mouvements dans l`espace

M OUVEMENTS DANS L ’ ESPACE
1.1°) Le mouvement d’Eva n’est pas circulaire car l’astéroïde n’évolue pas à égale distance dupoint S. D’autre part, on
observe clairement que le Soleil n’occupe pas le centre de la trajectoire mais se trouve décalé en un point appelé foyer
de l’ellipse. Le mouvement d’Eva n’est pas non plus uniforme car la valeur de la vitesse d’Eva n’est pas constante le
long de la trajectoire. La distance entre deux points consécutifs n’est pas constante.
1.2°) E
0
E
2
mesure 2,6 cm sur le document original pour une échelle de 1 cm pour 1,5 × 10
11
m en réalité.
Ainsi :
11
4 -1
0 2
E E 1,6 1,5 10
2,6 10 m s
2 2 54 24 3600
v× ×
= = = × ⋅
τ × × ×
1
De même :
11
4 -1
-2 0
E E 1,6 1,5 10
2,6 10 m s
2 2 54 24 3600
v× ×
= = = × ⋅
τ × × ×
-1
1.3°) et 1.4°)
Le tracé des vecteurs est réalisé sur l’enregistrement à l’échelle 1 cm pour 1 × 10
4
m⋅s
-1
.
1.4°) et 1.5°) Le vecteur est
0
v
∆
=
1
v
-
-1
v
est tracé par différence des deux vecteurs en reportant -
-1
v
au sommet de
1
v
. La valeur a
0
de l’accélération en E
0
est donc :
a
0
1 1
2
v v
−
−
=
τ
Or,
0
v
∆
=
1
v
-
-1
v
mesure 1,9 cm sur le papier avec l’échelle 1 cm pour 1 × 10
4
m⋅s
-1
soit :
1
v
-
-1
v
= 1,9×10
4
m⋅s
-1
Finalement : a
0
=
4
3 -2
1,9 10
2,0 10 m s
2 54 24 3600
−
×
= × ⋅
× × ×
0
a
est appliqué en E
0
. Il a même direction et même sens que
0
v
∆
=
1
v
-
-1
v
et à l’échelle 1 cm pour 0,50 × 10
-3
m⋅s
-2
,
sa taille est alors de 4,0 cm (voir figure).
1.6°) En considérant que la masse m d’Eva est constante, l’application de la 2
e
loi de Newton dans le référentiel héliocentrique
galiléen donne en E
0
la relation :
0
S/E 0
F m a
= ⋅
Ainsi
0
S/E 0
et
F a
doivent être colinéaire et de même sens. C’est bien le cas ici.
2.1°) Les gaz expulsés par la fusée Soyouz-Frégate sont à l'origine de son mouvement : c'est le mode de propulsion par réaction.
2.2°) 
/
=
. .
.
où 
est un vecteur unitaire porté par la droite (ST) orienté de S vers T, r est le rayon de l’orbite du
satellite : r = R
T
+ h, m
S
est la masse du satellite.
2.3°) [G] = m
3
.kg
-1
.s
-2
2.4°) 
. =
. .
.
donc  =
.
.
2.5°) Le mouvement est circulaire d’après le texte. L’accélération est portée par le vecteur 
donc elle est centripète. Le vecteur
vitesse
v
étant tangent à la trajectoire
a.v 0
=
⇒ le mouvement est donc uniforme.
2.6°) a =
.
= v
2
/r car le mouvement est uniforme. On en déduit  = 
.
= 3,67.10
3
m.s
-1
.
2.7°) T = 2π(R
T
+h)/v = 5,07.10
4
s = 14,1 h.
3.1°) La première loi de Kepler énonce que, dans le référentiel héliocentrique, l'orbite d'une planète est une ellipse dont le
centre du Soleil occupe un des deux foyers. Le centre du Soleil est ici confondu avec le foyer F
1
.
3.2°) La deuxième loi de Kepler énonce que le segment reliant le Soleil à la planète balaye des aires égales pendant des durées égales.
Comme les durées de parcours sont égales, on a A
1
= A
2
.
3.3°) La troisième loi de Kepler énonce que le rapport entre le carré de la période de révolution T de chaque planète et le cube du
rayon
r de son orbite circulaire est constant, soit : T
2
/r
3
= k
k est une constante qui ne dépend que de l'astre attracteur : le Soleil.
On montre que k = 4π
2
/ (G.M
S
)
Les points sont alignés suivant une droite passant par l'origine donc T
2
est proportionnelle à r
3
. La troisième loi de Kepler est bien
vérifiée : le rapport entre le carré de la période de révolution des planètes et le cube du rayon de leur orbite est constant.
3.4°) On peut calculer k qui est égal au coefficient directeur de la droite : k = 3,0.10
-19
On en déduit M
S
= 4π
2
/(G.k) 2,0.10
30
kg.
3.5°) r
3
= T
2
/k car le rapport k est le même pour tous les astres gravitant autour du même astre (ici le Soleil)
On obtient : r = 5,2.10
11
m.