1. Polynômes, équations polynomiales 2. Autres types d`équations 3

ALGÈBRE GROUPE B
1. Polynômes, équations polynomiales
Exercice 1. Résoudre dans
R
Exercice 2. Montrer que si
x+
entiers pour tout
x4 − 2x3 + x2 − 2x + 1 = 0
l'équation
1
x
est un entier, alors
xn +
1
xn
et
xn −
x−
n ∈ N.
1
xn
1
x
sont des
x9 − 12x8 + x7 + x6 + 5x5 − x4 + x3 − 7x2 + x + 1
Exercice 3. Le polynôme
a-t-il
des racines rationnelles ? Si oui, les déterminer toutes.
n
Exercice 4. a) Montrer que pour tout entier
et de degré
n,
b) Déterminer les
il existe un polynôme
Pn ,
unitaire
P
que
cos(xπ)
est rationnel.
P (x) =
P (P (x)) = x n'en a pas non plus.
49
50
x − 49 x − 50
+
=
+
.
6. Résoudre l'équation
50
49
x − 50 x − 49
7. Déterminer les polynômes P, Q, R, S tels que P (x)Q(y)+R(x)S(y) = 1
x et y réels.
Exercice 5. Soit
x
2 cos nx = Pn (2 cos x).
nombres rationnels x tels
tel que
un polynôme du second degré. Montrer que si l'équation
n'a pas de solution réelle, alors l'équation
Exercice
Exercice
pour tous
Exercice 8. Trouver tous les polynômes
P (x)
satisfaisant l'identité
xP (x − 1) = (x − 26)P (x)
pour tout
x.
2. Autres types d'équations
Exercice 9. Résoudre
p
p
√
√
x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1.
Exercice 10. Résoudre
cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = 1.
Exercice 11. Trouver toutes les solutions strictement positives du système d'équations

x1 + x2




 x2 + x3
x3 + x4


x4 + x5



x5 + x1
= x23
= x24
= x25
= x21
= x22
3. Fractions rationnelles
Exercice 12. Calculer
P100
n=1
1
n(n + 1)
et
P100
n=1
1
.
n(n + 1)(n + 2)
4. Suites
n ∈ N∗ . Trouver toutes les
1 − x2n−1 = xn , 1 − x2n = x1 .
Exercice 13. Soit
1−
x22
= x3 ,. . . ,
Exercice 14. Soit
tout
n > 1.
(xn )n>1
u0 = 5
et
un+1 = un +
1
1 − x21 = x2 ,
|x1 | < 2014, et 3xn − xn−1 = n
x2014 à 10−6 près.
une suite telle que
Trouver une valeur approchée de
Exercice 15. On pose
solutions du système
1
un .
Montrer que
pour
45 < u1000 < 50.
ALGÈBRE GROUPE B
1.
Polynômes, équations polynomiales
Résoudre dans R l'équation x4 − 2x3 + x2 − 2x + 1 = 0
2
2
−2 −
Solution. x = 0 n'étant pas solution, on divise l'équation par x , ce qui donne x + x
−1
2
−2
−1
2
−1
2(x + x ) + 1 = 0. Or, x + x = (x + x √
) − 2. En posant y = x + x , on obtient
y 2 − 2y − 1p= 0, qui a pour solution y = 1 ± 2. Ensuite, comme x2 − yx + 1 = 0, on a
x = 21 (y ± y 2 − 4), on a nécessairement |y| > 2, et donc
Exercice 1.
√
1
x = (1 + 2 ±
2
q
√
−1 + 2 2).
Exercice 2.
Montrer que si x + x1 est un entier, alors xn + x1n et
xn
−
x−
1
xn
1
x
sont des entiers
pour tout n ∈ N.
Solution. On montre qu'il existe des polynômes Tn , dits de Tchebyche, unitaires, de
degré n et à coecients entiers, vériant xn + x−n = Tn (x + x−1 ).
On peut prendre évidemment T0 = 2 et T1 (X) = X . Comme (x + x−1 )(xn + x−n ) =
(xn+1 + x−n−1 ) + (xn−1 + x−n+1 ), on peut poser Tn+1 (X) = XTn (X) − Tn−1 (X).
Si x + x1 est un entier, alors Tn (x + x−1 ) est aussi un entier, ce qui démontre la première
assertion.
Montrons qu'il existe des polynômes Un (de Tchebyche de deuxième espèce), unitaires,
xn+1 − x−n−1
= Un (x + x−1 ).
de degré n et à coecients entiers, tels que
x − x−1
On peut poser U0 (X) = 1 et U1 (X) = X .
