PARTIE II : COMPRENDRE Extraire et exploiter des informations relatives à la mesure du temps pour justifier l’évolution de la définition de la seconde. Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un satellite, d’une planète, est uniforme. Établir l’expression de sa vitesse et de sa période. Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième dans le cas d’un mouvement circulaire. Chapitre 6 Application des lois de Newton et des lois de Kepler A noter : La seconde, unité SI de temps, a été établie selon les connaissances et les possibilités techniques de chaque époque. Elle a d’abord été définie comme la fraction 1 ⁄ 86400 du jour solaire terrestre moyen. En 1956, pour tenir compte des imperfections de la rotation de la Terre qui ralentit notamment à cause des forces de marées, elle a été basée sur la révolution de la Terre autour du Soleil et définie comme la fraction 1 ⁄ 31 556 925,9747 de l’année tropique 1900. Depuis la 13e Conférence générale des poids et mesures de 1967, la seconde n’est plus définie par rapport à l’année, mais par rapport à une propriété de la matière : Définition de la seconde atomique : La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à une certaine transition dans l’atome de césium 133. La seconde, étalon de mesure du temps, est ainsi un multiple de la période de l’onde émise par un atome de césium 133 lorsqu’un de ses électrons change de niveau d’énergie. Lors de sa session de 1997, le Comité International précise que cette définition se réfère à un atome de césium au repos, c'est-à-dire à une température de 0 K. Cette dernière précision souligne le fait qu’à 300 K, la transition en question subit, par rapport à sa valeur théorique, un léger déplacement en fréquence dû aux effets de rayonnement du corps noir. Cette correction a été apportée en 1997 car ce léger décalage dans la fréquence a cessé d’être négligeable par rapport aux autres sources d’incertitude. On dispose aujourd’hui d’une exactitude allant jusqu’à la 14e décimale (10-14 s). L’échelle dite du Temps Atomique International (TAI) obtenue est l’unité du SI la plus précisément connue. Figure 1 Horloge à Césium 133 du CNRS 1/ 9 Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler I. Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme I.1 Champ uniforme g. La Terre créé en son voisinage un champ de pesanteur noté De ce fait toute masse plongée dans ce champ voit apparaître une force qui l’attire vers le centre de la Terre et d’intensité : g g P en N m en kg g en N/kg P mg g Les caractéristiques du champ de pesanteur terrestre sont : - direction : radiale sens : vers le centre de la Terre -1 intensité : g = 9,8 Nkg g Figure 1 : Champ non uniforme Donc, à l’échelle de la Terre, le champ de pesanteur n’est pas uniforme. Néanmoins, à l’échelle humaine, ce champ peut raisonnablement être considéré comme uniforme. Figure 2 : Champ uniforme I.2 Mouvement dans le champ de pesanteur Rappels : Comme dv a dt d OG v dt et donc a d d OG 2 dt d OG dt dt 2 d 2x 2 dt2 d y a 2 dt 2 d z dt 2 x a y z Considérons un boulet de canon tiré au point B de coordonnées (0 ; d) à la date t0 = 0. Le référentiel terrestre est supposé galiléen. La position du boulet est repéré à chaque instant par son centre de gravité G dans le repère (O, x, y) g y v0 B d x O Figure 3 : Tir d’un boulet B D’après la deuxième loi de Newton, on peut écrire : d p d (mv) F dt dt dm dv v m F dt dt Or la masse m étant constante, on aura : dv dv F 0 v m m dt dt D’où : 2/ 9 F ma Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler F P ma m g ma ag 0 Donc : a g En supposant que le boulet est en chute libre, on aura alors : Comme le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération. Ainsi, on intègre le vecteur accélération pour trouver le vecteur vitesse : Dérivation Dérivation cste v gt cste ' Or à t = 0, on a donc D’où : Position cste v cos v 0 v0 sin g 0 cste ' Vitesse Intégration Accélération Intégration cste = v0 cos et