d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques
4.3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Devoir maison n°3 : Suites arithmétiques et géométriques
38
Devoir surveillé n°3 : Suites arithmétiques et géométriques
39
5 Équations cartésiennes
5.1 Rappels de Seconde . . . . . . . . . . . . .
5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs
5.3 Équations cartésiennes d’une droite . . . .
5.4 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . .
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Vecteurs – Colinéarité . . . . . . . .
5.5.2 Équations de droites . . . . . . . . .
5.5.3 Équations de cercle . . . . . . . . . .
5.5.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Devoir maison n°4 : Intersection droite – cercle
45
Devoir surveillé n°4 : Équations cartésiennes
47
6 Nombre dérivé
6.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Interprétation graphique du nombre dérivé . .
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Coefficients directeurs (rappels) . . . . .
6.4.2 Lectures graphiques de nombres dérivés
6.4.3 Tracés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 Calculs de nombres dérivés . . . . . . . .
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7 Statistiques
7.1 Rappels de Seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Mesures centrales . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Mesures de dispersion . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Un problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . .
7.3 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Médiane et quartiles . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Moyenne arithmétique, variance et écart-type
7.3.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . .
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Devoir maison n°5 : Statistiques
67
Devoir surveillé n°5 : Nombre dérivé – Statistiques
69
iv
http ://perpendiculaires.free.fr/
SOMMAIRE
Première S
8 Dérivation
8.1 Fonction dérivée . . . . . . . . . . .
8.1.1 Activités . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Bilan et compléments . . . .
8.2 Opérations sur les fonctions . . . . .
8.2.1 Activités . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Bilan et compléments . . . .
8.3 Applications de la fonction dérivée .
8.3.1 Activités . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Bilan et compléments . . . .
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Technique . . . . . . . . . . .
8.4.2 Lectures graphiques . . . . .
8.4.3 Études de fonctions . . . . .
8.4.4 Problèmes . . . . . . . . . . .
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Devoir surveillé n°6 : Dérivation
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71
71
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72
72
73
73
73
74
74
74
77
79
83
9 Variables aléatoires
9.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Vocabulaire des ensembles . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Expériences aléatoires . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Loi de probabilité sur un univers Ω . . . . . . .
9.3.2 Une situation fondamentale : l’équiprobabilité
9.3.3 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Les situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . .
9.4.4 Espérance, variance, écart type . . . . . . . . . .
9.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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91
Devoir maison n°6 : Probabilités
94
Devoir surveillé n°7 : Dérivation – Variables aléatoires
95
10 Angles orientés
10.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls
10.2.3 Propriétés des mesures des angles orientés . . .
10.2.4 Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . . . . .
10.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Lignes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Résolutions d’équations trigonométriques . . .
10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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97
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101
11 Produit scalaire : définitions, propriétés
Formules de la médiane
11.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Bilan et compléments . . . . . . . .
11.2.1 Définitions . . . . . . . . . . .
11.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . .
11.3 Formules de la médiane . . . . . . .
11.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
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Devoir maison n°7 : Puissance d’un point par rapport à un cercle
David ROBERT
112
v
SOMMAIRE
Première S
12 Loi binomiale
12.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Premières définitions . . . . . . . . .
12.2.2 Cœfficients binomiaux . . . . . . . .
12.2.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . .
12.2.4 Utilisation de la calculatrice . . . . .
12.2.5 Échantillonage et prise de décision
12.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Devoir surveillé n°8 : Produit scalaire – Loi binomiale
13 Compléments sur les suites
13.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Monotonie d’une suite : méthodes . . . .
13.2.1 Signe de la différence un+1 − un .
à1 . . . . .
13.2.2 Comparaison de uun+1
n
13.2.3 Variations de la fonction associée
13.3 Convergence d’une suite . . . . . . . . . .
13.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . .
13.4.2 Convergence . . . . . . . . . . . . .
113
113
116
116
116
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14 Applications du produit scalaire
14.1 Équations cartésiennes de droites et de cercles
14.1.1 Équations cartésiennes de droites . . . .
14.1.2 Équations cartésiennes de cercle . . . . .
14.2 Relations métriques dans le triangle . . . . . . .
14.2.1 Formule d’A L -K ASHI . . . . . . . . . . . .
14.2.2 Formule de l’aire . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3 Formule des sinus . . . . . . . . . . . . .
14.2.4 Formule de H ÉRON . . . . . . . . . . . . .
14.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.2 Formules d’addition . . . . . . . . . . . .
14.3.3 Formules de duplication . . . . . . . . . .
14.3.4 Formules de linéarisation . . . . . . . . .
14.3.5 Démonstrations des formules . . . . . .
14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.1 Équations cartésiennes . . . . . . . . . .
14.4.2 Relations métriques . . . . . . . . . . . .
14.4.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . .
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136
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vi
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http ://perpendiculaires.free.fr/
Chapitre 1
Second degré
Sommaire
1.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1 Définition, forme développée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.3 Racines et discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.4 Forme factorisée, signe d’un trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Fonction trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.2 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5.1 Démonstration(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5.2 Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5.3 Algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.4 Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5.5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1 Activités
A CTIVITÉ 1.1.
¢2
¡
Soient f et g deux fonctions définies sur R par, respectivement f (x) = 2x 2 − x − 1 et g (x) = 2 x − 41 − 98 .
1. Montrer que, pour tout réel x, f (x) = g (x).
2. En déduire l’extremum de f .
3. En déduire les éventuelles solutions de l’équation f (x) = 0.
4. En déduire le signe de f selon les valeurs de x
On vient de voir, sur un exemple, que lorsqu’une fonction trinôme f (x) = ax 2 + bx + c est écrite sous la forme f (x) =
α(x + β)2 + γ, appelée forme canonique (on admettra qu’une telle forme existe toujours), alors il est plus facile d’en
étudier les caractéristiques. En Seconde, cette seconde forme était toujours donnée, en Première nous allons apprendre
à la trouver, c’est-à-dire à trouver α, β et γ à partir de a, b et c.
A CTIVITÉ 1.2 (Cas général).
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des réels, avec a 6= 0 et α, β et γ trois réels tels
qu’on a aussi f (x) = α(x + β)2 + γ.
1. Développer α(x + β)2 + γ.
4. Application : on donne f (x) = −3x 2 +6x−4 pour tout
x ∈ R.
(a) Déterminer la forme canonique de f
(b) En déduire l’extremum de f .
(c) En déduire les éventuelles solutions de l’équation f (x) = 0.
(d) En déduire le signe de f selon les valeurs de x
2. On admet que deux fonctions trinômes f : x 7→ ax 2 +
bx + c et g : x 7→ a ′ x 2 + b ′ x + c ′ sont égales pour tout
x ∈ R si et seulement si a = a ′ , b = b ′ et c = c ′ .
En déduire a, b et c en fonction de α, β et γ.
3. En déduire α, β et γ en fonction de a, b et c.
1
1.2 Trinôme
Première S
1.2 Trinôme
1.2.1 Définition, forme développée
Définition 1.1. On appelle trinôme toute expression qui peut s’écrire sous la forme ax 2 + bx + c où a, b et c sont des
réels et a 6= 0. Cette forme s’appelle la forme développée du trinôme.
1.2.2 Forme canonique
Théorème 1.1. Tout trinôme ax 2 +bx +c peut s’écrire sous la forme α(x +β)2 +γ où α, β et γ sont des réels. Cette forme
s’appelle la forme canonique du trinôme.
Preuve. L’activité 1.2 a montré que α = a, β =
b
2a
et γ = − b
2 −4ac
4a
.
♦
Remarque. Pour alléger les écritures, et parce que cette quantité aura un rôle important plus tard, on notera :
∆ = b 2 − 4ac.
La forme canonique devient alors :
Propriété 1.2.
µ
b
Si a 6= 0 alors ax + bx + c = a x +
2a
2
¶2
−
∆
4a
où ∆ = b 2 − 4ac
1.2.3 Racines et discriminant
Définitions 1.2. Soit un trinôme ax 2 + bx + c. On appelle :
• racine du trinôme tout réel solution de l’équation ax 2 + bx + c = 0 ;
• discriminant du trinôme, noté ∆, le nombre ∆ = b 2 − 4ac.
Propriété 1.3. Soit ax 2 + bx + c un trinôme et ∆ = b 2 − 4ac son discrimant.
• Si ∆ < 0, alors le trinôme n’a pas de racine.
b
• Si ∆ = 0, alors le trinôme a une unique racine : x0 = −
.
2a
p
p
−b+ ∆
∆
• Si ∆ > 0, alors le trinôme a deux racines : x1 = 2a et x2 = −b−
2a
Preuve. La preuve sera faite en classe.
♦
Remarques. • Le signe de ∆ permet de discriminer 1 les équations de type ax 2 + bx + c = 0 qui ont zéro, une ou deux
solutions, c’est la raison pour laquelle on l’appelle le discriminant.
• Si ∆ = 0 les formules permettant d’obtenir x1 et x2 donnent x1 = x0 et x2 = x0 ; pour cette raison, on appelle parfois
x0 la racine double du trinôme.
1.2.4 Forme factorisée, signe d’un trinôme
Propriété 1.4. Soit ax 2 + bx + c un trinôme.
• Si le trinôme a deux racines x1 et x2 alors ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
• Si le trinôme a une racine x0 alors ax 2 + bx + c = a(x − x0 )(x − x0 ) = a(x − x0 )2 .
• Si le trinôme n’a pas de racine, une telle factorisation est impossible.
Cette écriture, lorsqu’elle existe, est appelée forme factorisée du trinôme.
Preuve. On a obtenu les formes factorisées dans la démonstration précédente.
♦
Propriété. Soit ax 2 + bx + c un trinôme.
• Si le trinôme n’a pas de racine, ax 2 + bx + c est strictement du signe de a pour tout x.
b
b
et s’annule quand x = − 2a
.
• Si le trinôme a une racine, ax 2 + bx + c est strictement du signe de a pour tout x 6= − 2a
2
• Si le trinôme a deux racines x1 et x2 , ax + bx + c est :
· strictement du signe de a quand x ∈] − ∞; x1 [∪]x2 ; +∞[ ;
· strictement du signe opposé de a quand x ∈]x1 ; x2 [ ;
· s’annule en x1 et en x2 .
1. Discriminer. v. tr. Faire la discrimination, c’est-à-dire l’action de distinguer l’un de l’autre deux objets, ici des équations
2
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1.3 Fonction trinôme
Première S
On peut aussi énoncer cette propriété de la façon synthétique suivante :
Propriété 1.5. Un trinôme ax 2 + bx + c est du signe de a sauf entre les racines, si elles existent.
Preuve. La preuve sera faite en classe.
♦
1.3 Fonction trinôme
1.3.1 Définition
Définition 1.3. On appelle fonction trinôme une fonction f , définie sur R, qui à x associe f (x) = ax 2 +bx +c où a 6= 0.
1.3.2 Sens de variation
Propriété 1.6. Soit f (x) = ax 2 + bx + c une fonction trinôme. Alors f a les variations résumées dans les tableaux cidessous :
• Si a < 0 :
• Si a > 0 :
x
f
−∞
−
b
2a
+∞
+∞
x
+∞
f
−∞
−
b
2a
−∞
+∞
−∞
Preuve. Voir l’exercice 1.1 de la présente page.
♦
1.4 Bilan
Le tableau 1.1 page suivante résume les choses à retenir sur le chapitre.
1.5 Exercices et problèmes
1.5.1 Démonstration(s)
E XERCICE 1.1.
³
´2
b
∆
Soit f une fonction définie sur R telle que f (x) = ax 2 + bx + c = a x + 2a
où a 6= 0. Dans chacun des cas suivants,
− 4a
compléter :
b
1. a > 0 et x1 < x2 6 − 2a
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
x1
b
x1 + 2a
´2
³
b
x1 + 2a
´2
³
b
a x1 + 2a
³
´2
b
∆
a x1 + 2a
− 4a
f (x1 )
<
......
......
......
......
......
x2
b
x2 + 2a
´2
³
b
x2 + 2a
´2
³
b
a x2 + 2a
´2
³
b
∆
a x2 + 2a
− 4a
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
f (x2 )
......
......
x2
b
x2 + 2a
´2
³
b
x2 + 2a
´2
³
b
a x2 + 2a
´2
³
b
∆
a x2 + 2a
− 4a
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
Donc f est . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
2. a > 0 et − 2a
6 x1 < x2
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
x1
b
x1 + 2a
´2
³
b
x1 + 2a
³
´2
b
a x1 + 2a
³
´2
b
∆
a x1 + 2a
− 4a
f (x1 )
<
......
......
......
......
......
f (x2 )
Donc f est . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
David ROBERT
3
1.5 Exercices et problèmes
Première S
TABLE 1.1: Bilan du second degré
∆ = b 2 − 4ac
∆=0
∆<0
ax 2 + bx + c = 0 n’a pas de
solution dans R
ax 2 + bx + c n’a pas de racine
Aucune factorisation
x
ax 2 + bx + c = 0 a une
b
solution : x0 = − 2a
ax 2 + bx + c a une racine
double
ax 2 + bx + c = a(x − x0 )2
−∞
−
b
2a
∆>0
ax 2 + bx + c = 0 a deux
p
∆
et
solutions x1 = −b−
2a
x2 =
ax 2 + bx + c a deux racines
ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
+∞
ax 2 + bx + c
Si a > 0
y
y
y
×
−
b
2a
x
O
×
O
2
x0 = −
−∞
−
b
2a
−
b
2a
x2
O
×
x
ax 2 + bx + c > 0 sur
] − ∞; x1 ] ∪ [x2 ; +∞[
et ax 2 + bx + c 6 0 sur [x1 ; x2 ]
ax + bx + c > 0 sur R
x
x1
x
b
2a
2
ax + bx + c > 0 sur R
+∞
ax 2 + bx + c
Si a < 0
y
x0 = −
b
−
2a
O
×
x
y
b
2a
y
O x
x1
×
O
ax 2 + bx + c < 0 sur R
4
p
−b+ ∆
2a
ax 2 + bx + c 6 0 sur R
×
−
b
2a
x2
x
ax 2 + bx + c 6 0 sur
] − ∞; x1 ] ∪ [x2 ; +∞[
et ax 2 + bx + c > 0 sur [x1 ; x2 ]
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1.5 Exercices et problèmes
Première S
b
3. a < 0 et x1 < x2 6 − 2a
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
x1
b
x1 + 2a
´2
³
b
x1 + 2a
´2
³
b
a x1 + 2a
³
´2
b
∆
a x1 + 2a
− 4a
f (x1 )
<
......
......
......
......
......
x2
b
x2 + 2a
´2
³
b
x2 + 2a
´2
³
b
a x2 + 2a
´2
³
b
∆
a x2 + 2a
− 4a
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
f (x2 )
......
......
x2
b
x2 + 2a
´2
³
b
x2 + 2a
´2
³
b
a x2 + 2a
´2
³
b
∆
a x2 + 2a
− 4a
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
Donc f est . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
6 x1 < x2
4. a < 0 et − 2a
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
x1
b
x1 + 2a
´2
³
b
x1 + 2a
³
´2
b
a x1 + 2a
´2
³
∆
b
− 4a
a x1 + 2a
f (x1 )
<
......
......
......
......
......
f (x2 )
Donc f est . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 1.2.
Soit f une fonction définie sur R par f (x) = ax 2 + bx + c où a 6= 0.
1. Montrer que si a et c sont de signes opposés alors l’équation f (x) = 0 admet deux solutions.
2. Peut-on affirmer que si l’équation f (x) = 0 admet deux solutions alors a et c sont de signes opposés ?
1.5.2 Technique
E XERCICE 1.3.
Résoudre dans R, sans utiliser les propriétés des trinômes, les équations suivantes :
• x2 = 9 ;
• x 2 = −3 ;
• (x − 5)2 = 3 ;
• (5x − 4)2 − (3x + 7)2 = 0 ;
• (3x + 5)2 = (x + 1)2 ;
• (2x − 1)2 + x(1 − 2x) = 4x 2 − 1.
E XERCICE 1.4.
Résoudre dans R les équations suivantes :
• 4x 2 − x − 3 = 0 ;
• (t + 1)2 + 3 = 0 ;
• x 2 + 1050 x + 25 × 1098 = 0 ;
E XERCICE 1.5.
On note P (x) = −2x 2 − x + 1.
1. Résoudre P (x) = 0.
• x 2 + 3x = 0 ;
• 4x 2 − 9 = 0 ;
• x2 + 9 = 0 ;
• x 3 + 2x 2 − 4x + 1 = 0 ;
• x 3 + 2x 2 − 4x = 0
• 2(2x + 1)2 − (2x + 1) − 6 = 0.
2. Factoriser P (x).
E XERCICE 1.6.
Pour les fonctions données ci-après et définies sur R :
• Déterminer les éventuelles valeurs de x pour lesquelles la fonction s’annule.
• Donner le signe de la fonction selon les valeurs de x.
1. f (x) = x 2 + x + 1
2
2. g (x) = −x − x + 1
3. h(x) = x 2 − x − 2
4. i (x) = −x + 2x − 1
E XERCICE 1.7.
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
2x − 5 x − 1
•
=
x −1
x +1
2
x −x +1
= 2x + 3
•
x +2
2
• −2x + 7x − 5 6 0 ;
David ROBERT
2
3. Résoudre P (x) 6 0.
5. j (x) = −x 2 + 2x − 2
• −x 2 + 9x + 22 > 0 ;
3x 2 + x + 1
> 0.
x 2 − 3x − 10
x 2 − 3x + 2
•
>0
−x 2 + 2x + 3
•
5
1.5 Exercices et problèmes
Première S
1.5.3 Algorithmique
E XERCICE 1.8.
Les algorithmes à écrire suivants prennent tous comme arguments trois réels a, b et c avec a 6= 0.
1. Écrire un algorithme renvoyant la valeur du discriminant du trinôme ax 2 + bx + c.
2. Écrire un algorithme renvoyant le signe du discriminant du trinôme ax 2 + bx + c.
3. Écrire un algorithme renvoyant le nombre de racines du trinôme ax 2 + bx + c.
4. Écrire un algorithme renvoyant le nombre de racines du trinôme ax 2 + bx + c et la valeur de ces racines, le cas
échéant.
5. Écrire un algorithme renvoyant le signe du trinôme ax 2 + bx + c suivant les valeurs de x.
1.5.4 Technologie
E XERCICE 1.9.
Soit f la fonction polynôme définie sur R par f (x) = −x 3 − 3x 2 + 13x + 15.
1. Montrer que x = −1 est racine de ce polynôme.
2. Déterminer trois réels a, b et c tels que f (x) = (x + 1)(ax 2 + bx + c).
3.
(a) Terminer la factorisation de f (x).
(b) Résolvez l’inéquation f (x) > 0.
E XERCICE 1.10.
¡
¢
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −3x 2 +2x +1. On note C la courbe représentative de f dans un repère O ;~ı,~ .
1. Précisez la nature de la courbe C et les coordonnées de son sommet S.
2. Montrer que la courbe C coupe l’axe des ordonnées en un point dont on précisera les coordonnées.
3. Montrer que la courbe C coupe l’axe des abscisses en deux points A et B dont on précisera les coordonnées.
4. Pour quelles valeurs de x la courbe C est-elle situé au dessus de l’axe des abscisses ?
E XERCICE 1.11.
Voici quatre équations :
• A : y = x 2 − 6x + 8
• B : y = 2(x − 2)(x − 4)
• C : y = x2 + 1
La figure 1.1 de la présente page propose quatre paraboles.
Retrouver l’équation de chacune de ces paraboles en justifiant.
• D : y = 1 − x2
F IGURE 1.1: Paraboles de l’exercice 1.11
7 y
6
4
P2
3
6
−4 −3 −2 −1
−1
5
x
1
2
3
4
5
1
2
3
P3
−3
2
−4
1
−4 −3 −2 −1
−1
x
−2
3
1
7
1
4
2
−2
y
7
5
−1
−1
8
8 y
P1
9 y
x
1
2
3
−5
−6
−7
6
5
4
P4
3
2
1
−1
−1
x
1
2
3
4
E XERCICE 1.12.
Chacune des trois paraboles de la figure 1.12 de la présente page est la représentation graphique d’une fonction trinôme.
Déterminer l’expression de chacune de ces fonctions.
E XERCICE 1.13.
On donne, définies sur R, les fonctions f (x) = x 2 + x − 1 et g (x) = x + 3.
1. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection des courbes de f et de g .
2. Déterminer les positions relatives des courbes de f et de g c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles la courbe
de f et au-dessus de celle de g et réciproquement.
E XERCICE 1.14.
Mêmes questions que l’exercice précedent avec f (x) = x 2 et g (x) = x.
6
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5
6
1.5 Exercices et problèmes
Première S
6
F IGURE 1.2: Paraboles de l’exercice 1.12
y
4
y
5
y
P2
3
3
P3
2
4
P1
2
3
1
2
1
x
−3
−2
−1
−1
1
x
1
−1
−1
1
2
3
x
4
−4
−3
−2
−2
−1
−1
−2
−3
1.5.5 Problèmes
P ROBLÈME 1.1.
Une entreprise produit de la farine de blé.
On note q le nombre de tonnes de farine fabriquée avec 0 < q < 80.
La tonne est vendue 120 ( et le coût de fabrication de q tonnes de farine est donné, en (, par C (q) = 2q 2 + 10q + 900.
1. Déterminer la quantité de farine à produire pour que la production soit rentable.
2. Déterminer la production correspondant au bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice.
P ROBLÈME 1.2.
Trouver deux nombres dont la somme est égale à 57 et le produit égal à 540.
P ROBLÈME 1.4.
Quelle largeur doit-on donner à la croix pour que son aire
soit égale à l’aire restante du drapeau ?
x
3 cm
P ROBLÈME 1.3.
Une zone de baignade rectangulaire est délimitée par une
corde (agrémentée de bouées) de longueur 50 m. Quelles
doivent être les dimensions de la zone pour que la surface
soit maximale ?
zone de baignade
x
4 cm
plage
P ROBLÈME 1.5.
A et B sont deux points du plan tels que AB = 1. M est un
point du segment [AB]. On construit dans le même demiplan les points P et Q tels que AMP et MBQ sont des triangles équilatéraux.
Q
b
P
1. Déterminer la position de M qui rend maximale
l’aire du triangle MPQ.
b
A
2. Expliquer pourquoi cette position rend minimale
l’aire du quadrilatère ABQP .
David ROBERT
b
b
b
B
M
7
1.5 Exercices et problèmes
Première S
P ROBLÈME 1.6.
D est une droite quelconque du plan et F un point du plan n’appartenant pas à D. On cherche à déterminer l’ensemble
P des points du plans situés à égale distance de la droite D et du point F .
On admet que la distance d d’un point M à une droite D est la longueur H M où H est le pied de la perpendiculaire à D
passant par M.
Partie A : Découvrir à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique
À l’aide du logiciel Geogebra :
• Créer une droite (AB) et un point F n’appartenant pas à (AB).
• Créer un curseur nommé d allant de 0 à 20 avec des incréments de 0,1.
• Construire l’ensemble des points situés à la distance d de la droite (AB) dans le même demi-plan que F .
• Construire l’ensemble des points situés à la distance d du point F .
• Jouer avec le curseur jusqu’à trouver des points situés à égale distance de (AB) et de F .
• Créer ces points, activer le mode tracer pour ces points et conjecturer l’allure de cet ensemble de points en jouant
avec le curseur d. Nous allons démontrer que cette conjecture est vraie.
Partie B : Démontrer
¡
¢
Dans le dessin précédent, on peut toujours se placer dans le repère orthonormé O ;~ı,~ suivant : O est le point de la
droite (AB) tel que (OF )⊥(AB) et k~ık = k~k = OF .
1. Quelle est l’équation de la droite (AB) dans ce repère ?
2. Quelles sont les coordonnées de F dans ce repère ?
3. Observons un point M(x ; y) situé à égale distance de la droite (AB) et du point F .
(a) Exprimer la distance de ce point à la droite (AB) en fonction de x et y.
(b) Exprimer la distance de ce point au point F en fonction de x et y.
(c) Montrer que ces deux distances sont égales si et seulement si M appartient à une courbe dont on précisera
l’équation.
Préciser alors la nature de cette courbe.
8
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Devoir maison n°1
Devoir maison n°1
Intersection droite – parabole
Intersection droite – parabole
À rendre pour le vendredi 21 septembre.
À rendre pour le vendredi 21 septembre.
¡
¢
Le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ .
P est la parabole d’équation y = x 2 − 4x + 3 et Dm est la droite d’équation
y = mx + 2 où m est un réel quelconque.
¡
¢
Le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ .
P est la parabole d’équation y = x 2 − 4x + 3 et Dm est la droite d’équation
y = mx + 2 où m est un réel quelconque.
L’objectif de ce devoir est de déterminer quel est le nombre de points d’intersection de la parabole P et de la droite Dm selon les valeurs de m.
L’objectif de ce devoir est de déterminer quel est le nombre de points d’intersection de la parabole P et de la droite Dm selon les valeurs de m.
Partie A. Étude d’un cas particulier : m = 1
Partie A. Étude d’un cas particulier : m = 1
1. Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et de D1 si
et seulement si x est solution de x 2 − 4x + 3 = x + 2.
1. Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et de D1 si
et seulement si x est solution de x 2 − 4x + 3 = x + 2.
2. Résoudre cette équation.
2. Résoudre cette équation.
3. En déduire le nombre de points d’intersection de la parabole P et de la
droite D1 .
3. En déduire le nombre de points d’intersection de la parabole P et de la
droite D1 .
Partie B. Cas général : m quelconque
Partie B. Cas général : m quelconque
1. Une conjecture
À l’aide du logiciel Geogebra et d’un curseur m, représenter P et Dm et
conjecturer, selon les valeurs de m, le nombre de points d’intersection
de la parabole P et de la droite Dm .
On indiquera clairement les arguments en faveur de cette conjecture et on
joindra son fichier Geogebra à sa copie.
1. Une conjecture
À l’aide du logiciel Geogebra et d’un curseur m, représenter P et Dm et
conjecturer, selon les valeurs de m, le nombre de points d’intersection
de la parabole P et de la droite Dm .
On indiquera clairement les arguments en faveur de cette conjecture et on
joindra son fichier Geogebra à sa copie.
2. Résolution algébrique du problème
2. Résolution algébrique du problème
(a) Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et de
Dm si et seulement si x est solution de l’équation
(a) Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et de
Dm si et seulement si x est solution de l’équation
E m : x 2 − (4 + m)x + 1 = 0
E m : x 2 − (4 + m)x + 1 = 0
(b) Déterminer, en fonction de m, l’expression du discrimant ∆m de
l’équation E m .
(b) Déterminer, en fonction de m, l’expression du discrimant ∆m de
l’équation E m .
(c) Déterminer le signe de ∆m selon les valeurs de m.
(c) Déterminer le signe de ∆m selon les valeurs de m.
(d) En déduire le nombre de solutions de l’équation E m selon les
valeurs de m.
(d) En déduire le nombre de solutions de l’équation E m selon les
valeurs de m.
(e) Conclure.
(e) Conclure.
Nom :
Vendredi 28 septembre 2012 – 1h00
Devoir surveillé n°1
Second degré
E XERCICE 1.1 (3 points).
Soit ax 2 + bx + c un trinôme.
L’algorithme ci-contre prend comme arguments a, b et c
(avec a 6= 0) et doit renvoyer les valeurs des racines du
trinôme, s’il y en a, mais il est incomplet.
Le compléter afin qu’il fonctionne.
On n’oubliera pas de joindre cet énoncé à sa copie.
ENTREES
a, b, c
INSTRUCTIONS
Delta PREND LA VALEUR .............
SI .............. ALORS
AFFICHER "Pas de racines"
FIN SI
SI .............. ALORS
x_0 PREND LA VALEUR ..............
AFFICHER x_0
FIN SI
SI .............. ALORS
x_1 PREND LA VALEUR ..............
x_2 PREND LA VALEUR ..............
AFFICHER x_1
AFFICHER x_2
FIN SI
E XERCICE 1.2 (3 points).
Les courbes P 1 , P 2 et P 3 des figures ci-dessous sont des paraboles, représentatives de fonctions trinômes f 1 , f 2 et f 3
du type f (x) = ax 2 + bx + c, de discriminant ∆.
Sans justifier, pour chacune de ces trois fonctions, préciser, sur votre copie, le signe de a et le signe de ∆.
4 y
y
y
P3
2
P1
3
2
1
1
2
x
x
−3 −2 −1
1
2
3
1
−3 −2 −1
1
2 3
−1
x
P2
−1
−3 −2 −1
1
2
3
−2
−2
−1
−3
E XERCICE 1.3 (4 points).
Les courbes P 1 et P 2 des figures ci-dessous sont des paraboles représentatives de fonctions trinômes f 1 et f 2 .
En justifiant, donner une expression de f 1 (x) et une expression de f 2 (x).
y
y
P1
4
4
P2
3
3
b
2
1
b
−3
−2
−1
b
−1
2
1
b
x
1
−2
E XERCICE 1.4 (4 points).
Le bénéfice B, en milliers d’euros, d’une entreprise, en
fonction de la quantité q de tonnes produites pour 0 6 q 6
10, est donné par : B(q) = −q 2 + 8q − 8.
1. Déterminer pour quelle production l’entreprise est
bénéficiaire (on arrondira la production au kilogramme).
2. Montrer qu’il existe une production pour laquelle le
bénéfice est maximal et donner la valeur de cette
production et de ce bénéfice maximal.
b
−1
−1
1
b
2
x
3
−2
E XERCICE 1.5 (6 points).
x 2 +x−2
On donne : f (x) = −2x
2 +4x+6
1. Étudier le signe de x 2 + x − 2 selon les valeurs de x.
2. Étudier le signe de −2x 2 + 4x + 6 selon les valeurs de
x.
3. Résoudre l’inéquation f (x) > 0.
Chapitre 2
Vecteurs dans le plan
Sommaire
2.1 Rappels de Seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Translations et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.2 Somme de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.3 Produit d’un vecteur par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.4 Colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
L’objectif de ce chapitre est de se familiariser avec la notion de vecteur du plan, sans qu’un repère du plan soit donné a
priori.
2.1 Rappels de Seconde
On trouvera dans ce paragraphe un rappel des définitions et propriétés sur les vecteurs vues en Seconde.
Comme ce sont des rappels, les exemples seront limités et les propriétés ne seront pas re-démontrées.
2.1.1 Translations et vecteurs
Définition 2.1 (Translation). Soient A et B deux points du plan.
On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui à tout point M du plan associe l’unique point M ′
tel que [AM ′ ] et [B M] ont même milieu.
Remarque. AB M ′ M est alors un parallélogramme.
−→
Définition 2.2 (Vecteur). On appelle vecteur AB le bipoint associé à la translation qui transforme A en B.
A est appelé origine du vecteur, B est appelé extrémité du vecteur.
−→
La translation qui transforme A en B sera appelée translation de vecteur AB .
Définition 2.3 (Vecteurs égaux et parallélogramme). Deux vecteurs sont dits égaux s’ils sont associés à une même
translation, ce qui revient à :
−→ −−→
AB = C D ⇔ ABDC parallélogramme
Remarque. Attention à l’ordre des lettres !
On peut aussi définir un vecteur de la manière suivante :
Définition 2.4 (Direction, sens et norme). Un vecteur ~
u non nul est déterminé par :
• sa direction ;
• son sens ;
• et sa longueur, appelée norme du vecteur, notée k~
u k.
On a alors :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
13
2.1 Rappels de Seconde
Première S
2.1.2 Somme de deux vecteurs
Définition 2.5 (Somme de deux vecteurs). La somme de deux vecteurs ~
u et ~
v est le vecteur associé à la translation
résultat de l’enchaînement, on dit aussi la composition, des translations de vecteur ~
u et de vecteur ~
v.
~
v
C
B
Propriété 2.1 (Relation de C HASLES).
−→
Pour tous points A, B et C , on a : AB +
−→ −→
BC = AC
~
u
~
u +~
v
A
B
Propriété 2.2 (Règle du parallélogramme). Pour tous points A, B, C et
−→ −→ −−→
D on a : AB + AC = AD ⇔ ABC D parallélogramme.
D
~
u
~
v
A
~
u +~
v
C
Définition 2.6 (Vecteur nul, vecteurs opposés). On appelle vecteur nul, noté ~0, tout vecteur dont son origine et son
extrémité sont confondues. La translation associée laisse tous les points invariants.
u.
u = −~
v ou ~
v = −~
u +~
v =~0. On peut noter ~
u et ~
v tels que ~
On appelle vecteurs opposés tous vecteurs ~
−→ −→
−→ −→ −−→ →
−
Propriété 2.3 (Vecteurs opposés). Les vecteurs AB et B A sont des vecteurs opposés car AB + B A = A A = 0 .
−→
−→ −→
−→
On a donc AB = −B A et B A = − AB .
Propriété 2.4 (Milieu d’un segment). Soient A et B deux points distincts et I un point du plan. Alors :
−→ −→ →
−→ −→
−
I milieu de [AB] ⇔ I A + I B = 0 ⇔ I A = B I .
2.1.3 Produit d’un vecteur par un réel
Définition 2.7 (Produit d’un vecteur par un réel). Soit k un réel non nul et ~
u un vecteur non nul. Alors le vecteur k~
u
est un vecteur dont :
• la direction est celle de ~
u
• le sens est celui de ~
u si k > 0, le sens opposé de celui de ~
u si k < 0
• la norme est |k| × k~
uk
Propriété 2.5 (Distributivité). Pour tous vecteurs ~
u et ~
v et pour tous nombres réels k et k ′ :
′
′
k (~
u +~
v ) = k~
u + k~
v et k~
u +k ~
u = (k + k )~
u.
Propriété 2.6 (Vecteur nul et produit par un réel). Pour tout vecteur ~
u et pour tout nombre k, 0~
u =~0 et k~0 =~0.
Propriété 2.7 (Milieu et produit par un réel). Soient A et B deux points distincts et I un point du plan, alors :
−→
−→
I milieu de [AB] ⇔ AI = 12 AB .
2.1.4 Colinéarité
u = k~
v ou
u et ~
v sont dits colinéaires s’il existe un nombre k tel que ~
Définition 2.8 (Colinéarité). Deux vecteurs ~
~
v = k~
u.
u =~0.
Remarque. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ~
u car 0~
Propriété 2.8 (Colinéarité, alignement et parallélisme). Soient A, B, C et D quatre points du plan. Alors
−→ −−→
(AB) ∥ (C D) ⇔ AB et C D colinéaires
−→ −→
A, B,C alignés ⇔ AB et AC colinéaires
14
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2.2 Exercices
Première S
2.2 Exercices
La plupart des exercices peuvent se faire sans utiliser des vecteurs, cependant on devra essayer de passer systématiquement
par les vecteurs.
E XERCICE 2.1.
ABC D est un quadrilatère quelconque. I , J , K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC ], [C D] et [D A].
Montrer que le quadrilatère I J K L est un parallélogramme.
E XERCICE 2.2.
−→ −−→
−−→
−→
Soit ABC D un parallélogramme non aplati et les points E et F tels que AE = 25 AB et DF = 53 DC .
Montrer que les segments [E F ] et [BD] ont même milieu.
E XERCICE 2.3.
ABC D est un parallélogramme.
−→
−→ −→
−−→
1. Construire les points F et E tels que : BE = 2 AB et AF = 3 AD.
2. Construire le point G tel que AEGF parallélogramme.
3. Démontrer que les points A, C et G sont alignés.
E XERCICE 2.4.
Soit un triangle rectangle ABC en C tel que AC = 3 cm et BC = 3 cm (voir la figure 2.1 de la présente page).
1. Placer les points I , J , K et L définis par les égalités suivantes :
−→
−→
−→
−−→
−−→
−→
• B J = 2B A ;
• C K = − 23 C A ;
• AI = 12 AB ;
−→
−→
−→
• C L = 23 BC − 13
6 B A.
2. Tracer le quadrilatère I J K L. Que peut-on conjecturer sur sa nature ?
3. Nous allons démontrer la conjecture faite au point précédent.
−
→
−→
(a) À l’aide de la relation de C HASLES, exprimer I J en fonction de AB .
−→
−−→ −→
−→
(b) À l’aide de la relation de C HASLES, exprimer LK en fonction de C K et C L puis en fonction de AB .
(c) Conclure.
F IGURE 2.1: Figure de l’exercice 2.4
B
b
b
b
C
E XERCICE 2.5.
−→ −→
~,~
Écrire les vecteurs ~
u, ~
v, w
x et ~t en fonction des seuls
vecteurs
AB et AC.
³
´
−→
−→ −→
−→
−→ −−→
• ~
u = 2 AB − 13 AC + BC .
~ = 25 AB − 5BC + C A.
• w
−→
−−→
−→
• ~
v = AB + 3C A − 2BC .
A
−→ −→
• ~
x = − 25 AB + AB .
−→
−−→
−→
• ~
t = 2 AB − 12 BC − 21 C A.
E XERCICE 2.6.
Soit ABC un triangle non aplati (A, B et C non alignés) et les points D et E tels que :
−−→ 5 −→ 3 −→
−→ 1 −→ −→ −→
AD = AC + C B et C E = B A − AC + C B
2
2
2
David ROBERT
15
2.2 Exercices
Première S
1. Faire un dessin. Conjecturer le lien entre les points B, D et E .
2. Nous allons démontrer la conjecture du point précédent.
−−→
−→ −→
(a) Exprimer E D en fonction des seuls vecteurs AB et AC.
−−→
−→ −→
(b) Exprimer BD en fonction des seuls vecteurs AB et AC.
(c) Conclure.
E XERCICE 2.7.
Sur la figure ci-dessous, ABC D est un parallélogramme.
A ′ est le symétrique de A par rapport à B et E est le milieu
de [BC ].