Comme (x+x−1 )(xn+1 −x−n−1 ) = (xn+2 −x−n−2 )+(xn −x−n ), on dénit par récurrence
Un+1 (X) = XUn (X) − Un−1 (X) et la même démonstration que ci-dessus s'applique. 9
8
7
6
5
4
3
2
Exercice 3. Le polynôme x − 12x + x + x + 5x − x + x − 7x + x + 1 a-t-il des
racines rationnelles ? Si oui, les déterminer toutes.
Solution. Supposons que x = p/q est une racine rationnelle, avec p et q premiers entre
eux. On a
p9 − 12p8 q + p7 q 2 + p6 q 3 + 7p5 q 4 − p4 q 5 + p3 q 6 − 7p2 q 7 + pq 8 + q 9 = 0.
On en déduit que p divise q 9 , et donc p = ±1. De même, q divise p9 donc q = ±1, ce qui
entraîne x = ±1. Or, on vérie directement que 1 et −1 ne sont pas des racines, donc le
polynôme indiqué n'a pas de racines rationnelles.
Exercice 4. a) Montrer que pour tout entier n il existe un polynôme Pn , unitaire et de
degré n, tel que 2 cos nx = Pn (2 cos x).
b) Déterminer les nombres rationnels x tels que cos(xπ) est rationnel.
Solution. a) Comme 2 cos nx cos x = cos(n + 1)x + cos(n − 1)x, on vérie par récurrence
que Pn est le n-ième polynôme de Tchebyche.
b) Si x = m/n avec m et n premiers entre eux, alors Tn (2 cos xπ) = 2 cos mπ = ±2. Donc
2 cos xπ est une racine rationnelle de Tn ∓2. Comme Tn est unitaire, le même raisonnement
qu'un exercice précédent montre que 2 cos xπ est un entier, donc cos xπ est égal à 0, ±1 ou
±1/2. Les nombres x correspondants sont 21 + k , k , k/3 avec k entier.
1
2
ALGÈBRE GROUPE B
Soit P un polynôme du second degré. Montrer que si l'équation P (x) = x
n'a pas de solution réelle, alors l'équation P (P (x)) = x n'en a pas non plus.
Exercice 5.
Solution. P (x) − x ne change pas de signe. Supposons par exemple que P (x) > x pour
tout x, alors P (P (x)) > x pour tout x. On raisonne de même dans l'autre cas.
x − 49 x − 50
49
50
+
=
+
.
50
49
x − 50 x − 49
Posons a = 49 et b = 50 pour abréger. On chasse les dénominateurs, ce qui
Exercice 6.
Solution.
donne
Résoudre l'équation
a(x − a)2 (x − b) + b(x − a)(x − b)2 = a2 b(x − a) + ab2 (x − b).
On factorise : (x − a)(x − b)(a(x − a) + b(x − b)) = ab(a(x − a) + b(x − b)).
2 +b2
ou (x − a)(x − b) = ab. Cette dernière équation se simplie
Ceci équivaut à x = aa+b
en x2 − (a + b)x = 0. On trouve nalement les solutions x = 0, x = a + b et x =
a2 +b2
a+b .
Déterminer les polynômes P, Q, R, S tels que P (x)Q(y) + R(x)S(y) = 1 pour
tous x et y réels.
Exercice 7.
Solution. Si par exemple P = 0, alors R(x)S(y) = 1 donc R et S sont des constantes
inverses l'une de l'autre. On traite de même le cas où l'un des autres polynômes est nul.
Supposons donc que les polynômes sont non nuls.
Si Q est constant, alors R(x)S(y) ne dépend pas de y , donc puisque R est non nul, S
est constant. Alors P est un polynôme quelconque, et R est le polynôme S1 (1 − QP (y)).
De même, si P est constant, alors R est constant et on raisonne de manière analogue.
Supposons maintenant que les polynômes ne sont pas constants. Soient y et z des réels
tels que S(y) et S(z) sont non nuls. On a
R(x) =
1
1
(1 − Q(y)P (x)) =
(1 − Q(z)P (x))
S(y)
S(z)
donc S(z) − S(y) + [S(y)Q(z) − S(z)Q(y)]P (x) = 0. Si S(y)Q(z) − S(z)Q(y) était non
nul, alors P (x) serait constant, ce qui est contradictoire. Donc S(y)Q(z) − S(z)Q(y) = 0,
et par suite S(z) = S(y).
Autremement dit, toutes les valeurs non nulles de S sont égales, ce qui implique aisément
que S est constant. Contradiction.
Exercice 8.
Trouver tous les polynômes P (x) satisfaisant l'identité
xP (x − 1) = (x − 26)P (x)
pour tout x.
