espaces symetriques symplectiques

Universit´e Libre de Bruxelles
Facult´e des Sciences
D´epartement de Math´ematiques
ESPACES SYMETRIQUES
SYMPLECTIQUES
Ann´ee acad´emique 1994-1995 Pierre BIELIAVSKY
Th`ese pr´esent´ee en vue de l’obtention
du grade de docteur en Sciences
(grade l´egal).

Michel Cahen et Simone Gutt m’ont initi´e `a la recherche en math´ematiques; je leur dois l’essentiel de
mes connaissances dans ce domaine.
Durant quatre ans, Michel Cahen m’a guid´e dans mon travail, m’a fait d´ecouvrir, concevoir et aimer les
math´ematiques.
Les nombreuses discussions que j’ai eues avec Simone Gutt ont ´et´e cruciales pour la r´ealisation de mon
travail.
La confiance qu’ils m’ont constamment t´emoign´ee a ´et´e un ´el´ement essentiel dans ma vie au cours de ces
derni`eres ann´ees.
Je leur exprime ici ma tr`es profonde gratitude.
Je remercie chaleureusement Monique Parker qui a jou´e un rˆole important durant ma th`ese.
Je remercie les professeurs Didier Arnal, Moshe Flato, Luc Lemaire et John Rawnsley pour s’ˆetre
int´eress´es `a mon travail et pour avoir accept´e de faire partie de mon jury.
Avec tendresse, je remercie M´elanie pour l’aide morale qu’elle m’a apport´ee tout au long de ces
ann´ees.
Je remercie mes amis et mes parents pour leur constant soutien.
Mes remerciements cordiaux vont `a Jacques Janssen qui m’a fourni le premier financement n´ecessaire
`a ce travail.
Les membres de l’Institut pour l’encouragement de la Recherche Scientifique dans l’Industrie et
l’Agriculture m’ont octroy´e pendant deux ans une bourse de recherche; je les en remercie.
1

Table des mati`eres
Introduction 4
1 G´en´eralit´es 15
2 D´ecompositions 29
2.1 Couples sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Triples sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 D´ecompositions des E.S.S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Le cas r´eductif 43
3.1 Espaces sym´etriques `a holonomie
compl`etement r´eductible – Couples
sym´etriques semi-simples – Corollaires
du th´eor`eme de Chevalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 T.S.S. semi-simples – Ind´ecomposabilit´e – Rangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 T.S.S. simples complexes – Racines admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Structure des T.S.S. simples absolument simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Structures pseudok¨ahleriennes — E.S.S.
compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7 Classifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 R´esultats relatifs aux T.S.S. ni r´esolubles, ni semi-simples 63
4.1 Facteurs semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 R´esultats relatifs aux cas o`u PRest isotrope - dim PR= 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 dim t= 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 L’unique facteur compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 Exemples r´esolubles 75
5.1 Quadruples admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.2 dim P= 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Quintuples admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.2 dim P= 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2

3
6 Classification en dimension 2 ou 4 85
6.1 Le cas r´esoluble en dimension 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1.1 Liste exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.1.2 Isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
R´ef´erences 102

Introduction
Les espaces sym´etriques ont surtout ´et´e ´etudi´es dans le cadre de la g´eom´etrie riemannienne ou pseudo-
riemannienne, c’est `a dire dans un cadre m´etrique. Il est d`es lors tentant de d´efinir une notion d’espace
sym´etrique dans un cadre purement symplectique : un espace sym´etrique symplectique est une vari´et´e
sym´etrique munie d’une structure symplectique invariante par les sym´etries.
Mon travail constitue une premi`ere ´etude de ces espaces. Les m´ethodes utilis´ees sont celles de la g´eom´etrie
diff´erentielle classique, de la th´eorie des groupes et alg`ebres de Lie, de la g´eom´etrie symplectique. La
notion d’espace sym´etrique symplectique se place donc `a un point de confluence de diverses th´eories; ce
qui lui conf`ere, `a mon sens, un certain int´erˆet.
Le travail est divis´e en six chapitres.
Dans le premier, on trouve une d´efinition pr´ecise d’espace sym´etrique symplectique et les premiers outils
permettant l’´etude de ces espaces. Dans le second on trouve un th´eor`eme de d´ecomposition “`a la de Rham”
des espaces sym´etriques symplectiques . Le troisi`eme chapitre constitue une ´etude assez compl`ete des
espaces sym´etriques symplectiques dont le groupe des automorphismes est semisimple. Certains r´esultats
concernant les espaces sym´etriques symplectiques dont le groupe des automorphismes n’est ni r´esoluble
ni semisimple sont ´enonc´es dans le chapitre 4. Des exemples d’espaces sym´etriques symplectiques et
notement une classification en dimension 2 ou 4 sont expos´es dans les cinqui`eme et sixi`eme chapitres.
Le plan g´en´eral ´etant donn´e, je pr´ecise maintenant le contenu des diff´erents chapitres.
Chapitre 1. G´en´eralit´es
Dans son livre “Symmetric spaces” (1969) ([Lo]), O. Loos d´efinit la notion d’espace sym´etrique de la
mani`ere suivante.
Un espace sym´etrique est un couple (M, s) o`u Mest une vari´et´e diff´erentiable connexe et s:M×M→M
est une application diff´erentiable telle qu’en notant, pour tout xdans M,sx=s(x , .) on ait
(i) sxest un diff´eomorphisme involutif de Madmettant xcomme point fixe isol´e.
(ii) sxsysx=ssx(y)pour tous x, y dans M.
Il d´emontre l’existence et l’unicit´e d’une d´eriv´ee covariante affine ∇sur Mtelle que les “sym´etries”
({sx;x∈M}) soient des transformations affines de (M, ∇); (M, ∇) est alors une vari´et´e affine sym´etrique
([Ko-No]). D`es lors, dans le cas simplement connexe, ces espaces peuvent ˆetre d´ecrits de mani`ere totale-
ment alg´ebrique ([Lo],[Ko-No]).
Dans un cadre de g´eom´etrie symplectique, il est naturel de d´efinir la notion d’espace sym´etrique
symplectique .
Un espace sym´etrique symplectique (cf. D´efinition 1.1.) est un triple (M, ω, s) o`u (M, s) est un espace
sym´etrique et o`u ωest une forme symplectique sur Minvariante par les sym´etries.
4