Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Exercice 1
Dans chaque cas, déterminer la fonction solution de l’équation différentielle qui vérifie la condition initiale.
1. y ′ = 3y et y(0) = 4 ;
3. y ′ −2y = 0 et y(0) = 3 ;
2. y ′ +4y = 0 et y(0) = 5 ;
4. 2y ′ +5y = 0 et y(0) = 1.
Exercice 2
1. Résoudre l’équation différentielle y = −2y (⋆).
2. Déterminer la solution de l’équation différentielle (⋆)
dont la courbe représentative admet une tangente de
coefficient directeur égal à 1 en son point d’abscisse 0.
′
Exercice 3
On injecte à un lapin une substance qui passe d’abord du
muscle dans le sang puis est éliminée.
On étudie alors l’évolution de cette substance dans le sang
au cours du temps.
Soit q(t) la quantité de substance présente dans le muscle
à l’instant t.
dq
+ aq = 0, où a est une constante réelle.
On suppose que
dt
1. Résoudre cette équation différentielle.
2. Soit q0 la quantité de substance injectée.
Écrire q(t) en fonction de q0 et de t.
Exercice 4
1. D’après l’énoncé, de quelle équation différentielle la
fonction m est-elle solution ?
2. Déterminer la solution de cette équation différentielle
telle que m(0) = m0 (masse initiale de l’échantillon).
3. On observe que la masse de radium diminue de 0,043 %
par an. En déduire l’expression de m(t) en fonction de t.
4. Montrer qu’il existe un réel T tel que :
m(t)
∀t > 0 m(t + T ) =
2
Le déterminer puis interpréter le résultat obtenu.
Exercice 7
Un disque tournant dans un liquide subit de la part de
celui-ci un freinage proportionnel à sa vitesse de rotation
angulaire ω. Ainsi, ω vérifie une équation différentielle de
dω
la forme
= aω où a est une constante réelle.
dt
1. Exprimer ω(t) en fonction de t sachant que la vitesse
initiale de rotation du disque, à savoir 100 tours par
minute, a diminué de moitié au bout d’une minute.
2. Dans cette question, on déterminera une valeur approchée du résultat arrondie à la seconde près.
À quel instant, la vitesse de rotation du disque sera-telle de un tour par minute ?
Exercice 8
Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à un
instant t exprimé en heures, peut être considéré comme une
fonction y à valeurs réelles de la variable t.
La vitesse de prolifération, à l’instant t, du nombre de microbes est la dérivée y ′ de cette fonction.
On a constaté que y ′ = ky où k est un coefficient réel strictement positif.
On désigne par N le nombre de microbes à l’instant t = 0.
Au cours d’une réaction chimique, la teneur x(t) en benzène d’un mélange gazeux varie en fonction du temps t et
dx
vérifie l’équation différentielle kx +
= 0 où k est une
dt
constante réelle liée à la vitesse de réaction.
Sachant que x(0) = 5 et x(2) = 3,2, établir que, pour tout
réel positif t, x(t) = 5 × 0,8t .
1. Déterminer l’unique solution de l’équation différentielle
y ′ = ky telle que y(0) = N .
2. Sachant qu’au bout de deux heures, le nombre de microbes a quadruplé, calculer en fonction de N , le nombre
de microbes au bout de trois heures.
3. Quelle est la valeur de N sachant que la culture contient
6400 microbes au bout de cinq heures ?
On a constaté qu’après une injection intraveineuse de glucose, la glycémie (taux de glucose sanguin) décroît à partir
d’un certain instant choisi comme origine des temps , selon
la loi g ′ + Kg = 0, où g désigne la fonction glycémique dépendant du temps t (t > 0, exprimé en minutes) et K une
constante strictement positive, appelée coefficient d’assimilation glucidique.
Exercice 5
Un corps radioactif se désintègre en transformant une partie de ses noyaux.
t est le temps, exprimé en jours, N (t) le nombre de noyaux
radioactifs à l’instant t.
On établit, en physique, que la fonction définie sur [0; +∞[
par N : t 7→ N (t) est solution de l’équation différentielle
dN
= −λN où λ est un réel strictement positif appelé
dt
constante radioactive du corps.
