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1/ 9 Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler
PARTIE II : COMPRENDRE
• Extraire et exploiter des informations relatives à la mesure du temps pour justifier l’évolution de la définition de la seconde.
• Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un satellite, d’une planète, est uniforme. Établir
l’expression de sa vitesse et de sa période.
• Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième dans le cas d’un mouvement circulaire.
Chapitre 6
Application des lois de Newton et des lois de Kepler
A noter :
La seconde, unité SI de temps, a été établie selon les connaissances et les possibilités techniques de chaque époque.
Elle a d’abord été définie comme la fraction 1 ⁄ 86400 du jour solaire terrestre moyen.
En 1956, pour tenir compte des imperfections de la rotation de la Terre qui ralentit notamment à cause des forces de
marées, elle a été basée sur la révolution de la Terre autour du Soleil et définie comme la fraction 1 ⁄ 31 556 925,9747
de l’année tropique 1900.
Depuis la 13e Conférence générale des poids et mesures de 1967, la seconde n’est plus définie par rapport à l’année,
mais par rapport à une propriété de la matière :
Définition de la seconde atomique :
La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à une certaine transition dans l’atome
de césium 133. La seconde, étalon de mesure du temps, est ainsi un multiple de la période de l’onde émise par un
atome de césium 133 lorsqu’un de ses électrons change de niveau d’énergie.
Lors de sa session de 1997, le Comité International précise que cette définition se réfère à un atome de césium au
repos, c'est-à-dire à une température de 0 K. Cette dernière précision souligne le fait qu’à 300 K, la transition en
question subit, par rapport à sa valeur théorique, un léger déplacement en fréquence dû aux effets de rayonnement du
corps noir. Cette correction a été apportée en 1997 car ce léger décalage dans la fréquence a cessé d’être négligeable
par rapport aux autres sources d’incertitude.
On dispose aujourd’hui d’une exactitude allant jusqu’à la 14
e
décimale (10
-14
s). L’échelle dite du Temps Atomique
International (TAI) obtenue est l’unité du SI la plus précisément connue.
Figure 1
Horloge à
Césium 133 du
CNRS

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I. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
I.1 Champ uniforme
La Terre créé en son voisinage un champ de pesanteur noté g .
De ce fait toute masse plongée dans ce champ voit apparaître
une force qui l’attire vers le centre de la Terre et d’intensité :
gmP =
Les caractéristiques du champ de pesanteur terrestre sont :
- direction : radiale
- sens : vers le centre de la Terre
- intensité : g = 9,8 N ⋅ kg
-1
Donc, à l’échelle de la Terre, le champ de pesanteur n’est pas
uniforme.
Néanmoins, à l’échelle humaine, ce champ peut raisonnablement
être considéré comme uniforme.
I.2 Mouvement dans le champ de pesanteur
Rappels :
Comme
dt
vd
a=
et
dt
OGd
v=
donc
2
2
dt
OGd
dt
dt
OGd
d
a==
2
2
2
2
2
2
dt zd
dt yd
dt xd
a
z
y
x
a
&&
&&
&&
Considérons un boulet de canon tiré au point B de coordonnées (0 ; d) à la date t
0
= 0. Le référentiel terrestre est
supposé galiléen. La position du boulet est repéré à chaque instant par son centre de gravité G dans le repère ( O , x , y )
D’après la deuxième loi de Newton, on peut écrire :
dt
vmd
dt
pd
F)( ==Σr
dt
vd
mv
dt
md
F⋅+⋅=Σr
Or la masse m étant constante, on aura :
dt
vd
m
dt
vd
mvF ⋅=⋅+⋅=Σ 0
r
D’où : amF
r
r
=Σ
g
→
g
→
g
→
Figure 1 : Champ non uniforme
g
→
Figure 2 : Champ uniforme
B
O
y
v
0
θ
θθ
θ
d x
g
→
Figure 3 : Tir d’un boulet B
P en N
m en kg
g en N/kg

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En supposant que le boulet est en chute libre, on aura alors : amPF
r
r
==Σ
amgm
r
r
=
ga
r
r
=
Donc :
−g
a0
r
Comme le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, le vecteur vitesse
est une primitive du vecteur accélération. Ainsi, on intègre le vecteur accélération pour trouver le
vecteur vitesse :
+− 'cstegt
cste
v
r
Or à t = 0, on a
+×−
=
'0
sin
cos
0
0
csteg
cste
v
v
v
θ
θ
r
donc cste = v
0
cos θ et cste’ = v
0
sin θ .
D’où :
+− θ
θ
sin
cos
0
0
vgt
v
v
r
Comme le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, le vecteur position est
une primitive du vecteur vitesse. Ainsi, on intègre le vecteur vitesse pour trouver le vecteur position :
+×+−
+×
'sin
2
1cos
0
2
0
cstetvgt
cstetv
OG
θ
θ
Or à t = 0, le boulet G est en B ( 0 ; d )
donc cste = 0 et cste’ = d
D’où :
+×+−
+×
dtvgt
tv
OG
θ
θ
sin
2
10cos
0
2
0
Ainsi les équations horaires définissant le mouvement de ce boulet sont :
Pour l’accélération : Pour la vitesse : Pour la position :
a
x
= 0 v
x
= v
0
cos θ x(t) = v
0
cos θ × t
a
y
= -g v
y
= – gt + v
0
sin θ y(t) = – ½ gt
2
+ v
0
sin θ × t + d
a
z
= 0 v
z
= 0 z(t) = 0
Position Vitesse Accélération
Dérivation Dérivation
Intégration Intégration

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A noter :
• Ce mouvement est plan car l’une des coordonnées du vecteur position
OG ne dépend pas
du temps.
• Lorsque la masse du mobile est constante on a alors :
dt
pd
F=Σ r
amF
r
r
=Σ
En exprimant y en fonction de x on obtient l’équation de la trajectoire y(x) :
tvtx
×
=
θ
cos)(
0
θ cos
0
vx
t=
En remplaçant dans y ( t ), on obtient : d
vx
v
vx
gxy +×+ −=
θ
θ
θ cos
sin
cos2
1
)(
0
0
2
0
Soit, en simplifiant :
dxx
v
g
xy +×+×
×
−= θ
θ
tan
cos2
)(
2
22
0
A noter :
Cette trajectoire est une parabole car son équation
est du type :
cbxaxxy ++=
2
)(
II. Mouvement dans un champ électrique uniforme
Soit une particule ponctuelle G de charge q et de masse m placée dans un champ électrique uniforme
E
.
Système étudié : particule G
Référentiel d’étude : terrestre supposé galiléen
Inventaire des forces extérieures :
• le poids gmP =
• la force électrique EqF
e
⋅=
• les forces de frottement de l’air vkf ⋅=
• la poussée d’Archimède gV
air
⋅⋅=Π ρ
Avec
V le volume de la particule, v s a vitesse, k
une constante et
air
ρ la masse volumique de l’air.
Equation de la trajectoire
= flèche
Portée = x
max
θ
θθ
θ
O
Figure 4
Trajectoire
parabolique
Figure 5 :
Particule chargée dans un champ él
ectrique
E
→
E
→
E
→
x
y
O
g
→
v
0
→

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Questions :
a) En supposant que cette particule soit un électron de masse
m = 9,1⋅10
– 31
kg et de charge
électrique q = - 1,6 ⋅10
– 17
C, déterminer les caractéristiques du poids de l’électron et celles de la
force électrique qu’il subit sachant que E = 10 000 V ⋅ m
–1
b) Que penser de l’influence du poids de l’électron sur son mouvement dans le champ électrique ?
c) Que penser de la poussée d’Archimède que subit l’électron ? Même question pour les forces de
frottements.
d) Faire l’inventaire des forces dans le cas où la particule est un neutron.
D’après la deuxième loi de Newton :
amFF
e
r
r
==Σ =
−
y
x
a
a
m
qE
0
D’où :
−
=
=
m
qE
a
a
y
x
0
−m
qE
a0
En intégrant le vecteur accélération, on trouve le vecteur vitesse :
+⋅− 'cstet
m
qEcste
v
Or à t = 0, le vecteur vitesse s’écrit : =
+×− ' '0
0
cste
cste
cste
m
qE cste
v
D’autre part, d’après l’énoncé, le vecteur vitesse initial s’écrit aussi
0
0
0
v
v
D’où : cste = v
0
et cste’ = 0
Donc
⋅− t
m
qE
v
v
0
En intégrant le vecteur vitesse, on trouve le vecteur position :
+⋅−
+
'
2
1
2
0
cstet
m
qE cstetv
OG
Or à t = 0, le vecteur position s’écrit : =
+×− +×
'
'0
2
10
2
cste
cste
cste
m
qE cstet
OG
Et d’après l’énoncé la particule est en O à l’origine du temps, donc
0
0
OG
D’où cste = cste’ = 0
Donc :
⋅−
2
0
2
1t
m
qE
tv
OG