Solution. En posant x = 0, on voit que 0 est une racine de P . Ensuite, si n est un entier
< 26 tel que P (n − 1) = 0, on a 0 = nP (n − 1) = (n − 26)P (n) donc P (n) = 0.
Ceci entraîne que les entiers 0, 1, . . . , 25 sont des racines de P . On peut factoriser
P (x) = x(x − 1) · · · (x − 25)Q(x).
En substituant dans l'équation initiale, on obtient Q(x) = Q(x − 1), et par récurrence,
Q(n) = Q(0) pour tout entier. Si Q était non constant, il tendrait vers ±∞ lorsque x
tend vers l'inni : contradiction. Donc Q est constant, ce qui signie que P (x) = ax(x −
1) · · · (x − 25) pour une certaine constante a ∈ R.
2.
Autres types d'équations
p
p
√
√
x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1.
Exercice 9. Résoudre
p
p
√
Solution. Posons y =
x − 1. On a x = y 2 +1. L'équation s'écrit (y − 2)2 + (y − 3)2 =
1, ou encore |y − 2| + |y − 3| = 1.
Si y > 3, l'équation devient 2y − 5 = 1, ou encore y = 3.
ALGÈBRE GROUPE B
3
Si y 6 2, l'équation devient 2y − 5 = −1, ou encore y = 2.
Si 2 6 y 6 3, l'équation devient 1 = 1, qui est toujours vraie.
Par conséquent, l'équation équivaut à 2 6 y 6 3, ou encore à 5 6 x 6 10.
2
2
2
Exercice 10. Résoudre cos x + cos 2x + cos 3x = 1.
2
Solution. Comme 2 cos x = 1 + cos 2x, l'équation se transforme en
1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0.
Comme 1 + cos 6x =
et cos 2x + cos 4x = 2 cos x cos 3x, l'équation devient
cos 3x(cos 3x + cos x) = 0, ou encore cos x cos 2x cos 3x = 0.
La solution est : x = (k + 12 )π ou x = (k + 12 ) π2 ou x = (k + 21 ) π3 avc k ∈ Z.
Exercice 11. Trouver toutes les solutions strictement positives du système d'équations
2 cos2 3x

x1 + x2




 x2 + x3
x3 + x4


x4 + x5



x5 + x1
Solution.
= x23
= x24
= x25
= x21
= x22
Il est évident que x1 = · · · = x5 = 2 est solution. Montrons qu'il n'y en a pas
d'autre.
Soit i tel que xi est maximal. On a x2i = xi−1 + xi−2 6 2xi , donc xi 6 2.
Ceci prouve que tous les xj sont 6 2.
P
P
P
De plus, en additionnant toutes les équations, on obtient 2 xi = x2i , donc (xi −
1)2 = 5. Chacun des cinq termes du membre de gauche est inférieur ou égal à 1, donc
(xi − 1)2 = 1 pour tout i, ce qui entraîne que xi = 2 pour tout i.
3.
Fractions rationnelles
P
1
1
et 100
.
n=1
n(n + 1)
n(n + 1)(n + 2)
1
1
1
= −
. En sommant ces égalités pour n = 1, . . . , 100, on
Solution. a)
n(n + 1)
n
n+1
1
100
obtient que la somme vaut 1 −
=
.
101
101
1
a
b
c
b) On cherche a, b, c tels que
=
+
+
. En chassant les
n(n + 1)(n + 2)
n
n+1
n+2
Exercice 12.
Calculer
P100
n=1
dénominateurs, ceci équivaut à
1 = a(n + 1)(n + 2) + bn(n + 2) + cn(n + 1),
donc à 1 = (a + b + c)n2 + (3a + 2b + c)n + 2a. Il sut d'avoir a + b + c = 3a + 2b + c = 0
et 2a = 1, ce qui se résout aisément en a = 1/2, b = −1, c = 1/2. On en déduit facilement
1
1
1
que la somme est égale à −
+
.
4
202
204
4.
Exercice 13.
x3 ,. . . , 1 −
Suites
Soit n ∈ N∗ . Trouver toutes les solutions du système 1 − x21 = x2 , 1 − x22 =
= xn , 1 − x2n = x1 .
x2n−1
Notons f (x) = 1 − x2 . On cherche une solution du système xi+1 = f (xi )
(1 6 i 6 n) avec par convention xn+1 = x1 .
Cherchons d'abord les points xes de f . On a f (x) = x si et√seulement si x2 +
√ x − 1 = 0.
Solution.
Les deux solutions de cette dernière équation sont a =
On a alors les solutions évidentes du système :
−1 −
2
5
et b =
−1 +
2
5
.
