Licence MAEF Alg`ebre S4: TD2 Exercice 1 Soit A une matrice n×n

Licence MAEF Alg`ebre S4: TD2
Exercice 1 Soit Aune matrice n×nd’´el´ements Aij . Notons Aij la matrice Adans laquelle on a
´elimin´e la i-`eme ligne et la j-`eme colonne. Aij est donc une matrice (n−1) ×(n−1).detn−1(Aij )
est appel´e mineur de l’´el´ement Ai,j .αij := (−1)i+jdetn−1(Aij )est appel´e cofacteur de l’´el´ement
Aij . La transpos´ee de la matrice des cofacteurs est appel´ee matrice adjointe de Aet est not´ee
adj(A). Ainsi adj(A)ij =αji.
1) Pour x∈Rn, notons Aj(x)la matrice Adont on a remplac´e la j-`eme colonne par [x]. Notons φj
l’application x→φj(x) := detn−1(Aj(x)). Montrez que φjest une application lin´eaire de Rnvers
R. Il existe donc cj
1, . . . , cj
n∈Rtels que φj(x) = Pn
k=1 cj
kxk. D´emontrez que l’on peut exprimer
les cj
jen fonctions des cofacteurs de A.
2) Si l’on note ajla j`eme colonne de A, montez que φj(ak) = 0 si j6=ket que φj(aj) = detn(A).
3) En d´eduire que Adj(A)A=det(A).In.
Exercice 2 1)Soit Tune application lin´eaire d’un espace vectoriel Ede dimension nvers un
espace Fde dimension m. Soit Uet mathcal Vdes bases de Eet Frespectivement. Montrez qu’il
existe une matrice T∈Rm×nunique telle que, pour tout point e∈Ede coordonn´es x= (x1, . . . , xn)
dans la base U, on ait [y] = T[x]o`u y= (y1, . . . , ym)sont les coordonn´ees du point T(e)∈Edans
la base V. Nous noterons cette matrice VTU.
2) En particulier, si Iest l’application identit´e de Evers Eet si Uet mathcal Vsont des bases
de E, montrez que la matrice VIUest la matrice de changement de base de Uvers V.
3) Si Uet mathcal Vsont des bases d’un espace Ede dimension n, si Test une application lin´eaire
de Evers E, comment peut-on trouver VTV`a partir de UTU?
4) Montrez dans la sous question pr´ec´edente que detn(VTV) = detn(UTU). Ceci permet de d´efinir le
d´eterminant det(T)d’une application lin´eaire Tde Evers Ecomme le d´eterminant de sa matrice
UTUdans une base Uquelconque.
Exercice 3 Si la matrice Bd’un endomorphisme Bsur un espace Edans une base Vest une
matrice qui v´erifie Bn= 0. Notons Ki:= Ker(Bi)et κi:= dim(Ki)−dim(Ki−1).
1) Montrez que ∀i:Ki⊂Ki+1 et Kn=E. On en d´eduira en particulier que ∀i:κi≥0et que
dim(E) = Pn
i=1 κi.
2) Soit Xnune famille libre telle que vect(Xn)⊕Kn−1=Kn. En particulier #Xn=κn. (Si
Kn−1=Kn, on prendra Xn:= ∅et l’on posera par convention que ∅est une famille libre.)
Montrez que B(Xn)est une famille libre et que vect(B(Xn)) ⊕Kn−2⊂Kn−1. Il existe donc une
partie libre Xn−1⊃ B(Xn)telle que vect(Xn−1)⊕Kn−2=Kn−1. En particulier #Xn−1=κn−1.
3) En continuant par r´ecurrence, on construit donc une suite de familles libres X1, . . . , Xntelle
que ∀q:vect(Xq)⊕Kq−1=Kqet ∀q:B(Xq)⊂ Xq−1et #Xq=κq.
4) Montrez que U:= ∪n
i=1Xiest une partie libre et que c’est donc une base de E.
5) La base Uainsi construite est donc constitu´ee des ´el´ements {a, b, c . . .}de Xn∪∪n−1
q=1 (Xq\B(Xq+1))
et de tous leurs it´er´es non-nuls par B. En ordonnant Ude la mani`ere suivante
U={Bka(a),Bka−1(a), . . . , B(a), a, Bkb(b),Bkb−1(b), . . . , B(b), b, . . .},
montrez que la matrice de Bdans la base Uest une matrice blocs-diagonale dont les blocs sont des
matrices de shift: Une matrice A∈Rl×lest dite de shift ssi Ai,j = 1 si j−i= 1 et Ai,j = 0 si
j−i6= 1.
