Cours

PARTIE II : COMPRENDRE
•
•
•
Extraire et exploiter des informations relatives à la mesure du temps pour justifier l’évolution de la définition de la seconde.
Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un satellite, d’une planète, est uniforme. Établir
l’expression de sa vitesse et de sa période.
Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième dans le cas d’un mouvement circulaire.
Chapitre 6
Application des lois de Newton et des lois de Kepler
A noter :
La seconde, unité SI de temps, a été établie selon les connaissances et les possibilités techniques de chaque époque.
Elle a d’abord été définie comme la fraction 1 ⁄ 86400 du jour solaire terrestre moyen.
En 1956, pour tenir compte des imperfections de la rotation de la Terre qui ralentit notamment à cause des forces de
marées, elle a été basée sur la révolution de la Terre autour du Soleil et définie comme la fraction 1 ⁄ 31 556 925,9747
de l’année tropique 1900.
Depuis la 13e Conférence générale des poids et mesures de 1967, la seconde n’est plus définie par rapport à l’année,
mais par rapport à une propriété de la matière :
Définition de la seconde atomique :
La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à une certaine transition dans l’atome
de césium 133. La seconde, étalon de mesure du temps, est ainsi un multiple de la période de l’onde émise par un
atome de césium 133 lorsqu’un de ses électrons change de niveau d’énergie.
Lors de sa session de 1997, le Comité International précise que cette définition se réfère à un atome de césium au
repos, c'est-à-dire à une température de 0 K. Cette dernière précision souligne le fait qu’à 300 K, la transition en
question subit, par rapport à sa valeur théorique, un léger déplacement en fréquence dû aux effets de rayonnement du
corps noir. Cette correction a été apportée en 1997 car ce léger décalage dans la fréquence a cessé d’être négligeable
par rapport aux autres sources d’incertitude.
e
-14
On dispose aujourd’hui d’une exactitude allant jusqu’à la 14 décimale (10
International (TAI) obtenue est l’unité du SI la plus précisément connue.
s). L’échelle dite du Temps Atomique
Figure 1
Horloge à
Césium 133 du
CNRS
1/ 9
Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler
I. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
I.1
Champ uniforme
La Terre créé en son voisinage un champ de pesanteur noté g .
De ce fait toute masse plongée dans ce champ voit apparaître
une force qui l’attire vers le centre de la Terre et d’intensité :
→
g
→
g
P en N
m en kg
g en N/kg
P = mg
→
g
Les caractéristiques du champ de pesanteur terrestre sont :
-
direction : radiale
sens : vers le centre de la Terre
-1
intensité : g = 9,8 N⋅kg
→
g
Figure 1 : Champ non uniforme
Donc, à l’échelle de la Terre, le champ de pesanteur n’est pas
uniforme.
Néanmoins, à l’échelle humaine, ce champ peut raisonnablement
être considéré comme uniforme.
Figure 2 : Champ uniforme
I.2
Mouvement dans le champ de pesanteur
Rappels :
Comme
dv
a=
dt
d OG
v=
dt
et
donc
a=
d
d OG
2
dt = d OG
dt
dt 2
 d 2x 
 2 
 dt2 
d y
a 2 
dt
 2 
d
 z
 dt 2 


 &x& 
 
a  &y& 
 &z& 
 
Considérons un boulet de canon tiré au point B de coordonnées (0 ; d) à la date t0 = 0. Le référentiel terrestre est
supposé galiléen. La position du boulet est repéré à chaque instant par son centre de gravité G dans le repère (O, x, y)
→
g
y
v0
B
θ
d
x
O
Figure 3 : Tir d’un boulet B
D’après la deuxième loi de Newton, on peut écrire :
r d p d ( mv )
ΣF =
=
dt
dt
r dm
dv
ΣF =
⋅v + m⋅
dt
dt
Or la masse m étant constante, on aura :
r
dv
dv
ΣF = 0 ⋅ v + m ⋅
= m⋅
dt
dt
D’où :
2/ 9
r
r
ΣF = ma
Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler
r
r
ΣF = P = ma
r
r
mg = ma
r r
a=g
r 0 
Donc : a 
 − g 


En supposant que le boulet est en chute libre, on aura alors :
Comme le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, le vecteur vitesse
est une primitive du vecteur accélération. Ainsi, on intègre le vecteur accélération pour trouver le
vecteur vitesse :
Dérivation
Dérivation
cste

r

v 
 − gt + cste ' 
Or à t = 0, on a
donc
D’où :
Position
cste

r  v cos θ  
 = 

v  0
 v0 sin θ   − g × 0 + cste ' 
Vitesse
Intégration
Accélération
Intégration
cste = v0 cos θ et cste’ = v0 sin θ.
r  v0 cos θ 

v 
 − gt + v0 sin θ 
Comme le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, le vecteur position est
une primitive du vecteur vitesse. Ainsi, on intègre le vecteur vitesse pour trouver le vecteur position :
v0 cos θ × t + cste



OG  1 2
 − gt + v0 sin θ × t + cste' 
 2

Or à t = 0, le boulet G est en B (0
donc cste = 0 et cste’ = d
;d)
v0 cos θ × t + 0