4
ALGÈBRE GROUPE B
• xi = a pour tout i ;
• xi = b pour tout i.
Comme f (0) = 1 et f (1) = 0, si n est pair on a encore les solutions évidentes suivantes :
• xi = 0 pour i pair et xi = 1 pour i impair ;
• xi = 1 pour i pair et xi = 0 pour i impair.
Montrons qu'il n'y a pas d'autres solutions. Soit (xk )16k6n une solution diérente des
précédentes. Il est facile de voir qu'elle ne prend jamais les valeurs a, b, 0, 1.
Si x1 < a, comme f (x) < x pour tout x < a on a x2 = f (x1 ) < x1 . On montre de même
x1 > x2 > · · · > xn > x1 , ce qui est impossible.
Supposons que la suite prenne des valeurs comprises entre 0 et 1.
Le polynôme x 7→ f (f (x)) − x est de degré 4 et a pour racines 0, 1, a, b, donc il n'en a
pas d'autres.
D'autre part, f laisse l'intervalle [0, 1] stable, et est décroissante sur [0, 1], donc f ◦ f est
croissante sur [0, 1]. S'il existait un entier k tel que xk appartient à [0, 1], supposons par
exemple xk 6 xk+2 . En appliquant f ◦ f , on obtient xk+2 6 xk+4 , et ainsi de suite, donc
la suite est croissante. Comme elle ne prend qu'un nombre ni de valeurs, deux valeurs
successives sont égales, ce qui signie que ces valeurs sont 0, 1, a ou b. Impossible. On
aboutit de même à une contradiction si xk+2 6 xk . Donc la suite ne prend pas de valeurs
entre 0 et 1.
Supposons que la suite prenne une valeur xk entre a et 0. Comme a 6 f (x) 6 1 pour
tout x ∈ [a, 0], on a xk+1 ∈ [a, 1], mais comme la suite ne prend pas de valeurs entre 0 et
1 on a xk+1 ∈ [a, 0]. On aboutit de même à une contradiction en utilisant la croissance de
f sur [a, 0].
D'après ce qui précède, la suite ne prend pas de valeurs 6 1, donc xk > 1 pour tout k.
On aboutit encore à une contradiction en utilisant la décroissance de f sur [1, +∞[. Soit (xn )n>1 une suite telle que |x1 | < 2014, et 3xn − xn−1 = n pour tout
n > 1. Trouver une valeur approchée de x2014 à 10−6 près.
Exercice 14.
Solution. Cherchons une solution de la relation de récurrence de la forme xn = an + b
(sans tenir compte de la condition initiale). Les réels a et b doivent vérier n = 3(an + b) −
a(n − 1) − b = 2an + (2b + a), donc a = 1/2 et b = −1/4.
Ceci conduit à poser yn = xn − ( n2 − 41 ). Cette suite vérie la relation de récurrence
y 2015
1 3yn = yn−1 . Comme de plus |y1 | < 2015, on a |y2014 | = 2013 < 2013 < 10−6 , donc
3
3
1006, 75 est une valeur approchée de x2014 à 10−6 près.
Exercice 15.
On pose u0 = 5 et un+1 = un + u1n . Montrer que 45 < u1000 < 50.
Posons xn = u2n . En élevant au carré les conditions de l'énoncé, on trouve
x0 = 25 et xn+1 = xn + x1n + 2, donc déjà xn+1 > xn + 2. Par récurrence, il vient
xn > 25 + 2n et en particulier x1000 > 2025 = 452 , ce qui démontre la première inégalité.
1
. En sommant pour n entre 0 et 999, on
D'autre part, xn+1 − xn = 2 + x1n 6 2 + 25+2n
1
1
1
obtient x1000 − 25 6 2000 + ( 25 + 27 + · · · + 2023 ) 6 2000 + 1000
25 = 2040, d'où x1000 6
2065 < 502 , ce qui démontre l'assertion.
Solution.

   
Lundi  février 
Joon K

E . — On souhaite ranger sur une étagère k livres de mathématiques (distincts),
m livres de physique, et n de chimie. De combien de façons peut-on effectuer ce rangement :
) si les livres doivent être groupés par matières ;
) si seuls les livres de mathématiques doivent être groupés.
E . — Pour n ∈ N∗ , on note an le nombre de manières de recouvrir un rectangle
de taille 2 × n avec des pièces de taille 1 × 2. Trouver une relation de récurrence entre les
an .
E . — On dispose d’un domino de largeur 1 et de longueur n . On note An le
nombre de coloriages possibles de ce domino, c’est-à-dire le nombre de façons différentes
de noicir ou non les cases. On note Fn le nombre de façons de colorier ce domino de telle
sorte qu’il n’y ait jamais deux cases voisines noircies.