E XERCICE 2.8.
Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle quelconque.
−−→ −→ −→
−→
On définit trois points D, E et F par : AD = BC , AE = 31 AC
−→
−→
et AF = 23 AC. On appelle, par ailleurs, I et J les milieux
respectifs de [AB] et [C D].
C
b
D
b
b
A
b
B
b
b
A
B
C
b
1. Construire A ′ et E .
−−→
−→ −−→
2. Exprimer DE en fonction des vecteurs AB et AD.
−−→
−→ −−→
3. Exprimer D A ′ en fonction des vecteurs AB et AD.
4. Conclure.
16
1. Construire D, E , F , I et J .
2. Montrer que les droites (DE ) et (BF ) sont parallèles.
3. Montrer que les points I , E et D sont alignés.
4. Montrer que les points B, F et J sont alignés.
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Devoir maison n°2
Trinôme – Centre de gravité
À rendre pour le vendredi 5 octobre
P ROBLÈME 2.1.
Après plusieurs relevés, un scientifique a modélisé une passe de volley-ball, la passe de Clément à son coéquipier Florian. La hauteur h(t ) en fonction du temps t est h(t ) = −0, 525t 2 + 2, 1t + 1, 9 où h(t ) est exprimée en mètres et t en
secondes.
1. À quelle hauteur Clément commence-t-il sa passe ?
2. Quelle hauteur maximale le ballon atteint-il ?
3. Florian ne réussit pas à toucher le ballon que Clément lui passe. Combien de temps après la passe de Clément le
ballon tombe-t-il au sol ?
4. Durant combien de temps le ballon est-il en phase de descente ?
5. La hauteur du filet est de 2,43 mètres. Durant combien de temps le ballon est-il situé au-dessus du filet ?
P ROBLÈME 2.2.
ABC est un triangle quelconque.
A ′ , B ′ et C ′ sont les milieux respectifs des segments [BC ], [AC ] et [AB].
G est l’intersection des médianes (BB ′ ) et (CC ′ ).
Partie A.
On va démontrer une propriété connue :
Les trois médianes sont concourantes en G
1. Soit D le symétrique de A par rapport à G.
Montrer, en utilisant éventuellement la propriété de la droite des milieux, que BGC D est un parallélogramme.
2. En déduire que la troisième médiane (A A ′ ) passe aussi par G.
Partie B.
−−→
−→
Déduire de ce qui précède que AG = 32 A A ′ .
La démonstration serait semblable pour les deux autres médianes.
Partie C.
−−→ −−→ −−→
On va démontrer que G A + GB + GC =~0.
1. Soit E le point tel que ABEC parallélogramme.
Que peut-on en déduire pour A ′ ?
−→ −→
Que peut-on en déduire pour AB + AC ?
−−→ −−→ −−→
−−→ −→ −→
2. Montrer, à l’aide de la relation de C HASLES, que G A + GB + GC = 3G A + AB + AC.
−−→ −−→ −−→
3. En déduire que G A + GB + GC =~0.
Partie D.
−−→ −−→ −−→
−−→
Démontrer que, pour tout point M du plan, M A + MB + MC = 3MG.
Chapitre 3
Généralités sur les fonctions
Sommaire
3.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Notion de fonction (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2.4 Courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3.2 Variations de f + g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3.3 Fonctions associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3.4 Fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3.5 Comparaisons de fonctions – Positions relatives de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 Activités
A CTIVITÉ 3.1 (Fonctions de référence (rappels)).
Compléter le tableau 3.1, page suivante, sur le modèle de la deuxième ligne.
A CTIVITÉ 3.2 (La fonction racine).
¡p ¢2
p
On appelle fonction racine la fonction qui à un réel x associe, s’il existe, le réel positif, noté x, tel que x = x.
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction racine.
p
p
2. Montrer que si 0 6 a < b alors a < b. Que peut-on en déduire ?
3. Tracer la courbe représentative de la fonction racine.
A CTIVITÉ 3.3 (La fonction valeur absolue).
On appelle fonction valeur absolue la fonction qui à un réel x associe, s’il existe, le réel, noté |x|, tel que :
½
Si x > 0 alors |x| = x
Si x 6 0 alors |x| = −x
1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction valeur absolue.
2. Montrer que si 0 6 a < b alors |a| < |b|. Que peut-on en déduire ?
3. Montrer que si a < b 6 0 alors |a| > |b|. Que peut-on en déduire ?
4. Tracer la courbe représentative de la fonction valeur absolue.
19
3.1 Activités
Première S
TABLE 3.1: Fonctions de référence - Tableau de l’activité 3.1
Fonction
Définie sur
Variations
Allure de la courbe représentative
y
Affine
f (x) = . . . . . .
~
j
x
O ~i
Df =
y
Carré
f (x) = x 2
Df = R
x
−∞
f (x) = x 2
0
+∞
0
~
j
x
O ~i
Parabole
y
Cube
f (x) = . . . . . .
~
j
x
O ~i
Df =
y
Inverse
f (x) = . . . . . .
~
j
x
O ~i
Df =
A CTIVITÉ 3.4 (Sommes de fonctions).
Partie A.
Sur le graphique de la figure ci-contre, on donne la courbe
représentative d’une fonction affine f et d’une fonction
trinôme g .
y
6
1. Donner, par lecture graphique, les variations de f et
celles de g .
5
4
2. On appelle h la fonction h = f + g .
3
(a) Tracer la courbe représentant la fonction h.
On procèdera point par point.
2
(b) Donner, par lecture graphique, les variations
de la fonction h.
(c) Y a-t-il un lien entre les variations de f et de g
et celles de h ?
20
1
~
−1
O
−1
x
~ı
1
2
3
4
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3.2 Notion de fonction (rappels)
Première S
Partie B.
Avec les fonctions f et g (définies sur R) données ci-dessous, déterminer le sens de variation de f , le sens de variation
de g puis le sens de variation de la fonction h = f + g .
• f (x) = 2x + 3 et g (x) = x − 4 ;
• f (x) = −2x + 4 et g (x) = x + 1 ;
• f (x) = −2x + 1 et g (x) = 2x − 4 ;
• f (x) = −3x + 2 et g (x) = x − 4 ;
• f (x) = −x + 4 et g (x) = −2x + 3.
Partie C.
À l’aide de votre calculatrice graphique ou d’un grapheur (Geogebra, par exemple), avec les fonctions f et g données
ci-dessous, par lecture graphique, déterminer les variations de f , celles de g puis celles de la fonction h = f + g .
• f (x) = x 2 − 1 et g (x) = x + 1 ;
• pour x 6= 0, f (x) = x et g (x) =
1
;
x
• f (x) = −x 3 et g (x) = −x + 2 ;
• pour x 6= −2, f (x) = 2x + 1 et g (x) = 2 −
Partie D.
Conjecturer le lien qu’il existe entre les variations de f et g et celles de h = f + g puis le prouver.
A CTIVITÉ 3.5 (Fonctions associées).
Soient f , g , h et i les fonctions définies par :
p
• f (x) = x pour x ∈ R+
p
• g (x) = 3 + x pour x ∈ R+
1
.
x +2
p
• h(x) = − x pour x ∈ R+
p
• i (x) = 4 x pour x ∈ R+
1. À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracer la courbe représentative de f puis celle de g .
2. Décrire la transformation permettant de passer de la courbe de f à celle de g en précisant ses caractéristiques si
cette transformation est une transformation usuelle (symétrie, etc.).
3. Mêmes questions en remplaçant g par chacune des autres fonctions.
A CTIVITÉ 3.6 (Fonctions composées).
La fonction f est définie sur R par f (x) = x 2 −
p3x − 2.
1
.
Les fonctions g et h sont définies par g (x) = f (x) et h(x) = f (x)
On appelle C f , C g et C h leurs courbes représentatives respectives.
1. Étude de g .
(a) Déterminer l’ensemble de définition de g , noté D g .
(b) À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracer C f et C g .
Que peut-on conjecturer sur le lien entre les variations de f et celles de g ?
(c) Montrer
p que si une fonction positive f est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle I , alors
g = f l’est aussi.
2. Étude de h.
(a) Déterminer l’ensemble de définition de h, noté D h .
(b) À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracer C f et C h .
Que peut-on conjecturer sur le lien entre les variations de f et celles de h ?
(c) Montrer que si une fonction non nulle f est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle I ,
alors h = 1f est décroissante (respectivement croissante) sur I .
3.2 Notion de fonction (rappels)
3.2.1 Définition
Définition 3.1 (Définition, vocabulaire et notations). Soit D un intervalle ou une réunion d’intervalles de R.
Définir une fonction f sur un ensemble D, c’est associer, à chaque réel x ∈ D, au plus un réel noté f (x).
On dit que f (x) est l’image de x par f et que x est un antécédent de f (x).
On note :
f : D −→
R
x 7−→ f (x)
et on lit « f , la fonction de D dans R qui à x associe f (x) ».
Remarque. f désigne la fonction, f (x) désigne le réel qui est l’image de x par f .
David ROBERT
21
3.3 Opérations sur les fonctions
Première S
3.2.2 Ensemble de définition
Définition 3.2 (Ensemble de définition). L’ensemble des réels possédant une image par une fonction est appelé
ensemble de définition de la fonction. On le note en général D f .
On le détermine par le calcul. À notre niveau les seuls problèmes de définition portent sur les fonctions comportant la
variable x au dénominateur ou sous une racine.
3.2.3 Variations
Définition 3.3 (Rappels). Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On dit que
• f est croissante sur I si pour tous réels a et b de I on a : si a < b, alors f (a) 6 f (b) ;
• f est décroissante sur I si pour tous réels a et b de I on a : si a < b, alors f (a) > f (b) ;
• f est constante sur I si pour tous réels a et b de I on a : f (a) = f (b) ;
• f est monotone sur I si f ne change pas de sens de variation sur I .
Remarque. On obtient les définitions de strictement croissante ou décroissante en remplaçant les inégalités larges par
des inégalités strictes.
3.2.4 Courbe
¡
¢
Définition 3.4 (Courbe représentative). Dans un repère, l’ensemble des points M de coordonnées x ; y où x décrit
D f et y = f (x) est appelé courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction f . On la note en général
Cf .
On dit que la courbe C f a pour équation y = f (x).
On veillera à ne pas confondre la fonction et sa représentation graphique.
3.3 Opérations sur les fonctions
3.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions
De la même manière qu’on peut ajouter, multiplier, diviser, etc. des nombres, on peut ajouter, multiplier, diviser, etc.
des fonctions.
Définition 3.5. Soit f et g deux fonctions définies au moins sur D et k un réel. Le tableau suivant regroupe les
opérations sur les fonctions f et g :
Opération
Somme de la fonction f et du réel k
Produit de la fonction f et du réel k
Somme des fonctions f et g
Différence des fonctions f et g
Produit des fonctions f et g
Quotient des fonctions f et g
Notation
f +k
kf
f +g
f −g
fg
f
g
Définition
( f + k)(x) = f (x) + k
(k f )(x) = k f (x)
( f + g )(x) = f (x) + g (x)
( f − g )(x) = f (x) − g (x)
( f g )(x) = f (x) × g (x)
µ ¶
f
f (x)
(x) =
g
g (x)
Définie pour
x ∈Df
x ∈ D f ∩ Dg
x ∈ D f ∩ D g et g (x) 6= 0
3.3.2 Variations de f + g
Propriété 3.1 (Variations de f + g ). Soit deux fonctions f et g définies au moins sur un ensemble D.
• Si f et g sont deux fonctions croissantes sur D, alors la fonction f + g est croissante sur D.
• Si f et g sont deux fonctions décroissantes sur D, alors la fonction f + g est décroissante sur D.
Preuve. Voir l’activité 3.4
♦
3.3.3 Fonctions associées
Définition
Définition 3.6. Soit f une fonction définie sur D et k un réel.
On appelle fonctions associées à f les fonctions : x 7→ f (x) + k ou x 7→ k f (x)
22
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3.3 Opérations sur les fonctions
Première S
Variations
Propriété 3.2 (Variations de f +k). Soit f une fonction définie et monotone sur un intervalle I et k un réel. Les fonctions
f et f + k ont même sens de variation sur I .
Preuve. Si f est croissante et a < b, alors f (a) 6 f (b). Donc f (a) + k 6 f (b) + k donc f + k est aussi croissante.
On démontre de la même manière si f est décroissante.
♦
Exemple. La fonction f : x 7−→ x 2 + 2 a les mêmes variations que la fonction carrée.
Propriété 3.3 (Variations de k f ). Soit f une fonction définie et monotone sur D.
• Si k > 0 alors les fonctions f et k f ont le même sens de variation sur D.
• Si k < 0 alors les fonctions f et k f ont des sens de variation opposés sur D.
Preuve. Voir l’exercice 3.5.
♦
Courbes
¡
¢
Propriété 3.4. Le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ .
Soit f une fonction définie sur D et k un réel.
• La courbe de f + k s’obtient à partir de celle de f par une translation de vecteur k ~
j
• Dans un repère orthogonal, la courbe de − f s’obtient à partir de celle de f par la symétrie par rapport à l’axe des
abscisses
On l’admettra.
3.3.4 Fonctions composées
Conformément au programme on se limitera aux cas mentionnés dans la définition ci-dessous.
Définition
Définition 3.7. Soit u une fonction définie sur un intervalle I .
p
• La fonction u est définie pour tout x ∈ I tel que u(x) > 0 et s’appelle la composée de la fonction racine et de u.
• La fonction u1 est définie pour tout x ∈ I tel que u(x) 6= 0 et s’appelle la composée de la fonction inverse et de u.
Variations
p
Propriété 3.5 (Variations de u ). Soit u définie sur D et telle que u > 0.
p
Alors u et u ont les mêmes variations.
Propriété 3.6 (Variations de u1 ). Soit u définie sur D et telle que u 6= 0.
Alors u et u1 ont des variations opposées.
Preuve. Ces deux propriétés ont été démontrées dans l’activité 3.6.
♦
3.3.5 Comparaisons de fonctions – Positions relatives de courbes
Étudier les positions relatives des courbes de f et g c’est déterminer sur quel(s) intervalle(s) la courbe de f est audessus de celle de g et réciproquement. Cela revient à comparer les deux fonctions f et g , c’est-à-dire à déterminer si
f (x) = g (x) pour tout x et, sinon, sur quel(s) intervalle(s) on a f (x) > g (x) et f (x) < g (x).
Définition 3.8 (Égalité de deux fonctions). Soit f et g deux fonctions. On dit que f et g sont égales si :
• f et g ont même ensemble de définition D ;
On note alors f = g .
• pour tout x ∈ D, f (x) = g (x).
Définition 3.9. Soit D une partie de R et f et g deux fonctions définies au moins sur D. On dit que f est inférieure à
g sur D lorsque f (x) 6 g (x) pour tout x ∈ D.
On note f 6 g sur D.
Remarque. On dit parfois que f est majorée par g sur D ou que g est minorée par f sur D.
David ROBERT
23
3.4 Exercices
Première S
Les conséquences graphiques sont les suivantes :
Propriété 3.7. Soient f et g deux fonctions définies au moins sur D, C f et C g leurs courbes respectives. Alors si f 6 g
sur D, C f est au-dessous de C g .
Preuve. Immédiat.
♦
3.4 Exercices
E XERCICE 3.1.
Soient f et g les fonctions définies sur R par : f (x) = −x 3 + 4x et g (x) = −x 2 + 4.
On a tracé sur le graphique ci-contre les courbes représentatives de f et de g .
y
4
1. Associer chaque courbe à la fonction qu’elle
représente. Justifier succintement.
C
3
2. Déterminer graphiquement le nombre de solution
des équations :
• f (x) = 0 ;
• g (x) = 0 ;
2
• f (x) = g (x).
1
3. Résoudre par le calcul : f (x) = 0 et g (x) = 0
~
4. Résoudre graphiquement : f (x) 6 g (x).
5. Un logiciel de calcul formel affiche les choses suivantes :
−3
−2
−1
C′
(a) Interpréter ces deux lignes.
• f (x) = x ;
• g (x) = x 2 ;
• h(x) =
p
x.
Leurs courbes sont notées, respectivement, C f , C g et C h .
Sur [O ; +∞[ :
1. Étudier les positions relatives de C f et de C g .
2. Étudier les positions relatives de C f et de C h .
3. Étudier les positions relatives de C g et de C h .
E XERCICE 3.4.
1
1
Soient f et g définies sur R par : f (x) = 1+x
4 et g (x) = 1+x 2 .
Étudier les positions relatives de leurs courbes respectives.
E XERCICE 3.5 (Preuve de la propriété 3.3).
Montrer que :
• si a et b sont deux nombres de D tels que a < b
• si f croissante sur D
24
1
2
−1
−3
−4
(b) En déduire une résolution algébrique de
l’inéquation f (x) 6 g (x).
E XERCICE 3.3.
On donne les fonctions f , g et h suivantes :
~ı
−2
(%i1) factor(-x^3+x^2+4*x-4);
(%o1)
- (x - 2) (x - 1) (x + 2)
E XERCICE 3.2.
Dans chacun des cas suivants déterminer si f (x) = g (x)
pour toutpréel x :
p
• f (x) = x 2 et g (x) = ( x)2 ;
2
• f (x) = x + 1 − x1 et g (x) = x +x−1
;
x
• f (x) = x 2 − 2x + 5 et g (x) = (x − 1)2 + 4 ;
2
+x−2
et g (x) = x − 1.
• f (x) = x x+2
O
−5
• et si k < 0
alors k f (a) > k f (b).
Conclure.
E XERCICE 3.6.
On a représenté sur la figure 3.1 page ci-contre la courbe
d’une fonction f définie sur R. Y tracer les courbes des
fonctions suivantes :
• u = f +2;
• v = −2f ;
• w(x) = | f |.
E XERCICE 3.7.
Soit f la fonction définie sur R\{3} par : f (x) =
On appelle C sa courbe représentative.
2x 2 −5x+1
.
x−3
1. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel
c
x, f (x) = ax + b + x−3
.
2. Soit D la droite représentative de la fonction g
définie sur R par g (x) = 2x + 1.
Étudier les positions relatives de C et de D.
E XERCICE 3.8.
Soit g la fonction définie par : g (x) =
x 2 +1
x 2 −1
1. Déterminer son ensemble de définition.
2. Étudier le signe de g (x) selon les valeurs de x.
3. Étudier les positions relatives de la courbe de g et de
la droite d’équation y = 1.
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3
x
3.4 Exercices
Première S
F IGURE 3.1: Graphique de l’exercice 3.6
y
5
4
3
2
1
~
−6
−5
−4
−3
−2
−1
O
1
~ı
2
3
4
5
6 x
−1
−2
−3
−4
−5
−6
E XERCICE 3.9.
L’objectif de cet exercice est d’étudier la fonction f définie
sur R\{−1} par :
x 2 + 2x − 3
f (x) =
x +1
Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire.
On considère la fonction g définie par : g (x) =
1. Étudier les variations de x 7→
1
x+1 .
−4
x+1
2. En déduire les variations de g .
Partie B.
1. Déterminer les réels a, b et c tels que :
c
pour tout x ∈ R\{−1}.
f (x) = ax + b + x+1
2. En déduire les variations de la fonction f .
3. On appelle¡ C la représentation
graphique de f dans
¢
un repère O ;~ı,~ .
(a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec chacun des axes du
repère.
(b) D est la droite d’équation y = x +1. Déterminer
les positions relatives de D et de C .
(c) Placer les points trouvés à la question 3a et D
dans un repère et tracer soigneusement C .
David ROBERT
E XERCICE 3.10.
Soit f la fonction définie sur R\{2} par :
f (x) =
−x 2 + 5x − 4
x −2
On appelle C sa courbe représentative.
1.
(a) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout
c
.
réel x, f (x) = ax + b + x−2
(b) Étudier les variations de x 7→
c
x−2 .
(c) En déduire les variations de f .
2. Étudier les positions relatives de C et de la droite
d’équation y = −x + 3.
3. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec les axes de coordonnées.
4. Placer les points et les droites rencontrés dans les
questions précédentes dans un même repère et y
tracer C .
25
Nom :
Vendredi 16 octobre 2012 – 1h00
Devoir surveillé n°2
Vecteurs – Fonctions
E XERCICE 2.1 (6,5 points).
ABC D est un parallélogramme.
−→
−→
I est le milieu de [AD], E est le point tel que AE = 3 AB et F est le symétrique de I par rapport à D.
1. Construire les points I , E et F sur la figure 2.1 de la présente page.
−−→
−−→
−→
−→
−−→
2. (a) Exprimer DF en fonction de AD. En déduire que E F = −3 AB + 1, 5 AD.
−→
−→ −−→
(b) Exprimer EC en fonction de AB et AD.
(c) Que peut-on en déduire pour les points E , C et F ? Justifier.
3. Montrer que les droites (B I ) et (E F ) sont parallèles.
F IGURE 2.1: Figure de l’exercice 2.1
B
b
b
A
C
b
b
D
E XERCICE 2.2 (4,5 points).
On a représenté sur la figure 2.2 de la présente page la courbe d’une fonction f définie sur [−3; 4].
Tracer dans ce même repère les courbes des fonctions suivantes :
• u = f −1;
• v = −0, 5f ;
• w = | f |.
F IGURE 2.2: Graphique de l’exercice 2.2
y
4
3
b
2
1
x
−3
−2
−1
O
1
2
3
4
−1
−2
−3
b
−4
−5
−6
David ROBERT
27
Nom :
Vendredi 16 octobre 2012 – 1h00
E XERCICE 2.3 (9 points).
L’objectif de cet exercice est d’étudier la fonction f définie sur R\{2} par f (x) =
Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire.
On considère la fonction g définie par : g (x) =
Compléter l’argumentaire suivant :
2x 2 −8x+6
.
x−2
−2
x−2 .
La fonction x 7→ x − 2
est . . . . . . . . . . . . . . .
sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
1
x−2
est . . . . . . . . . . . . . . .
sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Donc la fonction x 7→
car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Donc la fonction x 7→
−2
x−2
est . . . . . . . . . . . . . . .
sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Donc la fonction g
est . . . . . . . . . . . . . . .
sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Partie B.
1.
(a) Montrer que f (x) = 2x − 4 +
−2
x−2
pour tout x ∈ R\{2}.
(b) En déduire les variations de la fonction f .
2. On appelle C la représentation graphique de f et D est la droite d’équation y = 2x − 4.
(a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
(b) Déterminer les positions relatives de D et de C .
(c) Placer les points de la question 2a, tracer D et compléter le tracé de C dans le repère de la figure 2.3 de la
présente page.
F IGURE 2.3: Repère de l’exercice 2.3
y
4
3
2
1
x
−1
O
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
28
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Chapitre 4
Suites arithmétiques, suites géométriques
Sommaire
4.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Petit historique sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2.2 Définition et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.2.3 Modes de génération d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.2.4 Représentation graphique d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2.5 Monotonie d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.4 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.4.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.1 Activités
A CTIVITÉ 4.1.
On donne ci-dessous le tableau d’effectifs, en million, de la population africaine depuis 1950.
Année
Population
1950
227,3
1960
285
1970
366,8
1980
482,2
1990
638,7
2000
819,5
2010
1011,2
1. Représenter cette évolution dans un repère.
2. Calculer les coefficients multiplicateurs permettant de passer de la population d’une décennie à celle de la suivante à partir de l’année 1950.
3. Un statisticien propose de modéliser la population africaine de la manière suivante : « À partir de 1950, tous les
dix ans, la population africaine est multipliée par 1, 28 ».
(a) Comment justifier sa démarche ?
(b) Comparer le résultat obtenu par ce modèle en
2010 aux données réelles.
Le modèle serait-il plus proche de la réalité avec
un coefficient multiplicateur de 1, 29 ?
(c) Que fait l’algorithme ci-contre ?
Le programmer sur sa calculatrice.
(d) À l’aide de l’algorithme précédent, représenter
cette évolution sur le même graphique.
(e) À l’aide de l’algorithme précédent, estimer au
cours de quelle décennie la population africaine
dépassera 3 milliards.
29
ENTREES
n
INITIALISATION
u PREND LA VALEUR 227.3
TRAITEMENT
POUR k ALLANT DE 1 A n FAIRE
u PREND LA VALEUR u*1.28
AFFICHER k
AFFICHER u
FIN POUR
4.2 Généralités sur les suites
A CTIVITÉ 4.2.
On ne sait pas si l’histoire suivante est vraie ou non.
Le Roi demande à l’inventeur du jeu d’échecs de choisir
lui-même sa récompense.
Celui-ci répond (en ce temps là, on tutoyait les rois) :
« Place deux grains de blé sur la première case de
l’échiquier, quatre grains sur la deuxième, huit sur la
troisième, seize sur la quatrième et ainsi de suite. Je
prendrai tous les grains qui se trouvent sur l’échiquier ».
Le Roi sourit de la modestie de cette demande.
En réalité, cette demande était-elle vraiment modeste ?
1. On numérote les soixante-quatre cases de
l’échiquier de 1 à 64 et, pour chaque entier n
(1 6 n 6 64), on note un le nombre de grains de
blé que le Roi doit déposer dans la n-ième case.
(a) Calculer u1 , u2 , . . . , u10 .
(b) Comment passe-t-on d’un terme au suivant ?
(c) Exprimer un en fonction de n et calculer u64 .
2. On donne l’algorithme suivant :
ENTREES
n
INITIALISATION
u PREND LA VALEUR 1
s PREND LA VALEUR 0
TRAITEMENT
POUR k ALLANT DE 1 A n
u PREND LA VALEUR u*2
s PREND LA VALEUR s+u
FIN POUR
SORTIES
AFFICHER s
(a) Que fait cet algorithme ?
(b) Entrer cet algorithme dans votre calculatrice.
(c) Utiliser cet algorithme pour obtenir S, le nombre total de grains sur l’échiquier.
3. Sachant qu’un grain de blé pèse, en moyenne, 5 ×
10−2 gramme et qu’un mètre cube de blé pèse, en
moyenne, une tonne, quelles pourraient être les dimensions d’un grenier qui contiendrait le blé gagné
par l’inventeur ?
Le Roi avait-il raison de sourire ?
Première S
A CTIVITÉ 4.3.
Un bail est un contrat de location entre un locataire et un
propriétaire.Traditionnellement sa durée est de trois ans.
On propose à un locataire deux types de bail :
• Contrat A : Le premier loyer est de 1 000 euros et il augmente chaque mois de 11,5 euros pendant la durée des
trois ans.
• Contrat B : Le premier loyer est de 1 000 euros et il augmente chaque mois de 1 % pendant la durée des trois
ans.
1.
(a) Déterminer, avec éventuellement un algorithme programmé sur votre calculatrice, le
loyer du dernier mois avec le contrat A.
(b) Déterminer, avec éventuellement un algorithme programmé sur votre calculatrice, la
somme des loyers que le locataire devrait payer
avec le contrat A.
2. Mêmes questions avec le contrat B.
3. Déterminer quel est le contrat le plus avantageux
pour le locataire.
A CTIVITÉ 4.4.
On donne les listes de nombres suivantes :
a
b
0
1
4
9
16
25
c
1
−1
1
2
1
−
3
1
4
1
−
5
1, 5
1, 75
1, 875
1, 9375
1, 96875
d
1
1
3
2
7
4
15
8
31
16
63
32
e
f
100
1
20
3
4
5
0, 8
7
0, 16
9
0, 032
1. Conjecturer, dans chaque
d’obtenir le terme suivant.
cas,
une
manière
2. Conjecturer, dans chaque
d’obtenir le vingtième terme.
cas,
une
manière
4.2 Généralités sur les suites
4.2.1 Petit historique sur les suites
Par Frédéric Demoulin
L’un des premiers travaux portant sur les suites de nombres semble provenir d’un certain A RCHIMÈDE 1 .
Dans son traité La mesure du cercle, pour trouver une valeur approchée de π, il avait eu la brillante idée de considérer
des polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle de rayon 1 : d’abord deux triangles équilatéraux, puis deux
carrés, deux pentagones, etc.
Comme on peut le voir sur la figure 4.1, plus le nombre de côtés du polygone inscrit au cercle est grand et plus son
périmètre est proche de la circonférence du cercle tout en lui restant inférieur. De même, plus le nombre de côtés
du polygone circonscrit au cercle est grand et plus son périmètre est proche de la circonférence du cercle tout en lui
restant supérieur. Les périmètres de ces polygones forment ainsi deux suites de nombres qui encadrent la circonférence
du cercle, en l’occurence 2π.
1. Très brillant scientifique grec de Sicile, mathématicien, physicien et ingénieur (287 av. J.C. – 212 av. J.C.).
30
http ://perpendiculaires.free.fr/
4.2 Généralités sur les suites
Première S
F IGURE 4.1: Exemples de polygones réguliers inscrits et circonscrits è un cercle : pentagone, hexagone et octogone.
Comme A RCHIMÈDE, de nombreux autres grands scientifiques (F IBONACCI, LUCAS, B ERNOULLI, N EWTON , M OIVRE,
C AUCHY, WALLIS, pour ne citer qu’eux. . . ) vont, historiquement, s’intéresser aux suites dans le but d’approcher des
valeurs numériques.
Au cours du XVIIe et du XVIIIe siècle, l’intuition et le génie de mathématiciens tels E ULER ou B ERNOULLI amènent à
l’établissement de nombreux résultats relatifs aux suites, reléguant parfois au second plan les limites de validité de
leurs découvertes.
Il faut donc attendre le début du XIXe siècle pour qu’AUGUSTIN L OUIS C AUCHY 2 pose les fondements rigoureux de la
théorie des suites. C AUCHY prend ainsi sa revanche sur les illustres mathématiciens du XVIIe et du XVIIIe. Deux événements décisifs viennent alors donner un élan supplémentaire aux suites : l’introduction de la notation indicielle 3 qui
consiste à repérer chaque terme d’une suite par une même lettre affectée d’un indice et le point de vue de P EANO 4 qui
définit une suite comme étant une fonction de N dans R.
Plus récemment, dans la seconde moitié du XXe siècle, le développement des outils de calcul va logiquement donner
un nouvel essor à l’étude des suites. À l’heure actuelle, les domaines d’application des suites sont bien vastes : Analyse
numérique, Mathématiques financières, Physique, Biologie, etc.
4.2.2 Définition et notations
Définition 4.1. Une suite numérique u est une fonction de N (ou d’une partie de N) dans R, c’est-à-dire une fonction
qui à tout
½ entier naturel n associe un réel, noté u(n) ou, plus généralement, un .
N→R
Ainsi u :
n 7→ un
Exemples.
1. La suite des carrés des nombres entiers est 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; etc. On peut écrire ces termes sous la forme
u0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = 4 ; u3 = 9 ; etc. On définit alors, pour tout n ∈ N, la suite (un ) de terme général un = n 2 .
2. La suite de terme général un =
3. La suite de terme général un =
1
n
p
n’est définie que pour n > 1, on la note (un )n >1 .
n − 5 n’est définie que pour n > 5, on la note (un )n >5 .
Remarques (Vocabulaire, notations). • n est l’indice (ou le rang) et un est le terme de rang n.
• Attention : (un ) désigne la suite alors que un désigne le terme de rang n.
4.2.3 Modes de génération d’une suite
Relevés chronologiques
Dans la « vie courante », les principales suites rencontrées sont obtenues par des relevés, en général chronologiques, en
économie, ou des mesures en physique.
En mathématiques, nous nous intéresserons essentiellement aux suites définies mathématiquement (par des formules)
dont l’objet sera la modélisation des suites précédentes et à l’étude de leurs propriétés mathématiques.
Définition par une formule explicite
Une suite explicite est une suite dont le terme général s’exprime en fonction de n. Elle est du type un = f (n) où f est
une fonction. On a donc la définition suivante :
2. Mathématicien français réputé pour sa finesse et sa rigueur (1789 – 1857).
3. La notation indicielle est due, semble-t-il, au grand mathématicien et astronome italien J OSEPH L OUIS L AGRANGE (1736 – 1813).
4. Mathématicien italien, la définition axiomatique des entiers naturels porte son nom (1858 – 1932).
David ROBERT
31
4.2 Généralités sur les suites
Première S
Définition 4.2. Soit f une fonction définie au moins sur R+ . On peut alors définir une suite (un ) de la façon suivante :
Pour tout n ∈ N, un = f (n).
Remarques. • On peut donc calculer directement n’importe quel terme de la suite à partir de l’indice n. C’est le côté
agréable des suites explicites.
• Si f n’est définie que sur [k; +∞[, avec k > 0, la suite n’est alors définie que pour n > k.
Exemples.
1. La suite (un ) définie, pour tout n ∈ N, par un = 2n − 1. On a un = f (n) avec f : x 7→ 2x − 1. Par exemple
u4 = 2 × 4 − 1 = 7.
2. Les suites de l’exemple précédent sont toutes des suites explicites. Les deux dernières sont définies, respectivement, pour n > 1 et pour n > 5.
Définition par récurrence
Une suite récurrente est définie par la donnée des premiers termes et la relation liant les termes de la suite (en général
consécutifs). Plus généralement, on peut définir une suite récurrente de la façon suivante :
Définition 4.3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout x ∈ I , f (x) ∈ I .
On peut alors définir une suite (un ) par la donnée de u0 ∈ I et de la relation de récurrence un+1 = f (un ).
(un ) :
Exemple. (un ) :
• u0 = 4 ;
½
½
u0 = 4
donne :
un+1 = 2un − 5
• u1 = 2u0 − 5 = 3 ;
u0 ∈ I
un+1 = f (un )
• u2 = 2u1 − 5 = 1 ;
• etc.
Remarques. • Contrairement aux suites explicites, on ne peut pas, a priori, calculer un terme quelconque de la suite,
sans avoir obtenu, avant, tous les termes le précédant.
De nombreux exercices seront consacrés à obtenir, malgré tout, des moyens de calculer directement un terme donné,
c’est-à-dire à transformer, lorsque c’est possible, la suite récurrente en une suite
p explicite.
p
x − 2, c’est-à-dire un+1 = un − 2, on a
• Toutes les fonctions
f
ne
conviennent
pas.
Par
exemple
si
u
=
3
et
f
(x)
=
0
p
p
u1 = u0 − 2 = 1 = 1. Par contre on ne peut pas calculer u2 , donc la suite n’est pas définie pour n > 1.
4.2.4 Représentation graphique d’une suite
¡
¢
Définition 4.4. Dans un repère O ;~ı,~ , la représentation graphique d’une suite (un ) est l’ensemble des points Mn
de coordonnées (n; un ).
Remarque. Contrairement à une fonction, la représentation graphique d’une suite n’est pas une courbe mais un nuage
de points car la suite n’est définie que pour n ∈ N. u1,5 n’a, mathématiquement, pas de sens et donc le point (1, 5; u1,5 )
non plus.
4.2.5 Monotonie d’une suite
Une suite est une fonction particulière, on retrouve donc naturellement la notion de sens de variation pour une suite.
Définition 4.5. Soit (un ) une suite. On dit que :
• la suite (un ) est croissante si, pour tout entier n : un+1 > un ;
• la suite (un ) est décroissante si, pour tout entier n : un+1 6 un ;
• la suite (un ) est constante si, pour tout entier n, un = un+1 .
Définition 4.6. Soit (un ) une suite. On dit que (un ) est monotone si son sens de variation ne change pas (elle reste
croissante ou décroissante)
Remarque. On obtient les définitions de strictement croissante, décroissante ou monotone en remplaçant les inégalités
larges par des inégalités strictes.
Étudier la monotonie d’une suite c’est donc étudier ses variations.
32
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4.3 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques
Première S
4.3 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques
4.3.1 Suites arithmétiques
Définition et premières propriétés
Définition 4.7 (par récurrence). On appelle suite arithmétique toute suite (un ) telle que
Pour tout entier naturel n, un+1 = un + r où r ∈ R
r est appelé la raison de la suite arithmétique.
Remarque. Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de montrer que, pour tout n, la différence un+1 − un
est constante. Cette constante sera alors la raison de la suite.
E XERCICE .• La suite formée par les nombres entiers naturels pairs est-elle une suite arithmétique ? Et celle formée par
les nombres entiers naturels impairs ?
• La suite définie par : pour tout n, un = 3n − 2 est-elle arithmétique ?
• La suite définie par : pour tout n, un = n 2 est-elle arithmétique ?
• Parmi les suites rencontrées dans les activités d’introduction, lesquelles sont arithmétiques ?
Propriété 4.1 (Formule explicite). Soit (un ) une suite arithmétique de premier terme u0 et raison r . Alors, pour tout
entier naturel n et tout entier naturel p tel que 0 6 p 6 n, on a :
un = u p + (n − p)r
Et en particulier, avec p = 0 :
un = u0 + nr
Nous l’admettrons.
Variations d’une suite arithmétique
Propriété 4.2. Soit (un ) une suite arithmétique de raison r . Alors :
• si r > 0, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
• si r < 0, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
• si r = 0, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Preuve. Pour tout n > 0, on a un+1 − un = un + r − un = r , ce qui donne le résultat.
♦
Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique
Propriété 4.3. Soit (un ) une suite arithmétique et n et p deux entiers naturels tels que 0 6 p 6 n.
En particulier, en posant p = 0, on obtient :
Alors :
n
X
i=p
ui = u p + u p+1 + . . . + un =
(u p + un )(n − p + 1)
2
n
X
i=0
ui = u0 + u1 + . . . + un =
(u0 + un )(n + 1)
2
La preuve sera faite en classe.
Cette formule peut se retenir de la façon suivante :
La somme S de termes consécutifs d’une suite arithmétique est :
S=
(1er terme + dernier) × (nb de termes)
2
4.3.2 Suites géométriques
Définition et premières propriétés
Définition 4.8 (par récurrence). On appelle suite géométrique toute suite (un ) telle que
Pour tout entier naturel n, un+1 = q × un où q ∈ R
q est appelé la raison de la suite géométrique.