cste’ = v0 sin . v0 cos v gt v0 sin Comme le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse. Ainsi, on intègre le vecteur vitesse pour trouver le vecteur position : v0 cos t cste OG 1 2 gt v0 sin t cste' 2 Or à t = 0, le boulet G est en B (0 donc cste = 0 et cste’ = d ;d) v0 cos t 0 D’où : OG 1 gt 2 v0 sin t d 2 Ainsi les équations horaires définissant le mouvement de ce boulet sont : Pour l’accélération : ax = 0 ay = -g az = 0 3/ 9 Pour la vitesse : Pour la position : vx = v0 cos vy = – gt + v0 sin vz = 0 x(t) = v0 cos t y(t) = – ½ gt 2 + v0 sin t + d z(t) = 0 Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler A noter : Ce mouvement est plan car l’une des coordonnées du vecteur position du temps. Lorsque la masse du mobile est constante on a alors : En exprimant y en fonction de dp F dt OG ne dépend pas F ma x on obtient l’équation de la trajectoire y(x) : x(t ) v0 cos t x t v 0 cos 2 1 x x v0 sin d En remplaçant dans y(t), on obtient : y ( x) g 2 v0 cos v0 cos Soit, en simplifiant : y ( x) g x 2 tan x d 2 2 v cos 2 0 = flèche Equation de la trajectoire A noter : Cette trajectoire est une parabole car son équation est du type : y( x) ax 2 bx c Figure 4 Trajectoire parabolique O Portée = xmax II. Mouvement dans un champ électrique uniforme Soit une particule ponctuelle G de charge q et de masse m placée dans un champ électrique uniforme E . y Système étudié : particule G Référentiel d’étude : terrestre supposé galiléen Inventaire des forces extérieures : le poids la force électrique les forces de frottement de l’air la poussée d’Archimède O f k v 4/ 9 air x E E air V g Avec V le volume de la particule, v sa vitesse, k une constante et v0 g Fe q E E P mg la masse volumique de l’air. Figure 5 : Particule chargée dans un champ électrique Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler Questions : a) En supposant que cette particule soit un électron de masse m = 9,110 – 31 kg et de charge électrique q = - 1,610 – 17 C, déterminer les caractéristiques du poids de l’électron et celles de la force électrique qu’il subit sachant que E = 10 000 Vm –1 b) Que penser de l’influence du poids de l’électron sur son mouvement dans le champ électrique ? c) Que penser de la poussée d’Archimède que subit l’électron ? Même question pour les forces de frottements. d) Faire l’inventaire des forces dans le cas où la particule est un neutron. D’après la deuxième loi de Newton : F Fe ma ax 0 D’où : qE a y m ax 0 m qE ay 0 a qE m En intégrant le vecteur accélération, on trouve le vecteur vitesse : cste v qE t cste ' m Or à t = 0, le vecteur vitesse s’écrit : cste cste v0 qE 0 cste ' cste ' m D’autre part, d’après l’énoncé, le vecteur vitesse initial s’écrit aussi v v0 0 0 = v0 et cste’ = 0 v0 qE Donc v t m D’où : cste En intégrant le vecteur vitesse, on trouve le vecteur position : v0 t cste OG 1 qE 2 t cste' 2 m 0 t cste cste OG 1 qE 2 0 cste ' cste ' 2 m 0 Et d’après l’énoncé la particule est en O à l’origine du temps, donc OG 0 D’où cste = cste’ = 0 Or à t = 0, le vecteur position s’écrit : Donc : 5/ 9 v0 t OG 1 qE 2 t 2 m Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler Ainsi, les équations horaires de la position sont : x(t ) v0 t qE 2 y (t ) t 2m Et l’équation de la trajectoire est : y ( x) qE 2m v0 2 x2 Cette trajectoire est aussi une parabole car son équation est du type : y( x) ax 2 bx c III. Les lois de Kepler Rappels : Le vecteur accélération s’écrit dans la base de Frenet : a a N N aT T avec aN l’accélération normale et aT l’accélération tangentielle. Si aN est nulle, le mouvement est rectiligne. Si aT est nulle, le mouvement est uniforme. Définition : L’accélération dans la base de Frenet s’écrit : dv a a N N aT T dt v2 Avec a N R III.1 et aT dv dt Nature du mouvement Le mouvement d’un objet en orbite autour d’un astre est toujours une ellipse. Dans certains cas cette ellipse est un cercle ou s’en approche fortement, comme par exemple pour l’orbite de la Terre dans le référentiel