) Calculer An .
) Calculer F1 , F2 , F3 et F4 .
) Trouver une relation de récurrence entre les Fn .
) Montrer que ∀n ∈ N∗ , ∀ p ∈ N∗ , Fn+ p+1 = Fn F p + Fn−1 F p−1 .
E . — Soit n et k entiers tels que 1 ⩽ k ⩽ n . Donner deux démonstrations de
k+1
k
la formule suivante : Cn+1
= Cnk + Cn−1
+ . . . + Ckk .

E . — uel est le nombre de m -uplets (x1 , x2 , . . . , x m ) ∈ (N∗ ) m vérifiant x1 +
. . . + xm = n ?
E . — Soit n ∈ N∗ . On se donne 2n points sur le bord d’un cercle. On note Fn le
nombre de façons de relier ces points, deux à deux, à l’aide de n cordes qui ne se recoupent
pas à l’intérieur du cercle. Trouver une relation de récurrence entre les Fn .
E . — Trouver une formule simple pour
n
∑
Cnk k 2 .
k=1
E . — Soit n ∈ N. Montrer que
n €
∑
Š2
n
Cnk = C2n
.
k=0
E . — Soient 1 ⩽ k < n des entiers. On considère toutes les suites finies d’entiers strictement positifs dont la somme vaut n . Combien de fois l’entier k apparaît-il dans
l’ensemble de ces suites ?


Stage OFM - Arithmétique junior : Euler, Fermat et leurs amis.
(Février 2014)
Exercice 1.
Soit n un entier premier avec 10.
Prouver qu’il existe un multiple de n qui ne s’écrit qu’avec des 1.
Exercice 2.
Soit n > 1 un entier.
Prouver que si n divise 2n + 1 alors n est divisible par 3.
Exercice 3 (Saint-Petersbourg olympiad).
Soit n, a > 1 des entiers.
Prouver que n divise ϕ(an − 1).
Exercice 4.
Prouver que, pour tous entiers m, n, le nombre mn(m60 − n60 ) est divisible
par 56786730.
Exercice 5.
Déterminer le pgcd des nombres a7 − a lorsque a décrit N.
Exercice 6 (OIM 2005 pb.4).
On considère la suite a1 , a2 , ... définie par :
an = 2n + 3n + 6n − 1, pour tout entier n ≥ 1.
Trouver tous les entiers strictement positifs qui sont premiers avec chaque
terme de la suite.
Exercice 7.
Soit p un nombre premier. Prouver qu’il existe un diviseur premier de pp − 1
qui est congru à 1 modulo p.
Exercice 8 (Roumanie 2003).
Soit P l’ensemble des nombres premiers. On considère une partie M de
P ayant au moins trois éléments. On suppose que, pour toute partie non
1
Q
vide A de M avec A 6= M , les facteurs premiers du nombre ( p∈A p) − 1
appartiennent à M .
Prouver que M = P.
Exercice 9.
Soit ϕ la fonction d’Euler.
Prouver que si p est un nombre premier et n > 0 un entier, on a
ϕ(pn ) = (p − 1)pn−1 .
Exercice 10.
Soit n ≥ 0 un entier.
n
a) Prouver que tout diviseur premier de Fn = 22 + 1 est congru à 1
modulo 2n+1 .
b) En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 2n k+1.
Exercice 11 (USA 2003).
Déterminer tous les triplets de nombres premiers p, q, r tels que
p divise q r + 1, q divise rp + 1 et r divise pq + 1.
Exercice 12 (OIM 2003 pb.6).
Soit p un nombre premier. Montrer qu’il existe un nombre premier q tel que
pour tout entier n, le nombre np − p n’est pas divisible par q.
2
Stage de Cachan - Exercices de géométrie
(Juniors)
Février 2014
Exercice 1
Γ1 et Γ2 se coupent en A et B . Une droite passant
par A coupe Γ1 en C et Γ2 en D . Soit M le milieu de CD . La droite BM
coupe les cercles en E et G. Montrer que M E = M G.
Exercice 2
Deux cercles
Soient deux cercles
Γ1
et
Γ2
qui se coupent en
P
tangente commune aux deux cercles la plus proche de
A et B respectivement. Soit I le point d'intersection
(P Q). Montrer que I est le milieu de [AB].
en
Exercice 3
côtés
Soit un triangle
AC, BC
et
AB
ABC et son
Y, X, Z
aux points
cercle inscrit
et
des droites
Q.