David ROBERT
33
4.4 Exercices et problèmes
Remarques.
Première S
1. Si q = 0, tous les termes de la suite, hormis peut-être u0 sont nuls.
Si u0 = 0, tous les termes de la suite sont nuls.
En dehors de ces deux cas triviaux, inintéressants, tous les termes de la suite sont différents de zéro.
2. Pour démontrer qu’une suite est géométrique (en dehors des deux cas triviaux), il suffit de montrer que, pour tout
est constant. Cette constante sera alors la raison de la suite.
n, le quotient uun+1
n
E XERCICE .• La suite définie par : pour tout n, un = n 2 est-elle géométrique ?
• Parmi les suites rencontrées dans les activités d’introduction, lesquelles sont géométriques ?
Propriété 4.4 (Formule explicite). Soit (un ) une suite géométrique de premier terme u0 et raison q. Alors, pour tout
entier naturel n et tout entier naturel p tel que 0 6 p 6 n, on a :
un = q n−p u p
Et en particulier, avec p = 0 :
un = q n u0
Nous l’admettrons.
Variations d’une suite géométrique
On ne s’intéresse, en première, qu’aux variations de suites géométriques de raison positive.
Propriété 4.5. Soit (un ) une suite géométrique de raison q > 0. Alors, si u0 > 0 :
si q = 0, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pour n > 1
si 0 < q < 1, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
si q = 1, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
si q > 1, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•
•
•
•
Preuve. Hormis le premier cas, trivial : pour tout n > 0 on a
u n+1
un
= q, ce qui donne le résultat.
♦
Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
Propriété 4.6. Soit (un ) une suite géométrique de raison q 6= 1 et n et p deux entiers naturels tels que 0 6 p 6 n.
En particulier, en posant p = 0, on obtient :
Alors :
n
X
i=p
ui = u p
1 − q n−p+1
1−q
n
X
i=0
ui = u0 + u1 + . . . + un = u0
1 − q n+1
1−q
La preuve sera faite en classe.
Cette formule peut se retenir de la façon suivante :
La somme S de termes consécutifs d’une suite géométrique est :
S = 1er terme
1 − q nb de termes
1−q
4.4 Exercices et problèmes
4.4.1 Exercices
E XERCICE 4.1.
Pour chacune des suites données ci-dessous :
• u0 = 0 et un+1 = un + 12 pour tout n ∈ N
• v n = 5 − 2n pour tout n ∈ N
• w n = (n + 1)2 − n 2 pour tout n ∈ N
1. Calculer les trois premiers termes.
(a) calculer le terme de rang 100 ;
2. La suite est-elle géométrique ? arithmétique ?
(b) calculer la somme des termes jusqu’au rang
100.
3. Si elle est arithmétique ou géométrique :
34
n
3
• xn = n+1
pour tout n ∈ N
¡ 1 ¢n
• y n = 2 pour tout n ∈ N
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4.4 Exercices et problèmes
Première S
E XERCICE 4.2. 1. La suite (un ) est artihmétique de raison r = 8. On sait que u100 = 650.
Que vaut u0 ?
2. La suite (un ) est arithmétique de raison r . On sait
que u50 = 406 et u100 = 806.
(a) Déterminer r et u0 .
(b) Calculer S = u50 + u51 + . . . + u100 .
E XERCICE 4.4.
E XERCICE 4.3.
On considère une suite géométrique (un ) de premier
terme u1 = 1 et de raison q = −2.
1. Calculer u2 , u3 et u4 .
2. Calculer u20 .
3. Calculer la somme S = u1 + u2 + . . . + u20 .
1. La suite (un ) est géométrique de raison q = 21 . On sait que u8 = −1.
Que vaut u0 ?
2. La suite (un ) est géométrique de raison q. On sait que u4 = 10 et u6 = 20.
(a) Déterminer q et u0 .
(b) Calculer S = u50 + u51 + . . . + u100 .
E XERCICE 4.5.
Après avoir mis en évidence la suite dont il s’agit et prouver qu’elle est, le cas échéant, arithmétique ou géométrique,
calculer les sommes suivantes :
• S 1 = 1 + 2 + 3 + . . . + 998 + 999
• S 2 = 2006 + 2007 + . . . + 9999
• S 3 = 1− 2+ 4− 8+ 16− 32+ . . .+ 4096
• S 4 = 1 + 3 + 9 + 27 + . . . + 59049
• S 5 = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 999
• A = 1 + 21 + 212 + . . . + 2128
• B = 3 + 6 + 9 + . . . + 99
4.4.2 Problèmes
P ROBLÈME 4.1.
Un étudiant loue un chambre pour 3 ans. On lui propose deux types de bail :
• Premier contrat : un loyer de 200 ( pour le premier mois, puis une augmentation de 5 ( par mois jusqu’à la fin du
bail ;
• Second contrat : un loyer de 200 ( pour le premier mois, puis une augmentation de 2 % par mois jusqu’à la fin du bail.
Question : Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ?
1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
2. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, c’est-à-dire celui du 36è mois.
3. Répondre à la question.
P ROBLÈME 4.2.
Le nombre d’adhérents d’un club sportif augmente de 5 % chaque année. En 1990, il y avait 500 adhérents.
Question : le nombre d’adhérents peut-il doubler et, si oui, en quelle année ?
Pour chaque année à partir de 1990 on note un le nombre d’adhérents l’année 1990 + n.
1. Quelle est la valeur de u0 ? de u1 ?
2. Préciser la nature de la suite (un ) puis exprimer un en fonction de n.
3. Répondre à la question.
P ROBLÈME 4.3.
Un étudiant souhaite s’acheter une super collection de CD d’une valeur de 1 000 (. Pour économiser une telle somme,
il ouvre un compte épargne à la banque qui rapporte 0,25 % mensuellement. À l’ouverture, il dépose 100 ( le premier
d’un mois et ensuite 50 ( le 1er de chaque mois.
Question : Quel sera le nombre de mois nécessaires pour l’achat de la collection ?
On pose c 0 = 100 et on note c n le capital le premier de chaque mois après le versement initial.
1. Calculer les capitaux c 1 , c 2 et c 3 du premier, deuxième et troisième mois.
2. Montrer que (c n ) vérifie une relation de récurrence de la forme c n+1 = ac n +b, où a et b sont des réels à déterminer.
3. On pose un = c n + 20000.
(a) Montrer que cette suite est géométrique.
(b) En déduire un puis c n en fonction de n.
4. À l’aide de la calculatrice, répondre à la question.
David ROBERT
35
4.4 Exercices et problèmes
Première S
P ROBLÈME 4.4.
Monsieur X désire financer un voyage dont le coût est de 6 000(.
Pour ce faire, il a placé 2 000 ( le 31 décembre 2002 sur son livret bancaire, à intérêts composés au taux annuel de 3,5 %
(ce qui signifie que, chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). À partir de
l’année suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700 ( supplémentaires sur ce livret.
Question : En quelle année aura-t-il assez d’argent pour financer son voyage ?
On désigne par C n le capital, exprimé en euros, disponible le 1er janvier de l’année (2003+n) , où n est un entier naturel.
Ainsi, on a C 0 = 2000.
1.
(a) Calculer le capital disponible le ler janvier 2004.
(b) Établir, pour tout entier naturel n, une relation entre C n+1 et C n .
2. Pour tout entier naturel n, on pose : un = C n + 20000.
(a) Démontrer que la suite (un ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
(b) Exprimer un en fonction de n.
(c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : C n = 22000 × (1, 035)n − 20000.
3. À l’aide de la calculatrice, répondre à la question.
P ROBLÈME 4.5.
Jean est en train de lire un livre. En additionnant les numéros de toutes les pages qu’il a déjà lues, il obtient 351. en
additionnant les numéros de toutes les pages qu’il lui reste à lire, il obtient 469.
1. À quelle page en est Jean ?
2. Combien de pages comporte ce livre ?
On supposera que le livre commence à la page n°1.
P ROBLÈME 4.6.
Lequel des deux nombres suivants est le plus grand ?
• A = 2005(1 + 2 + 3 + . . . + 2006)
• B = 2006(1 + 2 + 3 + . . . + 2005)
P ROBLÈME 4.7.
Un fournisseur fait une étude sur la fidélité de sa clientèle depuis l’année n = 0, où il y a eu 200 clients. Chaque année,
sa clientèle est composée de 50% des clients de l’année précédente auxquels s’ajoutent 400 nouveaux clients.
1. Soit un le nombre de clients l’année n.
Justifier que un+1 = 0, 5un + 400, puis calculer u1 ,u2 , u3 et u4 .
2. On considère la suite (v n ) définie par v n = un − 800.
(a) Vérifier que v n+1 = 0, 5v n .
(b) Quelle est la nature de la suite (v n ) ?
(c) En déduire l’expression de v n , puis celle de un , en fonction de n.
(d) Calculer u100 , u1000 et u10000 .
Que peut-on alors conjecturer concernant le nombre de clients du fournisseur ?
P ROBLÈME 4.8.
Le 1er janvier 2005, une grande entreprise compte 1500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l’effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de
l’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année. Pour tout entier n on
appelle un le nombre d’employés le 1er janvier de l’année (2005 + n) .
1. Déterminer u0 , u1 , u2 et u3
2.
(a) Montrer que un+1 = 0, 9un + 100.
(b) Cette suite est-elle arithmétique ? Cette suite est-elle géométrique ?
3. On pose v n = un − 1000.
(a) Déterminer v 0 , v 1 , v 2 et v 3 .
(b) Montrer que (v n ) est géométrique.
(c) En déduire v n en fonction de n.
(d) En déduire un en fonction de n.
(e) En déduire quel sera l’effectif de l’entreprise le 1er janvier de l’année 2027
36
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4.4 Exercices et problèmes
Première S
P ROBLÈME 4.9.
Une ville comprenait 300 000 habitants au premier janvier 1950. On estime que la ville accueille tous les ans 2% de
nouveaux arrivants et a un taux annuel de natalité de 3%. On constate curieusement un nombre fixe de décès et de
départ de 800 personnes par an. On veut déterminer à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure
au double de la population en 1950.
1. Quelle était la population estimée de la ville le premier janvier 1951 ?
2. On note p n la population de la ville à l’année 1950 + n.
Exprimer p n+1 en fonction de p n .
3. On pose q n = p n − 16000.
(a) Montrer que cette suite est une suite géométrique.
(b) Exprimer q n puis p n en fonction de n.
¡ ¢
4. Montrer que p n est croissante.
5. Déterminer, à l’aide de votre calcultrice, à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure au double
de la population en 1950.
David ROBERT
37
Devoir maison n°3
Devoir maison n°3
Suites arithmétiques et géométriques
Suites arithmétiques et géométriques
À rendre pour le vendredi 20 novembre
P ROBLÈME 3.1.
On considère les deux suites (un ) et (v n ) définies, pour tout n ∈ N, par :
un =
3 × 2n − 4n + 3
3 × 2n + 4n − 3
et v n =
2
2
À rendre pour le vendredi 20 novembre
P ROBLÈME 3.1.
On considère les deux suites (un ) et (v n ) définies, pour tout n ∈ N, par :
un =
3 × 2n − 4n + 3
3 × 2n + 4n − 3
et v n =
2
2
1. Soit (w n ) la suite définie par w n = un + v n . Démontrer que (w n ) est une
suite géométrique.
1. Soit (w n ) la suite définie par w n = un + v n . Démontrer que (w n ) est une
suite géométrique.
2. Soit (tn ) la suite définie par tn = un −v n . Démontrer que (tn ) est une suite
arithmétique.
2. Soit (tn ) la suite définie par tn = un −v n . Démontrer que (tn ) est une suite
arithmétique.
3. Exprimer la somme suivante en fonction de n : S n = u0 + u1 + . . . + un
3. Exprimer la somme suivante en fonction de n : S n = u0 + u1 + . . . + un
P ROBLÈME 3.2.
On considère la suite (un ) définie par :
(un ) :
½
u0 = −7
n +36
un+1 = 7u
−u n −5 pour tout n ∈ N
1. Calculer u1 et u2 . La suite (un ) est-elle arithmétique ? géométrique ?
2. On pose v n =
1
u n +6
pour tout n ∈ N.
(a) Calculer v 0 , v 1 et v 2 . Que peut-on conjecturer sur la nature de (v n ) ?
P ROBLÈME 3.2.
On considère la suite (un ) définie par :
(un ) :
½
u0 = −7
n +36
un+1 = 7u
−u n −5 pour tout n ∈ N
1. Calculer u1 et u2 . La suite (un ) est-elle arithmétique ? géométrique ?
2. On pose v n =
1
u n +6
pour tout n ∈ N.
(a) Calculer v 0 , v 1 et v 2 . Que peut-on conjecturer sur la nature de (v n ) ?
(b) Démontrer votre conjecture.
(b) Démontrer votre conjecture.
(c) En déduire l’expression de v n en fonction de n puis celle de un .
(c) En déduire l’expression de v n en fonction de n puis celle de un .
(d) Étudier la monotonie de (un ).
(e) Calculer u20 .
(d) Étudier la monotonie de (un ).
(e) Calculer u20 .
Nom :
Vendredi 20 novembre 2012 – 1h00
Devoir surveillé n°3
Suites arithmétiques et géométriques
E XERCICE 3.1 (3 points).
Après avoir mis en évidence la suite dont il s’agit et prouver qu’elle est, le cas échéant, arithmétique ou géométrique,
calculer la somme suivante :
S = 1 − 3 + 9 − 27 + . . . + 59049
E XERCICE 3.2 (7 points).
Un bail est un contrat de location entre un locataire et un propriétaire.Traditionnellement sa durée est de trois ans.
On propose à un locataire deux types de bail :
• Contrat A : Le premier loyer est de 2 000 euros et il augmente chaque mois de 23 euros pendant la durée des trois ans.
• Contrat B : Le premier loyer est de 2 000 euros et il augmente chaque mois de 1 % pendant la durée des trois ans.
1. Pour le contrat A :
(a) Calculer le loyer du deuxième mois et du troisième mois.
(b) Calculer le loyer du dernier mois, c’est-à-dire celui du 36è mois.
2. Mêmes questions pour le contrat B.
3. Déterminer, en justifiant, quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire.
E XERCICE 3.3 (10 points).
Le 1er janvier 2005, une grande entreprise compte 1 500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l’effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de
l’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année. Pour tout entier n on
appelle un le nombre d’employés le 1er janvier de l’année (2005 + n) .
1. Déterminer u1 et u2 .
2.
(a) Montrer que un+1 = 0, 9un + 100.
(b) Cette suite est-elle arithmétique ? Cette suite est-elle géométrique ?
On justifiera ses deux réponses.
3. On pose v n = un − 1000.
(a) Déterminer v 0 , v 1 et v 2 .
(b) Montrer que pour tout entier natural n, v n+1 = 0, 9v n .
Que peut-on en déduire pour (v n ) ?
(c) En déduire v n en fonction de n.
(d) En déduire un en fonction de n.
4. À l’aide des questions précédentes :
(a) Déterminer quel sera l’effectif de l’entreprise le 1er janvier de l’année 2027
(b)
i. Montrer que la suite (un ) est décroissante.
ii. En déduire, à l’aide de la calculatrice, l’année où le nombre d’employés sera inférieur à 1 010.
Chapitre 5
Équations cartésiennes
Sommaire
5.1 Rappels de Seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 Équations cartésiennes d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5.1 Vecteurs – Colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.5.2 Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
5.5.3 Équations de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.5.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.1 Rappels de Seconde
Ce paragraphe étant constitué de rappels, les exemples seront limités et les démonstrations des proprités ne seront pas
refaites, sauf pour quelques-unes, en classe.
Définition
5.1.
¡
¢ Soient O un point du plan et~ı et ~ deux vecteurs de ce plan de directions
¡ ¢ différentes (non colinéaires),
alors O ;~ı,~ est appelé repère du plan. O est appelé origine du repère et le couple ~ı,~ est appelé base du repère.
¡
¢
Définition 5.2. Soit un repère O ;~ı,~ du plan.
• Si les directions de~ı et de ~
 sont orthogonales, le repère est dit orthogonal.
• Si les normes de~ı et de ~
 sont égales à 1, le repère est dit normé.
• Si les directions de ~ı et de ~
 sont orthogonales et que les normes de ~ı et de ~ sont égales à 1, le repère est dit
orthonormé.
• Sinon, le repère est dit quelconque.
Repère orthogonal
Repère normé
~
O
~
~
O
~ı
Repère orthonormé
~ı
³ ´
Propriété 5.1. Le plan est muni d’une base ~
i ,~
j .
O
~ı
Pour tout vecteur ~
u du plan, il existe un unique couple (x; y), appelé coordonnées de ~
u , tel que ~
u = x~
i + y~
j.
On notera indifférement ~
u (x; y), ou ~
u = (x; y), ou ~
u
µ
x
y
¶
¶
µ
x
.
, ou ~
u=
y
41
5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs
Première S
Remarque. On notera que l’origine du repère n’a pas d’importance dans les coordonnées d’un vecteur et que le vecteur
nul a pour coordonnées (0; 0).
Propriété 5.2.
Le
¡
¢ plan ¡est′ muni
¢ d’un repère.
Soient ~
u = x ; y et ~
v = x ; y ′ deux vecteurs et k un nombre.
• ~
u =~
v ⇔ x = x ′ et y = y ′ .
¡
¢
′
′
• Le vecteur ~
u +~
v a pour coordonnées
¡ x + x¢ ; y + y .
• Le vecteur k~
u a pour coordonnées kx ; k y .
¡
¢
Définition 5.3. Le plan étant muni d’un repère O ;~ı,~ , on appelle coordonnées du point M le couple (x ; y) tel que
−−→
OM = x~ı + y~, x étant appelé abscisse de M et y étant appelé ordonnée de M.
−−→
Les coordonnées du point M sont donc les coordonnées du vecteur OM . Cela implique qu’elles dépendent de l’origine
du repère.
Propriété 5.3. Le plan est muni d’un repère.
−→
Soient A (x A ; y A ) et B (xB ; y B ) deux points du plan. Alors les coordonnées du vecteur AB sont (xB − x A ; y B − y A ).
Propriété 5.4. Le plan est muni d’un repère.
Soit A(x A ; y A ) et B(xB ; y B ) et I (x I ; y I ) milieu de [AB]. Alors x I =
x A +x B
2
et y I =
y A +y B
2
.
Propriété 5.5. Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Soient A et B deux points du plan P de coordonnées
respectives (x A ; y A ) et (xB ; y B ).
p
Alors la distance AB est donnée par AB = (xB − x A )2 + (y B − y A )2 .
5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs
Propriété 5.6. Le plan est muni d’un repère.
u et ~
v colinéaires ⇔ x y ′ − x ′ y = 0.
u (x ; y) et ~
v (x ′ ; y ′ ) deux vecteurs du plan. Alors : ~
Soient ~
La preuve sera faite en classe.
5.3 Équations cartésiennes d’une droite
Théorème 5.7. Le plan est muni d’un repère.
• Toute droite du plan admet une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b) 6= (0; 0).
• L’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient ax + by + c = 0 avec (a ; b) 6= (0; 0) est une droite
La preuve sera faite en classe.
Définition 5.4. Le plan est muni d’un repère.
Soit D une droite et A et B deux points de cette droite. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur ~
u 6=~0 colinéaire
−→
à AB .
Théorème 5.8. Le plan est muni d’un repère.
Toute droite admettant une équation de la forme ax + by + c = 0 admet ~
v = (−b ; a) comme vecteur directeur.
La preuve sera faite en classe.
Propriété 5.9. Le plan est muni d’un repère.
Soit D une droite d’équation réduite y = mx + p. Alors ~
v (1; m) est un vecteur directeur de D.
La preuve sera faite en classe.
Propriété 5.10. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Preuve. Trivial.
42
♦
http ://perpendiculaires.free.fr/
5.4 Équation cartésienne d’un cercle
Première S
5.4 Équation cartésienne d’un cercle
Théorème 5.11. Le plan est muni d’un repère orthonormal.
Soit C le cercle de centre Ω(x0 ; y 0 ) et de rayon r .
Alors tout point de M de C a ses coordonnées qui vérifient (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 = r 2 .
Preuve. Par définition ΩM = r or, comme ΩM est une longueur : ΩM = r ⇔ ΩM 2 = r 2 ⇔ (x − x0 )2 + (y − y 0 )2 = r 2
♦
5.5 Exercices
5.5.1 Vecteurs – Colinéarité
E XERCICE 5.1.
Le plan est muni d’un repère quelconque.
On donne les points A (−5; 3), B (−4; 1) et C (1; −4).
1. Déterminer les coordonnées de I , milieu de [AC ].
2. Déterminer les coordonnées de D tel que ABC D soit un parallélogramme.
E XERCICE 5.2.
¡
¢
Le plan est muni du repère O ;~ı,~ . Soient les points A (−9; −10), B (2; 9), C (5; 3), D (−1; −8) et E (3; 0).
1. Les points C , D et E sont-ils alignés ?
2. Les droites (AB) et (C D) sont-elles parallèles ?
E XERCICE 5.3.
¡
¢
Le plan est muni du repère O ;~ı,~ . On considère les points A (−2; 2), B (−3; −3), C (5; 1) et D (2; 4). E est le milieu du
segment [BC ].
−−→ −→
1. Montrer que AD et BC sont colinéaires. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABC D ?
2. Montrer que ABE D est un parallélogramme.
3. Déterminer si O appartient à la droite (AE ).
E XERCICE 5.4.
ABC D est un parallélogramme.
A ′ est le symétrique de A par rapport à B et E est le milieu de [BC ].
³ −→ −−→´
1. Déterminer les coordonnées des points A ′ , E et D dans le repère A ; AB, AD
2. Montrer que les points A ′ , E et D sont alignés
5.5.2 Équations de droites
Dans les exercices de ce paragraphe, le plan est muni d’un repère quelconque.
E XERCICE 5.5.
On considère les points A (−1; 2), B (1; 3) et C (195; 100).
1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
À l’aide de cette équation déterminer si A, B et C sont alignés.
2. La droite D d’équation y = 21 x + 1 est-elle parallèle à (AB) ?
3. Le point C appartient-il à la droite ∆ passant par le point J (0; 1) et de coefficient directeur
3
5
?
E XERCICE 5.6.
On donne A(1; 2), B(2; 1) et C (−3; 0). Déterminer les équations des droites suivantes :
1. D ′ passant par C et de vecteur
−→
directeur AB ;
2. ∆ parallèle à D passant par A ;
3. ∆′ parallèle à D ′ passant par B.
E XERCICE 5.7.
Déterminer si les droites suivantes sont parallèles et, si elles ne le sont pas, déterminer les coordonnées de leur point
d’intersection.
• D1 : x + 2y − 1 = 0
David ROBERT
• D2 : y = − x2 + 3
• D3 : −2x + 3y + 5 = 0
43
5.5 Exercices
Première S
E XERCICE 5.8.
−→
−→
−→ −→
ABC est un triangle non aplati. I et J sont les point tels que AI = 2 AB et A J = 23 AC.
³ −→ −→´
1. Dans le repère A ; AB , AC , déterminer les coordonnées des points I et J .
2. Déterminer une équation cartésienne des droites (BC ) et (I J ).
3. Montrer que la droite (I J ) passe par le milieu O du segment [BC ].
5.5.3 Équations de cercle
Dans les exercices de ce paragraphe, le plan est muni d’un repère orthonormé.
E XERCICE 5.9.
Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du
cercle :
1. x 2 + y 2 − 2x − 6y + 5 = 0 ;
2. x 2 + y 2 − x − 3y + 3 = 0 ;
3. x 2 + y 2 − x + 8y + 10 = 0.
E XERCICE 5.10.
On donne Ω(2; −3).
1. Déterminer l’équation du cercle C de centre Ω et de rayon r = 5.
2. Démontrer que le point A(−2; 0) est un point du cercle C .
E XERCICE 5.11.
Trouver une équation du cercle C de centre A(1; 2) et de rayon 3 et déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec les axes de coordonnées.
E XERCICE 5.12. 1. Déterminer une équation du cercle C passant par A(2; 1) et B(1; 3) et dont le centre Ω est situé
sur la droite D d’équation x + y + 1 = 0. Indication : chercher d’abord les coordonnées de Ω
2. Même question pour le cercle C ′ passant par C (4; 2) et D(2; 6) et dont le cercle Ω′ est situé sur la droite d’équation
x + y + 2 = 0.
5.5.4 Divers
E XERCICE 5.13.
Sur le dessin ci-dessous fait ) main levée, E AF est un triangle rectangle en A, B ∈ [AE ], D ∈ [AF ] et ABC D est un carré.
Les points F , C et E sont-ils alignés ?
F
b
13
D
b
b
A
C
b
b
8
B
b
5
E
E XERCICE 5.14.
ABC D est un parallélogramme. I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [AD]. K est l’intersection des
droites (D I ) et (B J ).
Que peut-on dire des points A, K et C ?
44
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Devoir maison n°4
Devoir maison n°4
Intersection droite – cercle
Intersection droite – cercle
À rendre pour le mardi 11 décembre.
À rendre pour le mardi 11 décembre.
¡
¢
Le plan est muni d’un repère orthornormé O ;~ı,~ .
Les points A, B et C sont de coordonnées respectives (8; 2), (4; −2) et (0; 2).
C est le cercle de centre A et passant par B.
P est le point de coordonnées (p ; 0) où p est un réel quelconque et on appelle
Dp la droite (C P ).
¡
¢
Le plan est muni d’un repère orthornormé O ;~ı,~ .
Les points A, B et C sont de coordonnées respectives (8; 2), (4; −2) et (0; 2).
C est le cercle de centre A et passant par B.
P est le point de coordonnées (p ; 0) où p est un réel quelconque et on appelle
Dp la droite (C P ).
Partie A : Questions préliminaires
Partie A : Questions préliminaires
1. Déterminer une équation cartésienne de C .
1. Déterminer une équation cartésienne de C .
2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection du cercle C avec :
2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection du cercle C avec :
(a) l’axe des abscisses ;
(a) l’axe des abscisses ;
(b) l’axe des ordonnées.
(b) l’axe des ordonnées.
Partie B : Deux cas particuliers
Partie B : Deux cas particuliers
1. On pose p = −6.
(a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D−6 .
(b) Déterminer l’ensemble des intersections de D−6 et de C .
2. Mêmes questions avec p = 1.
Partie C : Cas général
Déterminer, par le calcul, le nombre d’intersections entre Dp et de C selon les
valeurs de p.
1. On pose p = −6.
(a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D−6 .
(b) Déterminer l’ensemble des intersections de D−6 et de C .
2. Mêmes questions avec p = 1.
Partie C : Cas général
Déterminer, par le calcul, le nombre d’intersections entre Dp et de C selon les
valeurs de p.
Nom :
Vendredi 14 décembre 2012 – 1h00
Devoir surveillé n°4
Équations cartésiennes
E XERCICE 4.1 (10 points).
Dans un repère orthonormé, on considère les points
A (1; 0), B (2; 3), C (−1; 2) et D (1; 6).
On pourra s’aider du repère ci-contre trouver l’inspiration
ou pour vérifier ses résultats mais ceux-ci sont à obtenir algébriquement.
1.
y
8
7
(a) Déterminer une équation cartésienne de la
droite (AC ).
6
(b) Déterminer une équation cartésienne de la
droite D, parallèle à la droite (AC ) et passant
par B.
5
2. La droite ∆ est d’équation cartésienne −x+3y−7 = 0.
4
(a) Donner un vecteur directeur de ∆.
3
(b) Les droites ∆ et D sont-elles parallèles ?
3. Soit C le cercle de centre B et passant par D.
2
(a) Déterminer une équation cartésienne du cercle C .
1
(b) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
4. Soit E l’ensemble des points M (x ; y) tels que x 2 +
y 2 − 2x − 7 = 0.
x
−2
1
−1
(a) Montrer que E est un cercle dont on précisera
les caractéristiques (centre et rayon).
(b) Le point C appartient-il à E ?
2
3
4
5
−1
−2
E XERCICE 4.2 (6 points).
ABC D est un parallélogramme. E est le milieu du segment [C D], F est le symétrique de A par rapport à D et G est le
symétrique de A par rapport à B.
Par la méthode de votre choix :
1. Déterminer si les points B, E et F sont alignés.
2. Déterminer si les points F , C et G sont alignés.
3. On appelle H l’intersection des droites (AC ) et (DG). Déterminer si les points H , E et B sont alignés.
E XERCICE 4.3 (4 points).
Le plan est muni d’un repère orthonormé.
A et B sont les points de coordonnées respectives A (1; −2) et B (4; −1).
D est la droite d’équation cartésienne 4x + 3y − 13 = 0.
1. On appelle ∆ la médiatrice du segment [AB].
Montrer qu’une équation cartésienne de ∆ est 3x + y − 6 = 0.
2. Déterminer les coordonnées de C , intersection de D et de ∆.
3. Déduire de ce qui précède une équation cartésienne du cercle C passant par A et B et tel que son centre appartient à la droite D.
Chapitre 6
Nombre dérivé
Sommaire
6.1
6.2
6.3
6.4
Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interprétation graphique du nombre dérivé . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Coefficients directeurs (rappels) . . . . . . . . .
6.4.2 Lectures graphiques de nombres dérivés . . . .
6.4.3 Tracés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 Calculs de nombres dérivés . . . . . . . . . . . .
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49
50
51
51
51
53
54
55
6.1 Activités
A CTIVITÉ 6.1 (Vitesse moyenne, vitesse instantanée).
Un corps en chute libre, avec une certaine vitesse initiale, à son altitude donnée au bout de t secondes par la fonction
h(t ) (en mètres) exprimée par :
h(t ) = −4, 9t 2 + 20t + 15
1.
(a) Quelle est son altitude au départ de sa trajectoire ?
(b) Au bout de combien de temps touche-t-il le sol ? On appellera ce temps t0 pour la suite.
2. Tracer la courbe représentative C de la fonction h sur l’intervalle [0; t0 ].
3.
(a) Quelle distance a-t-il parcouru entre l’instant t = 0 et l’instant t = 1 ?
(b) Quelle est alors sa vitesse moyenne sur cet intervalle de temps ?
(c) Mêmes questions entre les instants :
• t = 1 et t = 2
• t = 2 et t = 3
• t = 3 et t = 4
(d) Comment peut-on retrouver graphiquement ces vitesses moyennes ?
• t = 4 et t = t0 .
4. Inventer une manière d’obtenir la vitesse initiale.
A CTIVITÉ 6.2 (Nombre dérivé).
On s’intéresse à la fonction définie sur R par f (x) = −x 2 + 25 et on appelle P sa courbe représentative.
On appelle :
• T le point de P d’abscisse 1 ;
• Th le point de P d’abscisse 1 + h où h est un réel ;
• Dh la sécante (T Th ) ;
• m h le coefficient directeur de Dh .
1. On suppose que h = 1.
(a) Déterminer l’abscisse x1 et y 1 et l’ordonnée de T1 .
(b) Déterminer m 1 le coefficient directeur de la droite D1 .
2. En vous inspirant que la question précédente, compléter le tableau suivant :
h
xh
yh
mh
1
0,5
0,1
49
0,01
0,001
6.2 Bilan et compléments
Première S
3. Montrer, par le calcul, que, dans le cas général, m h = −2 − h pour h 6= 0
4. Quand h tend vers 0 :
(a) Vers quelle valeur tend m h ?
(b) Vers quel point tend Th ?
(c) Vers quelle droite tend la sécante Dh ?
(d) En déduire l’équation réduite de cette droite.
On appellera tangente à P au point d’abscisse 1, la droite de laquelle se rapproche la sécante Dh quand h tend vers 0 et
on appellera nombre dérivé de f (x) en 1 le coefficient directeur de la tangente.
6.2 Bilan et compléments
Définition. On appelle accroissement moyen d’une fonction f entre deux nombres distincts a et b le nombre :
f (b) − f (a)
b−a
On écrit la plupart du temps a + h à la place de b et la définition devient alors :
Définition 6.1. On appelle accroissement moyen d’une fonction f entre deux nombres distincts a et a +h le nombre :
f (a + h) − f (a)
h
Les deux définitions sont équivalentes (il suffit de poser b = a + h). C’est la seconde que nous utiliserons pour la suite.
On a vu dans les activités que cet accroissement moyen tendait vers l’accroissement « instantané » quand h tendait vers
0. Cet accroissement « instantané » est appelé nombre dérivé en mathématiques, et on a donc la définition suivante :
f (a+h)− f (a)
tend vers un nombre
Définition 6.2 (Dérivabilité et nombre dérivé). Si, quand h tend vers 0, la quantité
h
A, on dit que la fonction f est dérivable en a et on appelle A le nombre dérivé de f en a. On le note f ′ (a).
∆f (x)
Remarques. • On note parfois ∆x l’accroissement moyen, surtout en physique.
∆x est la différence 1 entre deux valeurs de x, ∆f (x) celle entre les deux valeurs correspondantes de f (x).
d f (x)
• On note parfois dx le nombre dérivé. Le d indique là encore une différence mais entre deux valeurs infiniment
proches.
• Ces nombres correspondent à des quantités concrêtes qui dépendent de la nature de la fonction f ou de la variable.
Ainsi, si f (t ) est la distance parcourue au bout d’un temps t , la variation moyenne ne sera rien d’autre que la vitesse
moyenne et le nombre dérivé est la vitesse instantanée.
Exemple 6.1. La fonction f définie sur R par f (x) = x 3 − 7 est-elle dérivable en a = 2 ?
f (2 + h) − f (2)
.
Pour le savoir étudions la quantité suivante :
h
f (2 + h) − f (2) (2 + h)3 − 23 8 + 12h + 6h 2 + h 3 − 8
=
=
h
h
h
12h + 6h 2 + h 3 h(12 + 6h + h 2 )
=
=
h
h
= 12 + 6h + h 2 avec h 6= 0
Lorsque h tend vers 0 (en restant différent de 0), 12 + 6h + h 2 tend vers 12. Donc f est dérivable en a = 2 et son nombre
dérivé en 2 est 12. On note alors f ′ (2) = 12.
1. ∆ est la lettre grecque correspondant à D
50
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6.3 Interprétation graphique du nombre dérivé
Première S
6.3 Interprétation graphique du nombre dérivé
Définition 6.3 (Tangente à une courbe). On appelle tangente à une courbe C en un point M, appartenant à C , une
droite passant par M et qui, si elle existe, est aux alentours de M, la droite la plus proche de C .
Soit C la courbe représentative de la fonction f et A(a; f (a)) et B(a + h; f (a + h)), deux points de cette courbe.
f (a+h)− f (a)
est le coefficient directeur de la droite (AB), sécante à la courbe.
La quantité
h
Lorsque h tend vers 0, la sécante (AB) tend vers la tangente à la courbe au point A et le nombre
coefficient directeur de la tangente en A.
On a donc la propriété suivante, qu’on admettra :
f (a+h)− f (a)
h
tend vers le
Propriété 6.1. Soit f une fonction dérivable en a et C la courbe représentative de f .
Le nombre dérivé f ′ (a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse a.
Le schéma 6.1 de la présente page illustre cette propriété.
F IGURE 6.1: Interprétation graphique du nombre dérivé
y
7
6
5
4
3
f (a)
2
f ′ (a)
A
1
1
−1 −1
1
2
a
3
4
5
6
x
Remarque. Le point A(a; f (a)) est un point de la courbe et est aussi un point de la tangente ; en particulier, ses coordonnées vérifient l’équation de la tangente. Cela nous permet d’obtenir, dans le cas général, l’équation de la tangente.
Propriété 6.2. Soit f une fonction définie et dérivable en a et C sa courbe représentative.
Alors C admet en son point d’abscisse a une tangente T a d’équation
y = f ′ (a)(x − a) + f (a)
La preuve sera faite en classe.
6.4 Exercices
6.4.1 Coefficients directeurs (rappels)
E XERCICE 6.1.
Déterminer graphiquement les coefficients directeurs m des droites de la figure 6.2 page suivante (on les indiquera sur
le graphique).
E XERCICE 6.2.
Dans le repère de la figure 6.3 page 53, représenter les droites suivantes :
• D1 passant par le point A (0; 1) et de coefficient directeur m = 2 ;
• D2 passant par le point B (1; 0) et de coefficient directeur m = −1 ;
• D3 passant par le point C (−1; −1) et de coefficient directeur m = 41 ;
• D4 passant par le point D (1; 2) et de coefficient directeur m = − 32 ;
• D5 passant par le point E (2; −3) et de coefficient directeur m = 53 ;
• D6 passant par le point A (0; 3) et de coefficient directeur m = 0 ;
David ROBERT
51
6.4 Exercices
Première S
F IGURE 6.2: Figures de l’exercice 6.1
y
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
−1
−2
−3
y
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
O
−1
−2
−3
52
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6.4 Exercices
Première S
F IGURE 6.3: Figure de l’activité 6.2
y
5
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
−1
−2
−3
6.4.2 Lectures graphiques de nombres dérivés
E XERCICE 6.3.
On donne sur la figure 6.4 de la présente page la courbe représentative C de la fonction f en y indiquant les droites
tangentes aux points A, B et C .
1. Donner par lecture graphique f (−2) et f (6)
2. Donner par lecture graphique f ′ (−2), f ′ (6) et f ′ (2)
3. Déterminer l’équation de la tangente à C au point d’abscisse −2.
F IGURE 6.4: Figure de l’exercice 6.3
y
6
4
b
b
A
C
2
x
−12
−10
−8
−6
−4
−2
O
−2
2
4
b
6
8
10
B
E XERCICE 6.4.
La courbe C de la figure 6.5 page suivante est la représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur R,
dans un repère orthogonal.
1. Déterminer graphiquement :
(a) f (0) et f ′ (0) ;
(b) f (−1) et f ′ (−1) ;
(c) f (2) et f ′ (2) ;
(d) L’équation de la tangente T−1 au point d’abscisse −1 ;
(e) L’équation de la tangente T0 au point d’abscisse 0.
2. La droite T tangente à la courbe C au point d’abscisse −2 et d’ordonnée −1 passe par le point A de coordonnées
(1; 26)
David ROBERT
53
6.4 Exercices
Première S
(a) Déterminer par le calcul une équation de T .
(b) En déduire f ′ (−2).
F IGURE 6.5: Figure de l’exercice 6.4
y
10
5
b
b
x
−3
−2
O
−1
1
2
b
3
−5
E XERCICE 6.5.
On donne sur la figure 6.6 de la présente page la courbe représentative C d’une fonction définie f sur R ainsi que les
tangentes à cette courbe en certains points.
F IGURE 6.6: Figure de l’exercice 6.5
b
b
b
~
O
~ı
1. Donner par lecture graphique f (3), f (−2) et f (−9).
2. Donner par lecture graphique f ′ (3), f ′ (−2) et f ′ (−9).
3. Déterminer l’équation réduite de T , la tangente à C au point d’abscisse 3.
6.4.3 Tracés
E XERCICE 6.6.
Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l’intervalle [−3; 3] dont la courbe est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées et ayant les propriétés suivantes :
• f est décroissante sur [−3; 0] ;
• f (0) = −2 et f ′ (0) = 0 ;
• f (3) = 9.
E XERCICE 6.7.
Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l’intervalle [0; 9] ayant les popriétés suivantes :
• f (0) = 0 ;
• f (1) = 3 et f ′ (1) = 2 ;
54
• f (3) = 6 et
• f (5) = 7 et
f ′ (3) = 1 ;
f ′ (5) = 0 ;
• f (6) = 6 et f ′ (6) = −4.
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6.4 Exercices
Première S
E XERCICE 6.8.
Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l’intervalle [0; 5] ayant les popriétés suivantes :
• f (0) = 1 ;
• f est décroissante sur l’intervalle [0; 2] ;
• f admet en 2 un minimum égal à −3 ;
• f (3) = −1 et f (5) = −1 ;
• f ′ (2) = 0, f ′ (3) = 1 et f ′ (5) = −1 ;
• pour tout x ∈ [2; 5], f (x) < 0.
6.4.4 Calculs de nombres dérivés
E XERCICE 6.9.
Dans chacun des cas suivants, on admettra que la fonction est dérivable et on déterminera par le calcul son nombre
dérivé.
p
1. f (x) = 3x + 7 en −2.
4. f (x) = 2x 2 − x + 1 en 4.
7. f (x) = x en 2.
2. f (x) = x 2 − 2x en 3.
3. f (x) = x 2 + 2x − 1 en −1.
5. f (x) = x 3 + 2x − 1 en 1.
6. f (x) =
1
x
en 1.
E XERCICE 6.10.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −x 2 + 2x + 3. On appelle C sa courbe représentative.
1. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec les axes de coordonnées.
2. Déterminer les nombres dérivés de f là où C coupe les axes.
3. Déterminer f ′ (1).
4. Tracer dans un repère les tangentes à la courbe qu’on peut déduire des questions précédentes.
5. Tracer C dans ce même repère.
David ROBERT
55
Chapitre 7
Statistiques
Sommaire
7.1 Rappels de Seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.1.2 Mesures centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.1.3 Mesures de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.2 Un problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.2.2 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7.3 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3.1 Médiane et quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
7.3.2 Moyenne arithmétique, variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
7.3.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
57
7.1 Rappels de Seconde
Première S
7.1 Rappels de Seconde
7.1.1 Vocabulaire
Définition 7.1. Une série statistique est un ensemble d’observations collectées et on a les définitions suivantes :
• Population : C’est l’ensemble sur lequel porte une étude statistique ;
• Individu : C’est un élément de la population ;
• Caractère : C’est ce qu’on observe chez l’individu ;
• Modalité : Ce sont les différentes valeurs prises par le caractère ;
• La série statistique est dite quantitative quand les modalités sont des nombres et qualitative sinon ;
• Dans le cas d’une série quantitative, celle-ci est dite discrète si les modalités sont limitées à un ensemble fini de
valeurs et continue si les modalités peuvent prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle.
Exemples. • On peut s’intéresser à une classe (population), comportant des élèves (individus) et observer leur nombre
de frères et sœurs (caractère) qui peuvent être 0, 1, 2, . . . (modalités), ces données formant alors une série statistique
quantitative discrète.
• On peut s’intéresser à une chaîne d’usine produisant des bras de suspension pour voiture (population), et observer
sur chaque pièce (individu) ses dimensions exactes (caractère) qui peuvent varier entre 500 et 750 mm (modalités),
ces données formant alors une série statistique quantitative continue.
• On peut s’intéresser à la population française (population dont on prendra un échantillon) comportant des individus
(individus) et estimer leur intention de vote (caractère) pouvant être n’importe lequel des candidats se présentant
(modalités), ces données formant alors une série statistique qualitative.
Définition 7.2. On a aussi :
• Effectif d’une valeur : C’est le nombre de fois que la valeur d’un caractère (la modalité) revient dans la série ;
• Fréquence d’une valeur : C’est l’effectif de la modalité divisé par l’effectif total ; elle est comprise entre 0 et 1.
• Classes de valeurs : s’il y a trop de valeurs différentes, elles sont rangées par classe (intervalle), l’effectif de la classe
étant alors le nombre de modalités appartenant à cet intervalle.
7.1.2 Mesures centrales
Elles visent à résumer la série par une seule valeur qu’on espère représentative de toutes les valeurs de la série.
En Seconde vous en avez vu trois : le mode, la moyenne, la médiane.
Mode
Définition 7.3 (Mode). Le mode d’une série statistique est la donnée la plus fréquente de la série.
Remarques. • S’il y a plusieurs données arrivant à égalité, il y a plusieurs modes.
• Si les données sont rangées en classe, on parle de classe modale.
• Le mode est défini aussi bien pour les séries quantitatives que qualitatives.
Moyenne arithmétique
Définition 7.4 (Moyenne arithmétique). La moyenne arithmétique d’une série statistique quantitative S =
{x1 , x2 , . . . , xn } est le nombre, souvent noté x :
x=
x1 + x2 + . . . + xn
n
Remarques. • La somme de toutes les valeurs de la série est inchangée si on remplace chaque valeur par x.
P
• On note parfois x1 + x2 + . . . + xn = n
i=1 xi
• Si la série S comporte n données selon p modalités x1 , x2 , . . . , x p d’effectifs respectifs (ou de fréquences respectives)
n 1 x 1 +n 2 x 2 +...+n p x p
n1 , n2 , . . . , n p , alors x = n + n + . . . + n
1
2
p
{z
}
|
effectif total
La moyenne a des avantages calculatoires : si l’on connaît les moyennes et les effectifs de deux séries (ou deux sousséries), on peut obtenir la moyenne de la série constituée l’agrégation de ces deux séries. Elle a le défaut d’être très
sensible aux valeurs extrêmes.
58
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7.2 Un problème
Première S
Médiane
On appelle médiane d’une série statistique quantitative tout nombre m tel que :
• la moitié au moins des valeurs de la série est inférieure à m
• la moitié au moins des valeurs de la série est supérieure à m
Dans le cas d’un nombre de données pair, plusieurs nombres peuvent convenir comme médiane. Au Lycée, on convient
alors de la définition suivante :
Définition 7.5 (Médiane). Soit une série statistique quantitative comportant n données : S = {x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn }
telles que x1 6 x2 6 . . . 6 xn .
ième
élément de la série est la médiane : m = x n+1
• Si n est impair, le n+1
2
2
¡
¢ième
ième
et le n2 + 1
élément de la série est une médiane. On prendra
• Si n est pair, tout nombre compris entre le n2
x n +x n +1
( )
alors comme médiane le nombre m = 2 2 2
La médiane a l’avantage de ne pas être influencée par les valeurs extrêmes. Elle n’a aucun avantage pratique dans les
calculs, puisque pour connaître la médiane d’une série constituée de l’agrégation de deux séries, il faut nécessairement
re-ordonner la nouvelle série pour trouver sa médiane, qui n’aura pas de lien avec les deux médianes des deux séries
initiales.
7.1.3 Mesures de dispersion
Les valeurs extrêmes et l’étendue ont été vues en Seconde. Ce sont des mesures de dispersion :
Définition 7.6. Les valeurs extrêmes d’une série sont ses valeurs minimale et maximale et l’étendue est la différence
entre les valeurs extrêmes de la série.
Un des objectifs de la première est de les compléter par d’autres mesures plus fines.
7.2 Un problème
Le couple moyenne-médiane fournit de bonnes informations sur une série dans certains cas :
• Si la moyenne est supérieure à la médiane, on peut conjecturer que les données supérieures à la médiane sont
éloignées de celle-ci ou que les données inférieures à la médiane sont proches de celle-ci (le mode peut alors indiquer laquelle de ces deux possibilités est la plus probable) ; si la moyenne est très supérieure à la médiane on peut
conjecturer que les deux facteurs jouent.
• Si la moyenne est inférieure à la médiane, on peut conjecturer que les données supérieures à la médiane sont proches
de celle-ci ou que les données inférieures à la médiane sont éloignées de celle-ci (le mode peut alors indiquer laquelle
de ces deux possibilités est la plus probable) ; si la moyenne est très inférieure à la médiane on peut conjecturer que
les deux facteurs jouent.
Dans ces cas là, avec seulement 2 nombres (médiane et moyenne), on peut avoir un bon résumé de la série.
Par contre si moyenne et médiane sont proches, la seule chose qu’on peut dire c’est les données inférieures et supérieures
à la médiane se compensent pour la moyenne. Soit pas grand chose.
On va voir dans le problème qui suit qu’il nous faut d’autres outils pour faire résumer une série.
7.2.1 Le problème
Soit S 1 , S 2 et S 3 les trois séries de notes suivantes :
S1
S2
S3
2; 2; 4; 4; 6; 10; 14; 16; 16; 18; 18
2; 8; 9; 10; 10; 10; 11; 12; 18
2; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 14; 15; 15; 15; 15; 18
1. Pour chacune de ces séries, déterminer les valeurs extrêmes, la moyenne et la médiane.
Que constate-t-on ?
2. Ces trois séries ont-elles la même allure ?
Inventer des mesures permettant de témoigner des différences entre elles.
David ROBERT
59
7.2 Un problème
Première S
7.2.2 Résolution du problème
Les trois séries proposées ont les mêmes valeurs extrêmes, la même moyenne et la même médiane, cependant on peut
observer qu’elles n’ont pas la même allure.
Dans S 1 , deux blocs de notes extrêmes de part et d’autre des valeurs centrales et se compensent pour la moyenne.
Dans S 2 , hormis les valeurs extrêmes, toutes les notes sont regroupées autour des valeurs centrales.
Dans S 3 , deux gros blocs sont situés de part et d’autre des valeurs centrales, l’un autour de 5, l’autre autour de 15, et se
compensent pour la moyenne et un petit bloc est centré sur 10.
Il s’agît donc d’inventer des mesures témoignant de la dispersion globale des données autour des valeurs centrales. Ce
nouvel indicateur devra indiquer un écart important pour S 1 , un écart réduit pour S 2 et un écart moyen pour S 3 .
Première approche
Une autre façon de mesurer la dispersion d’une série est d’examiner comment sont réparties les plus petites valeurs
d’une part, et les plus grandes valeurs d’autre part. Or on connait la valeur qui les sépare : c’est la médiane.
On s’intéresse alors, pour chaque série, aux deux sous-séries que constituent les données inférieures à la médiane et les
données supérieures à la médiane.
³ ´
¡ ¢
Moyenne On peut en faire les moyennes qu’on peut appeler moyenne inférieure x − et moyenne supérieure x + .
On obtient alors :
S1
S2
S3
x − ≈ 4, 7; x + ≈ 15, 3
x − = 7, 8; x + = 12, 2
x − = 6; x + = 14
Ces indicateurs fournissent une bonne mesure de la dispersion de chacune des séries autour de la médiane.
¡
¢
Médiane On peut en faire les médianes qu’on peut appeler médiane inférieure (m − ) et médiane supérieure m + .
On obtient alors :
S1
S2
S3
m − = 4; m + = 16
m − = 9; m + = 11
m − = 5; m + = 5
Ces indicateurs fournissent là encore une bonne mesure de la dispersion de chacune des séries autour de la
médiane.
On notera que au moins 25% des données de la série sont comprises entre la valeur minimale et m − , 25% entre
m − et m, 25% entre m et m + et enfin 25% entre m + et la valeur maximale.
Ces trois nombres partagent donc la série en quarts et sont appelés quartiles. m − est le premier quartile, noté Q 1 ,
m est le deuxième quartile, noté m, et m + le troisième quartile, noté Q 3 .
C’est cette seconde mesure de dispersion qui a été retenue par les statisticiens.
Une seconde approche
Une façon de procéder est de mesurer l’écart de chaque donnée avec les valeurs centrales que sont la médiane et la
moyenne en faisant la différence entre chaque donnée et ces valeurs centrales.
Ainsi on obtient :
S1
S2
S3
−8; −8; −6; −6; −4; 0; +4; +6; +6; +8; +8
−8; −2; −1; 0; 0; 0; +1; +2; +8
−8; −5; −5; −5; −5; −4; −4; −3; −1; 0; +1; +3; +4; +4; +5; +5; +5; +5; +8
Le problème est que la somme de ces écarts est nulle (ou proche de 0 dans des cas moins particuliers que ces séries) !
Valeur absolue Une première solution est de prendre la valeur absolue de chacun de ces écarts.
Cet indicateur donne 64 pour S 1 , 22 pour S 2 et 80 pour S 3 et témoigne que S 2 est moins dispersée que les autres,
par contre il fournit une mauvaise indication pour S 1 et S 3 . Cela est dû au fait que si les données de S 1 sont plus
dispersées que celles de S 3 , il y en a moins, donc cet indicateur est faussé par les effectifs.
Pour contourner ce problème, il suffit de passer à la moyenne de ces valeurs absolues. Ainsi la moyenne des écarts
22
80
aux valeurs centrales est 64
11 ≈ 5, 8 pour S 1 , 9 ≈ 2, 4 pour S 2 et 19 ≈ 4, 2 pour S 3 .
On obtient ainsi une bonne mesure de la dispersion.
On admettra que pour cette mesure de dispersion c’est la médiane qui fournit la valeur la plus centrale.
60
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7.3 Bilan et compléments
Première S
Carré Une seconde solution est de prendre les carrés de chacun de ces écarts et d’en faire la moyenne pour compenser
les différences d’effectifs comme précédemment.
2
2
+(−6)2 +...+82
≈ 39, 3 pour S 1 , 15,3 pour S 2 et 21,7 pour S 3 .
On obtient (−8) +(−8) 11
On obtient là encore ainsi une bonne mesure de la dispersion.
On démontre que pour cette mesure de dispersion, c’est la moyenne qui fournit la valeur la plus centrale.
C’est cette seconde mesure de dispersion qui a été choisie par les statisticiens. Elle est nommée variance de la
série.
Dépendant des carrés des écarts à la moyenne, son unité peut parfois poser problème. Ainsi, si les données sont
en mètre, la variance est en mètre carré. Par ailleurs, avec la mesure en valeur absolue, on obtenait des écarts à la
médiane parlants (« les écarts à la médiane de S 1 sont en moyenne de 5,8 » est plus parlant que « la variance de
S 1 est 39,3 »).
Pour toutes ces raisons, et d’autres encore, c’est la racine carrée de la variance qu’on fournit comme résumé et on
appelle cette mesure de dispersion l’écart-type de la série.
Ainsi les écarts-types des séries S 1 , S 2 et S 3 sont, respectivement, 6,3, 3,9 et 4,7.
Même si cela n’est pas tout à fait exact, on peut penser l’écart-type comme étant l’écart moyen à la moyenne de
toutes les données de la série.
7.3 Bilan et compléments
7.3.1 Médiane et quartiles
• On appelle premier quartile, noté Q 1 , tout réel tel que :
· au moins 25% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Q 1 ;
· au moins 75% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Q 1 .
• On appelle deuxième quartile, noté Q 2 , tout réel tel que :
· au moins 50% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Q 2 ;
· au moins 50% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Q 2 .
Le deuxième quartile est donc la médiane.
• On appelle troisième quartile, noté Q 3 , tout réel tel que :
· au moins 75% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Q 3 ;
· au moins 25% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Q 3 .
Comme pour la médiane, selon les valeurs de n, plusieurs nombres peuvent parfois convenir comme quartiles. Au
Lycée, on convient alors de la défintion suivante :
Définition 7.7 (Quartiles). Soit S une série statisque quantitative.
• On appelle premier quartile, noté Q 1 , la première donnée de la série telle que au moins 25 % des valeurs de la série
ont une valeur inférieure ou égale à Q 1 .
• On appelle troisième quartile, noté Q 3 , la première donnée de la série telle que au moins 75 % des valeurs de la
série ont une valeur inférieure ou égale à Q 3 .
On prend donc comme quartiles les termes de rang 41 n et 34 n arrondis à l’unité supérieure.
Exemple 7.1. S’il y a n = 29 données dans la série, rangées dans l’ordre croissant :
• 41 × 29 = 7, 25 ≈ 8 donc la huitième donnée de la série convient comme premier quartile ;
• 34 × 29 = 21, 75 ≈ 22 donc la vingt-deuxième donnée de la série convient comme troisième quartile.
Définition 7.8. Soit une série statistique quantitative comportant n données : S = {x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn } telles que
x1 6 x2 6 . . . 6 xn . On appelle
• écart interquartile la différence Q 3 − Q 1 ;
• intervalle interquartile l’intervalle [Q 1 ; Q 3 ].
Remarque. Toutes ces mesures statistiques sont dans la même unité que les valeurs de la série.
7.3.2 Moyenne arithmétique, variance et écart-type
Définition 7.9. Soit S une série statistique quantitative comportant n données : S = {x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn }.
On appelle :
P
• moyenne arithmétique de S, notée x, le nombre x =
• variance de S, notée V , le nombre V =
Pn
i =1
p
• écart-type de S, noté s, le nombre s = V .
David ROBERT
(x−xi )
n
2
=
n
x
i =1 i
= x1 +x2n+...+xn .
n
(x−x 1 )2 +...+(x−x n )2
n
61
7.3 Bilan et compléments
Première S
Les formules de la définition sont équivalentes aux suivantes :
Propriété 7.1. Soit S une série statistique quantitative comportant n données selon p modalités x1 , x2 , . . . , x p d’effectifs
respectifs (ou de fréquences respectives) n1 , n2 , . . . , n p , alors :
x=
Pp
n x
i=1 i i
Pp
n
i=1 i
=
n1 x1 + n2 x2 + . . . + n p x p
V=
n1 + n2 + . . . + n p
Pp
i=1
¡
¢2
ni x − xi
n1 + n2 + . . . + n p
Preuve. Dans le cas des effectifs La valeur xi ayant pour effectif ni , pour chaque valeur on a : xi + xi + . . . + xi = ni xi et
|
{z
}
ni
la somme de toutes les valeurs est bien égale à la somme des ni xi .
On a aussi n1 + n2 + . . . + n p = n. On a donc
Pp
i =1
P
p
ni xi
i =1
ni
= x.
P
p
Pp n
Pp
ni xi
= i=1 ni xi = i=1 f i xi où f i est la fréquence de
Dans le cas des fréquences Si ni est l’effectif de xi alors x = i =1n
xi .
Pp
Pp
Pp
Pp
f i xi
f i xi
= Pi =1
.
Par ailleurs la somme des fréquences, i=1 f i est égale à 1 donc x = i=1 f i xi = i =11
p
La formule est donc valable avec les fréquences.
On démontre de même que la seconde formule donne bien la variance.
f
i =1 i
♦
Rappelons ce que nous avons vu dans le problème d’introduction.
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Elle mesure donc la dispersion des valeurs autour de la
moyenne. Elle n’est pas très parlante car elle s’exprime dans le carré de l’unité du caractère.
L’écart-type a l’avantage de s’exprimer dans la même unité que le caractère.
L’écart-type permet de comparer la dispersion de deux séries, quand l’ordre de grandeur des données des deux séries
est le même. Contrairement à l’écart interquartile, il tient compte de l’ensemble de la population.
On dispose d’une formule plus pratique pour calculer la variance :
Théorème 7.2. Soit S une série statistique quantitative comportant n données selon p modalités x1 , x2 , . . . , x p d’effectifs
respectifs (ou de fréquences respectives) n1 , n2 , . . . , n p , alors :
Pp
i=1
V= P
p
Preuve. On a :
P
¢2
¡
ni x − xi
ni xi2
i=1
ni
− x2
¢
1X ¡ 2
ni x − 2xxi + xi2
n
n i
´i
³
¢
1h ¡ 2
=
n1 x − 2xx1 + x12 + . . . + n p x 2 − 2xx p + x p2
n
i
1£
=
(n1 + . . . + n p )x 2 − 2x(n1 x1 + . . . + n p x p ) +n1 x12 + . . . + n p x p2
n
V=
i
=
Or n1 + . . . + n p = n car c’est la somme des effectifs de chaque valeur et n1 x1 + . . . + n p x p = nx par définition de la
moyenne. On a donc :
i 1h
i
1h 2
nx − 2x(nx) + n1 x12 + . . . + n p x p2 =
nx 2 − 2nx 2 + n1 x12 + . . . + n p x p2
n
n
´
i
1h
1³
2
2
2
2
=
−nx + n1 x1 + . . . + n p x p = −x +
n1 x12 + . . . + n p x p2
n
n
1X
2
2
= −x +
ni xi
n i
V=
On démontre la formule avec les fréquences de la même manière que dans la démonstration de la propriété 6.
62
♦
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7.3 Bilan et compléments
Première S
7.3.3 Représentations graphiques
Diagramme à bâtons, histogramme
Si les données sont regroupées en classes (intervalles), la série peut-être représentée par un histogramme où chaque
rectangle a son aire proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) de la classe.
Ainsi si on considère la série :
xi
ni
0
3
1
5
2
6
3
5
4
6
5
7
6
7
7
10
8
13
9
20
10
25
11
21
12
23
13
12
14
10
15
5
16
7
17
5
18
3
19
2
20
1
Et la même regroupée en classe :
xi
ni
[0; 5, 5]
30
]5, 5; 8, 5]
30
]8, 5; 11, 5]
66
]11, 5; 14, 5]
45
]14, 5; 20]
23
On obtient les diagrammes en bâtons (figure 7.1, de la présente page) et histogramme (figure 7.2, page suivante).
F IGURE 7.1: Diagramme en bâtons
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Diagramme en boite
On peut représenter graphiquement les valeurs extrêmes, les quartiles et la médiane par un diagramme en boite, appelé
aussi boite à moustaches, conçues de la manière suivante :
• au centre une boite allant du premier au troisième quartile, séparée en deux par la médiane ;
• de chaque côté une moustache allant du minimum au premier quartile pour l’une, et du troisième quartile au maximum pour l’autre.
min
min
Q1
Q1
m
Q3
m
Q3
max
max
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Ces diagrammes permettent une interprétation visuelle et rapide de la dispersion des séries statistiques. Ils permettent
également d’apprécier des différences entre des séries (lorsqu’elles ont des ordres de grandeurs comparables).
Remarques. • La hauteur des boites est arbitraire (on les fait parfois proportionnelles à l’effectif total de la série).
• La boite contient les 50% des données centrales.
David ROBERT
63
7.4 Exercices
Première S
F IGURE 7.2: Histogramme
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
xi
ni
Aire = n i
Largeur = amplitude
de la classe
Aire
Hauteur =
Largeur
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
[0; 5,5]
30
]5,5; 8,5]
30
]8,5; 11,5]
66
]11,5; 14,5]
45
]14,5; 20]
23
30
30
66
45
23
5,5
3
3
3
5,5
5,45
10
22
15
4,18
7.4 Exercices
E XERCICE 7.1.
On a relevé le prix de vente d’un CD et le nombre de CD vendus chez différents fournisseurs. Les résultats forment une
série statistique à une variable donnée par le tableau ci-dessous.
Prix de vente (en ()
Nombre de CD vendus
15
83
16
48
17
32
18
20
19
17
1. Quelles sont les différentes valeurs de la série.
2. Donner la fréquence correspondant à chacune de ces valeurs.
3. Donner la moyenne et l’écart-type de la série. Que représentent ces nombres ?
4. Représenter la série par un diagramme à bâtons.
E XERCICE 7.2.
Dans une classe de 30 élèves, la moyenne des 20 filles est 11,5 et la moyenne des 10 garçons est 8,5. Donner la moyenne
de classe.
E XERCICE 7.3.
On donne la série suivante : 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 17.
1. Représenter le diagramme en boîte correspondant.
2. Quel est l’écart interquartile de la série ?
3. Quel est l’intervalle interquartile de la série ?
E XERCICE 7.4.
Le tableau ci-dessous donne une répartition des salaires mensuels en euros des employés dans une entreprise.
Salaire
Effectif
[1000; 1200[
326
[1200; 1500[
112
[1500; 2000[
35
[2000; 3000[
8
[3000; 10000[
3
1. Quel est le nombre d’employés de l’entreprise ?
2. Quel est le nombre d’employés touchant un salaire mensuel supérieur ou égal à 1 200 ( ?
3. Représenter les données par un histogramme.
4. Quel est le salaire moyen des employés de l’entreprise ?
64
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7.4 Exercices
Première S
E XERCICE 7.5.
Un entomologiste a fait des relevés sur la taille de 50 courtilières adultes.
33, 35, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43,
43, 43, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 50.
1. Organiser les relevés dans le tableau d’effectifs suivant :
Valeur
Effectif
Effectif
croissant
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
cumulé
2. Représenter les données par un diagramme à bâtons. Un diagramme circulaire serait-il intéressant ?
3. Calculer la moyenne de la série. Déterminer sa médiane. Déterminer les premier et troisième quartiles.
4. Construire le diagramme en boîte correspondant.
5. On regroupe les données en classes. Compléter le tableau des effectifs suivants :
Valeur
Effectif
[33; 37[
[37; 340[
[40; 42[
[42; 44[
[44; 47[
[47; 51[
Dessiner l’histogramme correspondant.
E XERCICE 7.6.
Huit sprinters effectuent deux 100 m. Leurs temps sont donnés dans le tableau suivant :
Sprinter
Sprint 1
Sprint 2
A
10”14
10”41
B
10” 17
9”97
C
9”94
9” 96
D
10” 05
10” 12
E
10”25
10” 19
F
10” 09
10” 24
G
9” 98
10”12
H
10”32
10” 17
Soit (xi ) les temps respectifs des sprinters A, B, . . ., H au sprint 1 et (yi ) les temps respectifs des sprinters A, B, . . ., H au
sprint 2.
1. Calculer les moyennes x et y des séries (xi ) et (y i ).
2. Calculer les écarts-types s x et s y des séries (xi ) et (y i ).
3. Lequel des deux sprints a été le plus homogène ?
E XERCICE 7.7.
Le tableau suivant donne les temps de cinq sportifs qui ont couru un 1 500 m et un 5 000 m.
1 500 m
5 000 m
Coureur 1
3’58”17
14’58”12
Coureur 2
4’05”48
14’47”08
Coureur 3
4’12”97
15’37”85
Coureur 4
4’08”29
13’57”70
Coureur 5
4’00”12
14’48”34
On veut déterminer quelle est la course la plus homogène.
Le problème est que les données de chaque série ne sont pas du même ordre de grandeur. En effet un écart de 30 s, par
exemple, sera proportionnellement plus important lors de la première course qu’un écart de 1 min lors de la seconde.
Pour palier à cette difficulté on utilise l’écart-type relatif, noté C v , appelé coefficient de variation définit par C v = xs et
un écart interquartile relatif, définit par
Q 3 −Q 1
m .
1. Utilisation des coefficients de variation
(a) Calculer le temps moyen m, l’écart-type s puis le coefficient de variation C v =
convertir tous les temps en secondes).
s
m
pour le 1 500 m. (On pourra
(b) Faire de même pour le 5 000 m.
(c) Conclure.
2. Utilisation de l’interquartile relatif
(a) Déterminer la médiane m e et les quartiles Q 1 et Q 3 pour le 1 500 m. En déduire l’interquartile relatif
Q 3 −Q 1
me .
(b) Faire de même pour le 5 000 m.
(c) Conclure.
3. Donner une explication à la contradiction entre 1.c) et 2.c).
David ROBERT
65
7.4 Exercices
Première S
E XERCICE 7.8.
Le tableau suivant donne les effectifs des notes obtenues dans une classe en Mathématiques et en Histoire-Géographie :
Notes
Maths
H.-G.
0
0
0
1
0
1
2
0
0
3
0
0
4
1
2
5
0
0
6
1
1
7
1
2
8
3
1
9
4
1
10
4
4
11
1
2
12
3
2
13
2
0
14
2
3
15
1
2
16
1
1
17
0
0
18
0
1
19
0
0
20
0
1
Le but de l’exercice est de comparer la dispersion des notes en Maths et en Histoire-Géographie.
1. Utilisation des quartiles
(a) Calculer la médiane et l’écart interquartile en Maths.
(b) Calculer la médiane et l’écart interquartile en Histoire-Géographie.
(c) Représenter les diagrammes en boîte des notes en Maths et en Histoire-Géographie.
(d) Interpréter ces résultats.
2. Utilisation des écarts-types
(a) Calculer la moyenne et l’écart-type en Maths.
(b) Calculer la moyenne et l’écart-type en Histoire-Géographie.
(c) Interpréter ces résultats.
E XERCICE 7.9.
Le tableau suivant donne les effectifs des notes obtenues dans une classe en Mathématiques et en Sciences de la vie et
de la terre :
Note
Maths
SVT
1.
0
0
0
1
1
1
2
0
0
3
2
0
4
0
0
5
1
0
6
3
0
7
0
4
8
5
4
9
0
1
10
2
0
11
1
3
12
1
1
13
0
4
14
0
2
15
0
0
16
2
1
17
1
0
18
1
0
19
0
0
20
2
1
(a) Déterminer les rangs des quartiles et de la médiane des deux séries puis donner leurs valeurs.
(b) Faire le diagramme en boite des deux séries sur une même échelle puis commenter le diagramme.
2.
(a) Déterminer la moyenne des notes de Mathématiques et la comparer à la médiane en expliquant ce qui cause
cet écart.
(b) Déterminer la moyenne des notes de Sciences de la vie et de la terre. L’écart avec la moyenne est-il le même ?
Pourquoi ?
(c) Déterminer les écarts types des deux séries (arrondis au dixième) et commenter vos résultats.
66
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Devoir maison n°5
Statistiques
À rendre pour le vendredi 18 janvier.
Soit S une série statistique quantitative comportant N données : S = {x1 , x2 , . . . , xi , . . . , x N } et d(x) la fonction qui à un
réel x associe :
¤
1 £
(x − x1 )2 + . . . + (x − x N )2
d(x) =
N
On peut voir d comme la fonction qui à un nombre x associe la moyenne des distances de ce nombre à chacune des
valeurs de la série, la distance entre deux nombres x et y étant définie ici comme (x − y)2 .
On cherche la valeur centrale associée à cette distance, c’est à dire le nombre x0 tel que d(x0 ) est le minimum de d,
autrement dit le nombre le plus proche de toutes les valeurs de la série pour cette distance.
1. Cas particulier
Cette partie nécessite un tableur (Calc de la suite bureautique de LibreOffice, par exemple).
Soit S la série constituée des moyennes de classe des élèves d’une Première S en mathématiques au premier
trimestre.
S = {17, 4; 15, 5; 14, 5; 11, 1; 8, 9; 11, 5; 15, 9; 12, 5; 10, 4; 13; 14, 2; 16; 15, 1; 15, 6; 12, 7; 9, 7; 9, 7; 15, 1;
10, 5; 9, 8; 12, 5; 14, 5; 13, 9; 12, 9; 8, 4; 12, 1; 11, 5; 13, 4; 13; 11; 13, 8; 11; 14, 6; 13, 3; 11, 6}
(a) On commence avec x = 10. Entrer la valeur de x dans la première case du tableur (A1).
(b) Entrer la série S dans la deuxième colonne qu’on nommera xi (de B2 à B...).
(c) Indiquer au tableur dans troisième colonne, qu’on nommera (xi − x)2 , le calcul à effectuer pour obtenir la
distance du premier nombre de la série à x présent dans la case A1.
(d) Copier coller ce calcul afin d’avoir dans la troisième colonne, les distances de chacun des nombres de la
série à x.
(e) En bas de cette colonne, indiquer au tableur le calcul à effectuer pour obtenir d(x), la moyenne de ces
distances.
Vérifier que d(10) ≈ 12, 45.
(f) Recopier sur sa copie et compléter le tableau suivant (les valeurs seront arrondies au centième) :
x
d(x)
−5
0
5
10
15
20
25
(g) En tatonnant, déterminer la valeur de x, au dixième près, telle que d(x) est minimun.
Fournir le fichier avec sa copie.
2. Cas général
(a) Montrer que
d(x) = x 2 − 2x
(b) En déduire que d(x) admet un minimum.
³ x + . . . + x ´ x2 + . . . + x2
1
N
1
N
+
N
N
(c) Montrer que ce minimum est atteint en x0 = x, où x est la moyenne des valeurs de la série.
Le vérifier dans le cas particulier du 1.
(d) Montrer que le minimum de d(x) est égal à V , la variance de la série.
Le vérifier dans le cas particulier du 1.
(e) Conclure.
Remarque. On admettra que, lorsque la distance entre deux nombres x et y est définie par |x − y|, le minimum de la
fonction qui à x associe la moyenne des distances de x à chacune des valeurs de la série est atteint en x0 = m où m est
la médiane de la série.
Nom :
Lundi 21 janvier 2013 – 2h00
Devoir surveillé n°5
Nombre dérivé – Statistiques
y
E XERCICE 5.1 (3,5 points).
On donne sur la figure ci-contre la courbe représentative
C de la fonction f avec ses tangentes aux points A (−1; 1)
et B (0; 4).
5
4
′
3. On donne : f (2) = 4.
(a) Déterminer l’équation de la tangente à C au
point d’abscisse 2.
B
3
1. Donner par lecture graphique, sans justifier, f (−1)
et f (0).
2. Donner par lecture graphique, en justifiant, f ′ (−1)
et f ′ (0).
b
A
b
−3
−2
−1
2
1
x
O
−1
1
2
−2
−3
−4
(b) Tracer cette tangente sur la figure.
E XERCICE 5.2 (6 points).
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 2 + x − 2. On appelle C sa courbe représentative.
1.
(a) Déterminer, par le calcul, les coordonnées de A, point d’intersection de C avec l’axe des ordonnées.
(b) Déterminer, par le calcul, le coefficient directeur de la tangente à C en A.
2. Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.
3. Déterminer, par le calcul, f ′ (1) et une équation réduite de la tangente à C au point d’abscisse 1.
4.
(a) Placer en rouge tous les points qu’on peut déduire des questions précédentes dans le repère ci-dessous.
(b) Tracer en vert toutes les tangentes qu’on peut déduire des questions précédentes dans le même repère.
(c) Tracer C dans le même repère.
y
5
4
3
2
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
O
−1
−2
−3
−4
−5
1
2
3
Nom :
Lundi 21 janvier 2013 – 2h00
E XERCICE 5.3 (3,5 points).
Les données suivantes sont les notes des élèves d’une classe de Première S au premier trimestre en mathématiques,
regroupées en classes :
[0 ; 5[
0
Notes
Effectifs
[5 ; 8[
1
[8 ; 10[
4
[10 ; 12[
8
[12 ; 15[
15
[15 ; 20]
7
1. Construire un histogramme représentant cette série.
On indiquera, éventuellement sous forme de tableau, la méthode utilisée.
2. Évaluer la note moyenne de la classe.
E XERCICE 5.4 (7 points).
On étudie dans cet exercice la série formée par les résultats (arrondis au point supérieur) obtenus par une classe A à un
contrôle, qui sont donnés dans le tableau suivant :
Notes xi
Effectifs ni
1.
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
2
6
2
7
2
8
0
9
1
10
1
11
3
12
1
13
4
14
4
15
2
16
2
17
1
18
0
19
0
20
0
(a) Calculer x la note moyenne de cette classe.
(b) Déterminer m, la note médiane de cette classe.
(c) Comment expliquer la différence entre ces deux résultats ?
2.
(a) Déterminer la variance puis l’écart-type de cette série, arrondi au dixième.
On détaillera un minimum le calcul de la variance (l’utilisation des pointillés pour résumer les calculs est
autorisée).
(b) Sur le même contrôle, une autre classe, la classe B, avait une note moyenne de 12,75 et un écart-type d’environ 2,20.
Sur la base de ces indicateurs statistiques, comparer les résultats des deux classes.
3.
(a) Déterminer Q 1 et Q 3 , les premiers et troisième quartiles de la série statistique.
(b) Sur la figure ci-dessous, on a représenté le diagramme en boite de la classe B.
i. Représenter le diagramme en boite de la classe A sur la même figure.
ii. Sur la base de ces deux diagrammes, comparer les résultats des deux classes.
4. Que peut-on dire des conclusions des questions 2b et 3(b)ii ?
Classe B
Classe A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Chapitre 8
Dérivation
Sommaire
8.1 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.1.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
8.1.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
8.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.2.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
8.2.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
8.3 Applications de la fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.3.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
8.3.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.4.1 Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
8.4.2 Lectures graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
8.4.3 Études de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
8.4.4 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
8.1 Fonction dérivée
8.1.1 Activités
A CTIVITÉ 8.1 (Plusieurs nombres dérivés).