D’où : OG
 − 1 gt 2 + v0 sin θ × t + d 
 2

Ainsi les équations horaires définissant le mouvement de ce boulet sont :
Pour l’accélération :
ax = 0
ay = -g
az = 0
3/ 9
Pour la vitesse :
Pour la position :
vx = v0 cosθ
vy = – gt + v0 sinθ
vz = 0
x(t) = v0 cosθ × t
y(t) = – ½ gt 2 + v0 sinθ × t + d
z(t) = 0
Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler
A noter :
•
Ce mouvement est plan car l’une des coordonnées du vecteur position
du temps.
•
Lorsque la masse du mobile est constante on a alors :
OG ne dépend pas
r dp
ΣF =
dt
En exprimant y en fonction de x on obtient l’équation de la trajectoire
r
r
ΣF = ma
y(x) :
x(t ) = v 0 cos θ × t
x
t=
v 0 cos θ
1 
x
En remplaçant dans y(t), on obtient : y ( x) = − g 
2  v0 cos θ
Soit, en simplifiant :
y ( x) = −
2

x
 + v0 sin θ ×
+d
cos
θ
v
0

g
× x 2 + tan θ × x + d
2
2 × v cos θ
2
0
= flèche
Equation de la trajectoire
A noter :
Cette trajectoire est une parabole car son équation
est du type : y ( x ) = ax 2 + bx + c
Figure 4
θ
Trajectoire
parabolique
Portée = xmax
O
II. Mouvement dans un champ électrique uniforme
Soit une particule ponctuelle G de charge q et de masse m placée dans un champ électrique uniforme E .
y
Système étudié : particule G
Référentiel d’étude : terrestre supposé galiléen
Inventaire des forces extérieures :
le poids
•
la force électrique
•
les forces de frottement de l’air
•
la poussée d’Archimède
O
f = k ⋅v
4/ 9
ρ air
x
→
E
→
E
Π = ρ air ⋅ V ⋅ g
Avec V le volume de la particule, v sa vitesse, k
une constante et
v0
g
Fe = q ⋅ E
E
→
→
P = mg
•
→
la masse volumique de l’air.
Figure 5 :
Particule chargée dans un champ électrique
Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler
Questions :
– 31
a) En supposant que cette particule soit un électron de masse m = 9,1⋅10
kg et de charge
– 17
électrique q = - 1,6⋅10
C, déterminer les caractéristiques du poids de l’électron et celles de la
–1
force électrique qu’il subit sachant que E = 10 000 V⋅m
b) Que penser de l’influence du poids de l’électron sur son mouvement dans le champ électrique ?
c) Que penser de la poussée d’Archimède que subit l’électron ? Même question pour les forces de
frottements.
d) Faire l’inventaire des forces dans le cas où la particule est un neutron.
D’après la deuxième loi de Newton :
 ax 
 0 

 = m  
 − qE 
ay 
r
r
ΣF = Fe = ma
 ax = 0

D’où : 
− qE
a y = m
 0 
a  qE 
−

 m
En intégrant le vecteur accélération, on trouve le vecteur vitesse :
cste



v  qE
⋅ t + cste ' 
−
 m

Or à t = 0, le vecteur vitesse s’écrit :
cste

  cste 
=

v0  qE
× 0 + cste '   cste ' 
−
 m

D’autre part, d’après l’énoncé, le vecteur vitesse initial s’écrit aussi
v 
v0  0 
0
D’où : cste
= v0 et cste’ = 0
 v0 
 qE 
Donc v
−
⋅t
 m 
En intégrant le vecteur vitesse, on trouve le vecteur position :
v0 t + cste



OG  1 qE 2
−
⋅ t + cste' 
 2 m

0 × t + cste

  cste 
=

OG  1 qE
2
× 0 + cste '   cste ' 
−
 2 m

0
Et d’après l’énoncé la particule est en O à l’origine du temps, donc OG  
0
D’où cste = cste’ = 0
Or à t = 0, le vecteur position s’écrit :
Donc :
5/ 9
v0 t