La
Γ. Γ
(AB)
et
est tangent aux
γA le cercle
et AB aux points
respectivement. Soit
b, qui est tangent aux côtés AC, BC
exinscrit dans l'angle A
KB , KA , KC respectivement. Montrer que BKA = CX .
Exercice 4
P
touche les cercles
A, B, C, D quatre points distincts alignés. Les cercles de
BD se coupent en X et Y . La droite (XY ) coupe (BC) en
Z . Soit P un point de (XY ) autre que Z . La droite (CP ) coupe le cercle de
diamètre AC en C et M , et la droite (BP ) coupe le cercle de diamètre BD
en B et N . Montrer que les droites (AM ), (DN ) et (XY ) sont concourantes.
diamètres
Soient
AC
et
1
ARITHMÉTIQUE GROUPE A
1.
Exercice 1.
Factorisations et applications
Résoudre dans N l'équation x4 − 2y 2 = 1.
Trouver les entiers naturels strictement positifs a, b, p, n tels que p est
premier et a2 − b2 = pn .
Exercice 2.
Déterminer les entiers naturels m et n tels que 2n − 3m = 1. Même
question pour 3m − 2n = 1.
Exercice 3.
2.
Exercice 4.
Autour de l'algorithme d'Euclide
Calculer en fonction de n le pgcd de n3 + n − 1 et de n2 + 3.
Soient m et n deux entiers naturels et d leur pgcd. Soit a un entier.
a) Montrer que pgcd(an − 1, am − 1) = ad − 1.
b) Que vaut pgcd(an + 1, am + 1) ?
Exercice 5.
3.
Autour du théorème des restes chinois
On dit qu'un entier naturel n est automorphe si l'écriture décimale
du carré de n se termine par l'écriture décimale de n. Par exemple, n = 25 est
automorphe car 252 = 625.
Montrer que pour tout n > 2, il existe au plus deux nombres automorphes de n
chires.
Exercice 6.
Montrer que pour tout entier n > 0 il existe n entiers consécutifs ayant
au moins un facteur carré.
Exercice 7.
Montrer que pour tout entier n > 0 il existe n entiers consécutifs ayant
au moins 2014 diviseurs.
Exercice 8.
Montrer que pour tout entier n > 0 il existe n entiers consécutifs qui
ne sont pas sommes de deux carrés.
Exercice 9.
Exercice 10. Montrer que pour tout entier n > 0, parmi les entiers 1 × 2, 2 ×
3,. . . ,n × (n + 1) il y a exactement 2ω(n) entiers divisibles par n, où ω(n) est le
nombre de diviseurs premiers de n.
Montrer qu'il existe une suite strictement croissante (an )n>1 d'entiers
positifs telle que pour tout k, la suite (an + k)n>1 contient un nombre ni de nombres
premiers.
Exercice 11.
Existe-t-il une bijection de N∗ sur lui-même telle que pour tout k ∈ N∗ ,
k divise u1 + · · · + uk ?
Exercice 12.
4.
Exercice 13.
n [83].
Ordre multiplicatif
a) Montrer que si n est un entier alors il existe x ∈ N tel que x3 ≡
b) Est-il vrai que pour tout entier premier p et tout entier n, il existe x ∈ N tel
que x3 ≡ n [p] ?
1
2
ARITHMÉTIQUE GROUPE A
On dit qu'un entier g est un générateur de (Z/nZ)× si pour tout a
premier avec n il existe k ∈ N tel que g k ≡ a [n]. On admet que si n est premier alors
il existe un générateur de (Z/nZ)× .
a) Combien y a-t-il de générateurs de (Z/83Z)× ?
b) Quels sont les entiers p et m > 1 tels que p est premier et tels que (Z/pm Z)×
possède un générateur ?
c) (Z/143Z)× possède-t-il un générateur ?
Exercice 14.
Exercice 15.
Montrer que
Soient p1 , . . . , pk des entiers premiers > 3 deux à deux distincts.
+ 1 admet au moins 4n diviseurs.
2p1 ···pk
Existe-t-il un entier N qui est divisible par exactement 2014 nombres
premiers distincts et tel que 2N + 1 est divisible par N ?
Exercice 16.
Soit un = 2n − 3. Montrer qu'il existe une famille innie d'entiers F
telle que les un (n ∈ F ) sont deux à deux premiers entre eux.
Exercice 17.
5.
Divers
Montrer que si a1 , . . . , an sont des entiers alors il existe j et k tels que
aj + aj+1 + · · · + ak est divisible par n.
Exercice 18.
Soit a un entier xé. Si m et n sont premiers entre eux, quelle est la
plus grande valeur possible de pgcd(m + an, n + am) ?
Exercice 19.
Soit (un )n>1 une suite géométrique telle que u1 , u10 et u30 sont des
entiers. Montrer que u20 est un entier.
Exercice 20.
Existe-t-il un polynôme P de degré > 2 à coecients entiers tel que
P (p) est premier pour tout entier premier p ?
Exercice 21.
Soit (xn ) une suite strictement croissante telle que pour tout n > 2014
on a xn | x1 + x2 + · · · + xn . Montrer qu'il existe m tel que pour tout n > m on a
xn = x1 + · · · + xn−1 .
Exercice 22.
SOLUTION DE QUELQUES EXERCICES D'ARITHMÉTIQUE
Exercice 16. On montre par récurrence sur n qu'il existe des nombres premiers p1 , . . . , pn
et des exposants a1 , . . . , an tels que N = pa11 · · · pann divise 2N + 1.
C'est vrai pour n = 1 en prenant p1 = 3 et a1 = 1.
Supposons l'hypothèse de récurrence vraie. On cherche N 0 de la forme N × 3b p avec p
premier diérent de p1 , . . . , pn .
b
Ceci équivaut à ce que p divise ub = a3 + 1 où a = 2N . En eet, pour tout i > 2, pai i
0
divise 2N + 1 qui divise 2N + 1, et d'autre part si 3a1 divise 2N + 1 alors 3a1 +b divise
b
(2N )3 + 1 (LTE).
Notons que 3 divise ub puisque N est impair. Comme ub+1 = ub (u2b − 3ub + 3), et comme
u2b − 3ub + 3
, ub+1 a strictement plus de facteurs premiers distincts
3
que ub donc il existe b et un nombre premier p > max{p1 , . . . , pn } tels que p divise ub .
ub est premier avec
Exercice 17. Supposons un1 , . . . , unk deux à deux premiers entre eux. Soit P l'ensemble
des nombres premiers qui divisent l'un des uni . Soit n > max{un1 , . . . , unk } tel que n soit
un multiple de p − 1 pour tout p ∈ P. Alors 2n ≡ 1 [p] pour tout p ∈ P donc p ne divise
pas un . On peut donc poser nk+1 = n.
Exercice 18. D'après le principe des tiroirs, les nombres 0, a1 , a1 + a2 , . . . , a1 + a2 +
· · · + an ne peuvent pas être distincts modulo n.
Exercice 19. Si d divise m + an et n + am, alors m ≡ −an [d] et n ≡ −am [d] donc
n ≡ a2 n [d]. Or, n et d sont premiers entre eux (car un diviseur commun divise également
(m + an) − an = m), donc a2 ≡ 1 [d], ce qui implique d 6 a2 − 1.
Réciproquement, d = a2 − 1 est possible en prenant m = 1 et n = a2 − 1 − a.
9
29
Exercice 20. Soit q la raison de la suite. Notons a = u1 . Par hypothèse, a, aq et aq
sont des entiers. Par conséquent, q 9k+29` est un rationnel pour tous entiers relatifs k et
`. Comme 9 et 29 sont premiers entre eux, on en déduit que q est rationnel. Soient u et
v des entiers premiers entre eux tels que q = u/v . Comme aq 29 est un entier, v 29 divise
au29 . D'après le lemme de Gauss, v 29 divise a, et donc v 19 divise a. On en déduit que
u20 = au19 /v 19 est un entier.
Exercice 21. Soit n un entier premier avec P (0) tel que |P (n)| > 1. Soit q un diviseur
premier de P (n). Alors q ne divise pas n, sinon q diviserait P (0), ce qui contredirait le fait
que n et P (0) sont premiers entre eux.
D'après le théorème de Dirichlet, il existe une innité de nombres premiers p tels que
p ≡ n [q]. On a alors P (p) ≡ P (n) ≡ 0 [q]. Or P (p) est premier donc P (p) = q pour une
innité d'entiers premiers p. C'est impossible puisque P est de degré > 2.
Exercice 22. Posons Sn = x1 + · · · + xn . Par hypothèse, il existe an tel que Sn = an xn .
On a
Sn
Sn
Sn + xn+1
=1+
<1+
= 1 + an
xn+1
xn+1
xn
donc an+1 6 an . On en déduit que (an ) est constante à partir d'un certain rang m. Soit a
cette constante. Pour tout n > m, on a Sn = axn , donc axn+1 = Sn+1 = axn + xn+1 , ce
a
qui entraîne xn+1 =
xn . Comme a et a − 1 sont premiers entre eux, et comme une
a−1
an+1
suite géométrique à valeurs entières a nécessairement une raison entière (cf. raisonnement
de l'exercice 20), ceci n'est possible que si a = 2, ce qui signie que xn = x1 + · · · + xn−1 .
