Licence MAEF Alg`ebre S4: TD2 Exercice 1 Soit A une matrice n×n

Licence MAEF Algèbre S4: TD2
Exercice 1 Soit A une matrice n × n d’éléments Aij . Notons Aij la matrice A dans laquelle on a
éliminé la i-ème ligne et la j-ème colonne. Aij est donc une matrice (n − 1) × (n − 1). detn−1 (Aij )
est appelé mineur de l’élément Ai,j . αij := (−1)i+j detn−1 (Aij ) est appelé cofacteur de l’élément
Aij . La transposée de la matrice des cofacteurs est appelée matrice adjointe de A et est notée
adj(A). Ainsi adj(A)ij = αji .
1) Pour x ∈ Rn , notons Aj (x) la matrice A dont on a remplacé la j-ème colonne par [x]. Notons φj
l’application x → φj (x) := detn−1 (Aj (x)). Montrez que φj est une application linéaire de Rn vers
Pn
R. Il existe donc cj1 , . . . , cjn ∈ R tels que φj (x) = k=1 cjk xk . Démontrez que l’on peut exprimer
les cjj en fonctions des cofacteurs de A.
2) Si l’on note aj la jème colonne de A, montez que φj (ak ) = 0 si j 6= k et que φj (aj ) = detn (A).
3) En déduire que Adj(A)A = det(A).In .
Exercice 2 1)Soit T une application linéaire d’un espace vectoriel E de dimension n vers un
espace F de dimension m. Soit U et mathcal V des bases de E et F respectivement. Montrez qu’il
existe une matrice T ∈ Rm×n unique telle que, pour tout point e ∈ E de coordonnés x = (x1 , . . . , xn )
dans la base U, on ait [y] = T [x] où y = (y1 , . . . , ym ) sont les coordonnées du point T (e) ∈ E dans
la base V. Nous noterons cette matrice V TU .
2) En particulier, si I est l’application identité de E vers E et si U et mathcal V sont des bases
de E, montrez que la matrice V IU est la matrice de changement de base de U vers V.
3) Si U et mathcal V sont des bases d’un espace E de dimension n, si T est une application linéaire
de E vers E, comment peut-on trouver V TV à partir de U TU ?
4) Montrez dans la sous question précédente que detn (V TV ) = detn (U TU ). Ceci permet de définir le
déterminant det(T ) d’une application linéaire T de E vers E comme le déterminant de sa matrice
U TU dans une base U quelconque.
Exercice 3 Si la matrice B d’un endomorphisme B sur un espace E dans une base V est une
matrice qui vérifie B n = 0. Notons Ki := Ker(B i ) et κi := dim(Ki ) − dim(Ki−1 ).
1) MontrezPque ∀i : Ki ⊂ Ki+1 et Kn = E. On en déduira en particulier que ∀i : κi ≥ 0 et que
n
dim(E) = i=1 κi .
2) Soit Xn une famille libre telle que vect(Xn ) ⊕ Kn−1 = Kn . En particulier #Xn = κn . (Si
Kn−1 = Kn , on prendra Xn := ∅ et l’on posera par convention que ∅ est une famille libre.)
Montrez que B(Xn ) est une famille libre et que vect(B(Xn )) ⊕ Kn−2 ⊂ Kn−1 . Il existe donc une
partie libre Xn−1 ⊃ B(Xn ) telle que vect(Xn−1 ) ⊕ Kn−2 = Kn−1 . En particulier #Xn−1 = κn−1 .
3) En continuant par récurrence, on construit donc une suite de familles libres X1 , . . . , Xn telle
que ∀q : vect(Xq ) ⊕ Kq−1 = Kq et ∀q : B(Xq ) ⊂ Xq−1 et #Xq = κq .
4) Montrez que U := ∪ni=1 Xi est une partie libre et que c’est donc une base de E.
5) La base U ainsi construite est donc constituée des éléments {a, b, c . . .} de Xn ∪∪n−1
q=1 (Xq \B(Xq+1 ))
et de tous leurs itérés non-nuls par B. En ordonnant U de la manière suivante
U = {B ka (a), B ka −1 (a), . . . , B(a), a, B kb (b), B kb −1 (b), . . . , B(b), b, . . .},
montrez que la matrice de B dans la base U est une matrice blocs-diagonale dont les blocs sont des
matrices de shift: Une matrice A ∈ Rl×l est dite de shift ssi Ai,j = 1 si j − i = 1 et Ai,j = 0 si
j − i 6= 1.