6) Sur Pn[X]l’op´erateur de d´erivation Dv´erifie Dn+1 = 0. Trouvez une base dans laquelle Da
une matrice shift-blocs-diagonale.

Exercice 4 1) Division euclidienne: Soient pet qdeux polynˆomes de degr´e respectif net mavec
n≥m. Montrez qu’il existe deux polynˆomes bet rtels que le degr´e de rsoit strictement inf´erieur
`a met tels que p=b.q +r.
2) Trouvez bet rlorsque p= 3x4+ 2x3+x+ 1 et q=x3+ 3x2+ 2x+ 1.
3) Algorithme d’Euclide: Soient r0r1deux polynˆomes dont on veut trouver le plus grand commun
diviseur. Sans perte de g´en´eralit´es, on peut supposer deg(r0)≥deg(r1). On peut alors r´ealiser les
divisions euclidiennes successives:
r0=b0r1+r2
r1=b1r2+r3
. . .
rn−2=bn−2rn−1+rn
Puisque deg(r1)> deg(r2)> deg(r3)>· · · , il existera ntel que rnsera nul. Soit n∗le plus petit
ntel que rn= 0. Montrez que rn∗−1est le polynˆome de degr´e le plus ´elev´e qui divise r0et r1.
4) Trouvez le plus grand commun diviseur des polynˆomes suivants 5x4−33x3−10x2−33x+ 7 et
3x4−19x3−19x2+ 37x−14
5) Deux polynˆomes sont dits premiers entre eux leurs seuls diviseurs communs sont les constantes.
Utilisez l’algorithme d’Euclide pour d´emontrer que si pet qsont premiers entre eux, alors il existe
deux polynomes aet btels que ap +bq = 1.
6) Montrez que pet qsont premiers entre eux ssi ils n’ont dans Caucune racine commune.
Exercice 5 Th´eor`eme de Cayley Hamilton
1) Soit Aun endomorphisme sur un espace vectoriel Ede dimension n. On d´efinit le polynˆome
caract´eristique ΦAde Acomme l’application ΦA:x→ΦA(x) := det(xI − A). D´emontrez que ΦA
est un polynˆome de degr´e nde coefficient dominant 1: ΦA(x) = xn+bn−1xn−1+· · · +b1x1+b0x0
2) Soit Ala matrice de Adans une base Ude E. Montrez que les mineurs de la matrice xI −A
sont des polynˆomes de degr´e n−1. On peut donc ´ecrire adj(xI −A) = Bn−1xn−1+. . . B1x1+B0x0
o`u les Bksont des matrices constantes n×n.
3) Par l’exercice 1-3), on a donc (xI −A)adj(xI −A) = ΦA(x)I. Par identification des coefficients
des polynˆomes, montrez que ΦA(A) = 0.
Exercice 6 Si Aest un endomorphisme sur un espace vectoriel Ede dimension n, un vecteur
non-nul vest un vecteur propre de Assi il existe λ∈Ctel que Av =λv.λest alors dite valeur
propre associ´ee `a v. Si λest une valeur propre de A, l’ensemble des vecteurs propres de Aassoci´es
`a λco¨ıncide donc avec Ker(λI − A). On appelle multiplicit´e g´eom´etrique d’une valeur propre λ
le nombre mg(λ) := dim(Ker(λI − A)). On appelle spectre de Al’ensemble spectre(A)de ses
valeurs propres.
1) Montrez que λest une valeur propre de Assi ΦA(λ) = 0.
2) Montrez que pour chaque valeur propre λde A, il existe un entier ma(λ), appel´e multiplicit´e
alg´ebrique de λ, tel que ΦA(x) = Qλ∈spectre(A)(x−λ)ma(λ)
Exercice 7 1) Si A∈Rn×n,B∈Rn×m,C∈Rm×met enfin si Oest la matrice de Rm×ndont
tous les ´el´ements sont nuls, montrez que
detn+mA B
O C =detn(A)·detm(C).