1. Soit N0 le nombre d’atomes à l’instant t = 0.
Déterminer l’expression de N (t) en fonction de t.
2. On appelle « période » ou « demi-vie » de ce corps radioactif le temps T au bout duquel le nombre d’atomes
a diminué de moitié. Calculer T en fonction de λ.
3. Calculer, à 10−3 près, la constante radioactive de l’iode
131 sachant que sa période est de 8,06 jours.
Exercice 6
L’atome de radium, en se désintégrant, donne de l’hélium
et une émanation gazeuse, le radon, elle-même radioactive.
La masse m(t) d’un échantillon de radium est donc une
fonction décroissante du temps t, exprimé en années.
La vitesse de désintégration m′ (t) (où m′ désigne la fonction
dérivée de m) est proportionnelle à la masse de l’échantillon
à l’instant considéré.
Exercice 9
1. Déterminer g sachant que g(0) = 2.
2. Étudier les variations de g en fonction du temps puis
donner l’allure de sa courbe représentative, notée C .
3. À l’instant t1 = 30, Monsieur X a un taux de glycémie
égal à 1,2.
Sachant que la valeur de K varie de 0,0106 à 0,0242 chez
un sujet normal, Monsieur X doit-il s’inquiéter ?
Exercice 10
Dans cet exercice, l’unité de temps est la seconde.
En solution dans le tétrachlorométhane (CCl4 ), le pentoxyde d’azote (N2 O5 ) se décompose suivant la réaction :
1
N2 O5 −→ 2N O2 + O2
2
Si C représente la concentration [N2 O5 ], exprimée en
dC
mol.L−1 , la vitesse de réaction est définie par v = −
=
dt
kC où k est une constate caractéristique de cette réaction.
On a mesuré C0 = 3 × 10−2 mol.L−1 à l’instant t = 0.
1. Exprimer C(t) en fonction de k et t.
2. Déterminer k sachant qu’à l’instant t = 4450 s
(1 h14 min10 s), on a relevé C = 2,7 × 10−2 mol.L−1 .
3. Déterminer le temps de demi-réaction, c’est-à-dire la vaC0
leur de t pour laquelle C(t) =
.
2
4. Comment varie le temps de demi-réaction lorsque l’on
double la concentration initiale C0 ?
Exercice 11
On rappelle que le nombre N d’atomes en activité d’une
dN
substance radioactive est lié au temps t par
= −λN ,
dt
où λ est une constante dépendant de la substance.
Partie A
Dose injectée par piqûre intraveineuse
A l’instant t = 0, on injecte par piqûre intraveineuse une
dose de 1, 8 unité. On suppose que la substance se répartit
instantanément dans le sang et qu’elle est ensuite progressivement éliminée. On admet que le processus d’élimination
peut se représenter mathématiquement par l’équation différentielle y ′ = −λy où λ est un nombre qui sera déterminé
expérimentalement.
Partie A
1. a) Calculer N en fonction de t, de λ et du nombre initial
d’atomes N0 .
b) Vérifier qu’à un instant t, la proportion d’atomes
désintégrés est égale à 1 − e−λt .
2. On admet que la proportion d’atomes désintégrés par
rapport à la quantité initiale, calculée ci-dessus, représente, pour un atome de la substance, la probabilité
d’avoir été désintégré avant l’instant t.
Soit X la variable aléatoire égale à l’instant où un atome
donné se désintègre. Quelle loi de probabilité, la variable
aléatoire X suit-elle ?
3. On appelle période ou demi-vie d’un élément radioactif
le temps nécessaire pour que la moitié des atomes d’un
échantillon donné se soit désintégrée.
Soit T la demi-vie d’un élément. On admet que pour un
atome donné de la substance étudiée, cela signifie que
P (X 6 T ) = 0,5.
Que représente T pour la variable aléatoire X ?
Partie B
Dans cette partie, l’unité de temps est le jour.
Le phosphore 32 a une demi-vie égale à 14,2 jours.
1. Calculer le paramètre de la loi suivie par X pour le
phosphore 32.
En donner une valeur approchée à 10−4 près.
2. Calculer, à 10−3 près, la probabilité qu’un atome de
phosphore 32 se désintègre durant la première semaine.