héliocentrique. Considérons le mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil : Figure 6 : Orbite de la Terre Terre N R Système étudié : Terre de masse MT F Référentiel d’étude : héliocentrique supposé galiléen Soleil Inventaire des forces extérieures : Force de gravité F exercée par le Soleil sur la Terre. Comme la masse de la Terre est constante, d’après la deuxième loi de Newton : F F M T a 6/ 9 Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler T Or la force de gravité exercée par le Soleil de masse F G sur la Terre a pour expression : F en N M en kg R en m G = 6,6710 –11 S.I. MT M S N R2 G = constante de gravitation universelle D’où : MS M M F ma G T 2 S N M T a N N aT T R MT M S G N M T a N N M T aT T R2 Donc, par identification : Or si aT 0 Et si dv 0 dt alors MT M S M T a N G R2 M T aT 0 MS a N G 2 R aT 0 dv dv 0 car par définition aT dt dt v v cste. cela implique que Ainsi, si la trajectoire d’un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son mouvement est uniforme. Exemples : - La Terre ayant une orbite quasi-circulaire, sa vitesse reste toujours voisine de 30 km/s La comète de Halley ayant une orbite très elliptique, sa vitesse varie énormément (de 1 à 55 km/s) Question : Rechercher les unités de la constante de gravitation universelle. III.2 Détermination de la vitesse D’après la partie précédente on a : aN G Or, par définition : D’où : 7/ 9 MS R2 aN M v2 G 2S R R v2 R M v G S R v en m/s MS en kg R en m G = 6,6710 –11 S.I. Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler III.3 Période de révolution La période de révolution T est le temps nécessaire à l’objet (ici la Terre) pour faire un tour sur son orbite. La longueur L d’une orbite est égale au périmètre du cercle, soit : L 2R D’où : v d L 2R t T T En utilisant l’expression du III.2 : G M S 2R R T T 2 R3 GM S Question : Rechercher l’altitude h à laquelle sont placés les satellites géostationnaires. III.4 Figure 7 : orbite géostationnaire Les lois de Kepler Planète Première loi : loi des orbites (1609) Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire des planètes est une ellipse dont l’un des foyers est le centre du Soleil. b A noter : a Le péricentre est le point de l’orbite le plus proche de l’astre central. Si l’astre central est le Soleil on parle de périhélie Pour la Terre, c’est le périgée. F’ FSoleil aphélie F périhélie L’apocentre est le point de l’orbite le plus éloigné de l’astre central. Si l’astre central est le Soleil on parle d’aphélie Pour la Terre, c’est l’apogée. Figure 8 : Orbite elliptique a est le demi-grand axe et b est le demi-petit axe. P t Deuxième loi : loi des aires (1609) Le segment [SP] (ou rayon vecteur) qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. A noter : A1 t A2 S Cette loi implique que plus la planète s’approche du Soleil plus sa vitesse augmente. De même, plus elle s’en éloigne, plus sa vitesse diminue. Figure 9 : Loi des aires : A1 = A2 8/ 9 Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler Troisième loi : loi des périodes (1618) Le carré de la période de révolution d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite. T 2 k a3 T2 k a3 D’après la partie III.3 on a : T 2 R3 GM S R3 GM S T 2 4 2 T2 4 2 R 3 GM S Figure 10 : Johannes Kepler (1571-1630) Ainsi, quelque soit la planète P de période de révolution T en orbite autour du Soleil à une distance R, le rapport du carré de sa période sur le cube du rayon de son orbite ne dépend que de la masse du Soleil. Ainsi : TTerre 2 RTerre 3 TMars 2 RMars 3 THalley 2 a Halley 3 ... 4 2 GM S A noter : Les lois de Kepler, bien qu’écrites pour les planètes de notre système solaire, s’appliquent pour tout corps en orbite elliptique autour d’un astre. Ainsi : TLune 2 RLune 3 2 TSatellite 3 RSatellite 4 2 GM Terre Figure 11 Position de 18 000 satellites en orbite autour de la Terre. On voit nettement apparaître l’orbite géostationnaire. 9/ 9 Partie II – Chap. 6 : Lois de Newton et lois de Kepler