cours-algebre-EEA-P

Cours d’algèbre linéaire
Khaoula Ben Abdeljelil

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Table des matières
Tabledesmatières ............................... i
1 Nombres complexes 1
1.1 Introduction................................ 1
1.2 Définitions................................. 1
1.2.1 Forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Opération sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Addition et multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2 Affixe d’un vecteur, d’un barycentre . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Inverse d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.4 Nombreconjugué......................... 3
1.3.5 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.6 Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . 5
1.3.7 Méthode générale pour calculer l’argument principale d’un
nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Différentes formes d’écritures des nombres complexes . . . . . . . . . 6
1.4.1 Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Forme exopnentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Formules de Moivre, Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.1 Calculs de distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.2 Calculsd’angles.......................... 8
1.6.3 Quelques lieux de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Equations du second degré à coefficients réels . . . . . . . . . . . . . 10
1.7.1 Equations du type x2=a, où aest un réel et xquantité
inconnue.............................. 10
1.7.2 Equations du type ax2+bx +c= 0, où a, b et cdes réels avec
a6= 0 et xquantité inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Equations du second degré à coefficients complexes . . . . . . . . . . 10
1.8.1 Equations du type z2=z0, où z0est un complexe et zcom-
plexeinconnu ........................... 10
1.8.2 Equations du type az2+bz +c= 0, où a, b et csont des
complexes avec a6= 0 ....................... 11
2 POLYNOMES 13
2.1 Algèbre des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Définition ............................. 13
i

TABLE DES MATIÈRES
2.1.2 Opérations sur K[X]....................... 13
2.2 Division des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Divisions suivant les puissances décroissantes . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Algorithme d’Euclide, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Divisions suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . 16
2.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Factorisation ............................... 17
2.4.1 Factorisation dans K=C.................... 17
2.4.2 Factorisation dans K=R.................... 17
2.4.3 Ordre de multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Feuille d’exercices- Polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Espace vectoriel 21
3.1 Introduction au groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Espacevectoriel.............................. 23
3.3 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.1 Définition ............................. 24
3.3.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.3 Sous-espace vectoriel engendré par une partie d’un espace vec-
toriel................................ 25
3.4 Feuille d’exercices-Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels . . . . 27
3.5 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.1 Définitions............................. 28
3.5.2 Applications linéaires particulières . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.3 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Familledevecteurs ............................ 30
3.6.1 Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs 30
3.6.2 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.3 Famille libre, famille liée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.4 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.5 Composante dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.7 Feuille d’exercices sur les applications linéaires, Famille libre, liée et
base .................................... 34
3.7.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7.2 Image et noyau d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . 34
3.7.3 Sous-espace engendré par une famille finie . . . . . . . . . . . 35
3.7.4 Famillelibre............................ 35
3.7.5 Obtentiondebase......................... 35
4 Matrices 37
4.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.1 Définition ............................. 37
4.1.2 (Mn,p(K),+, .)est un K-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 39
4.1.3 Sous-espaces des matrices diagonales et triangulaires . . . . . 41
4.1.4 Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Matrice colonne des composantes d’un vecteur . . . . . . . . . 44
4.2.2 Matrice des composantes d’une famille de vecteurs . . . . . . . 45
ii

TABLE DES MATIÈRES
4.2.3 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.4 Matrice d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.5 Image d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.6 Isomorphisme de représentation matricielle . . . . . . . . . . . 49
4.2.7 Composition d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.8 Isomorphisme et matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1 Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.2 Nouvelle composante de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.3 Nouvelle représenatation d’une application linéaire . . . . . . 50
5 Determinant 51
iii