2) Si Aest un endomorphisme sur une espace vectoriel G, un sous-espace Ede Gest un espace
propre de Assi A(E)⊂E. Si Eest un espace propre de A, il existe une base Ude Gdont les

premiers ´el´ements forment une base de E. Que pouvez-vous dire de la matrice Ade Adans cette
base? Si AErepr´esente la restriction de A`a l’espace E,AEest alors un endomorphisme sur E.
Montrez que ΦAEdivise ΦA.
3) Si λ∈spectre(A), montrez que E:= Ker(λI −A)est un espace propre de A. Calculez ΦAE(x).
Montrez que ∀λ∈spectre(A) : ma(λ)≥mg(λ)≥1.
4) Si Eet Fsont des espaces propres de Ade dimensions finies tels que G=E⊕F, il existe une
base Ude Gdont les premiers ´el´ements forment une base de Eet les derniers une base de F. Que
pouvez-vous dire de la matrice Ade Adans cette base?
Si AEet AFrepr´esentent les restrictions de Aaux espaces Eet F. Montrez que ΦA(x) =
ΦAE(x)·ΦAF(x).
Exercice 8 Soit Aun endomorphisme sur un espace Gde dimension net supposons que pet q
soient des polynˆomes premiers entre eux de coefficient dominant 1 et tels que ΦA(x) = p(x)·q(x).
Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe deux espaces propres de A:Eet Ftels que
G=E⊕Fet p(x) = ΦAE(x)et q(x) = ΦAF(x).
1) Soit Ala matrice de Adans une base Vde G. Notons P:= p(A)et Q:= q(A). Utilisez
l’exercice 4 pour montrer qu’il existe des matrices Cet Ddans Rn×ntelles que P·C+Q·D=I.
Montrez que C,D,A,Pet Qcommutent: (par exemple D·P=P·D)
2) Posons S:= P·Cet T:= Q·D. D´efinissons l’espace E(resp. F) comme l’ensemble des
vecteurs de Gdont les coordonn´ees dans la base Vsont des combinaisons lin´eaires des colonnes de
T(resp. S).
Puisque A,Set Tcommutent, concluez que l’espaces Eet Fsont des espaces propres pour A.
3) Utilisez le point 1) pour montrer que G=E+F.
4) Montrez que P·Q= 0 = Q·P. En d´eduire que si x(resp. y) sont les coordonn´ees d’un point
de E(resp. F) dans la base V, alors P x = 0 (resp. Qy = 0).
5) Utilisez 4) pour montrer que G=E⊕Fet conclure avec l’exercice 7 que p(x)·q(x) = ΦAE(x)·
ΦAF(x)
6) Montrez que si λest une racine de ΦAE, il existe dans Eun vecteur propre vnon-nul associ´e
`a λ. Montrez que p(λ)=0puisque P v = 0. Puisque pet qsont premiers, q(λ)6= 0. En conclure
que ΦAE=pet ΦAF=q.
Exercice 9 (D´ecomposition de Jordan)
1) D´eduire de l’exercice pr´ec´edent et de l’exercice 6-2) que si Aun endomorphisme sur un espace
Gde dimension finie, il existe pour chaque valeur propre λde Aun sous-espace propre Eλde A
tel que ΦAEλ(x) = (x−λ)ma(λ)et que Q=Lλ∈spectre(A)Eλ. En particulier dim(Eλ) = ma(λ).
2) Consid´erons la matrice Ade la restriction AEλde Adans une base Vλde Eλ. Posons B=A−
λI. Puisque 0 = ΦAEλ(A) = (−B)ma(λ)par le th´eor`eme de Cayley Hamilton (Exercice 5), d´eduisez
de l’exercice 3 qu’il existe une base Uλde Eλdans laquelle l’endomorphisme B:= AEλ−λIEλ
admet une matrice shift-blocs-diagonale. Montrez en particulier qu’`a chaque bloc correspond un
vecteur propre associ´e `a λ. Aussi il y a mg(λ)blocs dans la matrice de B.
3) Dans la base U:= ∪λ∈spectre(A)Uλ, la matrice de Aest donc une matrice bloc diagonale compos´ee
de Pλ∈spectre(A)mg(λ)blocs Jλ,i avec λ∈spectre(A)et i= 1, . . . , mg(λ), o`u Jλ,i est appel´e bloc
de Jordan et est une matrice carr´ee de la forme:
Jλ,i =
λ1 0 · · · 0
0λ1· · · 0
.
.
...........
.
.
0· · · · · · λ1
0· · · · · · 0λ