OG  1 qE 2 
−
⋅t
 2 m

Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler
Ainsi, les équations horaires de la position sont :
x (t ) = v 0 t
qE 2
y (t ) = −
×t
2m
Et l’équation de la trajectoire est :
y ( x) = −
qE
2m ⋅ v 0
2
× x2
Cette trajectoire est aussi une parabole car son équation est du type :
y ( x ) = ax 2 + bx + c
III. Les lois de Kepler
Rappels :
Le vecteur accélération s’écrit dans la base de Frenet :
a = a N ⋅ N + aT ⋅ T
avec aN l’accélération normale et aT l’accélération tangentielle.
•
Si aN est nulle, le mouvement est rectiligne.
•
Si aT est nulle, le mouvement est uniforme.
Définition :
L’accélération dans la base de Frenet s’écrit :
dv
= a = a N ⋅ N + aT ⋅ T
dt
v2
Avec a N =
R
III.1
et
aT =
dv
dt
Nature du mouvement
Le mouvement d’un objet en orbite autour d’un astre est toujours une ellipse.
Dans certains cas cette ellipse est un cercle ou s’en approche fortement,
comme par exemple pour l’orbite de la Terre dans le référentiel
héliocentrique.
Considérons le mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil :
Figure 6 : Orbite de la Terre
Terre
→
N
R
→
Système étudié : Terre de masse MT
F
Référentiel d’étude : héliocentrique supposé galiléen
Soleil
Inventaire des forces extérieures :
Force de gravité
F exercée par le Soleil sur la Terre.
Comme la masse de la Terre est constante, d’après la deuxième loi de
Newton :
r
r
ΣF = F = M T ⋅ a
6/ 9
Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler
→
T
Or la force de gravité exercée par le Soleil de masse
F =G⋅
G⋅
Donc, par identification :
aT = 0
Et si
dv
=0
dt
(
)
MT M S
⋅ N = M T a N ⋅ N + aT ⋅ T
R2
M M
G ⋅ T 2 S ⋅ N = M T a N ⋅ N + M T aT ⋅ T
R
r
F = ma
Or si
sur la Terre a pour expression :
F en N
M en kg
R en m
G = 6,67⋅10 –11 S.I.
MT M S
⋅N
R2
G = constante de gravitation universelle
D’où :
MS
alors
MT M S

M T a N = G ⋅
R2

M a = 0
 T T
MS

a N = G ⋅ 2
R

a = 0
 T
dv
dv
= 0 car par définition aT =
dt
dt
v = v = cste.
cela implique que
Ainsi, si la trajectoire d’un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son mouvement est uniforme.
Exemples :
-
La Terre ayant une orbite quasi-circulaire, sa vitesse reste toujours voisine de 30 km/s
La comète de Halley ayant une orbite très elliptique, sa vitesse varie énormément (de 1 à 55 km/s)
Question :
Rechercher les unités de la constante de gravitation universelle.
III.2
Détermination de la vitesse
D’après la partie précédente on a :
aN = G ⋅
Or, par définition :
D’où :
7/ 9
MS
R2
aN =
M
v2
= G ⋅ 2S
R
R
v2
R
M
v = G⋅ S
R
v en m/s
MS en kg
R en m
G = 6,67⋅10 –11 S.I.
Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler
III.3
Période de révolution
La période de révolution T est le temps nécessaire à l’objet (ici la Terre) pour faire un tour sur son orbite.
La longueur L d’une orbite est égale au périmètre du cercle, soit : L = 2πR
D’où :
v=
d
L 2πR
= =
∆t T
T
En utilisant l’expression du III.2 :
G⋅
MS
2πR
=
R
T
T = 2π
R3
GM S
Question :
Rechercher l’altitude h à laquelle sont placés les satellites géostationnaires.
Figure 7 : orbite géostationnaire
III.4
Les lois de Kepler
Planète
Première loi : loi des orbites (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire
des planètes est une ellipse dont l’un des foyers
est le centre du Soleil.
b
A noter :
•
•
a
Le péricentre est le point de l’orbite le plus proche
de l’astre central.
Si l’astre central est le Soleil on parle de périhélie
Pour la Terre, c’est le périgée.
F’
FSoleil
aphélie
F périhélie
L’apocentre est le point de l’orbite le plus éloigné de
l’astre central.
Si l’astre central est le Soleil on parle d’aphélie
Pour la Terre, c’est l’apogée.
Figure 8 : Orbite elliptique
a est le demi-grand axe et b est le demi-petit axe.
P
∆t
Deuxième loi : loi des aires (1609)
Le segment [SP] (ou rayon vecteur) qui relie le
centre du Soleil au centre de la planète balaie des
aires égales pendant des durées égales.
A noter :
A1
∆t
A2
S
Cette loi implique que plus la planète s’approche du Soleil
plus sa vitesse augmente. De même, plus elle s’en éloigne,
plus sa vitesse diminue.
Figure 9 : Loi des aires : A1 = A2
8/ 9
Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler
Troisième loi : loi des périodes (1618)
Le carré de la période de révolution d’une planète est
proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite.
T2
=k
a3
T 2 = k × a3
D’après la partie III.3 on a :
T = 2π
R3
GM S
T 2 = 4π 2
R3
GM S
T2
4π 2
=
R 3 GM S
Figure 10 : Johannes Kepler (1571-1630)
Ainsi, quelque soit la planète P de période de révolution T en orbite autour du Soleil à une distance R, le
rapport du carré de sa période sur le cube du rayon de son orbite ne dépend que de la masse du Soleil.
Ainsi :
TTerre
2
RTerre
3
=
TMars
2
R Mars
3
=
THalley
2
a Halley
3
4π 2
= ... =
GM S
A noter :
Les lois de Kepler, bien qu’écrites pour les planètes de notre système solaire, s’appliquent pour tout corps
en orbite elliptique autour d’un astre.
Ainsi :
TLune
2
RLune
3
=
TSatellite
2
RSatellite
3
=
4π 2
GM Terre
Figure 11
Position de 18 000
satellites en orbite autour
de la Terre.
On voit nettement
apparaître l’orbite
géostationnaire.
9/ 9
Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler