énoncé

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X Y
X
Y
X
Y
Y
X Y
E=R4f1= (1,2,3,4) f2= (−1,2,−3,4) f3= (4,3,2,1)
H= Vect(−→ f1,−→ f2,−→ f3)E
H
(−→ f1,−→ f2,−→ f3,−→ v)−→ v= (x, y, z, t)
−→
v H
H
(x, y, z, t)
−→
f= (x, y, z, t)∈Vect(−→ f1,−→ f2)
−→
f1,−→ f2,−→ f
−→
g= (−1,−5,7,−5) Vect(−→ f1,−→ f2)∩Vect(−→ f3,−→ g)
F=R5
1
2
1
−1
1
,
3
4
1
1
2
,
−1
0
1
−3
0
G=R4[X]P1= 1 + X+X2+ 2X3P2= 1 + 2X2+
X3−X4P3=X−X2+X3+X4P4= 1 + 2X−3X3+X4(P1, P2, P3, P4)
G

EK
E u ∈ L(E)up= 0 p∈N
p up= 0 p
u x0∈Ex0, u(x0),· · · , up−1(x0)
p
p u Im (up−1) Ker u
{0E}
E2u∈ L(E)
E u 0 1
0 0
u
E3u∈ L(E)
u2 3
2 Im u
Ker u E u N1=
010
000
000
u
u3E
u N2=
010
001
000
v∈ L(E)E F EMat(v, E) = N1
Mat(v, F) = N2
E4
N1=
0100
0010
0001
0000
N2=
0100
0010
0000
0000
N3=
0100
0000
0000
0000
N4=
0100
0000
0001
0000
u∈ L(E)N1N2
16i<j64u∈ L(E)Ni
Nj
u∈ L(E)E
u Ni
M5(R)
A=
01000
00100
00000
00001
00000
B=
01000
00000
00010
00001
00000
P∈5(R)P−1AP =B
uR5A
R5u B
6M5(R)