Puissance en régime forcé

PCSI CHAPITRE 11 : PUISSANCE EN REGIME FORCE 1/6
CHAPITRE 11 : PUISSANCE EN REGIME FORCE
I. INTRODUCTION
Le lecteur attentif se souvenant de l’électrocinétique de première partie aura remarqué que nous
avons systématiquement omis toute mention à l’énergie au cours du précédent chapitre. Nous allons
consacrer le chapitre 11 à des considérations énergétiques en régime forcé. Comme on peut s’y
attendre, les bilans énergétiques feront apparaître des nouveautés par rapport à notre étude en
régime continu.
La dépendance temporelle des signaux nous amènera tout d’abord à distinguer puissance
instantanée et puissance moyenne. Ensuite, l’existence d’un déphasage entre tension et courant nous
mènera à introduire les notions de facteur de puissance et d’adaptation d’impédance et, enfin, la
dépendance du circuit envers la fréquence conduira à l’existence d’une résonance en puissance.
II. PUISSANCE INSTANTANEE
1) Définition
Figure 11.1. : Rappel de la convention récepteur
L’expression connue de la puissance P reçue par un dipôle en convention récepteur (figure 11.1.)
se généralise aux régimes variables en introduisant la puissance instantanée
()
p
t reçue par le
dipôle à la date t :
(
)
(
)
(
)
p
tutit=
2) Cas des régimes sinusoïdaux
On note
ϕ
le déphasage du courant par rapport à la tension. On a donc en choisissant
convenablement l’origine des temps :
()
(
)
0cosut U t
ω
= et
(
)
(
)
0cosit I t
ω
ϕ
=
+
La puissance instantanée est :
() ( ) ( ) ()
00 00
1
cos cos cos cos 2
2
pt UI t t UI t
ω
ωϕ ϕ ωϕ =+=++
⎡
⎤
⎣
⎦
où on trouve la dernière égalité en utilisant l’identité d’Euler pour passer en notation complexe. La
puissance reçue par le dipôle est donc périodique, sa pulsation est double de celle de la tension à ses
bornes (sa période est donc moitié). Le dipôle se comporte comme un récepteur lorsque 0>P et
comme un générateur lorsque 0<P.
La puissance instantanée oscille autour de la valeur 00
cos
2
UI
ϕ
, a pour valeur à l’origine 00 cosUI
ϕ
et pour valeur extrémales
()
00 cos 1
2
UI
ϕ
+
et
()
00 cos 1
2
UI
ϕ
−
. La courbe correspondante est
représentée en figure 11.2 pour divers déphasages, les valeurs particulières sont données pour
l’exemple du déphasage 2
ϕ
.
u(t)
D
i(t)

PCSI CHAPITRE 11 : PUISSANCE EN REGIME FORCE 2/6
2T
10
ϕ
=
24
ϕπ =
32
ϕ
π =
478
ϕ
π =
GENERATEUR
RECEPTEUR
()
00
2
1cos
2
UI
ϕ
+
00 2
cosUI
ϕ
() tP
00
2
cos
2
UI
ϕ
()
00
2
cos 1
2
UI
ϕ −
Figure 11.2. : Puissance instantanée
III. PUISSANCE MOYENNE
1) Valeur moyenne
La moyenne temporelle d’une grandeur
(
)
f
t sur une durée 21 tt t
∆
=− s’écrit :
()
2
1
1t
t
f
ftdt
t
=∆∫
f
est donc la valeur constante dont l’intégration sur la durée t
∆
est égale à l’intégrale de
(
)
f
t.
Géométriquement, cela se traduit par l’égalité des aires algébriques se trouvant sous les courbes
()
f
t et ctef= (figure 11.3.).
Figure 11.3. : Interprétation géométrique du calcul de la valeur moyenne
Exemples :
• La moyenne d’une fonction périodique sinusoïdale sur une période est nulle :
()
00
11
cos cos 2 sin 2 0
2
T
Ttt
tdt
TT T
ωϕ π ϕ π ϕ
π
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
+= + = + =
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
∫
ce qui se comprend par l’interprétation géométrique de l’intégrale, les aires de la courbe au dessus et
en dessous de l’axe des abscisses étant égales. De même, l’intégrale de toute fonction impaire entre
une date arbitraire et son opposé est nulle.
• La moyenne du carré d’une fonction périodique est appelée « valeur quadratique moyenne ». La
valeur quadratique moyenne d’une fonction sinusoïdale est égale à un demi :
()
22
0
11
cos cos 2 2
Tt
tdt
TT
ωϕ π ϕ
⎛⎞
+
=+=
⎜⎟
⎝⎠
∫
(
)
f
x
() entre 1 et 2.fx −
les aires sous les deux
courbes sont égales

PCSI CHAPITRE 11 : PUISSANCE EN REGIME FORCE 3/6
puisque
()
()
()
()
222
11
cos 2 1 cos 2
42
ix ix
x
ee x
−
=++ =+
2) Définition
La puissance moyenne P est la moyenne de la puissance instantanée sur une période. Si on note T
la période de la tension, elle s’écrit :
() ()
0
1T
p
tptdt
T
≡=
∫
P
Dans le cas où les courant et tensions sont sinusoïdaux, elle devient d’après les résultats des
exemples du §1 :
00
1cos
2UI
ϕ
=P
Elle est nulle si l’intensité est en quadrature avec la tension et maximale si ces deux grandeurs sont
en phase.
3) Notation complexe
Définissons la puissance moyenne complexe P comme le produit de la tension et du complexe
conjugué de l’intensité :
*
1
2ui=
P
on a alors
(
)
Re=P P
puisque
()
() ( )
(
)
(
)
*
00 00
Re Re e e Re e 2
jt jt j
ui UI UI
ωωφ φ −+ −
===P
4) Intensité efficace, facteur de puissance
L’intensité efficace est la valeur I de l’intensité qui produirait en régime continu la même
dissipation par effet joule à travers une résistance R. C’est donc la valeur qui vérifie :
2
22
0
0
1
2
T
R
I
RI Ri dt
T
==
∫
d’où :
02II≡
On définit de même la tension efficace :
02UU≡
afin que les puissances instantanée et moyennes s’écrivent :
()
(
)
cos cos 2pt UI t
ϕ
ωϕ =++⎡⎤
⎣⎦
et cosUI
ϕ
=
P
Le terme cos
ϕ
est appelé le facteur de puissance.
IV. BILANS ENERGETIQUES DANS LES CIRCUITS
1) Puissances reçues par les dipôles R,L,C
Les puissances réelles instantanées sont, en régime sinusoïdal, d’après la formule établie au
§II.2. (figure 11.4.):

PCSI CHAPITRE 11 : PUISSANCE EN REGIME FORCE 4/6
p (W)
pR
T/2
pC
pL
()
(
)
(
)
cos cos 2 1 cos 2
RRR
p
tUI t UI t ϕωϕ ω =++=+⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
(
)
(
)
cos 2 2
C
pt UI t ωπ =+
()
(
)
(
)
cos 2 2
LC
p
tUI t pt ωπ =−=−
puisque
0
RR R
iGu
ϕ
=⇒= ; 2
RL
C
ijCu
ω
ϕπ =⇒= ; 1 2
LL
L
iu
jL
ϕ
π
ω
=⇒=−
Figure 11.4. : Puissances instantanées reçues par un dipôle R,L ou C
branché sur un générateur de tension sinusoïdale (U = 5V, I = 10mA)
Les facteurs de puissance sont : cos 1
R
ϕ
=
; cos cos 0
CL
ϕ
ϕ
=
=
On en déduit les puissances moyennes :
2
RUI RI==P 0
C
=
P 0
L
=
P
2) Application au circuit R,L,C
a. Bilan d’énergie
La loi de la maille donne pour le circuit R,L,C série alimenté par une tension sinusoïdale
(
)
et :
()
di q
R
iL et
dt C
++=
d’où on tire un bilan en puissance instantanée en multipliant par i :
()()
2
di q dq
Ri L i e t i t
dt C dt
++= ⇔
()()
2
me
d
R
ipt
dt
++=EE
où
() ()()
p
tetit= est la puissance délivrée par le générateur, 22
mLi≡E est l’énergie magnétique
emmagasinée dans la bobine et 22
22
CqCCu≡=E est l’énergie électrique emmagasinée dans le
condensateur.
D’autre part, en régime forcé, le bilan instantané en puissance d’un circuit R,L,C série est d’après
les résultats du paragraphe précédent :
RCL
p
ppp++= avec 0
LC
pp
+
=
En identifiant mL
p
=E
 et CC
p
=E
 :
()
0
me
d
dt
+
=EE

PCSI CHAPITRE 11 : PUISSANCE EN REGIME FORCE 5/6
Alors qu’ils jouaient un rôle crucial aux bilans d’énergie en régime transitoire, les condensateurs et
bobines ne participent donc pas aux bilans d’énergie en régime sinusoïdal. Le bilan en puissance
moyenne s’écrit simplement :
2
R
I=P
b. Résonance en puissance
L’impédance équivalente d’un circuit R,L,C série est égale à :
1
RCL
Z
ZZZR jL
jC
ω
ω
=++=+ +
L’équation algébrique complexe vérifiée par le courant le traversant est :
ieZ
=
Il vient, d’après les résultats du chapitre précédent et avec les notations habituelles :
0
02
2
1
1
1
1
jQ E
I
R
Q
χ
χ
χ
χ
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
=⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
On en déduit :
()
22
20max max
222
222
111
111
ER RI
RI R
QQQ
χ
χχ
χχχ
== = =
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
+− +− +−
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
P
P
où max 0
I
ER≡ est l’intensité efficace maximale que l’on puisse atteindre avec le circuit. Cette
valeur est réalisée à la résonance en puissance, lorsque 0
ω
ω
=
. La puissance tend vers zéro
rapidement lorsque
χ
augmente (en 4 1
χ
). On définit la largeur de la courbe de résonance en
puissance de telle manière qu’elle soit égale à la largeur de la courbe de résonance en intensité :
max
22
11
1
244QQ
χ
±
=⇒=±++
P
P
en gardant les solutions positives. La largeur
ω
∆
P du pic de résonance est donc :
0
0Q
ω
ωωχ ∆=∆=
P
La puissance reçue par le circuit tend vers zéro loin de la résonance en puissance (rôle
d’interrupteur ouvert du condensateur et de la bobine en régime respectivement très lentement et
très rapidement variables). L’allure de la courbe de résonance en puissance d’un circuit R,L,C série
est indiquée en figure 11.5.
c. Cas du circuit R,L,C parallèle
Le seul dipôle dissipatif étant la résistance, la puissance moyenne dissipée est :
2
RR
U
UI
R
== =PP
V. ADAPTATION D’IMPEDANCE
Le courant traversant une installation électrique d’impédance
Z
RjX
=
+ alimentée par un
générateur de tension de f.e.m. complexe e et d’impédance interne zrjx
=
+ est :