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = −x 2 + 4.
1. Déterminer les valeurs des nombres dérivés en a dans les cas suivants :
• a =0;
• a =1;
• a = 2.
2. Cas général : déterminer, en fonction de a, la valeur du nombre dérivé.
On obtient ainsi une fonction, qui dépend de f , qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f en x. Une telle fonction
est appelée fonction dérivée de f et est notée f ′ . Ainsi, pour f (x) = −x 2 + 4, f ′ (x) = . . . . . ., pour tout x ∈ R.
A CTIVITÉ 8.2 (Fonctions dérivées de quelques fonctions usuelles).
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions usuelles suivantes :
• f (x) = k ;
• f (x) = x 2 ;
• f (x) = mx + p ;
• f (x) = x 3 .
8.1.2 Bilan et compléments
Définition 8.1. On dit qu’une fonction f est dérivable sur un ensemble I lorsqu’elle est dérivable en tout nombre de
cet ensemble et on note f ′ la fonction qui a tout nombre x de cet ensemble associe le nombre dérivé de f en x. Cette
fonction s’appelle la fonction dérivée de f .
On admettra 1 que les fonctions usuelles ont les fonctions dérivées suivantes :
1. Certaines démonstrations ont été faites en activité ou seront faites en exercice
71
8.2 Opérations sur les fonctions
Première S
Propriété 8.1. Les fonctions dérivées des fonctions usuelles sont données par le tableau suivant :
Fonction f
définie sur
Fonction dérivée f ′
définie sur
f (x) = k (constante)
R
f ′ (x) = 0
R
f (x) = mx + p
n
R
∗
f (x) = x avec n ∈ N
1
f (x) = n avec n ∈ N∗
x
p
f (x) = x
′
′
f (x) = nx
R
R
f (x) = m
′
∗
f (x) = −
R
n−1
R
n
R∗
x n+1
1
f ′ (x) = p
2 x
R+ = [0; +∞[
R+∗ =]0; +∞[
n
= −nx −n−1 , on a alors :
Remarque. Si l’on remarque que f (x) = x1n = x −n et que f ′ (x) = − x n+1
n
∗
′
n−1
f (x) = x pour n ∈ Z a pour fonction dérivée f (x) = nx
.
Ainsi, pour obtenir la fonction dérivée de f (x) = x12 = x −2 , on peut appliquer l’une ou l’autre formule :
f ′ (x) = −
n
2
2
2
= − 2+1 = − 3 ou f ′ (x) = nx n−1 = −2x −2−1 = −2x −3 = − 3
x n+1
x
x
x
8.2 Opérations sur les fonctions
8.2.1 Activités
A CTIVITÉ 8.3 (Produit d’une fonction par une constante).
2
f (x)
On pose f (x) = x 2 , g (x) = 3f (x) = 3x 3 et h(x) = 4 = x4 , toutes trois définies sur R.
1. Déterminer la fonction dérivée de chacune de ces fonctions.
2. Que constate-t-on ?
A CTIVITÉ 8.4 (Fonction dérivée d’une somme de fonctions et d’un produit de fonctions).
Soient u, v et f trois fonctions définies sur R par u(x) = x 3 , v(x) = −2x 2 et f (x) = u(x) + v(x).
1.
(a) Déterminer f ′ (x), u ′ (x) et v ′ (x).
(b) Que constate-t-on ?
2.
(a) Montrer que f (x) = g (x) × h(x) où g et h sont deux fonctions non constantes à déterminer.
(b) Déterminer g ′ (x) et h ′ (x).
(c) A-t-on f ′ (x) = g ′ (x) × h ′ (x) ?
8.2.2 Bilan et compléments
Plus généralement, on a :
Propriété 8.2. Soient u et v définies et dérivables sur un même intervalle I .
Fonction
ku avec k ∈ R
u+v
Fonction dérivée
ku ′
u′ + v ′
u×v
u ′ v + uv ′
1
avec u(x) 6= 0
u
u
avec v(x) 6= 0
v
u′
u2
′
u v − uv ′
v2
−
Exemple
¡
¢
Si f (x) = 4x 3 alors f ′ (x) = 4 × 3x 2 = 12x 2
Si f (x) = x + x1 alors f ′ (x) = 1 − x12
p
p
p
p
p
Si f (x) = x x alors f ′ (x) = 1× x + x × 2p1 x = x + 12 x = 32 x
avec x 6= 0
Si f (x) =
1
3x 2 +2x+1
Si f (x) =
2x−1
3x+2
alors f ′ (x) = −
alors f ′ (x) =
6x+2
(3x 2 +2x+1)2
(2)(3x+2)−(2x−1)(3)
(3x+2)2
=
7
(3x+2)2
Remarque. Seules les deux premières formules sont intuitives, les autres sont à apprendre par coeur.
En particulier, comme on l’a vu en activité, la dérivée d’un produit (ou d’un quotient) n’est pas égale au produit (ou au
quotient) des dérivées.
Preuve. • Montrons que (ku)′ = ku ′
ku(a + h) − ku(a) k[u(a + h) − u(a)]
u(a + h) − u(a)
=
=k
h
h
h
Donc, lorsque h tend vers 0,
72
u(a + h) − u(a)
ku(a + h) − ku(a)
tend vers la même chose que k
, c’est-à-dire ku ′ (a)
h
h
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8.3 Applications de la fonction dérivée
Première S
• Montrons que (u + v)′ = u ′ + v ′
(u + v)(a + h) − (u + v)(a) u(a + h) + v(a + h) − u(a) − v(a) u(a + h) − u(a) v(a + h) − v(a)
=
=
+
h
h
h
h
(u + v)(a + h) − (u + v)(a)
tend vers la même chose que
h
u(a + h) − u(a) v(a + h) − v(a)
+
, c’est-à-dire (u ′ + v ′ )(a)
h
h
µ ¶′
1
u′
• Montrons que
=− 2
u
u
Donc, lorsque h tend vers 0,
1
u(a+h)
1
− u(a)
h
=
u(a)−u(a+h)
u(a+h)u(a)
h
=
µ
¶
u(a) − u(a + h)
1
h
u(a + h)u(a)
u(a) − u(a + h)
1
1
tend, par définition, vers −u ′ (a) et
tend vers 2
, donc
h
u(a + h)u(a)
u (a)
1
1
u ′ (a)
u(a+h) − u(a)
tend vers − 2
h
u (a)
• On admettra que (uv)′ = u ′ v + uv ′
³ u ´′ u ′ v − uv ′
• Montrons que
=
v
v2
¶
µ
³ u ´′
u ′ v uv ′ u ′ v − uv ′
u
1
1
v′
′
′
On a vu que (uv) = u v + uv ′ , or = u × , donc
= u′ × + u × − 2 = 2 − 2 =
v
v
v
v
v
v
v
v2
♦
Lorsque que h tend vers 0,
8.3 Applications de la fonction dérivée
8.3.1 Activités
A CTIVITÉ 8.5 (Variations d’une fonction).
Reprenons la fonction de l’activité 8.1 page 71 : f (x) = −x 2 + 4 et rappelons que le nombre dérivé en x est le coefficient
directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse x.
1. Déterminer, à l’aide d’une calculatrice graphique et par lecture graphique, les variations de f en fonction de x.
2. Comment cela se traduit-il pour les coefficients directeurs des tangentes à la courbe ?
3. En déduire un lien entre les variations de f et la fonction dérivée f ′ .
A CTIVITÉ 8.6 (Extremum local).
On s’intéresse à la fonction définie sur R par f (x) = x 3 − 3x
1. Montrer que f ′ (x) = 3x 2 − 3.
2. Etudier le signe de f ′ (x) selon les valeurs de x.
3. Dresser le tableau des variations de f , en faisant apparaître une ligne indiquant le signe de f ′ .
4. Qu’observe-t-on en −1 et en 1, pour f ? Comment cela se traduit-il pour f ′ ?
On dit que f admet en −1 et en 1 des extremums locaux.
8.3.2 Bilan et compléments
On a vu que la tangente à la courbe au point d’abscisse x est la droite la plus proche de la courbe au voisinage du point
de la courbe d’abscisse x. Il est naturel de penser que lorsque la tangente monte, la courbe monte et que lorsque la
tangente descend, la courbe descend, et réciproquement ou, plus mathématiquement, que lorsque la fonction affine
dont la tangente est la représentation graphique est croissante (respectivement décroissante), f est aussi croissante
(respectivement décroissante) et réciproquement. Or la croissance et la décroissance d’une fonction affine dépendent
du signe de son coefficient directeur, ici f ′ (x). Ainsi, étudier les variations de f revient donc à étudier le signe de sa
fonction dérivée selon les valeurs de x.
On admettra donc le résultat suivant :
Théorème 8.3. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f ′ sa fonction dérivée
• f ′ (x) > 0 pour tout x ∈ I ⇔ f croissante sur I
• f ′ (x) 6 0 pour tout x ∈ I ⇔ f décroissante sur I
• f ′ (x) = 0 pour tout x ∈ I ⇔ f constante sur I
David ROBERT
73
8.4 Exercices
Première S
On admettra aussi la propriété suivante :
Propriété 8.4. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f ′ sa fonction dérivée Si f ′ (x) > 0 pour tout
x ∈ I (respectivement f ′ (x) < 0), alors f est strictement croissante sur I (resp. strictement décroissante)
Remarque. On notera qu’on n’a pas l’équivalence (⇔) dans ce cas, une fonction pouvant être strictement croissante
avec une dérivée qui s’annule seulement en quelques valeurs. C’est le cas, par exemple, de la fonction cube, dont la
dérivée s’annule seulement en 0.
Par ailleurs, lorsque la fonction change de sens de variation en a, on dit qu’elle admet un extremum local en a (minimum ou maximum). On a donc :
Propriété 8.5. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant a et f ′ sa fonction dérivée.
f ′ s’annule et change de signe en a ⇔ f admet un extremum local en a
On l’admettra.
On a un maximum lorsque f ′ (x) est positive avant a et négative après, et un minimum lorsque f ′ (x) est négative avant
a et positive après.
Remarque. Local signifie qu’aux alentours de a ce sera un extremum mais, qu’ailleurs, il se peut que f prenne des
valeurs supérieures ou inférieures à cet extremum comme on a pu le voir dans l’activité 8.6 page précédente.
8.4 Exercices
8.4.1 Technique
E XERCICE 8.1.
Montrer que la fonction racine carrée est dérivable en tout nombre appartenant à ]0; +∞[ mais pas en 0
E XERCICE 8.2.
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
1. f (x) = 3x 4 − 2x 3 + 5x − 4
2. f (x) = 4x 2 − 3x + 1
3. f (x) = (2x+3)(3x−7) pour x 6=
4. f (x) =
7
3
5. f (x) =
2x+4
3x−1
x+5
x 2 +1
¡
3
6. f (x) = x
pour x 6=
1
3
p ¢
1+ x
p
7. f (x) = 4x 2 x
¡ 2 1 ¢¡
p ¢
8. f (x) = x − x x + x
¢
p ¡
9. f (x) = x 1 − x1
8.4.2 Lectures graphiques
E XERCICE 8.3.
¡ ¢
La courbe C f de la figure 8.1 page ci-contre est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère
orthogonal, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−4 ; +∞[.
On donne les renseignements suivants :
• les points A(−3; 0), B (−2; α) où α ≈ 7, 39 et C (0; 3) sont
¡ ¢
des points de la courbe C f ;
¡ ¢
• l’axe des abscisses est asymptote à la courbe C f en
+∞.
• la fonction f est décroissante sur l’intervalle [−2; +∞[ ;
¡ ¢
• la droite tangente à la courbe C f en son point C passe
par le point D(2; −1). On note f ′ la fonction dérivée de
la fonction f .
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est
vraie ou fausse en justifiant la réponse à l’aide des renseignements ci-dessus ou du graphique.
1. f ′ (0) = − 12 .
2. Pour tout x élément de l’intervalle [−2; +∞[, on a :
f ′ (x) 6 0.
3. Soit une fonction g telle que g ′ = f sur l’intervalle
[−4; +∞[, alors la fonction g est décroissante sur
l’intervalle [−2; +∞[.
E XERCICE 8.4.
On a représenté sur la figure 8.2 page suivante, dans un repère orthonormal, la courbe représentative Γ d’une fonction
g définie et dérivable sur R. La courbe Γ passe par les points O(0; 0) et A(2; 2).
La droite (AB) est la tangente en A à la courbe Γ. La tangente à Γ au point C d’abscisse 1 est parallèle à l’axe des abscisses.
1. Déterminer graphiquement les valeurs de g (0), g (2), g ′ (1) et g ′ (2).
2. Une des représentations graphiques page 76, représente la fonction dérivée g ′ de g . Déterminer laquelle.
3. Une des représentations graphiques page 76, représente une fonction h telle que h ′ = f sur R. Déterminer laquelle.
Vous justifierez vos choix à l’aide d’arguments basés sur l’examen des représentations graphiques.
74
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8.4 Exercices
Première S
F IGURE 8.1: Repère de l’exercice 8.3
y
B
α
7
6
5
4
3
C
2
1
~
j
A
−4
−3
−2
−1
¡ ¢
Cf
O
1
~
i
2
3
x
4
D
−1
−2
F IGURE 8.2: Repère de l’exercice 8.4
y
4
3
C
2
A
1
~
j
−1
O
~
i
1
2
3
B4
5
6
x
−1
−2
−3
−4
−5
David ROBERT
75
8.4 Exercices
Première S
F IGURE 8.3: Courbes de l’exercice 8.4
Courbe 1
Courbe 2
y
−2
y
5
9
4
8
3
7
2
6
1
~
j
5
−1 O
~
i 1
2
3
4
5
4
x
6
−1
3
−2
2
−3
1
~
j
−4
−1 O
−5
~
i 1
2
3
4
5
6
x
7
−1
−6
−2
Courbe 3
Courbe 4
y
4
3
y
5
2
4
1
~
j
3
−2
2
1
~
j
−1 O
76
−1 O
~
i 1
2
3
4
5
6
x
−1
−2
~
i 1
2
3
4
5
6
x
−3
−1
−4
−2
−5
−3
−6
−4
−7
−5
−8
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8.4 Exercices
Première S
E XERCICE 8.5.
On a représenté ci-dessous la courbe représentative Γ, dans un repère orthonornal, d’une fonction f définie sur R. La
courbe Γ passe par les points A(0 ; 2) et C(−2 ; 0) et la droite (AB) est la tangente en A à Γ. La tangente à Γ en son point
D d’abscisse −1 est parallèle à l’axe des abscisses.
1. Déterminer, à l’aide des renseignements fournis par
l’énoncé, les valeurs de f (0) et de f ′ (0).
2. Parmi les trois représentations graphiques cidessous, une représente la fonction dérivée f ′ de
f et une autre représente une fonction h telle que
h ′ = f sur R. Déterminer la courbe associée à Ia
fonction f ′ et celle qui est associée à la fonction h.
Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix
Courbe 1
D
1
C
−3
B
−2
O
−2
−2
−4
O
−2
−2
2
O
−2
−2
−4
2
3
2
−4
−4
−6
y
E XERCICE 8.6.
La courbe C f ci-contre est la représentation graphique
d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 6].
Soit A le point du plan de coordonnées (−1; 0) et B le point
du plan de coordonnées (1; 5). Le point B appartient à la
courbe C f .
La droite (AB) est la tangente à la courbe C f au point B.
5
B
Cf
4
3
2
1. Déterminer f ′ (1), où f ′ est la fonction dérivée de la
fonction f sur l’intervalle [0; 6].
2. L’une des trois courbes C 1 , C 2 , et C 3 représentées
sur les figures 1, 2 et 3 page suivante représente la
fonction f ′ . Laquelle ? Justifier votre réponse.
2
−1
Courbe 3
4
−4
1
−1
Courbe 2
2
A
2
1
A
−2
~
−1 O
−1
~ı 1
2
3
4
5
6
x
8.4.3 Études de fonctions
E XERCICE 8.7.
Soit f (x) = 2x 2 + 3x + 4 définie sur R.
1. Étudier le signe de f ′ (x) selon les valeurs de x.
2. En déduire les variations de f .
3. Dresser le tableau des variations de f en y indiquant le signe de la fonction dérivée.
4. Montrer que f admet un extremum.
E XERCICE 8.8.
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = x 3 − 4x 2 + 4x
1. Calculer la dérivée f ′ de f . Étudier son signe. Dresser le tableau des variations de f en précisant les éventuels
extremums.
2. Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle [−1; 3].
3. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
E XERCICE 8.9.
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = x 3 − 3x − 3 On note C sa représentation graphique.
1. Calculer la dérivée f ′ de f . Étudier son signe. Dresser le tableau des variations de f .
2. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0.
3. Tracer T , les tangentes parallèles à l’axe des abscisses puis C .
David ROBERT
77
8.4 Exercices
Première S
F IGURE 8.4: Courbes de l’exercice 8.6
Figure 1
y
C1
~
O
x
~ı
y
Figure 3
Figure 2
y
C3
C2
~
O
~
x
~ı
E XERCICE 8.10.
On considère la fonction g définie sur R∗ par : g (x) =
′
∗
1. Déterminer g (x) pour x ∈ R .
1
x
O
~ı
x
+x
2. Étudier le signe de la dérivée g ′ .
3. Dresser le tableau des variations de g .
4. Déterminer si g admet des extremums locaux.
5. Tracer la représentation graphique de la fonction g
E XERCICE 8.11.
Soit f la fonction définie sur R\{1} par : f (x) =
On note C sa représentation grahique.
2x+3
x−1 .
1. Calculer la dérivée f ′ de f .
2. Soit A le point d’intersection de C avec l’axe des abscisses. Calculer les coordonnées de A, puis une équation de
la tangente T A à la courbe C en A.
3. Soit B le point d’intersection de C avec l’axe des ordonnées. Calculer les coordonnées de B, puis une équation de
la tangente TB à la courbe C en B.
4. Tracer dans un même repère T A , TB et C .
78
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8.4 Exercices
Première S
E XERCICE 8.12.
On considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f (x) = x 2 − 3x et g (x) = x 3 − 3x.
1. Calculer la dérivée f ′ de f , étudier son signe et dresser le tableau des variations de f .
2. Faire de même pour g .
3.
(a) Tracer soigneusement, dans un repère, les courbes C f et C g représentant les fonctions f et g . (On se limitera
à l’intervalle [−2; 2] et on prendra un pas de 0,5).
(b) À l’aide du graphique, déterminer le nombre de points d’intersection entre C f et C g et leurs coordonnées.
(c) Retrouver ces résultats par le calcul.
E XERCICE 8.13.
On considère la fonction f définie sur R par : f (x) =
x
x 2 +1
1. Calculer la dérivée f ′ de la fonction f et étudier son signe.
2. Dresser le tableau des variations de f en précisant la valeur M de son maximum et la valeur m de son minimum.
3. Tracer la représentation graphique de f sur l’intervalle [−4; 4].
E XERCICE 8.14.
On considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f (x) = x − 1 et g (x) =
x2
x−1
1. Calculer la dérivée f ′ de f , étudier son signe et en déduire le tableau des variations de f .
2. Calculer la dérivée g ′ de g , étudier son signe et en déduire le tableau des variations de g .
3.
(a) Tracer soigneusement, dans un repère, les courbes C f et C g représentant les fonctions f et g . (On se limitera
à l’intervalle [−3; 5] et on prendra un pas de 0,25).
(b) Á l’aide du graphique, déterminer le nombre de points d’intersections entre C f et C g et leurs coordonnées.
(c) Retrouver ces résultats par le calcul.
E XERCICE 8.15.
On considère les fonctions f et g définies sur R par : f (x) = −2x 2 + 1 et g (x) = x 3 − 3x + 1.
1. Calculer les dérivées f ′ et g ′ . Étudier leur signe.
2. Dresser les tableaux des variations des fonctions f et g .
3. Tracer les représentations graphiques C f et C g des fonctions f et g . (On se limitera à l’intervalle [−3; 3]).
4.
(a) Factoriser le polynôme P (x) = x 2 + 2x − 3.
(b) Résoudre par le calcul l’inéquation f (x) 6 g (x).
E XERCICE 8.16.
2
Soit f la fonction définie sur R\{1} par : f (x) = x −3x+6
x−1 .
¡
¢
On appelle C sa représentation graphique dans un repère O ;~ı,~ .
1. Déterminer f ′ (x).
2. Étudier le sens de variation de f .
3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 2.
4. Déterminer les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
5. Peut-on trouver des points de C où la tangente est parallèle à la droite d’équation y = x ?
6. Déterminer les abscisses des points de C où la tangente a pour coefficient directeur −3.
8.4.4 Problèmes
P ROBLÈME 8.1.
On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.
1. Déterminer ses dimensions (Longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à
3
4
cm2
2. On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.
(a) Exprimer S en fonction de l
(b) On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x(2 − x).
Calculer la dérivée f ′ et étudier son signe. Dresser le tableau des variations de f . Tracer sa représentation
graphique C sur l’intervalle [0; 2].
(c) En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm et l’aire S est maximale.
David ROBERT
79
8.4 Exercices
Première S
P ROBLÈME 8.2.
Un fermier décide de réaliser un poulailler (de forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Ce poulailler devra
avoir une aire de 392 m2 . Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale ?
La figure ci-dessous représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distance séparant chaque
piquet au mur et y la distace entre les deux piquets A et B. (On a donc x > 0 et y > 0).
1. Sachant que l’aire du poulailler est de 392 m2 , exprimer y en fonction de x.
2. Démontrer que la longueur l(x) du grillage est : l(x) =
2x 2 +392
x
3. Calculer la dérivée l ′ de l. en déduire le tableau des variations de l.
4. En déduire les dimensions x et y pour lesquelle la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur.
Mur de la ferme
x
x
A
P ROBLÈME 8.3.
y
B
1. On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = 2x 3 − 60x 2 + 450x
(a) Étudier les variations de f sur l’intervalle [0; 20]. Dresser le tableau des variations de f .
(b) Déterminer une équation de la tangente ∆ à la représentation graphique de f au point d’abscisse 0.
(c) Déterminer, par calcul, les coordonnées des points d’intersection de C f avec l’axe des abscisses.
(d) Tracer ∆ et la représentation graphique de f pour x ∈ [0; 20].
2. Un fabricant envisage la production de briques de lait en carton obtenues en découpant deux bandes de même
largeur dans une feuille carrée (voir la figure de la présente page). Le côté de la feuille carrée mesure 30 cm et on
désigne par x la mesure (en centimètres) de la largeur des bandes découpées. On suppose que 0 < x < 15.
(a) Démontrer que le volume (en cm3 ) de la boîte est V (x) = 2x 3 − 60x 2 + 450x.
(b) Pour quelle valeur de x le volume V (x) est-il maximal ? Préciser la valeur de ce volume maximal en litres.
Découpages et pliages
x
bande découpée
Lait
x
Lait
30
x
bande découpée
x
30
P ROBLÈME 8.4.
On dispose d’une feuille de dimensions 21 cm × 29,7 cm avec laquelle on veut fabriquer une boite sans couvercle.
Pour cela on découpe aux quatre coins de la feuille un carré de côté x. On obtient le patron de la boite. On se propose
d’étudier le volume de la boite en fonction de x.
1. Quelles sont les valeurs possibles pour x ?
2. On appelle V (x) le volume de la boite.
(a) Montrer que V (x) = x(29, 7 − 2x)(21 − 2x).
(b) Étudier les variations de V .
(c) En déduire la (ou les) valeur(s) de x pour laquelle (lesquelles) le volume de la boite est maximum. On donnera le(s) résultat(s) au millimètre.
80
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8.4 Exercices
Première S
29,7
x
21
P ROBLÈME 8.5.
Quel doit être le format (hauteur, rayon) d’une boite de conserve cylindrique pour que, pour un volume donné, la
quantité de métal pour la concevoir, qu’on supposera proportionnelle à sa surface, soit minimale.
P ROBLÈME 8.6.
Soit C la représentation graphique d la fonction f définie sur R − {2} par : f (x) =
x 2 +ax+b
x−2
1. Déterminer f ′ (x).
où a, b ∈ R.
2. Déterminer a et b tels que la droite d’équation y = 8 soit tangente à C au point d’abscisse 3.
3. Déterminer l’abscisse de l’autre point de C où la tangente est horizontale.
P ROBLÈME 8.7.
¡
¢
Une parabole P admet, dans un repère O ;~ı,~ , une équation du type : y = ax 2 + bx + c avec a 6= 0.
Déterminer les coefficients a, b et c sachant que P coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnées
au point B d’ordonnées 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x + 2 pour tangente.
Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de P avec l’axe des abscisses.
P ROBLÈME 8.8.
Une entreprise fabrique x portes blindées par jour, x variant de 0 à 120. On estime que le coût total de fabrication, noté
C (x), est donné, en euros, par : C (x) = 0, 001x 3 − 0, 1x 2 + 95x + 1500.
La recette de l’entreprise obtenue par la vente de x portes, notée R(x), en euros, est donnée par : R(x) = 228x.
On suppose que chaque porte est vendue.
1. Étude de la fonction bénéfice
(a) Exprimer B(x) en fonction de x.
(b) Calculer B ′ (x) pour tout x de [0; 120].
(c) Étudier le signe de B ′ (x) puis dresser le tableau des variations de la fonction B.
(d) À l’aide du tableau de variation et d’un tableau de valeurs donné par la calculatrice, donner les arrondis au
dixième des solutions de l’équation B(x) = 0.
En déduire le nombre de portes vendues pour que la fabrication soit rentable. Justifier votre réponse.
(e) Pour quel nombre de portes vendues, le bénéfice est-il maximal ? Justifier votre réponse.
2. Courbe représentative de la fonction B
(a) Dans un repère orthogonal, tracer la courbe représentative de la fonction B.
(b) Vérifier graphiquement vos réponses aux questions d) et e) de la partie 1.
David ROBERT
81
Nom :
Lundi 11 février 2013 – 2h00
Devoir surveillé n°6
Dérivation
E XERCICE 6.1 (3 points).
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
p
• f (x) = (2x − 1)(4x + 3)
• g (x) = (x 2 + 2x + 3) x
E XERCICE 6.2 (3,5 points).
On dispose d’une feuille de dimensions 20 cm × 30 cm
avec laquelle on veut fabriquer une boîte sans couvercle.
Pour cela on découpe aux quatre coins de la feuille un
carré de côté x. On obtient le patron de la boîte.
L’objectif de cet exercice est de déterminer pour quelle(s)
valeur(s) de x, le volume de la boîte V (x) est le plus grand.
1
• h(x) = x 3 +2x
2 +1
30
1. Quelles sont les valeurs possibles pour x ?
2.
(a) Montrer que V (x) = x(30 − 2x)(20 − 2x).
x
(b) Étudier les variations de V .
(c) En déduire la (ou les) valeur(s) de x pour
laquelle (lesquelles) le volume de la boite est
maximum. On donnera le(s) résultat(s) au millimètre.
20
E XERCICE 6.3 (3 points).
On a représenté ci-dessous la courbe représentative Γ, dans un repère orthonornal, d’une fonction f définie sur R.
La courbe Γ passe par l’origine O du repère et la droite (O A), où A (1; 2), est la tangente en O à Γ. La tangente à Γ en son
point B d’abscisse −1 est parallèle à l’axe des abscisses.
y
Γ
6
5
4
3
2
b
A
1
O
−5
−4
−3
−2
−1
x
1
b
B
2
−1
1. En justifiant, déterminer les valeurs de f ′ (0) et de f ′ (−1).
2. Parmi les trois représentations graphiques de la figure ci-dessous, l’une représente la fonction dérivée f ′ de f .
Déterminer laquelle en justifiant sa réponse.
3. Parmi les trois représentations graphiques de la figure ci-dessous, l’une représente une fonction F telle que F ′ = f .
Déterminer laquelle en justifiant sa réponse.
Courbe 1
−3
David ROBERT
−2
Courbe 2
Courbe 3
3
3
2
2
2
1
1
1
O
−1
−1
1
−3
−2
O
−1
−1
−3
1
−2
O
−1
−1
1
−2
83
Nom :
Lundi 11 février 2013 – 2h00
E XERCICE 6.4 (10,5 points).
2
.¡
Soit f la fonction définie sur R\{−2} par : f (x) = x +12x+24
2x+4
¢
On appelle C sa représentation graphique dans un repère O ;~ı,~ .
1. Montrer que f ′ (x) =
2x 2 +8x
(2x+4)2
pour x ∈ R\{−2}.
2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation en indiquant les extremums locaux.
3. Déterminer les coordonnées des points de la courbe C :
(a) où la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des abscisses.
(b) où la tangente à la courbe a pour coefficient directeur −1, 5.
(c) où la courbe intercepte les axes du repère.
4. ∆ est la droite d’équation y = 21 x + 5. Déterminer les positions relatives de la courbe C et de la droite ∆ selon les
valeurs de x.
5. Sur le repère ci-dessous :
(a) Placer les points trouvés aux questions précédentes.
(b) Tracer ∆ et les tangentes que l’on peut déduire des questions précédentes.
(c) Tracer C .
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
O
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
84
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Chapitre 9
Variables aléatoires
Sommaire
9.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2.1 Vocabulaire des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
9.2.2 Expériences aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
9.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.3.1 Loi de probabilité sur un univers Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
9.3.2 Une situation fondamentale : l’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
9.3.3 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
9.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.4.1 Les situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
9.4.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
9.4.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
9.4.4 Espérance, variance, écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
9.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.1 Activités
A CTIVITÉ 9.1 (Fille ou garçon).
On se propose d’utiliser le tableur pour résoudre le problème suivant :
« Monsieur X est invité chez des nouveaux amis qu’il sait très joueurs mais qu’il connait à peine. Au cours de la conversation il apprend que ses nouveaux amis ont deux enfants mais il oublie de demander leur sexe. Soudain l’un de ces
deux enfants entre dans la salle. Il s’agit d’un garçon.
“– Vous avez donc un garçon et . . . ? demande-t-il
– Je parie que tu ne devineras pas. Sur quoi mises-tu ? un gars ? une fille ?”
Sur quoi doit miser monsieur X pour maximiser ses chances de clore le bec à ces amis un peu lourds avant de prendre
congé ? »
On suppose pour simplifier les choses qu’un enfant sur deux qui nait est une fille et l’autre un garçon.
1. Que conjecturez-vous a priori quant au sexe de l’autre enfant ?
2. On se propose d’utiliser la colonne A pour simuler le sexe du premier enfant, la colonne B pour celui du second
enfant et la colonne C pour compter le nombre de garçons.
Proposer une formule utilisant la fonction ALEA (ou ALEA.ENTRE.BORNES avec Calc) permettant de simuler le
sexe d’un enfant dans les cases A1 et B1 et une formule adaptée pour compter le nombre de garçons de la fratrie
dans la case C1.
Demander au professeur de valider les deux formules avant d’aller plus loin.
3. « Tirer la poignée » verticalement de façon à simuler 100 familles de deux enfants.
4. Dans la plage F4 : J5 dresser un tableau de la forme suivante :
Nombre de garçons
Effectif
0
1
2
total
où les cases Effectif seront automatiquement complétées par le tableur (utiliser la fonction NB.SI)
85
9.1 Activités
Première S
5. En appuyant plusieurs fois sur la touche F9 (Excel) ou CTRL+MAJ+F9 (Calc), indiquer autour de quels effectifs
semblent osciller les types de famille.
6. Puisque l’un des enfants est un garçon, quel type de famille doit-on exclure ?
En observant les types de famille restants, déterminer sur quel sexe doit miser Monsieur X et dans quelle proportion il a des chances de gagner son pari.
Votre conjecture est-elle validée ?
A CTIVITÉ 9.2 (Arbres pondérés).
On dispose :
• d’une urne contenant quatre boules insdiscernables au toucher dont trois boules bleues portant respectivement les
numéros 1, 2 et 3, notées b 1 , b 2 et b 3 , et une boule rouge unique, notée r ;
• d’un jeu de six cartes identiques portant chacun un chiffre en couleur : une carte avec un chiffre 1 en vert, une carte
avec un chiffre 2 en rouge, une carte avec un chiffre 2 en bleu, une carte avec un chiffre 2 en vert, une carte avec un
chiffre 3 en rouge et une carte avec un chiffre 3 en bleu.
On considère l’expérience aléatoire suivante : « On prélève de façon équiprobable une boule dans l’urne puis une carte
du jeu. On note, dans l’ordre, la couleur de la boule extraite et le numéro inscrit sur la carte ».
On note Ω l’ensemble de toutes issues possibles et p(A) la probabilité d’un évènement A.
1. Construire l’arbre des possibles et en déduire Ω. Est-on dans une situation qu’équiprobabilité ?
2.
(a) Construire un arbre, que nous appelerons « modèle intermédiaire », qui prenne en compte, pour la boule
extraite, non seulement sa couleur mais aussi son numéro et, pour la carte, non seulement le numéro mais
aussi sa couleur.
(b) A-t-on équiprobabilité entre chacun des chemins ?
(c) En déduire les probabilités de chacun des évènements élémentaires de Ω.
On présentera les résultats sous forme de tableau du type :
ω1
ω2
...
ωi
p(ωi ) p(ω1 ) p(ω2 ) . . .
Remarque. Lorsqu’on détermine pour chaque évènement élémentaire sa probabilité, on dit qu’on décrit la
loi de probabilité.
3. L’arbre du modèle intermédiaire, nous ramenant à une situation d’équiprobabilité, nous a permis de décrire la
loi de probabilité. Cependant il est un peu lourd. Essayons de l’alléger.
(a) Refaire l’arbre des possibles en ajoutant devant chaque éventualité des branches multiples : autant qu’on
en peut trouver sur le modèle intermédiaire qui mènent à cette éventualité.
(b) Refaire l’arbre des possibles de la manière suivante :
i. Remplacer ces branches multiples par des branches simples mais en indiquant le nombre de branches
qu’il devrait y avoir. On obtient alors un arbre pondéré (chaque branche ayant un poids).
ii. Combien de chemins du modèle intermédiaire terminaient sur l’évènement élémentaire (r, 2) ? Comment pourrait-on retrouver ce nombre à partir de l’arbre précédent ?
(c) Refaire l’arbre des possibles de la manière suivante :
i. Pondérer chaque branche, non plus avec le nombre de branches multiples qu’il devrait y avoir, mais
avec le quotient de ce nombre par le nombre total de branches qu’il devrait y avoir à ce même niveau.
ii. Quelle est la probabilité de l’évènement élémentaire (r, 2) ? Comment pourrait-on retrouver cette probabilité à partir de l’arbre précédent ?
A CTIVITÉ 9.3 (Loi des grands nombres).
On donne l’algorithme suivant, écrit en langage courant :
Entrées
Face, Lancers : Nombres
Initialisation
Effectif prend la valeur 0
Instructions
Pour k variant de 1 à Lancers faire :
• Dé prend la valeur Nombre aléatoire entre 1 et 6 ;
• Si Dé = Face alors Effectif = Effectif + 1.
Effectif
Fréquence prend la valeur Lancers
Sortie
Fréquence
86
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9.2 Rappels
Première S
On se propose de l’étudier puis de l’étoffer et enfin de le modifier pour qu’il fasse autre chose.
Partie A : Étude de l’algorithme
1. Que fait cet algorithme ?
2. Le programmer sur Algobox et le faire fonctionner pour la face de votre choix, en faisant plusieurs essais à chaque
fois, avec :
• Lancers = 10
Qu’observe-t-on ?
3.
• Lancers = 100
• Lancers = 1000
• Lancers = 10000
(a) Le modifier pour qu’il calcule la fréquence d’apparition de la face à chaque valeur de k et affiche dans un
repère le point d’abscisse k et d’ordonnée la fréquence nouvellement calculée.
(b) Le faire fonctionner pour un certain nombre de lancers, comme à la question 2. Qu’observe-t-on ?
Partie B : Modification de l’algorithme
Modifier l’algorithme pour qu’il affiche :
1. D’abord, en seule sortie, à la place de la fréquence de l’algorithme originel, la moyenne des résultats obtenus après
un certain nombre de lancers ; le faire fonctionner pour un certain nombre de lancers, comme à la question 2 ;
qu’observe-t-on ?
2. Ensuite, comme dans la partie précédente, dans un repère, pour chaque valeur de k, le point d’abscisse k et
d’ordonnée la moyenne nouvellement calculée ; le faire fonctionner pour un certain nombre de lancers, comme
à la question 2 ; qu’observe-t-on ?
Partie C : Une situation
On s’intéresse à la situation suivante : « On lance un dé à 6 faces, équilibré, et on marque :
• Un point si on obtient 1 au dé ;
• Deux points si on obtient 2 au dé ;
• Trois points si on obtient 3 ou 4 au dé ;
• Quatre points si on obtient 5 ou 6 au dé ».
On cherche à estimer le nombre de points qu’on peut espérer obtenir en moyenne.
1. Modifier l’algorithme précédent pour qu’il puisse simuler la situation et le faire fonctionner pour conjecturer le
nombre de points qu’on obtient en moyenne.
2.
(a) Décrire l’univers des possibles Ω et la loi de probabilité.
(b) Sur un grand nombre de lancers, vers quelle fréquence va tendre chacun des évènements élémentaires ?
(c) En déduire vers quelle valeur va tendre la moyenne.
9.2 Rappels
Ce paragraphe ne comportant que des rappels de Seconde, les exemples seront limités et les preuves des théorèmes et
propriétés ne seront pas refaites.
9.2.1 Vocabulaire des ensembles
Définition 9.1 (Intersection). L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui sont communs à A et B. On la note A ∩ B.
A
B
×
e
Ainsi e ∈ A ∩ B signifie e ∈ A et e ∈ B.
Remarque. Lorsque A ∩ B = ∅, on dit que les ensembles A et B sont disjoints.