6) Sur Pn [X] l’opérateur de dérivation D vérifie Dn+1 = 0. Trouvez une base dans laquelle D a
une matrice shift-blocs-diagonale.
Exercice 4 1) Division euclidienne: Soient p et q deux polynômes de degré respectif n et m avec
n ≥ m. Montrez qu’il existe deux polynômes b et r tels que le degré de r soit strictement inférieur
à m et tels que p = b.q + r.
2) Trouvez b et r lorsque p = 3x4 + 2x3 + x + 1 et q = x3 + 3x2 + 2x + 1.
3) Algorithme d’Euclide: Soient r0 r1 deux polynômes dont on veut trouver le plus grand commun
diviseur. Sans perte de généralités, on peut supposer deg(r0 ) ≥ deg(r1 ). On peut alors réaliser les
divisions euclidiennes successives:
r 0 = b0 r1 + r 2
r 1 = b1 r2 + r 3
...
rn−2 = bn−2 rn−1 + rn
Puisque deg(r1 ) > deg(r2 ) > deg(r3 ) > · · · , il existera n tel que rn sera nul. Soit n∗ le plus petit
n tel que rn = 0. Montrez que rn∗ −1 est le polynôme de degré le plus élevé qui divise r0 et r1 .
4) Trouvez le plus grand commun diviseur des polynômes suivants 5x4 − 33x3 − 10x2 − 33x + 7 et
3x4 − 19x3 − 19x2 + 37x − 14
5) Deux polynômes sont dits premiers entre eux leurs seuls diviseurs communs sont les constantes.
Utilisez l’algorithme d’Euclide pour démontrer que si p et q sont premiers entre eux, alors il existe
deux polynomes a et b tels que ap + bq = 1.
6) Montrez que p et q sont premiers entre eux ssi ils n’ont dans C aucune racine commune.
Exercice 5 Théorème de Cayley Hamilton
1) Soit A un endomorphisme sur un espace vectoriel E de dimension n. On définit le polynôme
caractéristique ΦA de A comme l’application ΦA : x → ΦA (x) := det(xI − A). Démontrez que ΦA
est un polynôme de degré n de coefficient dominant 1: ΦA (x) = xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x1 + b0 x0
2) Soit A la matrice de A dans une base U de E. Montrez que les mineurs de la matrice xI − A
sont des polynômes de degré n − 1. On peut donc écrire adj(xI − A) = Bn−1 xn−1 + . . . B1 x1 + B0 x0
où les Bk sont des matrices constantes n × n.
3) Par l’exercice 1-3), on a donc (xI − A)adj(xI − A) = ΦA (x)I. Par identification des coefficients
des polynômes, montrez que ΦA (A) = 0.
Exercice 6 Si A est un endomorphisme sur un espace vectoriel E de dimension n, un vecteur
non-nul v est un vecteur propre de A ssi il existe λ ∈ C tel que Av = λv. λ est alors dite valeur
propre associée à v. Si λ est une valeur propre de A, l’ensemble des vecteurs propres de A associés
à λ coı̈ncide donc avec Ker(λI − A). On appelle multiplicité géométrique d’une valeur propre λ
le nombre mg (λ) := dim(Ker(λI − A)). On appelle spectre de A l’ensemble spectre(A) de ses
valeurs propres.
1) Montrez que λ est une valeur propre de A ssi ΦA (λ) = 0.
2) Montrez que pour chaque valeur
Q propre λ de A, il existe un entier ma (λ), appelé multiplicité
algébrique de λ, tel que ΦA (x) = λ∈spectre(A) (x − λ)ma (λ)
Exercice 7 1) Si A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rm×m et enfin si O est la matrice de Rm×n dont
tous les éléments sont nuls, montrez que
A B
detn+m
= detn (A) · detm (C).
O C
2) Si A est un endomorphisme sur une espace vectoriel G, un sous-espace E de G est un espace
propre de A ssi A(E) ⊂ E. Si E est un espace propre de A, il existe une base U de G dont les
premiers éléments forment une base de E. Que pouvez-vous dire de la matrice A de A dans cette
base? Si AE représente la restriction de A à l’espace E, AE est alors un endomorphisme sur E.
