Stickers et nilpotents

Psi 945 – 2014/2015
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Stickers et nilpotents
À rendre le mardi 4 novembre 2014
1 Le problème du collectionneur
Une marque de céréales propose en cadeau dans chacune de ses boîtes une image autocollante. Il y a N
images au total (numérotées de 1àN) et on suppose qu’elles sont équiprobables dans chaque boîte.
Un collectionneur achète des boîtes de céréales : on note Inle numéro de l’image obtenue dans la n-ème
boîte et on suppose les variables aléatoires (In)n>1indépendantes.
On note Xnle nombre d’images différentes en possession du collectionneur après avoir acheté nboîtes.
1. (a) Donner, pour tout n>1, la loi de In.
(b) Que vaut X1? Que dire, pour tout n>1, de Xn+1 −Xn?
(c) Calculer, pour tout n>1,P(Xn= 1).
2. On s’intéresse, pour n>1, à αn=P(Xn= 2).
(a) Donner les valeurs de αnpour 16n63.
(b) Trouver une formule de récurrence vérifiée par (αn)n>1.
(c) Déterminer les premiers termes, puis une formule relativement simple pour αn.
3. Soient k∈[[2, N]] et n>1. Montrer :
P(Xn+1 =k) = k
NP(Xn=k) + 1−k−1 NP(Xn=k−1).
4. (a) Montrer (à l’aide de la question précédente 1) que pour tout entier n>1:
E(Xn+1) = 1−1
NE(Xn)+1.
(b) Déterminer, pour n>1, la valeur de E(Xn); puis la limite de cette espérance lorsque ntend
vers +∞.
5. Maintenant, la variance
(a) Montrer de même que pour tout entier n>1:
E(X2
n+1) = 1−2
NE(X2
n) + 2−1
NE(Xn)+1.
(b) Vérifier que pour tout n>1,X2
n6X2
n+1.
(c) En déduire que la suite E(X2
n)n>1converge, et déterminer sa limite.
(d) Montrer que la variance de Xntend vers 0lorsque ntend vers +∞.
6. On suppose dans cette dernière question que le collectionneur brave le destin en n’achetant que N
boîtes.
(a) Quelle est la probabilité que sa collection soit complète ?
(b) Déterminer un équivalent simple quand Ntend vers +∞du nombre moyen d’images en sa
possession.
1. Qu’on commencera par étendre à k= 1.
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2 Nilpotents en petite dimension
Edésigne ici un K-espace vectoriel de dimension finie, et on s’intéresse aux endomorphismes nilpotents
de E, c’est-à-dire aux u∈ L(E)vérifiant up= 0 pour un certain p∈N.
1. Montrer que si pest le plus petit entier strictement positif tel que up= 0 (on dit alors que pl’indice
de nilpotence de u), alors il existe x0∈Etel que x0, u(x0),· · · , up−1(x0)est libre. Que peut-on
en déduire sur p?
2. Montrer que si pest l’indice de nipotence de u, alors Im (up−1)est un sous-espace de Ker uqui
n’est pas réduit à {0E}.
3. On suppose ici que Eest de dimension 2et que u∈ L(E)est non-nul et nilpotent. Montrer qu’il
existe une base de Etelle que la matrice de udans cette base est 0 1
0 0.
On pourra prendre un vecteur en dehors du noyau, ainsi que son image par u...
4. On suppose ici que Eest de dimension 3et que u∈ L(E)est non-nul et nilpotent.
(a) Montrer que l’ordre de nilpotence de uvaut 2ou 3.
(b) On suppose ici que l’ordre de nilpotence est 2. Montrer que Im uest strictement inclus dans
Ker u. En déduire qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest N1=
010
000
000
.
On pourra choisir un vecteur en dehors du noyau, considérer son image par u, et prendre un
dernier vecteur dans le noyau mais pas dans l’image !
(c) On suppose ici que l’ordre de nilpotence de uest 3. Montrer qu’il existe une base de Edans
laquelle la matrice de uest N2=
010
001
000
.
(d) Montrer qu’il n’existe pas v∈ L(E)et deux bases Eet Fde Etelles que Mat(v, E) = N1et
Mat(v, F) = N2.
5. On suppose cette fois que Eest de dimension 4, et on considère les matrices :
N1=
0100
0010
0001
0000
N2=
0100
0010
0000
0000
N3=
0100
0000
0000
0000
N4=
0100
0000
0001
0000
(a) (Facile) Calculer le rang et l’indice de nilpotence de chacune de ces matrices.
(b) Montrer qu’il ne peut exister u∈ L(E)ayant pour matrice N1dans une base et N2dans une
autre.
(c) De même, montrer que si 16i < j 64, il ne peut exister u∈ L(E)ayant pour matrice Ni
dans une base et Njdans une autre.
(d) (Question difficile et optionnelle) Soit u∈ L(E)nilpotent. Montrer qu’il existe une base de
Edans laquelle la matrice de uest l’une des quatre matrices Nivues plus haut.
6. On termine par les matrices nilpotentes de M5(R).
(a) Montrer que les matrices
A=
01000
00100
00000
00001
00000
et B=
01000
00000
00010
00001
00000
sont semblables, c’est-à-dire, au choix :
– il existe P∈GL5(R)telle que P−1AP =B;
– si on note ul’endomorphisme (de R5) canoniquement associé à A, alors il existe une base
de R5dans laquelle la matrice de uest B.
(b) Exhiber 6matrices nilpotentes non nulles de M5(R)dont on montrera qu’elles ne sont pas
semblables.
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