1
25 février 2014
Exercice 1
Trouver tous les polynômes P à coecients réels tels que pour tous réels a, b, c vériant ab + bc +
ca = 0, on ait : P (a − b) + P (b − c) + P (c − a) = 2P (a + b + c).
Exercice 2
Soit 0 < a < b < c < d < e < f des réels, a + c + e = S , b + d + f = T , σ = ac + ce + ea et
τ = bd + df + f b. Montrer que
4S 2 T 2 > 3(T + S)(T σ + Sτ ).
Exercice 3
Existe-t-il des réels a, b, c tels que pour tout n ≥ 2, le polynôme xn + · · · + x3 + ax2 + bx + c ait
n racines entières ?
1
Stage OFM - Algèbre senior.
(Février 2014)
Exercice 1 (liste courte 2010-A2).
Soit a, b, c, d des réels vérifiant a + b + c + d = 6 et a2 + b2 + c2 + d2 = 12.
Prouver que
36 ≤ 4(a3 + b3 + c3 + d3 ) − (a4 + b4 + c4 + d4 ) ≤ 48.
Exercice 2 (liste courte 2010-A3).
Soit x1 , ..., x100 des réels positifs ou nuls tels que xi + xi+1 + xi+2 ≤ 1 pour
i = 1, 2, ..., 100 (avec x101 = x1 et x102 = x2 ).
Déterminer la valeur maximale de
S=
100
X
xi xi+2 .
i=1
Exercice 3 (liste courte 2008-A3).
Existe-t-il des fonctions f et g de N∗ dans N∗ , strictement croissantes, et
telles que
f (g(g(x))) < g(f (x)) pour tout x ∈ N∗ ?
Exercice 4 (liste courte 2009-A2).
Soit a, b, c des réels strictement positifs tels que
Prouver que
1
a
+ 1b +
1
c
= a + b + c.
1
1
3
1
+
+
≤ .
2
2
2
(2a + b + c)
(2b + c + a)
(2c + a + b)
16
Exercice 5 (liste courte 2010-A4).
Une suite x1 , x2 , ... est définie par x1 = 1 et x2k = −xk et x2k−1 = (−1)k+1 xk
pour tout k ≥ 1.
Prouver que, pour tout n ≥ 1, on a
1
x1 + x2 + ... + xn ≥ 0.
Exercice 6 (liste courte 2010-A5).
Déterminer toutes les fonctions f : Q+∗ −→ Q+∗ telles que
f (f (x)2 y) = x3 f (xy),
pour tous x, y ∈ Q+∗ .
Exercice 7 (liste courte BMO 2010).
Prouver que, pour tous réels strictement positifs a, b, c, d, on a
(
a 5
b 5
c 5
d 5 1
) +(
) +(
) +(
) ≥ .
a+b
b+c
c+d
d+a
8
Exercice 8.
Soit n ≥ 3 un entier, et x1 , x2 , · · · , xn des réels strictement positifs.
Prouver que
(
xn−1 n−2
xn
x 1 + x2 + · · · + xn
x1 n−2
)
+ ··· + (
)
+ ( )n−2 ≥
.
1
x2
xn
x1
(x1 x2 · · · xn ) n
Exercice 9 (Liste longue 1974).
Soit a un réel non nul. Pour tout entier n, on pose Sn = an + a−n .
Prouver que, si pour un certain entier k, les nombres Sk et Sk+1 sont des
entiers, alors Sn est un entier pour tout n.
Exercice 10 (Berkeley Math Contest 2000).
Soient m, n ∈ N∗ . Prouver que si l’on peut paver un rectangle par des rectangles 1 × m et n × 1 dont les côtés sont parallèles à ceux du grand rectangle,
alors il est possible de le paver en n’utilisant que des rectangles 1 × m ou que
des rectangles n × 1.
Exercice 11 (URSS 1970).
On attribue une couleur à chacun des sommets d’un n-gone régulier de sorte
que les sommets d’une même couleur soient toujours exactement les sommets d’un polygone régulier. Prouver que, parmi ces polygones monochromatiques, il y en a deux qui sont isométriques.
2
Exercice 1.
Prouver que, pour tous réels strictement positifs x, y, z, on a
s
r
3
3
3
xy + yz + zx √
3
3 x + y + z
+
≥ 3 + 1.
2
2
2
xyz
x +y +z
Exercice 2.
Soit n ≥ 2 un entier et soit P le polynôme
P (X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 .
On suppose que P possède n racines strictement négatives.
Prouver que
a1 P (1) ≥
nn+1
a0 .
(n − 1)n−1
1