Définition 9.2 (Réunion). La réunion de deux ensembles
A et B est l’ensemble des éléments qui sont dans A ou
dans B. On la note A ∪ B.
A
B
×
e
Ainsi e ∈ A ∪ B signifie e ∈ A ou e ∈ B.
David ROBERT
87
9.3 Probabilités
Première S
B
Définition 9.3 (Inclusion). On dit qu’un ensemble A est
inclus dans un ensemble B si tous les éléments de A sont
des éléments de B. On note alors A ⊂ B.
A
On dit alors que A est une partie de B ou que A est un sous-ensemble de B.
Remarque. ∅ et E sont toujours des parties de E (partie vide et partie pleine).
On notera P (E ) l’ensemble de toutes les parties de E .
E
Définition 9.4 (Complémentaire). Soit E un ensemble et
A une partie de E . Le complémentaire de A dans E est
l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à
A. On le note A.
A
A
Remarque. A ∪ A = E et A ∩ A = ∅.
Définition 9.5. Des parties A 1 , A 2 , . . ., A p d’un ensemble
E constituent une partition de E si elles sont deux à deux
disjointes et si leur réunion est E .
Ainsi :
• Pour tous i et j de {1; . . . ; p} : i 6= j ⇒ A i ∩ A j = ∅ ;
p
a
•
Ai = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ap = E .
E
A1
A2
A3
A4
...
Ap
i=1
Définition 9.6 (Cardinal). Le nombre d’éléments d’un ensemble fini E est appelé cardinal de E . Ce nombre est noté
Card(E ). On convient que Card(∅)= 0.
Remarque. La notion de cardinal ne s’applique pas aux ensembles infinis (comme N , Z, Q , R, etc.).
9.2.2 Expériences aléatoires
Issues, univers
Définition 9.7. L’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire est appelé univers (ou univers des possibles). On note généralement cet ensemble Ω.
À notre niveau, Ω sera toujours un ensemble fini.
Évènements
Exemple : on lance deux dés et on considère la somme S obtenue. L’ensemble de toutes les issues possibles (univers)
est Ω = {2; 3; · · · ; 11; 12}.
Le tableau 9.1 page ci-contre définit le vocabulaire relatif aux évènements (en probabilité) :
9.3 Probabilités
9.3.1 Loi de probabilité sur un univers Ω
Définition 9.8. Soit Ω = {ω1 ; ω2 ; · · · ; ωn } l’univers d’une expérience aléatoire.
Définir une loi de probabilité P sur Ω, c’est associer, à chaque évènement élémentaire w i , des nombres p i ∈ [0; 1],
appelés
probabilités, tels que :
X
•
pi = p1 + p2 + · · · + pn = 1 ;
i
• la probabilité d’un évènement A, notée p(A), est la somme des probabilités p i des évènements élémentaires ωi
qui constituent A.
Remarque. On note aussi : p i = p({ωi }) = p(ωi ).
Propriété 9.1. Soit A et B deux évènements de Ω, alors :
• p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) ;
• p(A) = 1 − p(A).
Remarque. Comme, par définition, la probabilité de l’évènement certain est 1 alors la probabilité de l’évènement impossible, qui est son contraire, est 0.
88
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9.3 Probabilités
Première S
TABLE 9.1: Vocabulaire relatif aux évènements en probabilité
Signification
Illustration
L’une des issues de la
Événement élémentaire
Obtenir 7 : ω = {7}
situation étudiée (un
(noté ω)
élément de Ω)
Obtenir un nombre pair :
A = {2; 4; 6; 8; 10; 12}
Obtenir un multiple de trois :
Événement
B = {3; 6; 9; 12}
Ensemble de plusieurs issues
(notation quelconque)
Obtenir une somme supérieure à 10 :
C = {10; 11; 12}
Obtenir une somme inférieure à 6 :
D = {2; 3; 4; 5; 6}
Événement impossible
C’est un évènement qui ne
« Obtenir 13 » est un évènement impossible.
(noté ∅)
peut pas se produire
Événement certain
C’est un évènement qui se
« Obtenir entre 2 et 12 » est un évènement cer(noté Ω)
produira obligatoirement
tain.
Événement constitué des
Événement « A et B »
A ∩ B = {6; 12}
issues communes aux 2
(noté A ∩ B)
évènements
Événement constitué de
Événement « A ou B »
A ∪ B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12}
toutes les issues des deux
(noté A ∪ B)
évènements
Événements
Ce sont des évènements qui
incompatibles
C ∩ D = ∅ donc C et D sont incompatibles. Par
n’ont pas d’éléments en
(on note alors
contre, A et B ne le sont pas.
commun
A ∩ B = ∅)
Ici, A représente l’évènement « obtenir une
Événements
Ce sont deux évènements
somme impaire ». On a alors :
contraires
incompatibles dont la
• A ∩ A = ∅ (ensembles disjoints)
(l’évènement contraire
réunion forme la totalité des
• A∪A=Ω
issues (Ω)
de A se note A)
Vocabulaire
9.3.2 Une situation fondamentale : l’équiprobabilité
Définition 9.9. Lorsque toutes les issues d’une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité ou que la loi de probabilité est équirépartie.
Dans ce cas, la règle de calcul de la probabilité d’un évènement A est la suivante :
Propriété 9.2. Dans une situation d’équiprobabilité sur un univers Ω, pour tout évènement élémentaire ω et tout
évènement A on a :
1
nombre d’issues favorables Card(A)
• p(ω) =
• p(A) =
=
Card(Ω)
nombre d’issues possibles
Card(Ω)
Certaines expériences ne sont pas des situations d’équiprobabilité, mais on peut parfois s’y ramener tout de même,
comme par exemple dans l’activité 9.2.
9.3.3 Loi des grands nombres
Définition 9.10. Lorsque qu’on répète une expérience aléatoire, on appelle fréquence d’apparition d’une éventualité
nombre de fois où l’éventualité ω apparaît
ωi donnée le nombre : f i = nombre de fois où l’expérience esti répétée
On constate que si l’on répète un grand nombre de fois l’expérience donnée, les différentes fréquences d’apparition
ont tendance à se stabiliser. Ce constat est un résultat mathématique appelé La loi des grands nombres ; il se démontre,
mais la démonstration est largement hors de nos compétences :
Théorème 9.3 (Loi des grands nombres). Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité,
les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de la loi de probabilité quand n devient
grand.
David ROBERT
89
9.4 Variables aléatoires
Première S
Remarques. • Dans certains cas, on utilise ce résultat pour valider ou rejeter un modèle (une loi de probabilité) choisi
à priori.
• Dans d’autres cas, lorsqu’on ne connaît pas de loi de propabibilité relativement à une expérience aléatoire, on peut
ainsi en introduire une à partir des fréquences déterminées lors d’un grand nombre d’expériences
9.4 Variables aléatoires
9.4.1 Les situations
On illustrera toute cette section par les situations suivantes :
1. on tourne une roue dans une fête foraine qui est
partagée en 8 secteurs égaux : 1 de couleur rouge,
3 de couleur verte et 4 de couleur bleue ;
2. on lance deux dés et on s’intéresse à la somme des
deux dés.
9.4.2 Définition
Définition 9.11. Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire.
• On appelle variable aléatoire toute fonction X de Ω dans R qui, à tout élément de Ω, fait correspondre un nombre
réel k.
• L’évènement noté {X = k} est l’ensemble des éléments de Ω qui ont pour image k par X .
• L’ensemble image de Ω par X est l’ensemble de toutes les images des éléments de Ω par X .
Cet ensemble est noté Ω′ .
Avec nos situations de départ on peut imaginer les variables aléatoires suivantes :
1. La partie de roue à la fête foraine coûte 1 ( et l’on
gagne :
• 0 ( si le bleu sort ;
• 2 ( si le vert sort ;
• 5 ( si le rouge sort ;
Lorsqu’on lance la roue, l’univers est donc Ω =
{bleu ; vert ; rouge} et l’on peut définir la variable
aléatoire qui à chaque couleur associe le gain engendré.
Ainsi, en enlevant la mise (1 ( pour pouvoir jouer),
on a :
• X : bleu 7→ −1
• X : vert 7→ 1
• X : rouge 7→ 4
2. On peut, par exemple, définir une variable aléatoire
X de la façon suivante :
• X = 0 si la somme des deux dés est paire ;
• X = 1 si elle est impaire.
L’ensemble image de Ω par X est Ω′ = {0; 1}
Remarques. • Une variable aléatoire n’est pas un nombre, mais une fonction.
• Les valeurs d’une variable aléatoire sont toujours des nombres.
• En général, une variable aléatoire est notée X , Y , Z .
9.4.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition 9.12. Soit Ω = {ω1 ; ω2 ; · · · ; ωn } un univers associé à une expérience aléatoire sur lequel a été définie une
loi de probabilité et Ω′ = {x1 ; x2 ; · · · ; xn } l’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X .
La loi de probabilité de X est la fonction définie sur Ω′ , qui à chaque xi fait correspondre le nombre p i′ = p(X = xi ).
On démontre facilement que
X
i
p i′ = 1.
En reprenant les deux situations de départ, on a :
1. Dans le cas de la roue on a :
xi
p(X = xi )
−1
4
8
1
3
8
4
1
8
2. p(X = 0) est la probabilité que la variable aléatoire
soit égale à 0, c’est-à-dire que la somme soit paire.
On a ainsi p(X = 0) = p(2)+ p(4)+ p(6)+· · ·+ p(12) =
1
18
= . De même p(X = 1) = 21 .
36
2
xi
p(X = xi )
90
0
1
2
1
1
2
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9.5 Exercices
Première S
9.4.4 Espérance, variance, écart type
Définition 9.13. L’espérance mathématique, la variance et l’écart type de la variable aléatoire X , dont les notations
respectives sont E (X ), V (X ) et σ(X ) sont respectivement les nombres :
!
Ã
n
n
n
X
X
X
p
2
2
p i ωi − (E (X ))2
σ(X ) = V
p i (ωi − E (X )) =
pi wi
V (X ) =
E (X ) =
i=1
i=1
i=1
Toujours avec les exemples de la situation de départ :
1. (X est le gain à la roue de la fête foraine)
• E (X ) = 48 × (−1) + 38 × 1 + 81 × 4 = 38
(le gain qu’on peut espérer à chaque partie est en
moyenne de 0,375 ( )
¡ ¢2
• V (X ) = 84 × (−1)2 + 38 × 12 + 18 × 42 − 83 = 175
64
q
175
• σ(X ) =
64 ≈ 1, 654
2. (X = 0 si la somme des dés est paire, X = 1 si elle est
impaire)
X ′
1
1
1
• E (X ) =
p i xi = × 0 + × 1 =
2
2
2
i
X ′ 2
1
1 1
1
• V (X ) =
p i xi − (E (X ))2 = × 02 + × 12 − =
2
2
4
4
pi
1
• σ(X ) = V (X ) = 2
Propriété 9.4. Soit Ω un univers associé à une expérience aléatoire sur lequel a été définie une variable aléatoire X
d’espérance E (X ) et de variance V (x).
Soit Y une nouvelle variable aléatoire telle que Y = aX + b où a et b sont des réels quelconque.
Alors E (Y ) = aE (X ) + b et V (Y ) = a 2V (X ).
La preuve sera faite en classe.
Avec les exemples de la situation de départ :
1. Si, par exemple, la partie coûte quatre euros au lieu
d’un, on obtient une variable aléatoire Y = 1X − 3.
E (Y ) = 1E (X )−3 = −2, 625 et V (Y ) = 12V (X ) = V (X ).
2. Si, par exemple, on définit la variable aléatoire Y =
2X , E (Y ) = 2E (X ) = 1 et V (Y ) = 22V (X ) = 4V (X ) = 1.
9.5 Exercices
E XERCICE 9.1.
Deux lignes téléphoniques A et B arrivent à un standard.
On note :
• E 1 : « la ligne A est occupé » ;
Après étude statistique, on admet les probabilités :
• p(E 1 ) = 0, 5 ;
• E 2 : « la ligne B est occupée ».
• p(E 2 ) = 0, 6 ;
• p(E 1 ∩ E 2 ) = 0, 3.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
• F : « la ligne A est libre » ;
• G : « une ligne au moins est occupée » ;
• H : « une ligne au moins est libre ».
E XERCICE 9.2.
On jette trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on appelle « tirage »le résultat obtenu. Ainsi (Face ; Face ;
Pile) est un tirage (qu’on notera F F P ).
1. Faire un arbre décrivant l’ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire et donner le cardinal de Ω,
l’univers des possibles.
2. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de « Pile »obtenues.
(a) Décrire Ω′ , l’univers des possibles pour X .
(b) Déterminer la loi de probabilité associée à X (on la présentera sous forme de tableau).
(c) Déterminer E (X ), V (X ) et σ(X ) respectivement l’espérance, la variance et l’écart type de X .
E XERCICE 9.3.
Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores. On suppose que les feux fonctionnent de
manière indépendante, que l’automobiliste s’arrête s’il voit le feu orange ou rouge et qu’il passe si le feu est vert. On
suppose de plus que chaque feu est vert durant les deux tiers du temps et rouge ou orange un tiers du temps. On dit que
l’automobiliste a obtenu le feu au vert quand il est passé sans s’arrêter.
1. Faire un arbre représentant toutes les situations possibles.
2. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait :
David ROBERT
91
9.5 Exercices
Première S
(a) les trois feux verts ?
(b) deux des trois feux verts ?
3. Combien de feux au vert l’automobiliste peut-il espérer ?
E XERCICE 9.4.
Un dé (à 6 faces) est truqué de la façon suivante : chaque chiffre pair a deux fois plus de chance de sortir qu’un numéro
impair.
1. Calculer la probabilité d’obtenir un 6.
2. On lance deux fois le dé.
(a) Calculer la probabilité d’obtenir deux fois un chiffre pair.
(b) Calculer la probabilité d’obtenir deux fois un 6.
(c) On appelle X la variable aléatoire qui a chaque tirage associe la somme des deux dés.
Calculer l’espérance de X . Comment interpréter ce nombre ?
E XERCICE 9.5.
On lance deux dés équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
L’ensemble E des couples (x ; y), avec 1 6 x 6 6 et 1 6 y 6 6, est associé à une loi de probabilité équirépartie.
À chaque couple (x ; y) , on associe |x − y|. On définit ainsi une variable aléatoire X sur l’ensemble E .
1. Définir la loi de probabilité de X .
2. Calculer l’espérance et la variance de X .
E XERCICE 9.6.
On considère une roue partagée en 15 secteurs égaux tels que :
• il y a un secteur de couleur rouge (R)
• il y a cinq secteurs de couleur bleue (B)
• il y a neuf secteurs de couleur verte (V )
La roue tourne sur son axe central et s’arrête sur l’une des couleurs, chaque secteur ayant la même probabilité.
Pour pouvoir faire tourner la roue, un joueur doit payer 1 ( et, selon la couleur sur laquelle elle s’arrête, il gagne :
• 0 ( si le vert sort ;
• 1 ( si le bleu sort ;
• x ( si le rouge sort ;
On appelle X la variable aléatoire associée au gain final (gain − mise de départ) du joueur.
1. Décrire l’univers X (Ω) associé à X .
2. Décrire la loi de probabilité associée à X (on la présentera sous forme de tableau).
3. Exprimer en fonction de x l’espérance de gain du joueur.
4. On suppose que x = 2 ( .
(a) Quelle est l’espérance de gain du joueur ?
(b) Qui est le plus avantagé : l’organisateur du jeu ou le joueur ?
5. Mêmes questions pour x = 15 ( .
6. On dit que le jeu est équitable lorsque l’espérance de gain est égale à zéro, car alors ni l’organisateur du jeu ni le
joueur ne sont avantagés. Combien doit valoir x pour que le jeu soit équitable ?
E XERCICE 9.7.
On considère le jeu suivant : Le joueur lance deux dés à six faces ; s’il fait un double 6, il gagne un million d’euros, sinon
il perd dix mille euros.
Faut-il lui conseiller le jeu ?
E XERCICE 9.8.
On dispose d’une roue qui comporte dix secteurs identiques, neuf verts et un rouge.
On propose les deux jeux suivants :
Jeu 1 : si la roue s’arrête sur un secteur vert, le joueur gagne 2 000 euros, sinon il perd 8 000 euros.
Jeu 2 : si la roue s’arrête sur un secteur vert, le joueur ne gagne ni ne perd rien, sinon, il gagne 10 000 euros.
1. Intuitivement, quel jeu semble le plus avantageux ?
2. Calculer, pour chaque jeu, l’espérance et la vriance de gain du joueur. Que constate-t-on ?
E XERCICE 9.9.
Soit X une variable aléatoire d’espérance E (X ), notée aussi m, et d’écart-type σ(X ), noté σ.
Soit Y la variable aléatoire définie par Y = X −m
σ .
Déterminer E (Y ) et σ(Y ).
E XERCICE 9.10.
On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On définit une variable alétoire X en associant à chaque tirage
le nombre :
92
http ://perpendiculaires.free.fr/
9.5 Exercices
Première S
• −10 si on tire le numéro 1 ;
• 10 si on tire le numéro 6 ;
• 0 dans tous les autres cas.
1. Définir l’univers Ω associé à l’expérience aléatoire et l’univers Ω′ associé à la variable alétoire.
2. On suppose que le dé est parfaitement équilibré. Donner la loi de probabilité de X , son espérance et son écarttype
3. Même question avec la variable Y qui associe à chaque tirage le nombre :
• −5 si on tire le numéro 1 ;
• 5 si on tire le numéro 6 ;
• 0 dans tous les autres cas.
E XERCICE 9.11.
On lance n dés (n > 1). On note A l’évènement « obtenir au moins un 6 ».
1. Décrire A.
2. Exprimer en fonction de n la probabilité p(A).
¡ ¢n
3. En déduire que p(A) = 1 − 65 .
4. Compléter le tableau suivant :
n
p(A)
1
2
3
4
5
6
7
8
5. Combien de dés faut-il lancer pour que la probabilité d’obtenir au moins un six soit supérieure à
3
4
?
6. Le lièvre et la tortue font la course.
Le lièvre se divertit longuement mais quand il part, il file à l’arrivée. La tortue, quant à elle, avance inexorablement
mais lentement vers l’arrivée.
On considère qu’on peut assimiler cette course au lancement d’un dé :
• si le 6 sort, le lièvre avance ;
• sinon la tortue avance d’une case et au bout de 4 cases la tortue a gagné.
Voir figure ci-dessous.
Départ de la tortue
Départ du lièvre
1
2
3
Arrivée
(a) Déterminer la probabilité que le lièvre l’emporte et celle que la tortue l’emporte.
(b) En combien de lancers de dés peut-on espérer finir la partie en moyenne ?
David ROBERT
93
Devoir maison n°6
Devoir maison n°6
Probabilités
Probabilités
À rendre pour le vendredi 15 mars.
À rendre pour le vendredi 15 mars.
Dans un pays peu démocratique, un gouvernement décide d’appliquer un
contrôle strict des naissances et fixe les lois suivantes :
• chaque famille aura au moins 1 enfant ;
• chaque famille aura au maximum 4 enfants ;
• chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.
On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou
une fille à la naissance et que, pour chaque couple de parents, le sexe d’un
enfant est indépendant du sexe des précédents.
Dans un pays peu démocratique, un gouvernement décide d’appliquer un
contrôle strict des naissances et fixe les lois suivantes :
• chaque famille aura au moins 1 enfant ;
• chaque famille aura au maximum 4 enfants ;
• chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.
On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou
une fille à la naissance et que, pour chaque couple de parents, le sexe d’un
enfant est indépendant du sexe des précédents.
Quelle conséquence sur la proportion d’hommes et de femmes dans la population de ce pays peut avoir cette politique sur le long terme ?
Quelle conséquence sur la proportion d’hommes et de femmes dans la population de ce pays peut avoir cette politique sur le long terme ?
Devoir maison n°6
Devoir maison n°6
Probabilités
Probabilités
À rendre pour le vendredi 15 mars.
À rendre pour le vendredi 15 mars.
Dans un pays peu démocratique, un gouvernement décide d’appliquer un
contrôle strict des naissances et fixe les lois suivantes :
• chaque famille aura au moins 1 enfant ;
• chaque famille aura au maximum 4 enfants ;
• chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.
On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou
une fille à la naissance et que, pour chaque couple de parents, le sexe d’un
enfant est indépendant du sexe des précédents.
Dans un pays peu démocratique, un gouvernement décide d’appliquer un
contrôle strict des naissances et fixe les lois suivantes :
• chaque famille aura au moins 1 enfant ;
• chaque famille aura au maximum 4 enfants ;
• chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.
On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ou
une fille à la naissance et que, pour chaque couple de parents, le sexe d’un
enfant est indépendant du sexe des précédents.
Quelle conséquence sur la proportion d’hommes et de femmes dans la population de ce pays peut avoir cette politique sur le long terme ?
Quelle conséquence sur la proportion d’hommes et de femmes dans la population de ce pays peut avoir cette politique sur le long terme ?
Nom :
Vendredi 22 mars 2013 – 1h00
Devoir surveillé n°7
Dérivation – Variables aléatoires
E XERCICE 7.1 (5 points).
On considère une roue de fête foraine circulaire partagée en 8 secteurs de même mesure telle qu’il y a :
• 1 secteur de couleur rouge (R) ;
• 2 secteurs de couleur bleue (B) ;
• 5 secteurs de couleur verte (V).
• 0 euro si c’est le vert ;
• 3 euros si c’est le bleu ;
• 5 euros si c’est le rouge.
Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 2 euros et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fort
pour qu’on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s’arrêter sur chaque secteur et, selon la couleur du
secteur sur laquelle la roue s’arrête, le joueur gagne :
On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final (gain − mise de départ) correspondant.
1. Décrire la loi de probabilité associée à la variable aléatoire X (on la présentera sous forme de tableau).
2.
(a) Calculer l’espérance de la loi de probabilité de la variable aléatoire X .
(b) Interpréter le résultat en terme de partie et de gain.
(c) Qui est le plus avantagé : l’organisateur ou le joueur ?
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation.
On dit que le jeu est équitable lorsque l’éspérance de gain est égale à 0, car, alors, ni l’organisateur, ni le joueur ne
sont avantagés. Comment modifier les gains pour que le jeu soit équitable ?
E XERCICE 7.2 (5 points).
On trouve sur le site de la Française des jeux les extraits de règlement suivants :
Astro Le prix de vente d’un ticket est fixé à 2 euros.
Pour 1500000 tickets imprimés, le tableau des gains
est le suivant :
Nombre de tickets Montant du gain (en euros)
2
20 000
4
2 000
20
150
50
700
13 000
18
82 000
8
117 000
4
268 000
2
Banco Le prix de vente d’un ticket est fixé à 1 euro.
Pour 1500000 tickets imprimés, le tableau des gains
est le suivant :
Soit 480 726 tickets gagnants pour un montant total
des gains de 1 980 000 euros.
Soit 317 770 tickets gagnants pour un montant total
des gains de 945 600 euros.
Nombre de tickets
2
268
1 000
1 500
42 000
115 000
158 000
Montant du gain (en euros)
2 000
200
50
20
10
2
1
1. Calculer l’espérance de gain de chacun des deux jeux.
2. Calculer l’écart-type de chacun de ces deux jeux.
3. Comparer ces deux jeux en utilisant les résultats, interprétés, des questions précédentes.
E XERCICE 7.3 (5 points).
On appelle C la représentation graphique de la fonction f définie sur R\{2} par :
f (x) =
x 2 + ax + b
où a, b ∈ R
x −2
1. Déterminer f ′ (x).
2. Déterminer a et b tels que la droite d’équation y = 8 soit tangente à C au point d’abscisse 3.
3. Déterminer l’abscisse de l’autre point de C où la tangente est horizontale.
Chapitre 10
Angles orientés
Sommaire
10.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls
10.2.3 Propriétés des mesures des angles orientés . . .
10.2.4 Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . . . . .
10.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Lignes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Résolutions d’équations trigonométriques . . .
10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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97
98
98
98
99
99
100
100
100
100
101
10.1 Activité
¡
¢
Soit un repère orthonormal O ;~ı,~ , le cercle C de centre
O et de rayon 1 et la droite D d’équation x = 1 qui coupe
l’axe (Ox) en I .
D
×M
À tout nombre a, on associe le point M de la droite D, d’abscisse 1 et d’ordonnée a.
N
« L’enroulement » de la droite D autour du cercle C met en
coïncidence le point M avec un point N de C .
× ×
O
Plus précisément, si a est positif, le point N est tel que
J
×
×I
y
I N = I M = a, l’arc étant mesuré dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre et, si a est négatif, le point N est
y
tel que I N = I M = |a|, l’arc étant mesuré dans le sens des
aiguilles d’une montre.
Le point N est le point du cercle C associé au nombre a.
A CTIVITÉ 10.1.
1. Placer les points de la droite Mi dont les ordonnées y i sont données par le tableau suivant :
Mi
M1
yi
0
M2
π
2
M3
π
−
2
M4
π
3
M5
π
−
3
M6
M7
M8
M9
π
−π
2π
−2π
2. Placer les points N1 , N2 , N3 , N4 , N5 , N6 , N7 , N8 , N9 du cercle associés à ces nombres.
3. Indiquer un nombre associé à chacun des points I , J , B(−1; 0) et B ′ (0; −1).
4. Existe-t-il plusieurs nombres associés à un même point ? Si oui, donner quatre nombres associés au point J .
97
10.2 Angles orientés
Première S
10.2 Angles orientés
10.2.1 Orientation du plan
Définition 10.1 (Orientation d’un cercle, du plan, cercle
trigonométrique). On utilisera le vocabulaire suivant :
• Orienter un cercle, c’est choisir un sens de parcours sur
ce cercle appelé sens direct (ou positif). L’autre sens est
appelé sens indirect (négatif ou rétrograde).
• Orienter le plan, c’est orienter tous les cercles du plan
dans le même sens. L’usage est de choisir pour sens direct le sens contraire des aiguilles d’une montre (appelé aussi sens trigonométrique).
• Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le
sens direct
¡ et de
¢ rayon 1. Lorsque le plan est muni d’un
repère O ;~ı,~ , le cercle trigonométrique est le cercle
orienté dans le sens direct, de centre O et de rayon 1.
×
×
Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique.
¡
¢
Définition 10.2 (Abscisse curviligne, arc orienté, mesures d’un arc orienté). Le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ .
Soit I (0; 1) un point du cercle trigonométrique C et D la tangente en I à C , munie du repère (I ; ~) (voir schéma 10.1).
• On appelle abscisse curviligne d’un point M du cercle trigonométrique, l’abscisse de tout point N de la droite D
associé à M par enroulement. (Remarque : un point à plusieurs abscisses curvilignes).
• Si les points A et B du cercle trigonométrique ont pour abscisses curvilignes α et β, alors le couple (A ; B) est appelé
y
arc orienté et noté AB .
y
• Une des mesures de l’arc orienté AB est β − α.
10.2.2 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls
u et ~
v deux vecteurs non nuls du plan orienté. On appelle angle orienté, noté
Définition 10.3 (Angle orienté). Soit ~
u;~
v ), le couple de ces deux vecteurs.
(~
Soit ~
u et ~
v deux vecteurs non nuls du plan orienté, O un
point quelconque et C le cercle trigonométrique de centre O.
−−→
On considère A ′ et B ′ les points définis par O A ′ = ~
u et
−−→′
OB = ~
v.
Les demi-droites [O A ′ ) et [OB ′ ) coupent le cercle
trigonométrique C respectivement en A et en B (voir le
schéma ci-contre).
A′
×
~
v
B
A
~
u
×
B′
×
O
Définition 10.4 (Mesures d’un angle orienté). Une
mesure de l’angle orienté (~
u;~
v ), en radian, est
y
une mesure de l’arc orienté associé AB du cercle
trigonométrique.
Remarque. • Si une des mesures de (~
u;~
v ) est α, alors toutes les mesures sont de la forme α + k × 2π avec k ∈ Z.
• Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures.
u;~
v ) est π2 , les autres étant de la forme
On écrit par exemple (~
u;~
v ) = π2 signifiant qu’une des mesures de (~
avec k ∈ Z.
u;~
v ) = π2 [2π] qui se lit « π2 modulo 2π ».
On écrit aussi (~
u;~
v ) = π2 + k × 2π avec k ∈ Z, ou encore (~
π
2
+ k × 2π
Définition 10.5 (Mesure principale). La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle orienté
qui appartient à ] − π ; π].
98
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10.2 Angles orientés
Première S
Définition 10.6 (Colinéarité, orthogonalité). Soit ~
u et ~
v deux vecteurs non nuls du plan orienté.
• Dire que ~
u et ~
v sont colinéaires revient à dire que la
mesure principale de (~
u;~
v ) est 0 (angle nul) ou est π
(angle plat).
• Dire que ~
u et ~
v sont orthogonaux revient à dire que la
mesure principale de (~
u;~
v ) est
− π2 (angle droit indirect).
π
2
(angle droit direct) ou
¡
¢
¡
¢
Définition 10.7 (Repère orthonormal direct ou indirect). Soit O ;~ı,~ un repère du plan. On dit que O ;~ı,~ est :
• direct si une des mesures de (~ı ; ~
) est π2 ;
• indirect si une des mesures (~ı ; ~
) est − π2 .
10.2.3 Propriétés des mesures des angles orientés
Propriété 10.1. Soit un vecteur non nul ~
u du plan orienté et k ∈ R.
• (~
u; ~
u ) = 0 et (~
u ; −~
u ) = π.
• Si k > 0 alors (~
u ; k~
u ) = 0.
• Si k < 0 alors (~
u ; k~
u ) = π.
Preuve. Cela découle de la définition 6.
♦
~ trois vecteurs non nuls du plan orienté.
Propriété 10.2 (Relation de C HASLES). Soit ~
u, ~
v et w
~ ) = (~
~)
(~
u;~
v ) + (~
v;w
u; w
On l’admettra.
On en déduit :
u et ~
u deux vecteurs non nuls du plan orienté, k et k ′ deux réels.
Propriété 10.3. Soit ~
• (~
u;~
v ) = −(~
v;~
u ).
• (~
u ; −~
v ) = (~
u;~
v ) + π.
• (−~
u;~
v ) = (~
u;~
v ) + π.
• (−~
u ; −~
v ) = (~
u;~
v ).
• Si k et k ′ sont de même signe, (k~
u ; k ′~
v ) = (~
u;~
v ).
′
• Si k et k sont de signes opposés, (k~
u ; k ′~
v ) = (~
u;~
v ) + π.
Les preuves seront faites en classe.
10.2.4 Cosinus et sinus d’un angle orienté
¡
¢
Sauf indication contraire, l’unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d’un repère orthonormal direct O ;~ı,~ ;
on considère le cercle trigonométrique C de centre O.
Définition 10.8 (Cosinus et sinus
d’un réel).
Pour tout réel x, il existe un point M unique du cercle trigonométrique
³−−→
−−→´
C tel que x soit une mesure de O A ; OM .
• L’abscisse du point M est le cosinus de x (noté cos x).
• L’ordonnée du point M est le sinus de x (noté sin x)
Définition 10.9 (Cosinus et sinus d’un angle orienté). Soit ~
u et ~
v deux vecteurs non nuls du plan. Le cosinus (resp. le
sinus) de l’angle orienté de vecteurs (~
u;~
v ) est le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures. On note
cos(~
u;~
v ) et sin(~
u;~
v ).
Lien entre cosinus de l’angle orienté et cosinus de l’angle géométrique
 formé par ~
u;~
v)
u et ~
v , et notons x la mesure principale de (~
Notons α la mesure en radians de l’angle géométrique AOB
. On a α = |x|. Deux cas se présentent :
• si x > 0, |x| = x et par suite cos α = cos x ;
• si x 6 0, |x| = −x et par suite cos α = cos(−x) = cos x

On a donc cos(~
u;~
v ) = cos( AOB).
 = | sin(~
Ce n’est pas vrai pour le sinus : sin( AOB)
u;~
v )|
David ROBERT
99
10.3 Trigonométrie
Première S
10.3 Trigonométrie
10.3.1 Rappels
Propriété 10.4 (fondamentale).
cos2 x + sin2 x = 1
Propriété 10.5 (Sinus et cosinus des angles usuels).
x
0
sin x
0
cos x
1
π
6
1
2
p
3
2
π
4
p
2
2
p
2
2
π
3
p
3
2
1
2
π
2
1
0
10.3.2 Lignes trigonométriques
Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel x, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le premier
cadran. Elles seront démontrées plus tard dans l’année.
¡π
¢
+ x = − sin x
¡2
¢
sin π2 + x = cos x
cos
π
2
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
+x
π
2
¢
¡
cos π2 − x = sin x
¡
¢
sin π2 − x = cos x
−x
π−x
x
π+x
−x
cos(−x) = cos x
sin(−x) = − sin x
10.3.3 Résolutions d’équations trigonométriques
Résoudre une équation trigonométrique c’est résoudre une équation de la forme cos x = α ou sin x = α où α est un réel
donné.
Propriété 10.6. Soit une équation de la forme cos x = α.
Si on trouve un a tel que cos a = α alors l’équation est équivalente à l’équation cos x = cos a et les solutions de l’équation
sont les réels a + k × 2π et les réels −a + k × 2π, où k entier quelconque.
Propriété 10.7. Soit une équation de la forme sin x = α.
Si on trouve un a tel que sin a = α alors l’équation est équivalente à l’équation sin x = sin a et les solutions de l’équation
sont les réels a + k × 2π et les réels π − a + k × 2π, où k entier quelconque.
On l’admettra (des éléments de preuve seront donnés en classe).
100
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10.4 Exercices
Première S
10.4 Exercices
E XERCICE 10.1.
On considère les points A, B, C et D du cercle
trigonométrique C associés, respectivement, aux réels
5π
37π 29π 2π
6 , 4 , 3 et − 12 .
1. Déterminer
les ´mesures
principales
des angles o³−→ −
³−→ −−
−→
→´
rientés OI ; O A et OI ; OB .
2. Démontrer que (O A)⊥(OC ).
3. Déterminer
mesures principales des angles o³−−→ les
−−→´ ³−−→ −−→´
rientés OD ; O A et OC ; OB .
³−−→ −−→´
4. Préciser une mesure en degré de l’angle O A ; OD
Déterminer la mesure principale des angles suivants :
³−−→ −−→´
³−−→ −−→´
5. O A ; BO ;
1. O A ; O J ′ ;
³−→ −−→´
³−−→ −−→´
2. O J ; OB ;
³−−→ −−→´
6. AO ; BO ;
3. O A ; OB ;
³−−→ −−→´
³ −−→
−−→´
4. AO ; OB ;
7. 2O A ; −3OB .
E XERCICE 10.3.
est un triangle et I est le milieu de [BC ]. On sait que
³ABC
−→ −→´ π
I A ; I B = 3 . Déterminer la mesure principale des angles
orientés suivants :
³−→ −→´
³−→ −→´
³−→ −→´
1. AI ; I B ;
2. AI ; IC ;
3. I A ; C B .
A
E XERCICE 10.2.
Sur un cercle trigonométrique C , on considère les points
A et B tels que :
³−→ −−→´ 5π
OI ; O A =
6
×
I′
³−→ −−→´
2π
OI ; OB = −
3
et
×
×
J′
π
3
B
J
O
×
×
×
×
×
I
C
E XERCICE 10.4.
Après avoir placé les points du cercle trigonométrique
correspondant aux nombres réels suivants, déduire
graphiquement les valeurs exactes de leurs cosinus et sinus :
I
×
• 14π
3
• 17π
4
• 19π
6
• − 21π
2
E XERCICE 10.5.
En vous aidant éventuellement du cercle trignométrique, compléter les tableaux suivants avec les valeurs exactes :
x
π
3
2π
3
−π
3
4π
3
−8π
3
17π
3
−28π
3
π
4
3π
4
−π
4
5π
4
−11π
4
19π
4
31π
4
cos x
1.
sin x
x
cos x
2.
sin x
E XERCICE 10.6.
31π
Déterminer les valeurs exactes de sin 31π
6 et cos 6 .
E XERCICE 10.7.
p
5−1
On donne cos 2π
5 = 4 .
3π
3π
Déterminer les valeurs exactes de sin 2π
5 , cos 5 , sin 5 ,
π
π
cos 10 et sin 10 .
David ROBERT
E XERCICE 10.8.
Simplifier les expressions suivantes :
¡
¢
A = sin(π − x) + cos π2 + x
¢
¡
B = sin(π + x) + cos π2 − x + sin(−x)
¡
¢
¡
¢
C = sin π2 − x + sin π2 + x
D = sin(π + x) + cos(π + x) − sin(−x)
¡
¢
¡
¢
E = 2sin π2 + x + sin π2 − x − cos(−x)
101
10.4 Exercices
Première S
E XERCICE 10.9.
Calculer, sans utiliser la calculatrice :
5π
7π
A = sin π4 + sin 3π
4 + sin 4 + sin 4
4π
5π
B = cos π3 − cos 2π
3 + cos 3 − cos 3
¢
¡
π
C = sin π6 + cos 7π
6 + cos − 6
D = sin π2 − cos π + sin 3π
2
π
3π
E = cos 7π
4 + sin 4 − cos 4
¢
¡
¢
¡
F = sin2 π3 + cos2 π6
¡ ¢
G = 2cos2 π6 − cos π3 + 1
E XERCICE 10.10.
