Douine – Cours - Chapitre 6 – Conditionnement et indépendance

Douine – Cours - Chapitre 6 – Conditionnement et indépendance
1
Probabilité conditionnelle
A
et
B
sont deux événements. On suppose que
0pB
. On appelle « probabilité de A
sachant B » notée
B
pA
le quotient
p A B
pB
. Cette probabilité est appelée probabilité
conditionnelle et vérifie les propriétés d’une probabilité :
01
B
pA
et
1
BB
p A p A
Formule des probabilités totales
A
,
B
et
C
sont trois événements. On
suppose que ces trois événement forment une
partition de l’univers
.
On considère un événement
D
quelconque.
A
BC
p D p A p D
p B p D p C p D
Ceci est la formule des probabilités totales.
A la première génération de branches de
l’arbre, on fait apparaître les probabilités
simples des événements
A
,
B
et
C
.
A la seconde génération de branches de
l’arbre, on fait apparaître les probabilités
conditionnelles.
En bout de branche apparaissent les
probabilités des intersections obtenues en
effectuant le produit d’une probabilité
conditionnelle et de la probabilité simple
correspondante.
Propriété
Soit et
p
une loi de probabilité. Si
A
et
B
sont deux événements de probabilités non nulles,
alors les trois égalités suivantes sont équivalentes :
BA
p A B p A p B p A p A p B p B      
Définition et conséquences
Les deux événements
A
et
B
sont indépendants si et seulement si
p A B p A p B  
.
Si
A
et
B
sont deux événements indépendants, alors les événements
A
et
B
sont eux aussi
indépendants. Remarque :
A
et
B
sont indépendants,
A
et
B
sont indépendants également.

Douine – Cours - Chapitre 6 – Conditionnement et indépendance
2
La loi binomiale
On répète
n
fois de manière indépendante une même expérience aléatoire présentant deux
issues
S
et
S
de probabilités respectives
p
et
1qp
. On considère la variable aléatoire
X
égale au nombre de succès
S
obtenus au cours de ces
n
expériences. La loi de probabilité de la
variable aléatoire
X
s’appelle alors loi binomiale de paramètres
n
et
p
, notée
,np
.
k
0
1
2
…
1n
n
p X k
0n
nq
1
1n
npq 
22
2n
npq
…
1
1n
npq
n
n
np
n
On retrouve dans la loi binomiale les coefficients binomiaux qui correspondent au nombre de
chemins de l’arbre pondéré permettant d’obtenir
k
« succès » au cours des
n
générations.
Une formule à retenir
Pour tout entier
k
tel que
0kn
on a :
k n k
n
p X k p q
k
Propriétés
Pour une loi binomiale, l’espérance, la variance et l’écart type sont donnés par les formules :
E X n p
V X n p q  
X n p q
Définition
Soit
n
un entier naturel et
k
un entier tel que
0kn
.
On note
n
k
, et on lit «
k
parmi
n
» le nombre de chemins qui réalisent exactement k succès (et
par conséquent
nk
échecs) dans l’arbre à
n
générations associé à un schéma de Bernoulli.
Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux. Ils peuvent être obtenu avec une calculatrice.
Cas particuliers
1
0
nn
n
11
nn n
n
Symétrie
nn
k n k
Formule de Pascal
Si
n
est un entier naturel et si
k
est un entier tel que
01kn  
alors
1
11
n n n
k k k
Cette relation (dite de « récurrence » permet de déterminer « pas à pas » la valeur des coefficients
binomiaux. Pour cela on peut s’organiser dans un tableau triangulaire appelé « triangle de Pascal ».