Montrez que ΦAE divise ΦA .
3) Si λ ∈ spectre(A), montrez que E := Ker(λI −A) est un espace propre de A. Calculez ΦAE (x).
Montrez que ∀λ ∈ spectre(A) : ma (λ) ≥ mg (λ) ≥ 1.
4) Si E et F sont des espaces propres de A de dimensions finies tels que G = E ⊕ F , il existe une
base U de G dont les premiers éléments forment une base de E et les derniers une base de F . Que
pouvez-vous dire de la matrice A de A dans cette base?
Si AE et AF représentent les restrictions de A aux espaces E et F . Montrez que ΦA (x) =
ΦAE (x) · ΦAF (x).
Exercice 8 Soit A un endomorphisme sur un espace G de dimension n et supposons que p et q
soient des polynômes premiers entre eux de coefficient dominant 1 et tels que ΦA (x) = p(x) · q(x).
Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe deux espaces propres de A: E et F tels que
G = E ⊕ F et p(x) = ΦAE (x) et q(x) = ΦAF (x).
1) Soit A la matrice de A dans une base V de G. Notons P := p(A) et Q := q(A). Utilisez
l’exercice 4 pour montrer qu’il existe des matrices C et D dans Rn×n telles que P · C + Q · D = I.
Montrez que C, D, A, P et Q commutent: (par exemple D · P = P · D)
2) Posons S := P · C et T := Q · D. Définissons l’espace E (resp. F ) comme l’ensemble des
vecteurs de G dont les coordonnées dans la base V sont des combinaisons linéaires des colonnes de
T (resp. S).
Puisque A, S et T commutent, concluez que l’espaces E et F sont des espaces propres pour A.
3) Utilisez le point 1) pour montrer que G = E + F .
4) Montrez que P · Q = 0 = Q · P . En déduire que si x (resp. y) sont les coordonnées d’un point
de E (resp. F ) dans la base V, alors P x = 0 (resp. Qy = 0).
5) Utilisez 4) pour montrer que G = E ⊕ F et conclure avec l’exercice 7 que p(x) · q(x) = ΦAE (x) ·
ΦAF (x)
6) Montrez que si λ est une racine de ΦAE , il existe dans E un vecteur propre v non-nul associé
à λ. Montrez que p(λ) = 0 puisque P v = 0. Puisque p et q sont premiers, q(λ) 6= 0. En conclure
que ΦAE = p et ΦAF = q.
Exercice 9 (Décomposition de Jordan)
1) Déduire de l’exercice précédent et de l’exercice 6-2) que si A un endomorphisme sur un espace
G de dimension finie, il existe pour chaque L
valeur propre λ de A un sous-espace propre Eλ de A
tel que ΦAEλ (x) = (x − λ)ma (λ) et que Q = λ∈spectre(A) Eλ . En particulier dim(Eλ ) = ma (λ).
2) Considérons la matrice A de la restriction AEλ de A dans une base Vλ de Eλ . Posons B = A −
λI. Puisque 0 = ΦAEλ (A) = (−B)ma (λ) par le théorème de Cayley Hamilton (Exercice 5), déduisez
de l’exercice 3 qu’il existe une base Uλ de Eλ dans laquelle l’endomorphisme B := AEλ − λIEλ
admet une matrice shift-blocs-diagonale. Montrez en particulier qu’à chaque bloc correspond un
vecteur propre associé à λ. Aussi il y a mg (λ) blocs dans la matrice de B.
3) Dans
P la base U := ∪λ∈spectre(A) Uλ , la matrice de A est donc une matrice bloc diagonale composée
de
λ∈spectre(A) mg (λ) blocs Jλ,i avec λ ∈ spectre(A) et i = 1, . . . , mg (λ), où Jλ,i est appelé bloc
de Jordan et est une matrice carrée de la forme:


λ
1
0
··· 0
 0 λ
1
··· 0 


 .. . .
.. 
..
..
Jλ,i =  .
.
.
.
. 


 0 ··· ···
λ
1 
0 ··· ···
0 λ