Résoudre les équations suivantes :
1. Dans R : cos x =
p
3
2
;
2. Dans ] − 2π ; 2π] : sin x = − sin π4 ;
3. Dans ] − π ; π] : sin x − cos π6 ;
4. Dans R : sin x = 0 ;
5. Dans R : cos x = 0 ;
¡ ¢
6. Dans R : cos x = cos − π4 ;
7. Dans R : cos x = − cos π4 ;
8. Dans R : sin x =
1
2
;
9. Dans R : sin x = − cos π4 ;
10. Dans ] − π ; π] : (sin x + 1)(cos x − 1) = 0 ;
11. Dans ] − π ; π] : cos2 x = 1 ;
12. Dans [0; 2π] : 2sin2 x + sin x − 1 = 0 ;
13. Dans ] − π ; π] : 2cos x + 3 = 2 ;
14. Dans ] − π ; π] : sin2 x − sin x = 0.
102
E XERCICE 10.11.
Pour chacune des équations suivantes :
1. les résoudre dans R, c’est-à-dire déterminer
l’ensemble des réels x vérifiant l’équation ;
2. placer
cercle trigonométrique les points M tels
³ sur−−le
→´
→
−
que ı ; OM = x ;
3. Donner leurs mesures principales.
1. cos 2x =
p
3
2
;
2. cos 3x = 0 ;
3. cos 4x = −1 ;
4. cos x = 2 ;
5. sin 2x = − 21 ;
6. sin 3x = −
7. sin
x
2
p
2
2
;
=0;
8. sin 6x = −4 ;
9. cos 2x = cos x ;
10. cos 2x = cos(3x + π) ;
11. sin 3x = sin x ;
12. sin x = sin x3 ;
13. cos 2x = sin 3x ;
14. cos x = − sin 2x ;
15. sin 4x = − cos 2x ;
p
16. tan x = 3 ;
17. tan 2x = 1 ;
p
¡
¢
18. tan 2x + π6 = − 3 ;
¡
¢
19. sin x + π3 = 12 .
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Première S
David ROBERT
10.4 Exercices
103
Chapitre 11
Produit scalaire : définitions, propriétés
Formules de la médiane
Sommaire
11.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.3 Formules de la médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Ce chapitre fait appel à la notion d’angle de vecteurs, traitée dans le chapitre 10.
u k2 − k~
v k2 .
u +~
v k2 − k~
On va s’intéresser dans ce chapitre à la quantité k~
u et ~
v ne sont plus orthogonaux ?
Que devient-elle lorsque les vecteurs ~
Peut-elle être positive ? Négative ?
u .~
v , défini par :
u et ~
v le nombre réel, noté ~
Définition. On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~
~
u .~
v=
La présence du coefficient
1
2
¢
1¡
k~
u +~
v k2 − k~
u k2 − k~
v k2
2
sera justifiée ultérieurement.
11.1 Activités
A CTIVITÉ 11.1.
−→
−→
−−→
Soit ~
u et ~
v deux vecteurs et A, B, C et D quatre points tels que : ~
u = AB , ~
v = AC et ~
u +~
v = AD.
Prouver que ~
u et ~
v sont orthogonaux si et seulement si ~
u .~
v = 0.
A CTIVITÉ 11.2.
Cette activité fait référence à la figure 11.1 page suivante.
1. Compléter le tableau 11.1 page suivante en utilisant la figure.
2. Conjecturer des réponses aux questions suivantes :
(a) Dans quel(s) cas un produit scalaire est-il positif ? Négatif ? Nul ?
(b) Existe-t-il des points différents qui donnent le même produit scalaire ?
À quelle configuration géométrique les points concernés semblent-ils appartenir ?
(c) Que peut-on dire du produit scalaire de deux vecteurs colinéaires ?
105
11.1 Activités
Première S
F IGURE 11.1: Figure de l’activité 11.2
G
D
×
×
F
×
J
E
×
×
C
H
×
×
A
L
×
B
M
×
×
×
I
×
K
×
TABLE 11.1: Tableau de l’activité 11.2
→
−
u
k~
u k2
−→
AB
~
v
−−→
AA
−→
AC
−−→
AD
−→
AB
−→
AE
−→
AF
−→
AG
−−→
AH
−→
AI
−→
AJ
−−→
AK
−→
AL
k~
v k2
k~
u +~
v k2
~
u .~
v
A CTIVITÉ 11.3.
¡
¢
~ (x ′′ ; y ′′ ).
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O ;~ı,~ quelconque. Soit les vecteurs ~
u (x ; y), ~
v (x ′ ; y ′ ) et w
1. Démontrer que ~
u .~
v = xx ′ + y y ′ .
2. Comparer ~
u .~
v et ~
v .~
u.
~ ) et ~
~.
3. Comparer ~
u .(~
v +w
u .~
v +~
u .w
4. Soit k un réel. Comparer (k~
u ).~
v et k(~
u .~
v ).
A CTIVITÉ 11.4.
³−→ −→´
Soit A, B et C trois points distincts du plan orienté tels que AB ; AC = α.
³ −→´
¡
¢
On choisit le repère orthonormal direct A ;~ı,~ tel que ~ı ; AB = 0.
H est le projeté orthogonal de C sur (AB), c’est-à-dire le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par C .
1. Exprimer en fonction de AB, AC et α les coordonnées des points B, C et H .
−→ −→ −→ −−→
2. Calculer AB . AC et AB. AH .
3. Démontrer les conjectures de l’activité 11.2.
A CTIVITÉ 11.5.
Démontrer que si ~
u et ~
v sont deux vecteurs non nuls, alors ~
u .~
v = k~
u k × k~
v k × cos(~
u ;~
v ).
−→ −→
En déduire que si A, B et C sont trois points distincts, alors AB . AC = AB × AC × cos B
AC .
106
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11.2 Bilan et compléments
Première S
B
A CTIVITÉ 11.6.
ABC est un triangle rectangle en A. H est le pied de la hauteur issue de A ; I est le milieu de [BC ] ; P et Q sont les projetés orthogonaux de H respectivement sur (AB) et (AC ).
×
−→ −−→
• Montrer que AI .PQ =~
0.
• Que peut-on en déduire pour les droites (AI ) et (PQ) ?
Indications (à justifier) :
−→
−→ −→
• 21 AB + 12 AC = AI
−→ −−→
−→ −−→
−→ −−→ −→ −−→
• AC .PQ = AC . AH
×
P
A
×
×
I
×
×
Q
H
×
C
−→ −−→
• AB .PQ = − AB .QP = − AB . AH
11.2 Bilan et compléments
11.2.1 Définitions
Rappelons la définition du produit scalaire.
u .~
v , défini par :
Définition 11.1. On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~
u et ~
v le nombre réel, noté ~
~
u .~
v=
¢
1¡
k~
u +~
v k2 − k~
u k2 − k~
v k2
2
Remarques. • Le mot scalaire provient du latin scala qui signifie échelle. Il a plusieurs significations aussi bien en mathématiques qu’en physique. Il faut le comprendre ici comme un nombre et son nom souligne le fait que, si ~
u et ~
v
sont des vecteurs, ~
u .~
v est lui un nombre.
• On précisera systématiquement que c’est un produit scalaire, car vous verrez plus tard un autre type de produit de
vecteurs qui ne donne pas un nombre mais un vecteur.
Théorème 11.1 (Autres expressions du produit scalaire). Soit ~
u et ~
v deux vecteurs du plan.
1. Le plan étant muni d’un repère orthonormal où ~
u (x ; y) et ~
v (x ′ ; y ′ ) alors ~
u .~
v = xx ′ + y y ′
2. Si les deux vecteurs sont distincts du vecteur nul, ~
u .~
v = k~
u k × k~
v k × cos(~
u;~
v)
′
′
~
~
~
u .v où v est le projeté orthogonal de ~
v sur la direction donnée par ~
u.
u .~
v =~
u 6= 0, ~
3. Si ~
u;~
v ) n’est pas défini.
Remarques. • Si l’un des vecteurs est égal au vecteur nul, l’angle orienté de vecteurs (~
• Si ~
u =~0, il n’a pas de direction.
• Dans tous les cas, si l’un des vecteurs est nul, ~
u .~
v = 0.
Théorème 11.2 (Cas de trois points). Soit A, B et C trois points du plan.
−→
−→
−→ −→
• Lorsque AB 6=~
0 et AC 6=~0, AB . AC = AB × AC × cos B
AC .
• Lorsque A et B distincts, soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) :
−→ −→
−→ −−→
· AB . AC = AB × AH si AB et AH sont de même sens.
−→ −→
−→ −−→
· AB . AC = −AB × AH si AB et AH sont de sens opposé.
Démonstrations des deux théorèmes. Voir les activités.
♦
11.2.2 Propriétés
Théorème 11.3. Soit ~
u et ~
v deux vecteurs du plan.
u =~0 ou ~
v =~0, alors ~
u .~
v = 0.
• Si ~
• Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si ~
u .~
v = 0.
u2 .
u =~
u .~
u k2 . On notera alors ~
u = k~
u .~
• ~
Preuve. • Posons ~
u =~0. Alors ~
u .~
v=
David ROBERT
1
2
¡
¢
¡
¢
k~
u +~
v k2 − k~
u k2 − k~
v k2 = 21 k~
v k2 − k~
v k2 = 0.
107
11.3 Formules de la médiane
Première S
−→
−→
−→
• Soit A, B et C tels que ~
u = AB et ~
v = BC . On a alors ~
u +~
v = AC.
~
u et ~
v orthogonaux ⇔ ABC rectangle en B ⇔ AB 2 +AC 2 = BC 2 ⇔ k~
u k2 +k~
v k2 = k~
u +~
u k2 ⇔ 0 = k~
u +~
u k2 −k~
u k2 −k~
v k2 ⇔
~ .~
u
v =0 ¡
¢
¢
¢
¡
¡
u = 12 k~
u .~
• ~
u k2 = 21 k2~
u k2 − k~
u k2
u k2 − k~
u k2 = 12 4k~
u k2 = k~
u +~
u k2 − 2k~
u k2 − 2k~
♦
Remarques. • La dernière ligne de la démonstration explique la présence du 12 . Il est là pour qu’on puisse avoir une
u k2 , ce
u = 2k~
u .~
u k2 ). Sans lui on aurait ~
u = k~
u .~
similitude entre le produit des réels (x × x = x 2 ) et le produit scalaire (~
qui serait moins intuitif à manipuler dans les calculs.
• Les deux derniers points de la propriété sont extrêmement importants. Le deuxième permet de démontrer bien des
cas d’orthogonalité avec la souplesse des vecteurs. Le dernier permet de passer aisément des longueurs aux vecteurs
et réciproquement, permettant ainsi de faire appel aux vecteurs, et à leur souplesse, dans bien des démonstrations
concernant les longueurs.
~ des vecteurs et k un réel.
Propriété 11.4 (Règles de calcul). Soit ~
u, ~
v et w
~ .~
• u
v =~
v .~
u
~)=~
~ et (~
~ =~
~ +~
~
• ~
u .(~
v +w
u .~
v +~
u .w
u +~
v ).w
u .w
v .w
• (k~
u ).~
v = k(~
u .~
v ) et ~
u .(k~
v ) = k(~
u .~
v)
Preuve. Voir activité 11.3.
♦
Propriété 11.5 (Identités remarquables). Soit ~
u et ~
v deux vecteurs.
• (~
u +~
v )2 = ~
u 2 + 2~
u .~
v +~
v2
• (~
u −~
v )2 = ~
u 2 − 2~
u .~
v +~
v2
• (~
u +~
v ) (~
u −~
v) = ~
u2 − ~
v2
Preuve. En appliquant le deuxième point de la propriété précédente on obtient facilement ces résultats.
♦
¡
¢
Propriété 11.6 (Produit scalaire et coordonnées). Le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ (orthonormal). Soit ~
u (x ; y) un
vecteur.
x =~
u .~ı
et
y =~
u .~
Preuve. ~
u .~ı = x × 1 + y × 0 = x et ~
u .~ = x × 0 + y × 1 = y
♦
11.3 Formules de la médiane
Théorème 11.7 (Formules de la médiane). Soit A et B deux points quelconques du plan et I le milieu du segment [AB].
Alors, pour tout point M du plan on a :
−−→ −→
−−→ −−→
• M A 2 + MB 2 = 2M I 2 + 12 AB 2 ;
• M A 2 − MB 2 = 2M I .B A ;
• M A.MB = M I 2 − 41 AB 2 .
Remarques. • La droite (M I ) étant, pour le triangle M AB, la médiane issue de A, ces formules sont appelées formules
de la médiane.
• Ces formules ne sont pas à apprendre, par contre on doit savoir les retrouver en utilisant les carrés scalaires (voir la
preuve ci-dessous).
• Ces formules sont particulièrement utiles quand on cherche tous les points M vérifiant, par exemple, M A 2 + MB 2 = 4
puisqu’elles permettent de passer d’une expression à deux inconnues (M A et MB) à une expression à une inconnue
(M I ).
Preuve. Montrons que M A 2 + MB 2 = 2M I 2 + 12 AB 2 .
³−−→ −→´2 ³−−→ −→´2
−−→ −−→
M A 2 + MB 2 = M A 2 + MB 2 = M I + I A + M I + I B
−−→
−−→ ³−→ −→´ −→ −→
= 2M I 2 + 2M I . I A + I B + I A 2 + I B 2
¶
µ
1
AB 2
−−→ →
−
= 2M I 2 + AB 2
= 2M I 2 + 2M I . 0 + 2
2
2
Les autres démonstrations sont du même type et seront traitées en exercice.
108
♦
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11.4 Exercices
Première S
11.4 Exercices
E XERCICE 11.1.
Soit ABC D un carré de sens direct. On construit un rectangle APQR de sens direct tel que :
D
• P ∈ [AB] et R ∈ [AD] ;
• AP = DR.
R
×
×
C
Q
×
×
−−→ −→ −−→ ³−→ −→´
1. Justifier que CQ.P R = CQ. AR − AP
2. En déduire que les droites (CQ) et (P R) sont perpendiculaires.
A
×
×
×
P
B
E XERCICE 11.2.
Démontrer les deuxième et troisième formules de la médiane.
E XERCICE 11.3.
est un triangle et I est le milieu de [BC ]. On sait que
³ABC
−→ −→´ π
I A, I B = 3 et que B I = C I = 2 et AI = 3
Calculer :
−→ −→
1. AB . AC ;
A
×
2. AB 2 + AC 2 ;
2
π
3
2
3. AB − AC ;
B
4. AB et AC .
E XERCICE 11.4.
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC ].
Calculer les produits scalaires suivants :
−→ −→
−−→ −→
1. B A.BC ;
2. C A.C I ;
×
×
×
I
3.
C
³−→ −→´ −→
AB − AC . AI .
E XERCICE 11.5.
−→ −→
ABC est un triangle dans lequel AB = 2 et AC = 3. De plus AB . AC = 4. Ce triangle est-il rectangle ?
E XERCICE 11.6.
M N PQ est un carré avec M N = 6. I est le centre du carré.
Calculer les produits scalaires suivants :
−−→ −−→
−−→ −−→
1. M N .QP ;
2. M N .P N ;
−→ −→
3. I N .I P ;
−→ −→
4. Q I .N I .
E XERCICE 11.7.
−→ −−→
ABC D est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7. Calculer AB . AD. En déduire BD
E XERCICE 11.8.
ABC D est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est le
milieu de [AB].
D
×
×
C
1. Calculer les longueurs AC et DE .
−→
−−→
2. En exprimant chacun des vecteurs AC et DE en
−→ −−→
fonction des vecteurs AB et AD, calculer le produit
−→ −−→
scalaire AC .DE .
³−−→ −→´
3. En déduire la valeur de l’angle θ = DE ; AC en degrés à 0,01 près.
θ
A
×
×
E
×
B
E XERCICE 11.9.
[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.
−−→ −→
1. Montrer que pour tout point M du plan : M A 2 − MB 2 = 2I M . AB
2. Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : M A 2 − MB 2 = 14.
David ROBERT
109
11.4 Exercices
Première S
E XERCICE 11.10.
Le but de cet exercice est de démontrer, à l’aide du produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Soit ABC un triangle. On note A ′ , B ′ et C ′ les projetés orthogonaux respectifs de A, B et C sur (BC ), (AC ) et (AB). On
note H = (BB ′ ) ∩ (CC ′ ).
−−→ −→ −−→ −→
1. Que valent les produits scalaires suivants : B H . AC et C H . AB ?
−−→ −→
2. Calculer AH .BC .
3. Conclure.
E XERCICE 11.11.
ABC D est un rectangle de longueur L et de largeur l.
Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets B et
D sur la diagonale (AC ).
A
×
L
×
×
K
l
H
D
1. Calculer H K en fonction des longueurs des côtés L
et l.
On pourra évaluer de deux manières le produit
−−→ −−→
scalaire C A.BD .
B
×
×
×
C
2. Comment choisir L et l pour avoir AC = 2H K ?
Exprimer alors l’aire du parallélogramme B H DK en
fonction de l’aire du rectangle ABC D.
E XERCICE 11.12.
³−→ −→´2
À quelle condition sur les points A, B et C a-t-on : AB + AC = (AB + AC )2 ?
E XERCICE 11.13.
ABC D est un losange de sens direct et de centre O On donne AC = 10 et BD = 6.
−→ −−→
1. Calculer AB . AD.
2. On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculer AP .
E XERCICE 11.14.
B est un point appartenant à [AE ]. ABC D et BE F G sont
des carrés situés dans le même demi-plan par rapport à
(AE ), comme sur la figure ci-contre.
Montrer que (EC ) est la hauteur issue de E dans le triangle
AEG.
G
D
b
b
b
1.
2. Montrer que (AT ) est une hauteur du triangle ARB.
110
b
E
B
C
b
R
b
b
T
(a) Montrer que (RT ) ∥ (AB).
(b) Montrer que RT = 1.
C
b
A
E XERCICE 11.15.
ABC est un triangle rectangle et isocèle en A avec AB = 4.
R, S et T sont les milieux respectifs de [AC ], [AB] et [C S].
La figure ci-contre représente la situation à une échelle donnée.
b
F
b
b
A
b
S
b
B
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11.4 Exercices
Première S
E XERCICE 11.16.
ABC est un triangle tel que l’angle en A est aigu.
B AE et C AF sont des triangles rectangles et isocèles en A
à l’extérieur du triangle ABC (voir la figure ci-contre).
On note θ = B
AC , b = AC et c = AB.
F
b
E
b
A
−→ −→ −→ −→
1. Exprimer AB. AF et AC. AE en fonction de b, c et θ.
b
2. Soit I le milieu de [BC
].
−→ 1 ³−→ −→´
Montrer que AI = 2 AB + AC .
3. Montrer que (AI ) est la hauteur issue de A dans le
triangle AE F .
E XERCICE 11.17.
ABC D est un trapèze rectangle de base AB = 2a et C D = a
et de hauteur AD = h.
−→ −−→
1. Exprimer AC.BD en fonction de a et de h.
2. Existe-t-il une valeur de h telle que les diagonales
(AC ) et (BD) soient perpendiculaires ?
b
b
B
D
b
C
I
b
b
C
b
b
A
B
E XERCICE 11.18.
ABC D est un parallélogramme de centre I tel que AB = 7, AD = 5 et BD = 8.
1. Montrer que AB 2 + AD 2 = 2AI 2 + 2I D 2 .
2. En déduire AC .
3. En déduire les mesures des angles du parallélogramme à 1◦ près.
4. En déduire l’aire de ABC D.
E XERCICE 11.19.
ABC D est un carré de côté a, I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [BC ]. H est le projeté orthogonal
de D sur la droite (A J ) et K le point d’intersection des segments [A J ] et [C I ].
1. En exprimant de deux façons le produit scalaire
−→ −−→
A J . AD :
(a) Calculer la longueur AH en fonction de a ;
(b) En déduire la distance du point D à la droite
(A J ) en fonction de a.
2. En exprimant de deux façons le produit scalaire
−→ −−→
A J . AD, déterminer le cosinus de l’angle Jd
K I puis
donner la valeur approchée à 0,1◦ près par défaut de
la mesure de Jd
K I.
David ROBERT
D
b
C
b
J
b
K
b
H
b
A
b
B
111
Devoir maison n°7
Devoir maison n°7
Puissance d’un point par rapport à un cercle
Puissance d’un point par rapport à un cercle
À rendre pour le vendredi 19 avril 2013
À rendre pour le vendredi 19 avril 2013
C est un cercle de centre O, de rayon r et A est un point fixé du plan. d est une
droite passant par A et coupant C en deux points P et Q.
Le but du problème est d’établir la propriété suivante :
C est un cercle de centre O, de rayon r et A est un point fixé du plan. d est une
droite passant par A et coupant C en deux points P et Q.
Le but du problème est d’établir la propriété suivante :
Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle C en deux points
−→ −−→
P et Q, le produit scalaire AP . AQ est constant.
Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle C en deux points
−→ −−→
P et Q, le produit scalaire AP . AQ est constant.
−→ −−→
1. Soit P ′ le point diamétralement opposé à P . Montrer que AP . AQ =
−
−
→
−→
AP . AP ′ .
−→ −−→
2. Montrer que AP . AP ′ = AO 2 − r 2
3. Conclure.
Remarque. On appelle cette quantité la puissance d’un point par rapport à un
cercle.
A
×
P
×
×
Q
−→ −−→
1. Soit P ′ le point diamétralement opposé à P . Montrer que AP . AQ =
−→ −−→′
AP . AP .
−→ −−→
2. Montrer que AP . AP ′ = AO 2 − r 2
3. Conclure.
Remarque. On appelle cette quantité la puissance d’un point par rapport à un
cercle.
d
A
×
C
O
P
×
×
×
C
O
×
Q
d
Chapitre 12
Loi binomiale
Sommaire
12.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.2.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.2.2 Cœfficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.2.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12.2.4 Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12.2.5 Échantillonage et prise de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12.1 Activité
Partie A : Une expérience aléatoire élémentaire
On lance un dé équilibré. On gagne si on fait un 6.
On note S, comme « succès », cette issue et E , comme « échec », l’autre issue.
Déterminer p(S) et p(E ).
Partie B : Trois répétitions
On répète trois fois de suite et de façon indépendante l’expérience élémentaire de la partie A.
1.
(a) Représenter cette nouvelle expérience par un arbre.
(b) Quelles sont les probabilités des issues SE S, E SS et SSE ?
Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir deux succès » ?
(c) Quelles sont les probabilités des issues E E S, E SE et SE E ?
Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir un succès » ?
2.
(a) Soit X la variable aléatoire qui associe, à chaque issue, le nombre de succès obtenus lors des trois répétitions.
Déterminer la loi de probabilité de X . On présentera les résultats sous forme de tableau et on ne réduira pas
les fractions.
(b) Déterminer l’espérance de X . Interpéter le résultat.
Partie C : Quatre répétitions
On répète quatre fois l’expérience élémentaire de la partie A de façon indépendante et on note Y la variable aléatoire
qui, à chaque issue, associe le nombre de succès obtenus lors de ces quatre répétitions.
On décide de ne pas construire l’arbre.
1. Déterminer la probabilité de chacun des événements {Y = 0} et {Y = 4}.
2. Soit l’événement {Y = 2}.
(a) Décrire une issue correspondant à cet événement et déterminer sa probabilité.
(b) Décrire une issue distincte de la précédente correspondant à cet événement et déterminer sa probabilité.
(c) Que constate-t-on ?
113
12.1 Activité
Première S
(d) Que nous manque-t-il alors pour obtenir p(Y = 2) ?
(e) Quels sont les chemins de l’arbre de la partie B qui, après une quatrième répétition de l’expérience élémentaire, ne pourront pas mener à des issues correspondant à {Y = 2} ?
(f) À l’aide de l’arbre de la partie B, déterminer le nombre de chemins menant à des issues correspondant à
{Y = 2} lorsqu’on répète une quatrième fois l’expérience élémentaire.
(g) En déduire p(Y = 2).
3. Soit l’événement {Y = 1}.
(a) Décrire une issue correspondant à cet événement et déterminer sa probabilité.
(b) Décrire une issue distincte de la précédente correspondant à cet événement et déterminer sa probabilité.
(c) Que constate-t-on ?
(d) Que nous manque-t-il alors pour obtenir p(Y = 1) ?
(e) À l’aide de l’arbre de la partie B, déterminer le nombre de chemins menant à des issues correspondant à
{Y = 1} lorsqu’on répète une quatrième fois l’expérience élémentaire.
(f) En déduire p(Y = 1).
4. Soit l’événement {Y = 3}.
(a) Décrire une issue correspondant à cet événement et déterminer sa probabilité.
(b) Décrire une issue distincte de la précédente correspondant à cet événement et déterminer sa probabilité.
(c) Que constate-t-on ?
(d) Que nous manque-t-il alors pour obtenir p(Y = 3) ?
(e) À l’aide de l’arbre de la partie B, déterminer le nombre de chemins menant à des issues correspondant à
{Y = 3} lorsqu’on répète une quatrième fois l’expérience élémentaire.
(f) En déduire p(Y = 3).
Partie D : Sept répétitions
On répète sept fois l’expérience élémentaire de la partie A de façon indépendante et on note Z la variable aléatoire qui,
à chaque issue, associe le nombre de succès obtenus au cours de ces sept répétitions.
1. Quelles valeurs peut prendre Z ?
2. Déterminer p(Z = 0) et p(Z = 7).
3. Soit l’événement {Z = 4}.
(a) Décrire une issue correspondant à cet événement et déterminer sa probabilité.
(b) Décrire une issue distincte de la précédente correspondant à cet événement et déterminer sa probabilité.
(c) Que constate-t-on ?
(d) Que nous manque-t-il alors pour obtenir p(Z = 4) ?
¡¢
(e) On note 74 le nombre de chemins menant à des issues telles que Z = 4 après sept répétitions.
Exprimer p(Z = 4) à l’aide de cette notation.
(f) Décrire, à l’aide de cette notation, la loi de probabilité de Z .
Partie E : Cœfficients binomiaux
¡ ¢
On note nk le nombre de chemins menant à des issues comportant k succès quand on répète n fois une expérience
aléatoire élémentaire ne comportant que deux issues : un succès et un échec.
1. Quelles sont les valeurs possibles pour k ?
2. À l’aide des activités précédentes, déterminer :
¡ ¢ ¡¢ ¡ ¢ ¡ ¢
¡¢ ¡¢
(b) 30 , 31 , 32 et 33
(a) 11 et 10
3.
¡¢ ¡ ¢ ¡¢ ¡ ¢ ¡ ¢
(c) 40 , 41 , 42 , 43 et 44
¡ ¢ ¡¢ ¡¢
(a) Exprimer, avec cette notation, la relation qui nous a permis d’obtenir 41 , 42 et 43 .
(b) En généralisant
¡ ¢ cette propriété, compléter le tableau 12.1, page suivante, en indiquant dans chaque case les
valeurs de nk .
(c) En déduire la loi de probabilité de Z de la partie D.
114
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12.1 Activité
Première S
TABLE 12.1: Triangle de PASCAL
k
❛❛
n
0
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
Partie F : Représentation graphique
1. On a obtenu dans la partie précédente la loi suivante (les valeurs sont arrondies au millième) :
k
p(Z = k)
0
0,279
1
0,391
2
0.234
3
0,078
4
0,016
5
0,002
6
0
7
0
La représenter dans le repère de la figure 12.1 de la présente page par un diagramme en bâtons tel que :
• k sera en abscisse
• la probabilité p(X = k) sera la hauteur du bâton
F IGURE 12.1: Représentation graphique de la loi de Z
0.4
0.3
0.2
0.1
1
David ROBERT
2
3
4
5
6
7
115
12.2 Bilan et compléments
Première S
2. Rôle de n
On a représenté sur la figure 12.2 page suivante plusieurs lois de ce type, en faisant variant le nombre n de répétitions.
(a) Qu’ont en commun ces représentations graphiques ?
(b) Quel semble être le rôle de n sur ces lois de probabilité ?
3. Rôle de p
Dans notre expérience élémentaire, la probabilité d’obtenir un succès était p = 16 . On suppose pour la suite qu’on
dispose de toutes sortes de dés truqués nous permettant d’obtenir la valeur que l’on souhaite pour p. On a répété
l’expérience soixante fois (n = 60) et on a représenté sur la figure 12.3 les différentes lois obtenues.
(a) Qu’ont en commun ces représentations graphiques ?
(b) Quel semble être le rôle de p sur ces lois de probabilité ?
Partie G : Intervalle de fluctuation et prise de décision
1. On a obtenu dans la partie précédente la loi suivante (les valeurs sont arrondies au millième). Compléter la
dernière ligne.
k
p(Z = k)
0
0,279
1
0,391
2
0.234
3
0,078
4
0,016
5
0,002
6
0
7
0
p(Z 6 k)
2. On cherche à partager l’intervalle [0; 7], où Z prend ses valeurs, en trois intervalles :
• Un intervalle [a ; b] (où a et b sont des entiers) tel que p(a 6 Z 6 b) > 0, 95 ;
• Et pour qu’il soit centré au maximum, on s’impose que p(Z < a) < 0, 025 et p(Z > b) < 0, 025.
Déterminer à l’aide du tableau précédant les valeurs de a et de b.
3. Sur un dé inconnu, pour tester l’hypothèse « le 6 a une probabilité de sortir égale à 16 » au seuil de 95 %, connaissant
l’intervalle [a ; b] correspondant à cette probabilité, on applique la règle suivante : on répète avec ce dé 7 fois
l’expérience et on note la fréquence
h
if d’apparition du 6.
Si f n’est pas dans l’intervalle a7 ; b7 , alors on rejette l’hypothèse.
Dans quels cas rejettera-t-on alors cette hypothèse ?
12.2 Bilan et compléments
12.2.1 Premières définitions
Définition 12.1 (Épreuve de B ERNOULLI). On appelle épreuve de B ERNOULLI de paramètre p toute expérience aléatoire ayant exactement deux issues possibles, qu’on appelle généralement, pour l’une, succès, notée S, et, pour l’autre,
échec, notée S, et telle que p(S) = p.
Définition 12.2 (Schéma de B ERNOULLI). On appelle schéma de B ERNOULLI de paramètres n et p la répétition à n
reprises, de façon indépendante, d’une même épreuve de B ERNOULLI de paramètre p.
12.2.2 Cœfficients binomiaux
Définition 12.3 (Cœfficients binomiaux). Soit un schéma de B ERNOULLI
de paramètres n et p.
¡ ¢
Pour tout entier 0 6 k 6 n, on appelle cœfficient binomial, noté nk , le nombre de chemins du schéma de Bernoulli
menant à k succès.
Par convention
¡ 0¢
0
= 1 et on a les propriétés suivantes qui seront démontrées en classe :
Propriété 12.1. Pour tout entier 0 6 k 6 n :
¡n ¢
¡n ¢ ¡n ¢
• 1 =n
• 0 = n =1
116
•
¡n ¢
k
=
¡
n ¢
n−k
•
¡n+1¢
k+1
=
¡n ¢ ¡ n ¢
k + k+1
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12.2 Bilan et compléments
Première S
F IGURE 12.2: Rôle de n
n = 30
0.15
0.10
0.05
5
10
15
20
25
0.15
30
35
40
45
50
55
35
40
45
50
55
35
40
45
50
55
35
40
45
50
55
35
40
45
50
55
35
40
45
50
55
n = 120
0.10
0.05
5
10
15
20
25
30
n = 240
0.15
0.10
0.05
5
10
15
20
25
30
F IGURE 12.3: Rôle de p
p = 0,3
0.10
0.05
5
10
15
20
25
30
p = 0,5
0.10
0.05
5
10
15
20
25
30
p = 0,8
0.10
0.05
5
David ROBERT
10
15
20
25
30
117
12.2 Bilan et compléments
Première S
12.2.3 Loi binomiale
Définition 12.4 (Loi binomiale). Soit un schéma de B ERNOULLI de paramètres n et p.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque issue, associe le nombre de succès.
On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p, généralement notée B (n ; p).
Propriété 12.2. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B (n ; p).
Alors, pour tout entier 0 6 k 6 n :
¡n ¢
• p(X 6 k) = 1 − p(X > k)
• p(X > k) = 1 − p(X < k).
• p(X = k) = k p k (1 − p)n−k .
Propriété 12.3. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B (n ; p). Alors :
• E (X ) = np
• V (X ) = np(1 − p)
• σ(X ) =
On l’admettra.
p
np(1 − p)
12.2.4 Utilisation de la calculatrice
¡ ¢
Les calculatrices permettent d’obtenir les valeurs exactes de nk et, dans le cas où la variable aléatoire suit la loi binomiale B(n ; p), les valeurs approchées de p(X = k) et de p(X 6 k).
Pour l’exemple nous supposerons que la loi binomiale est de paramètres n = 10 et p = 0, 25 et que k = 2.
à !
10
2
p(X = 2)
p(X 6 2)
Casio anciens modèles
Menu RUN
10 OPTION PROB nCr 2
Menu STAT
DIST BINM Bpd
Data : var
x :2
Numtrial : 10
p : 0,25
Inutilisable dans les calculs
(noter le résultat pour réutilisation)
Menu STAT
DIST BINM Bcd
Data : var
x :2
Numtrial : 10
p : 0,25
Inutilisable dans les calculs
(noter le résultat pour réutilisation)
Casio modèles récents
TI
Menu RUN
10 OPTION PROB nCr 2
10 MATH PRB Combinaison (ou
nCr) 2
Menu RUN
(OPTN STAT DIST BINM Bpd
pour) BinomialPD(2, 10, 0.25)
DISTR binomFdp(10,0.25,2)
Menu RUN
(OPTN STAT DIST BINM Bcd
pour) BinomialCD(2, 10, 0.25)
DISTR binomFRép(10,0.25,2)
12.2.5 Échantillonage et prise de décision
Intervalle de fluctuation avec la loi binomiale
L’intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95 % a été défini en Seconde de la façon suivante :
Définition. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, relatif aux échantillons de taille n, est l’intervalle centré autour de p, proportion du caractère dans la population, où se situe, avec une probabilité égale à 0,95, la fréquence
observée dans un échantillon de taille n.
Et la propriété suivante a alors été énoncée :
Propriété. Dans le cas où n > 25 et 0, 2 < p < 0, 8, l’intervalle I suivant contient l’intervalle de fluctuation, c’est-à-dire
que la probabilité qu’il contienne la fréquence observée est au moins égale à 95 % :
·
¸
1
1
I = p−p ;p+p
n
n
118
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Première S
12.3 Exercices
La loi binomiale nous permet de calculer très exactement les probabilités des différentes fréquences observables dans
un échantillon de taille n, à savoir les valeurs nk , avec 0 6 k 6 n, même pour n 6 25 et p ∉]0, 2; 0, 8[. La règle est alors la
suivante :
Propriété 12.4. L’intervalle
de
h
i fluctuation au seuil de 95 % associé à une variable aléatoire X suivant la loi binomiale
B(n ; p), est l’intervalle na ; nb , où a et b sont les deux entiers naturels définis par :
• a est le plus petit des entiers k vérifiant p(X 6 k) > 0, 025 ;
• b est le plus petit des entiers k vérifiant p(X 6 k) > 0, 975.
Remarques. • Lorsque n > 25 et 0, 2 < p < 0, 8, il est proche de l’intervalle vu en Seconde.
• Lorsque n est assez grand, il est quasiment centré sur p.
• Cet intervalle s’obtient grâce aux possibilités des calculatrices (ou des logiciels) par la lecture des probabilités cumulées croissantes.
Prise de décision avec la loi binomiale
On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d’un certain caractère est p.
Pour juger de cette hypothèse, on y prélève, au hasard et avec remise, un échantillon de taille n sur lequel on observe
une fréquence f du caractère.
On rejette l’hypothèse selon laquelle le proportion dans la population est p lorsque la fréquence f observée est trop
éloignée de p, dans un sens ou dans l’autre. On choisit de fixer le seuil à 95 % de sorte que la probabilité de rejeter
l’hypothèse, alors qu’elle est vraie, soit inférieure à 5 %.
La règle de décision adoptée est alors la suivante :
h
i
Si la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % na ; nb , on considère que l’hypothèse selon laquelle la proportion est p dans la population n’est pas remise en question.
Sinon on rejette l’hypotèse selon laquelle cette proportion vaut p.
12.3 Exercices
E XERCICE 12.1.
Les expériences aléatoires suivantes sont-elles des épreuves de B ERNOULLI ? Si oui préciser leur paramètre.
1. On lance un dé cubique équilibré et on gagne si on obtient 6.
2. On lance un dé tétraèdrique équilibré et on note le résultat obtenu.
3. Un automobiliste arrive à un feu et a une probabilité de 0,3 que le feu soit vert.
4. On tire une boule dans une urne contenant quatre boules rouges et six boules noires et on note la couleur de la
boule obtenue.
E XERCICE 12.2.
On a représenté sur la figure 12.4 page suivante la distribution de probabilité de quatre variables aléatoires suivant les
lois binomiales B (30; 0, 1), B (30; 0, 5), B (30; 0, 9) et B (29; 0, 5).
Associer chaque loi à son graphique.
E XERCICE 12.3.
Une association comprenant 30 adhérents organise chaque année une assemblée générale. Les statistiques montrent
que chaque adhérent assiste à l’assemblée avec la probabilité de 80 %. Les décisions prises par l’assemble n’ont de
valeur légale que lorsque plus de la moitié des adhérents assiste à l’assemblée.
Quelle est la probabilité que, lors de la prochaine assemblée, le quorum soit atteint ?
E XERCICE 12.4.
Paul affirme : « Avec un dé régulier, on a autant de chance d’obtenir au moins un six en 4 lancers que d’obtenir au moins
deux six avec 8 lancers ».
Sara objecte : « Pas du tout. Dans le premier cas, la probabilité est supérieure à 0,5, dans le deuxième cas, elle est inférieure à 0,5 ».
Qui a raison ?
E XERCICE 12.5.
À chaque tir, un archer atteint sa cible avec une probabilité égale à 0,7.
Combien de tirs doit-il effectuer pour que, avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99, il atteigne la cible au moins
deux fois ? Au moins trois fois ?