3. Calculer, à 10−3 près, la probabilité qu’un atome de
phosphore 32 se désintègre après 30 jours.
4. À partir de quelle durée de vie peut-on considérer que
la probabilité pour un atome de phosphore 32 d’être
désintégré est supérieure à 0,95 ?
On arrondira le résultat au jour près par excès.
Partie C
Dans cette partie, l’unité de temps est l’année.
1. Dans le cas de l’uranium 238, le paramètre de la loi exponentielle est estimé à 1,54 × 10−10 . Calculer la demi-vie
de cet élément.
2. L’âge de la Terre a pu être évalué à quelques 4,5 milliards d’années. Quelle est aujourd’hui la probabilité
qu’un atome d’uranium 238 soit encore actif ?
3. Au moment de la formation des roches, l’uranium 235
et l’uranium 238 étaient présents dans la même proportion ; pourtant, aujourd’hui, la probabilité qu’un atome
d’uranium 235 soit encore en activité n’est plus que
0,7 % de celle d’un atome d’uranium 238.
Quel est le paramètre de la loi exponentielle correspondante ? Calculer la période de l’uranium 235.
Exercice 12
On injecte une dose d’une substance médicamenteuse dans
le sang à l’instant t = 0 (t est exprimé en heures). On note
Q(t) dans la partie A, S(t) dans la partie B la quantité de
substance présente dans le sang à l’instant t, exprimée en
unités adaptées. Les parties A et B sont indépendantes.
1. Exprimer Q(t) en fonction de λ et t.
2. Calculer la valeur de λ sachant qu’au bout d’une heure,
la quantité de substance présente dans le sang a diminué
de 30 %. On donnera la valeur exacte.
3. En déduire que : ∀t > 0 Q(t) = 1,8 × 0,7t
4. Étudier les variations de la fonction Q sur [0; +∞[ puis
déterminer sa limite en +∞.
5. Au bout de combien de temps la quantité de substance
présente dans le sang a-t-elle été réduite de moitié ? On
donnera la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 10−2 près et on effectuera la conversion en heures,
minutes et secondes à partir de cette valeur approchée.
6. On décide de ré-injecter une dose analogue à l’instant
t = 1 (au bout d’une heure), puis aux instants t = 2,
t = 3, etc. On note Rn la quantité de substance présente dans le sang à l’instant t = n, dès que la nouvelle
injection est faite.
a) Déterminer R0 puis calculer R1 et R2 .
b) Soit n un entier naturel quelconque. Exprimer Rn+1
en fonction de Rn .
7. Soit (un ) la suite définie par : ∀n ∈ N un = Rn − 6
a) Établir que : ∀n ∈ N un+1 = 0,7 × un
Que peut-on en déduire concernant (un ) ?
b) Exprimer un puis Rn en fonction de n.
c) En déduire la limite de (Rn ).
d) Déterminer, par deux méthodes différentes, le plus
petit entier naturel n tel que Rn > 5,95.
Partie B
Dose injectée par piqûre intramusculaire
On injecte par piqûre intramusculaire, dans d’autres circonstances, une dose (non indiquée) de substance. Celle-ci
passe alors progressivement dans le sang et les mesure effectuées permettent de modéliser la quantité S(t) de substance
présente dans le sang à l’instant t par :
∀t > 0 S(t) = 6,6 × te−t
1. Calculer S ′ (t) où S ′ désigne la fonction dérivée de S.
2. Étudier soigneusement les variations de S sur [0; +∞[
puis déterminer sa limite en +∞.
3. Tracer, sur [0; 10], la courbe représentative C de S.
4. Au vu du tableau de variations de S, combien de solutions l’équation (S(t) = 0,1 admet-elle dans [0; +∞[ ?
5. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement
d’amplitude 10−2 de chacune des solutions de l’équation
S(t) = 0,1.
6. Le médicament contenant des substances pouvant entrainer des somnolences, le malade n’est jugé apte à
prendre le volant que si la quantité de substance présente dans le sang est inférieure à 0, 1 unité. Justifier
l’inscription se trouvant sur la boîte : « Ne pas conduire
dans les six heures suivant la prise du médicament. »