David ROBERT
119
12.3 Exercices
Première S
F IGURE 12.4: Figure de l’exercice 12.2
0.20
0.20
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
5
10
15
20
25
0.20
0.20
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
5
10
15
20
25
5
10
15
20
25
5
10
15
20
25
E XERCICE 12.6.
On lance une pièce équilibrée n fois. On s’intéresse à la probabilité d’obtenir « face » dans 60 % des cas ou plus.
Envisager les cas n = 10, puis n = 100, puis n = 1000.
Donner d’abord, sans calcul, une estimation spontanée du résultat, puis solliciter la calculatrice (n = 10) ou un algorithme de calcul n = 100 et n = 1000).
E XERCICE 12.7.
Une entreprise fabrique chaque jour 10 000 composants électroniques. Chaque composant présente un défaut avec
la probabilité de 0,002. Si le composant est repéré comme étant défectueux, il est détruit par l’entreprise, et chaque
composant détruit fait perdre 1 ( à l’entreprise.
1. Les composants sont contrôlés un à un, et chaque contrôle coûte 0,1 (. Quel est le coût moyen journalier pour
l’entreprise (contrôles et destruction des composants défectueux) ?
2. Les composants sont regroupés par lots de 10, et on effecture un unique contrôle automatique de chaque lot,
qui coûte aussi 0,1 (. À l’issue de ce contrôle, le lot est accepté si tous les composants sont sains, et globalement
détruit si l’un au moins des 10 composants présente un défaut. Quel est le coût moyen journalier pour l’entreprise
de ce nouveau dispositif (contrôles et destruction des composants défectueux) ?
E XERCICE 12.8.
Un QCM comporte 20 questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est juste.
Chaque réponse rapporte un point et il n’y a pas de pénalité pour une réponse fausse. Un candidat répond au hasard à
chaque question.
Quel nombre total de points peut-il espérer ?
Quelle pénalité doit-on attribuer à une réponse fausse pour que le total espéré, en répondant entièrement au hasard,
soit égal à 2 sur 20 ?
E XERCICE 12.9.
Un texte contient n erreurs. Lors d’une relecture, on considère que chaque erreur a 80 % de chances d’être corrigée.
Peut-on prévoir, en moyenne, le nombre d’erreurs restantes après une relecture, . . . , après k relectures, k étant un entier
supérieur à 1 ?
120
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12.3 Exercices
Première S
E XERCICE 12.10.
Cet exercice nécessite de disposer d’une calculatrice TI ou d’une calculatrice CASIO récente.
On dispose d’une partie de programme :
TI
Casio
: PROMPT N
“N” ? → N ←“P” ? → N ←: PROMPT P
:0→I
0 → I ←: While binomFRép(N,P,I) 6 0,025 While BinomCD(I,N,P) 6 0,025 ←I+1 → I ←: I+1 → I
: End
WhileEnd ←:I→A
I → A ←-
Remarque. binomFRép(n,p,k) ou BinomCD(I,N,P) calculent p(X 6 k), où X est une variable aléatoire suivant la loi
B(n ; p).
1.
(a) À quoi correspondent N et P demandés en début de programme ?
(b) À quoi correspond A à la fin du programme ?
2. Comment modifier ce programme pour qu’il obtienne A et B à la fin du programme ?
3. Comment modifier ce programme pour qu’il calcule les deux bornes de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %
de la loi binomiale de paramètres n et p ?
4. On a exécuté ce programme avec p = 0, 4 et on a obtenu les résultats suivants pour la borne inférieure :
n
Borne
20
0,2
50
0,26
200
0,335
1 000
0,37
5 000
0,3864
Comparer ce résultat avec la borne inférieure de l’intervalle de fluctuation introduit en Seconde. Qu’observe-ton ?
E XERCICE 12.11.
Monsieur Z, chef du gouvernement d’un pays lointain, affirme que 52 % des électeurs lui font confiance. On interroge
100 électeurs au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer qu’il s’agit de tirages avec remise) et
on souhaite savoir à partir de quelles fréquences, au seuil de 95 %, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé par
Monsieur Z, dans un sens, ou dans l’autre.
1. On fait l’hypothèse que Monsieur Z dit vrai et que la proportion des électeurs qui lui font confiance dans la population est 0,52. Montrer que la variable aléatoire X , correspondant au nombre d’électeurs lui faisant confiance
dans un échantillon de 100 électeurs, suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0, 52.
2. On donne ci-dessous un extrait de la table des probabilités cumulées p(X 6 k) où X suit la loi binomiale de
paramètres n = 100 et p = 0, 52.
k
p(X 6 k)
40
0,0106
41
0,0177
42
0,0286
43
0,0444
(a) Déterminer a et b tels que :
• a est le plus petit entier tel que p(X 6 a) > 0, 025 ;
• b est le plus petit entier tel que p(X 6 b) > 0, 975.
(b) Comparer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %,
l’intervalle de Seconde.
h
a
n
;
...
...
b
n
60
0,9561
61
0,9719
...
...
i
, ainsi obtenu grâce à la loi binomiale, avec
3. Énoncer la règle de décision permettant de rejetter ou non l’hypothèse que la proportion des électeurs qui font
confiance à Monsieur Z dans la population est 0,52, selon la valeur de la fréquence f des électeurs favorables à
Monsieur Z obtenue sur l’échantillon.
4. Sur les 100 électeurs interrogés au hasard, 43 déclarent avoir confiance en Monsieur Z. Peut-on considérer, au
seuil de 95 %, l’affirmation de Monsieur Z comme exacte ?
E XERCICE 12.12.
Un médecin de santé publique veut savoir si, dans sa région, le pourcentage d’habitants atteints d’hypertension artérielle
est égal à la valeur de 16 % récemment publiée pour des populations semblables. En notant p la proportion d’hypertendus dans la population de sa région, le médecin formule l’hypothèse p = 0, 16. Pour vérifier cette hypothèse,
le médecin constitue un échantillon de n = 100 habitants de la région ; il détermine la fréquence f d’hypertendus
(l’échantillon est prélevé au hasard et la population est suffisamment importante pour considérer qu’il s’agit de tirages
avec remise).
Pour quelles valeurs de f , la médecin rejettera-t-il cette hypothèse ?
David ROBERT
121
12.3 Exercices
Première S
E XERCICE 12.13.
En novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida est condamné à huit ans de prison. Il attaque ce
jugement au motif que la désignation des jurés de ce comté est, selon lui, discriminante à l’égard des Américains d’origine mexicaine. Alors que 80 % de la population du comté est d’origine mexicaine, sur les 870 personnes convoquées
pour être jurés lors des années précédentes, il n’y a eu que 339 personnes d’origine mexicaine.
Devant la Cour Suprême, un expert statisticien produit des arguments pour convaincre du bien fondé de le requête
de l’accusé. En vous situant dans le rôle de cet expert, pouvez-vous décider si les Américains d’origine mexicaine sont
sous-représentés dans les jurys de ce comté ?
E XERCICE 12.14.
Un groupe de citoyens demande à la municipalité d’une ville la modification d’un carrefour en affirmant que 40 % des
automobilistes tournent un utilisant une mauvaise file.
Un officier de police constate que sur 500 voitures prises au hasard, 190 prennent une mauvaise file.
1. Déterminer, en utilisant la loi binomiale sous l’hypothèse p = 0, 4, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
2. D’après l’échantillon, peut-on considérer, au seuil de 95 %, comme exacte l’affirmation du groupe de citoyens ?
E XERCICE 12.15.
Dans le monde, la proportion de gauchers est 12 %. Soit n le nombre d’élèves dans votre classe.
1. Déterminer, à l’aide de la loi binomiale, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence des gauchers
sur un échantillon aléatoire de taille n.
2. Votre classe est-elle « représentative » de la proportion de gauchers dans le monde ?
E XERCICE 12.16.
Deux entreprises recrutent leur personnel dans un vivier comportant autant d’hommes que de femmes. Voici la répartition entre hommes et femmes dans ces deux entreprises :
Entreprise A
Entreprise B
Hommes
57
1350
Femmes
43
1150
Total
100
2500
Peut-on suspecter l’une des deux de ne pas respecter la parité hommes-femmes à l’embauche ?
122
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Nom :
Vendredi 24 mai 2013 – 1h00
Devoir surveillé n°8
Produit scalaire – Loi binomiale
E XERCICE 8.1.
ABC D est un parallélogramme avec AB = 5, BC = 4 et AC = 7.
−→ −−→
1. Calculer AB . AD.
2. En déduire BD.
E XERCICE 8.2.
ABC D est un carré de côté a.
On appelle I ³et J les ´milieux respectifs des segments [AB] et [BC ].
−→ −→
On note θ = A J ; IC .
1. En décomposant judicieusement, à l’aide de la rela−→ −→
tion de C HASLES, les vecteurs A J et IC , déterminer
−→ −→
le produit scalaire A J .IC en fonction de a.
2.
D
b
C
b
(a) Déterminer la longueur A J en fonction de a.
(b) Déterminer la longueur IC en fonction de a.
−→ −→
(c) En déduire une expression de A J .IC en fonction de a et de θ.
J
b
3. Déduire des questions précédentes la valeur exacte
de cos θ puis celle de θ en degré à 0,1 près.
b
b
A
b
B
I
E XERCICE 8.3.
Des études statistiques ont montré qu’à la naissance la probabilité d’avoir un garçon est égale à 0,51.
On rencontre au hasard une famille de trois enfants dont les naissances sont supposées indépendantes et on s’intéresse
au nombre de garçons.
1. Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de garçons.
Déterminer la loi de probabilité de X . On présentera les probabilités sous forme de tableau et on arrondira les
résultats au centième.
3. Montrer que la probabilité que cette famille ait au moins un garçon est d’environ 0,88.
4. On rencontre ensuite au hasard et de manière indépendante 10 familles de trois enfants, les hypothèses étant les
mêmes que décrites ci-dessus.
Calculer la probabilité, arronie au centième, que neuf familles exactement sur les dix aient au moins un garçon.
E XERCICE 8.4.
On donne l’extrait d’une table concernant une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n = 50 et
p = 0, 2.
k
p(X 6 k)
1.
...
...
2
0,001
3
0,006
4
0,018
5
0,048
6
0,103
...
...
14
0,939
15
0,969
16
0,986
17
0,994
18
0,997
...
...
(a) Déterminer le plus petit entier a tel que p(X 6 a) > 0, 025.
(b) Déterminer le plus petit entier b tel que p(X 6 b) > 0, 975.
2. En déduire l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la variable aléatoire X .
3. Un jeu consiste à tirer une boule dans une urne contenant 2 boules blanches et 8 boules noires. Le joueur gagne
s’il obtient une boule blanche.
Sur les 50 personnes ayant joué, 5 ont gagné.
Peut-on soupçonner l’organisateur du jeu d’avoir triché ?
David ROBERT
123
Chapitre 13
Compléments sur les suites
Sommaire
13.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.2 Monotonie d’une suite : méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
13.2.1 Signe de la différence un+1 − un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
u
13.2.2 Comparaison de un+1 à 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
n
13.2.3 Variations de la fonction associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13.3 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.4.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13.1 Activités
A CTIVITÉ 13.1.
On reprend ici l’énoncé de l’activité 4.1 du chapitre 4.
On donne ci-dessous le tableau d’effectifs, en million, de la population africaine depuis 1950.
Année
Population
1950
227,3
1960
285
1970
366,8
On rappelle ce qu’on avait obtenu dans cette activité
précédemment :
• Un statisticien avait proposé de modéliser la population
africaine tous les dix ans par une suite géométrique (un )
de premier terme u0 = 227, 3 et de raison q = 1, 28 et ce
modèle nous avait paru acceptable.
• On avait programmé sur la calculatrice un algorithme
du type ci-contre pour obtenir différentes valeurs prises
par la suite.
• En tatonnant, nous avions trouvé qu’il faudrait 10 décennies (n > 10) pour que la population africaine dépasse 3 milliards.
1.
(a) Montrer que, pour tout n,
u n+1
un
1980
482,2
1990
638,7
2000
819,5
2010
1011,2
ENTREES
n
INITIALISATION
u PREND LA VALEUR 227.3
TRAITEMENT
POUR k ALLANT DE 1 A n FAIRE
u PREND LA VALEUR u*1.28
FIN POUR
SORTIES
u
> 1.
(b) Que peut-on en déduire quant à la monotonie de la suite (un ) ?
2. On cherche dans la suite de cette activité à élaborer un algorithme qui éviterait d’avoir à tatonner pour obtenir
le genre de résultat que nous avions obtenu quand nous cherchions au cours de quelle décennie la population
africaine dépasserait les 3 milliards.
(a) Compléter l’algorithme de la table 13.1, page suivante, qui, pour un seuil quelconque (par exemple 3 milliards), indique le nombre de décennies au bout duquel la population africaine dépasse ce seuil.
(b) Programmer cet algorithme sur sa calculatrice.
(c) À l’aide de cet algorithme, compléter le tableau de la table 13.1, page suivante.
125
13.2 Monotonie d’une suite : méthodes
Première S
(d) Compléter les phrases suivantes :
• « On peut conjecturer que, selon le modèle du statisticien, on peut rendre la population africaine aussi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . que l’on veut : il suffit de prendre n suffisamment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . »
• On dira que la suite tend vers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TABLE 13.1: Algorithme et tableau de l’activité 13.1 à compléter
ENTREES
seuil
INITIALISATION
n PREND LA VALEUR 0
u PREND LA VALEUR 227.3
TRAITEMENT
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
.....................................................................
SORTIES
AFFICHER n
Seuil (en milliards)
Nombre de décennies
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
A CTIVITÉ 13.2.
Une usine fabrique de la peinture spéciale pour carrosserie.
À la fin du premier jour, la production est de 1 000 L. Ensuite, elle diminue chaque jour de 2 %.
On note un la production de peinture au jour n, avec n entier naturel.
1.
(a) Montrer que, pour tout n, un+1 − un < 0.
(b) Que peut-on en déduire quant à la monotonie de la suite (un ) ?
2.
(a) À l’aide d’une calculatrice, conjecturer vers quelle valeur va tendre la production journalière de peinture.
(b) En vous inspirant de l’algorithme de l’activité 13.1, page précédente, écrire un algorithme permettant d’obtenir
au bout de combien de jours la production sera inférieure à un seuil donné et l’utiliser pour déterminer au
bout de combien de jours la production sera inférieure à 10 L.
13.2 Monotonie d’une suite : méthodes
13.2.1 Signe de la différence u n+1 − u n
Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut étudier le signe de la différence un+1 − un . Cette méthode est très
générale et fonctionne tout le temps.
E XERCICE .
Soit (un ) la suite définie, pour tout n ∈ N, par un = n 2 − n.
À l’aide de l’étude du signe de la différence un+1 − un , montrer que la suite (un ) est croissante.
13.2.2 Comparaison de
un+1
un
à1
à 1.
Pour étudier le sens de variation d’une suite à termes strictement positifs, on peut comparer uun+1
n
Cette méthode est particulièrement adaptée aux suites dont le terme général contient une puissance ou un produit.
E XERCICE .
Soit (un ) la suite définie, pour tout n ∈ N∗ , par un =
1. Montrer que
u n+1
un
=
2n
n+1 .
2. Montrer que, pour tout n > 1,
2n
n+1
2n
n . La
suite (un ) est à termes strictement positifs car n ∈ N∗ .
> 1.
3. Conclure.
126
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13.3 Convergence d’une suite
Première S
13.2.3 Variations de la fonction associée
Pour étudier les variations d’une suite définie par une formule explicite, on peut étudier les variations de la fonction
associée. On s’appuie alors sur le théorème suivant.
Théorème 13.1. Soit (un ) la suite définie par la relation un = f (n) où f est une fonction définie au moins sur R+ .
Si la fonction f est monotone sur [0; +∞[, alors la suite (un ) est monotone et a même sens de variation que f .
La preuve sera faite en classe.
Cette méthode concerne donc uniquement les suites définies par une formule explicite, elle est intéressante lorsque les
variations de la fonction associée sont simples à déterminer.
Remarque. La réciproque du théorème est fausse. En effet, considérons la suite (un ) définie, pour tout n ∈ N, par un =
n + sin(2πn). On a un = f (n) où f : x 7→ x + sin(2πx), définie sur [0; +∞[.
Étudions les variations de la suite (un ). En remarquant que, pour tout n de N, sin(2πn) = 0, il vient un+1 − un = 1 > 0, la
suite (un ) est donc strictement croissante.
Qu’en est-il des variations de la fonction f sur [0; +∞[ ?
M3
u3
3
M2
u2
2
M1
~
j u
1
M0
M4
u4
4
b
Cf
b
b
b
b
O u0 ~
i
2
3
4
Comme on peut le voir graphiquement, la fonction f n’est pas monotone sur [0; +∞[. Moralité, pour étudier les variations d’une fonction, on ne pourra pas introduire une suite et s’appuyer sur les variations de cette dernière.
13.3 Convergence d’une suite
Conformément au programme, on ne donnera pas de définition rigoureuse de la convergence d’une suite et les exercices sur le sujet ne seront que des exploitations de logiciels ou d’algorithmes. Notons toutefois cette approche intuitive :
• On dit qu’une suite (un ) tend vers +∞ (respectivement −∞) quand on peut rendre les valeurs de un aussi grandes
(respectivement petites) que l’on veut : il suffit de prendre n suffisamment grand.
• On dit qu’une suite (un ) tend vers un réel ℓ quand on peut rendre les valeurs de un aussi proche de ℓ que l’on veut :
il suffit de prendre n suffisamment grand.
David ROBERT
127
13.4 Exercices
Première S
13.4 Exercices
13.4.1 Monotonie
E XERCICE 13.1.
Étudier la monotonie de chacune des suites suivantes :
2. v n = n + n1 pour n ≥ 1 ;
1. un = 1 + n1 pour n ≥ 1 ;
3. w n =
E XERCICE 13.2.
Étudier la monotonie de chacune des suites suivantes :
1. un =
2. v n =
1
n+2 pour n ∈ N ;
2n+1
n+3 pour n ∈ N ;
¡ 1 ¢n
3
pour n ∈ N.
3. un = n − n 2 pour n ∈ N ;
4. w n = 3n pour n ∈ N.
E XERCICE 13.3.
(v n ) est la suite définie pour tout entier strictement positif par v n =
2n
n2
1. Calculer ses quatre premiers termes.
2. On cherche à montrer que la suite est croissante à partir du rang n = 3.
(a) Résoudre l’inéquation
(b) Montrer que
v n+1
vn
(c) Conclure.
=
2x 2
(x+1)2
2
> 1.
2n
.
(n+1)2
13.4.2 Convergence
Certains des exercices de ce paragraphe sont des reprises d’exercices ou problèmes du chapitre 4 mais abordés de manière
différente.
E XERCICE 13.4.
Le nombre d’adhérents d’un club sportif augmente de 5 % chaque année. En 1990, il y avait 500 adhérents.
Question : comment va évoluer le nombre d’adhérents au cours du temps ?
Pour chaque année à partir de 1990 on note un le nombre d’adhérents l’année 1990 + n.
1. Préciser la nature de la suite (un ) puis exprimer un en fonction de n.
2. À l’aide d’un algorithme de seuil, répondre à la question.
E XERCICE 13.5.
On se place dans la situation de l’activité 13.2, page 126.
En fait l’usine en question stocke sa production au fur et à mesure pour honorer une commande de peinture.
Question : L’usine pourra-t-elle honorer une commande de 15 000 L et, si oui, en combien de jours ? Et de 60 000 L ?
1. Que fait l’algorithme suivant ?
ENTREES
n
INITIALISATION
TRAITEMENT
s PREND LA VALEUR 1000*(1-0,98^(n+1))/(1-0,98)
SORTIES
AFFICHER s
2. Modifier cet algorithme afin qu’il indique en combien de jours un seuil peut être atteint et le programmer sur sa
calculatrice.
3. Répondre à la première partie de la question.
4. Que se passe-t-il quand on entre comme seuil 60 000 L ?
Modifier l’algorithme pour qu’il s’arrête si jamais le nombre de jours est supérieur à un an.
Que peut-on alors conseiller aux dirigeants de l’usine ?
128
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13.4 Exercices
Première S
E XERCICE 13.6.
Un fournisseur fait une étude sur la fidélité de sa clientèle depuis l’année n = 0, où il y a eu 200 clients. Chaque année,
sa clientèle est composée de 50% des clients de l’année précédente auxquels s’ajoutent 400 nouveaux clients.
Soit un le nombre de clients l’année n. On a donc un+1 = 0, 5un + 400.
On considère la suite (v n ) définie par v n = un − 800.
1. Vérifier que v n+1 = 0, 5v n .
2. Quelle est la nature de la suite (v n ) ?
3. En déduire l’expression de v n , puis celle de un , en fonction de n.
4. Calculer u100 , u1000 et u10000 .
Conjecturer alors la limite ℓ de la suite (un ). Comment l’interpéter ?
5. Il est dit que dans ce cas on peut rendre un aussi proche de ℓ que l’on veut : il suffit de prendre n suffisamment
grand.
(a) Concevoir un algorithme de seuil prenant comme argument un nombre ǫ (petit) et retournant la première
valeur de n telle que ℓ − ǫ < un < ℓ + ǫ.
(b) À l’aide de cet algorithme, compléter le tableau suivant :
ǫ
n
10
5
2
1
0,1
0,01
0,001
E XERCICE 13.7.
Le 1er janvier 2005, une grande entreprise compte 1500 employés.
Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10 % de l’effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de
l’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année.
Question : Comment va évoluer sur le long terme le nombre d’employés dans cette entreprise ?
Pour tout entier n on appelle un le nombre d’employés le 1er janvier de l’année (2005+n). On a donc un+1 = 0, 9un +100.
On pose v n = un − 1000.
1. Déterminer v 0 , v 1 , v 2 et v 3 .
2. Montrer que (v n ) est géométrique.
3. En déduire v n en fonction de n.
4. En déduire un en fonction de n.
5. Conjecturer alors la limite ℓ de la suite (un ). Comment l’interpréter ?
6. Il est dit que dans ce cas on peut rendre un aussi proche de ℓ que l’on veut : il suffit de prendre n suffisamment
grand.
(a) Concevoir un algorithme de seuil prenant comme argument un nombre ǫ (petit) et retournant la première
valeur de n telle que |un − ℓ| < ǫ.
(b) À l’aide de cet algorithme, compléter le tableau suivant :
ǫ
n
David ROBERT
10
5
2
1
0,1
0,01
0,001
129
Chapitre 14
Applications du produit scalaire
Sommaire
14.1 Équations cartésiennes de droites et de cercles . . .
14.1.1 Équations cartésiennes de droites . . . . . . . .
14.1.2 Équations cartésiennes de cercle . . . . . . . . .
14.2 Relations métriques dans le triangle . . . . . . . . . .
14.2.1 Formule d’A L -K ASHI . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.2 Formule de l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3 Formule des sinus . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.4 Formule de H ÉRON . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.2 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.3 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . .
14.3.4 Formules de linéarisation . . . . . . . . . . . . .
14.3.5 Démonstrations des formules . . . . . . . . . .
14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.1 Équations cartésiennes . . . . . . . . . . . . . .
14.4.2 Relations métriques . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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131
131
132
132
132
132
133
133
133
133
134
134
134
134
135
135
136
136
La plupart des démonstrations nécessitent d’avoir traité le chapitre 11 sur le produit scalaire.
14.1 Équations cartésiennes de droites et de cercles
14.1.1 Équations cartésiennes de droites
Le produit scalaire nous permet d’obtenir d’une autre manière l’équation cartésienne d’une droite.
¡
¢
Définition 14.1. Le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ . On appelle vecteur normal à une droite D tout vecteur ~
n non
nul orthogonal à un vecteur directeur de D.
¡
¢
Théorème 14.1. Le plan est muni d’un répère O ;~ı,~ orthonormal. Soit ~
n (a ; b) un vecteur non nul. Alors :
• Toute droite de vecteur normal ~
n admet une équation de la forme ax + by + c = 0.
• Toute droite admettant une équation de la forme ax + by + c = 0 admet ~
n = (a ; b) comme vecteur normal.
La preuve sera faite en classe.
¡
¢
Propriété 14.2 (Distance d’un point à une droite). Le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ orthonormal.
Soit D : ax + by + c = 0 une droite et M(α; β) un point quelconque du plan.
La distance de M à D, notée d(M, D) est
|aα + bβ + c|
d(M, D) = p
a2 + b2
La preuve sera faite en classe.
131
14.2 Relations métriques dans le triangle
Première S
14.1.2 Équations cartésiennes de cercle
Le produit scalaire nous permet d’obtenir un autre type d’équation cartésienne de cercle.
¡
¢
Théorème 14.3. Le plan est muni d’un repère O ;~ı,~ orthonormal.
Soit A(x a ; y a ) et B(xb ; y b ) et C le cercle de diamètre [AB].
Alors tout point M de C a ses coordonnées qui vérifient (x − x a )(x − xb ) + (y − y a )(y − y b ) = 0.
−−→ −−→
Preuve. Soit M un point quelconque du plan. On a M A.MB = (x − x a )(x − xb ) + (y − y a )(y − y b ).
−−→ ~
−−→ ~
−−→ −−→
Si M = A ou M = B alors M A = 0 ou MB = 0 donc M A.MB = 0.
−−→ −−→
Si M distinct de A et de B alors le triangle AMB est rectangle en M donc M A.MB = 0.
♦
14.2 Relations métriques dans le triangle
A
Dans toute cette section, on parle d’un triangle ABC non
aplati dont on note les longueurs a = BC , b = AC et c = AB
et S son aire.
c
b
a
B
C
14.2.1 Formule d’A L -K ASHI
Théorème 14.4. Avec les conventions de notations vues plus haut, on a
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos Ab
La preuve sera faite en classe.
Remarques. • Si le triangle est rectangle en A, on retrouve le théorème de P YTHAGORE qui n’en est qu’un cas particulier.
La formule d’A L -K HASI s’appelle aussi Pythagore généralisé.
• En permutant les côtés et les angles, on a aussi :
· b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos Bb ;
· c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos Cb.
14.2.2 Formule de l’aire
Propriété 14.5. Avec les conventions de notations vues plus haut :
1
1
1
b = ac sin Bb = ab sin Cb
S = bc sin A
2
2
2
Preuve. Deux situations sont à considérer :
Situation 1
(triangle acutangle)
Situation 2
(triangle obtusangle)
C
A
H
C
B
H
L’aire du triangle est donnée par : S = 21 AB × C H .
¡
¢
b (situation 1) ou C H = AC sin π − Ab = AC sin Ab (situation 2).
Or C H = AC sin A
b = 1 bc sin A.
b
Dans les deux cas, S = 12 AB × AC sin A
2
En permutant, on obtient les deux autres égalités.
132
A
B
♦
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14.3 Trigonométrie
Première S
14.2.3 Formule des sinus
Propriété 14.6. Avec les conventions de notation vues plus haut :
a
b
sin A
=
b
sin Bb
=
c
sin Cb
Preuve. D’après ce qui précède, on a : S = 12 bc sin Ab = 12 ac sin Bb = 21 ab sin Cb.
b
b
b
2
2S
En multipliant par abc
, on obtient abc
= sina A = sinb B = sinc C .
Le triangle étant non aplati, les angles sont non nuls et les sinus de ces angles aussi, on peut donc inverser ces quotients :
a
b
c
abc
♦
b=
b=
b
2S =
sin A
sin B
sin C
Exemple. Soit ABC un triangle tel que c = AB = 5 cm, Ab = 40˚ et Bb = 30˚.
Alors Cb = 180 − 40 − 30 = 110˚et, comme a b = b b = c b , on obtient sina40 =
sin A
sin B
sin C
cm.
b
sin 30
=
5
sin 110
puis a ≈ 3, 42 cm et b ≈ 2, 66
14.2.4 Formule de H ÉRON
Propriété 14.7. Avec les conventions de notations vues plus haut et en notant p le demi-périmètre du triangle (2p =
a + b + c), on a :
q
S=
p(p − a)(p − b)(p − c)
On l’admettra.
14.3 Trigonométrie
14.3.1 Rappels
On a déjà vu, en Seconde et lors du chapitre 10 sur les angles orientés, les propriétés suivantes :
cos2 x + sin2 x = 1
cos
¡π
x
0
sin x
0
cos x
1
π
6
1
2
p
3
2
π
4
p
2
2
p
2
2
π
3
p
3
2
1
2
¢
+ x = − sin x
¢
¡2π
sin 2 + x = cos x
π
2
cos(π − x) = − cos x
sin(π − x) = sin x
cos(π + x) = − cos x
sin(π + x) = − sin x
+x
π
2
π
2
1
0
¢
¡
cos π2 − x = sin x
¢
¡
sin π2 − x = cos x
−x
π−x
x
π+x
−x
cos −x = cos x
sin −x = − sin x
Nous allons voir qu’il en existe d’autres.
David ROBERT
133
14.3 Trigonométrie
Première S
14.3.2 Formules d’addition
Propriété 14.8. Pour tous réels a et b on a :
• cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
• sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
• sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
14.3.3 Formules de duplication
Propriété 14.9. Pour tout réel a on a :
• cos(2a) = cos2 a − sin2 a
• sin(2a) = 2sin a cos b
14.3.4 Formules de linéarisation
Propriété 14.10. Pour tout réel a on a :
• cos2 a =
1+cos(2a)
2
• sin2 a =
1−cos(2a)
2
14.3.5 Démonstrations des formules
Le point de départ de toutes les formules
Étudions la quantité cos(a − b)
¡ où a ¢et b sont deux nombres réels.
−
−
Dans
un
repère
orthonormé
O ;~ı,~ considérons deux vecteurs →
u et →
v unitaires (c’est-à-dire de norme 1) et tels que
¡→
¢
¡→
¢
−
→
−
−ı ; →
−
u = a et ı ; v = b (voir le schéma).
~
→
−
u
→
−
v
b
a
O
~ı
¡− →
¢ ¡− →
¢ ¡− →
¢
On sait que →
u ;−
v = →
u ; −ı + ¡→
ı ;−
v ¢= b − a.
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
Or on a u . v = k u k × k v k × cos u ; v = cos(b − a)
−
−
donc →
u .→
v = cos(b − a)µ = cos(a¶− b) car µcos x = cos(−x).
¶
cos b
cos a
→
−
→
−
.
et v =
On sait aussi que u =
sin b
sin a
→
−
→
−
Et donc u . v = cos a cos b + sin a sin b.
Ce qui nous donne la première formule de trigonométrie :
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
De celle-ci on va déduire toutes les autres.
Les autres formules d’addition
On a démontré que cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b.
Montrons que cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b :
cos(a + b) = cos (a − (−b))
= cos a cos(−b) + sin a sin(−b)
= cos a cos b − sin a sin b
Montrons que sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b : ³
´
³π
´
π
− (a − b) = cos
− a + b)
sin(a − b) = cos
2
2
´
³π
´
³π
− a cos b − sin
− a sin b
= cos
2
2
= sin a cos b − cos a sin b
134
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14.4 Exercices
Première S
Montrons que sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b :
sin(a + b) = sin (a − (−b))
= sin a cos(−b) − cos a sin(−b)
= sin a cos b + cos a sin b
Les formules de duplication
Montrons que cos(2a) = cos2 a − sin2 a :
cos(2a) = cos(a + a) = cos a cos a − sin a sin a = cos2 a − sin2 a
Montrons que sin(2a) = 2sin a cos b :
sin(2a) = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = 2sin a cos b
Les formules de linéarisation
:
Montrons que cos2 a = 1+cos(2a)
2
cos(2a) = cos2 a − sin2 a = cos2 a − (1 − cos2 a) = 2cos2 a − 1
donc
cos(2a) = 2cos2 a − 1 ⇔ 1 + cos(2a) = 2cos2 a
⇔
Montrons que sin2 a =
1−cos(2a)
2
1 + cos(2a)
= cos2 a
2
:
cos(2a) = cos2 a − sin2 a = (1 − sin2 a) − sin2 a = 1 − 2sin2 a
donc
cos(2a) = 1 − 2sin 2 a ⇔ cos(2a) − 1 = −2sin2 a
cos(2a) − 1
= sin2 a
−2
1 − cos(2a)
⇔ sin2 a =
2
⇔
14.4 Exercices
14.4.1 Équations cartésiennes
Dans tous les exercices de ce paragraphe, le plan est muni d’un repère orthonormal.
E XERCICE 14.1.
On donne A(1; 2), B(2; 1) et C (−3; 0). Déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par C et de vecteur
−→
normal AB .
E XERCICE 14.2.
Déterminer l’équation du cercle de centre Ω(5; 1) et tangent à la droite D d’équation x + y − 4 = 0.
E XERCICE 14.3.
On considère un triangle ABC avec A(−1; 2), B(3; 1) et C (2; 4).
1. Déterminer une équation de la médiatrice du segment [AB].
2. Déterminer une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC .
E XERCICE 14.4.
On donne Ω(2; −3).
1. Déterminer l’équation du cercle C de centre Ω et de rayon r = 5.
2. Démontrer que le point A(−2; 0) est un point du cercle C .
3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C .
E XERCICE 14.5.
Soit A(3; 5). Chercher une équation de la tangente en A au cercle C de centre O, origine du repère, et passant par A.
E XERCICE 14.6.
Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient : (x − 3)(x + 2) + (y − 1)(y − 4) = 0.
David ROBERT
135
14.4 Exercices
Première S
14.4.2 Relations métriques
E XERCICE 14.7.
ABC est un triangle tel que a = 2, b = 3 et c = 4. Calculer la valeur exacte de l’aire S de ABC .
E XERCICE 14.8.
b = 60˚. Calculer la valeur exacte de a ainsi que les mesures de Bb et Cb (en
ABC est un triangle tel que b = 3, c = 8 et A
−1
degrés à 10 près).
E XERCICE 14.9.
p
b = 105˚ et Cb = 45˚. Calculer les valeurs exactes de a et c.
ABC est un triangle tel que b = 6 2, A
E XERCICE 14.10.
ABC est un triangle tel que BC = 4, Bb =
b=
1. Montrer que sin A
π
4
p p
6+ 2
.
4
rad et Cb =
π
3
rad.
2. Calculer les valeurs exactes de AB et AC .
3. Calculer la valeur exacte de l’aire de ABC
E XERCICE 14.11.
ABC est un triangle tel que S = 5 cm2 , c = AB = 13 cm et b = AC = 2 cm. Calculer la (ou les) longueur(s) possible(s) du
troisième côté a = BC .
E XERCICE 14.12.
b = 60˚.
ABC est un triangle tel que AB = 7, AC = 4 et A
1. Calculer la valeur exacte de BC .
E XERCICE 14.13.
ABC D est un quadrilatère convexe. On note θ l’angle entre ses deux diagonales (AC ) et (BD). Démontrer que l’aire
S du quadrilatère ABC D est donnée par :
2. Calculer la valeur exacte de sin Bb.
A
D
θ
B
S=
1
× AC × BD sin θ
2
C
E XERCICE 14.14.
Un promeneur marche 5 km en direction de l’Est, puis 2 km en direction du Nord-Est. Surpris par le mauvais temps, il
retourne directement à son point de départ en courant.
Sur quelle distance d a-t-il couru ? (On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée arrondie à 10 m).
E XERCICE 14.15.
b = sin2 Bb + sin2 Cb ».
Montrer que « ABC est un triangle rectangle en A ⇔ sin2 A
14.4.3 Trigonométrie
E XERCICE 14.16.
Montrer que, pour tous réels a et b : sin(a + b) sin(a − b) = sin2 a − sin2 b
E XERCICE 14.17.
7π
En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de sin 7π
12 et cos 12 . On pourra utiliser l’égalité
7π
12
=
π
4
+ π3 .
E XERCICE 14.18.
Montrer que, pour tout réel x : cos4 x − sin4 x = cos(2x)
E XERCICE 14.19.
Montrer que, pour tout réel x différent de k π2 , où k ∈ Z :
sin 3x
sin x
3x
− cos
cos x = 2
E XERCICE 14.20.
Résoudre dans R les équations suivantes :
• 2sin3 x − 17sin2 x + 7sin x + 8 = 0 ;
136
• 2cos3 x − 7cos2 x + 3 = 0 ;
• 2sin3 x + cos2 x − 5sin x − 3 = 0.
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14.4 Exercices
Première S
E XERCICE 14.21.
p
Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan π8 = 2 − 1.
©π
ª
sin x
On rappelle que tan x = cos
x pour tout x ∈ D = R − 2 + kπ où k ∈ Z.
1. Démontrer que pour tout x ∈ D : tan(π + x) = tan x. En déduire la valeur exacte de tan 9π
8 .
2. Démontrer que pour tout x ∈ D : 1 + tan2 x =
1
. En déduire la
cos2 x
valeur exacte de cos π8 puis de sin π8 .
3. Calculer la valeur exacte de cos 5π
8 .
E XERCICE 14.22.
p
π
Dans cet exercice, on dipose de la donnée suivante : tan 12
= 2 − 3.
¤
£
¡
¢
1. Soit x ∈ 0; π2 . Démontrer que tan π2 − x = tan1 x .
p
2. En déduire que tan 5π
12 = 2 + 3.
E XERCICE 14.23.
Dans cet exercice on donne : cos π5 =
p
1+ 5
4 . Calculer
E XERCICE 14.24.
£
¤
Démontrer que, pour tout x ∈ 0; π2 : tan x =
3π
la valeur exacte de cos 2π
5 puis de cos 5
1−cos(2x)
sin(2x) . En déduire les
π
valeurs exactes de tan π8 et tan 12
.
E XERCICE 14.25.
ABC est un triangle non rectangle.
1. Démontrer que tan(A + B) =
tan A+tan B
1−tan A tan B .
2. Démontrer que tan(A + B) = − tanC .
3. En déduire la relation : tan A + tan B + tanC = tan A × tan B × tanC
David ROBERT
137