Systèmes linéaires :

Systèmes linéaires :
Équation linéaire : Soient E, F des K-espaces vectoriels. Soit
u∈LE , F 
,
y∈F
L'équation
: u(x) = y d'inconnue x est appelée équation linéaire.
y est appelé le second membre de l'équation.
Équation homogène : L'équation
est dite homogène ssi son second membre est 0F.
On note
h
: u(x) = 0F l'équation déduite de
en annulant le second membre.
 h
est appelée équation homogène associée à
.
Solutions :
{solutions de  h}= Ker u
, donc
{solutions de  h}
est un sev de
.
Solution et ensemble image : Soit une équation
 :ux= y
–Si
y∉Imu
alors
n'a pas de solutions.
–Si
y∈Imu
, notant
xp
un des antécédents de y par u :
{sol de }={xhxp, xh∈Ker u}={ xhxp, xhsol. de h}
Démonstration :
ux= y
<=>
ux=uxp
<=>
ux−xp=0F
<=>
x−xp∈Ker u
<=>
∃xh∈Ker u x=xhxp
Principe de Superposition : Soient
, ∈ K
,
xp1, x p2∈E
,
y1, y2∈F
Si
xp1
est solution de
ux= y1
et
xp2
est solution de
ux= y2
.
Alors
xp1 xp2
est solution de
ux= y1 y2
Rang et équation linéaire : Supposons E, F de dimensions finies.
Si rg u = dim E, u est injective donc
a au plus une solution.
Si rg u = dim F, u est surjective donc
a au moins une solution.
Si rg u = dim E = dim F, u est bijective donc
a exactement une solution.
Équation linéaire scalaire : Une équation linéaire scalaire est une équation de la forme :
ux1,... , xn= y
, avec u forme linéaire sur
Kn
.
u=∑
i=1
n
aiei
∗
où
e1,... , en
= base canonique de Kn,
a1, ... , an∈K
.
u:x1, ... , xn∈ Kn∑
i=1
n
aixi∈K

Système d'équations linéaires scalaires : Il s'agit d'un système de la forme :
S:
{
a1,1 x1...a1, pxp=y1
...
an,1 x1...an , p xp=yn
où les
ai , j
, les
yi
et les
xi
sont des scalaires.
Les
ai , j
sont appelés les coefficients du système.
y1,... , yn
est le second membre, et
Y=
y1
...
yn
est la colonne des second membres
X=
x1
...
xp
est la colonne des inconnues.
Proposition : Notant
A= ai,ji , j
, u telle que
A=Matcan u
.
(S) <=> AX = Y <=>
ux1, ... , x p= y1,... , yn
Rang d'un système : On appelle rang du système (S) :
rg S= rgA=rg u
Système de Cramer : Un système d'équation linéaire scalaires est dit de Cramer ou
Cramerien ssi son application linéaire associée est bijective, c'est à dire ssi son rang est égal à
son nombre p d'inconnues et à son nombre n d'équations.
Un tel système a exactement une solution :
x1, ... , x p=u−1y1,... yp
,
x1
...
xp
=A−1
y1
...
yp
.
Système échelonné : Il s'agit d'un système dont la matrice est échelonnée, cad qui s'écrit :
{
a1,k1xk1a1, k11xk11...=y1
a2,k2xk2.............=y2
...
ar ,k rxkr...=yr
0=yr1
...
0=yn
avec
k1.. kr
et
a1, k1, a2,k2... , ar , kr
tous non nuls.
Un tel système :
–n'a pas de solution si
∃ir yi≠0K
.
–a au moins une solution si
∀ir
,
yi=0K
.
Dans ce dernier cas, pour tous
xj, j ∈[[1, p]] ∖ {k1,... , kr}
, il existe exactement une
solution, donnée par :
xkr=
yr−∑
jkr
ar , j xj
ar , kr
,
xkr−1=
yr−1−∑
jkr−1
ar−1, jxj
ar−1, kr−1
etc.

Définitions :
–Les
xj, j∈{k1,... , k r}
sont appelées les inconnues principales.
–Les
xj, j∉{k1,... , k r}
sont appelées inconnues secondaires.
–Les équations
yr1=0, yr2=0,... , yn=0
, sont appelées conditions de compatibilité
du système.
–Le système est compatible, c'est à dire a au moins une solution ssi les n-r équations de
compatibilité sont satisfaites, auquel cas à tout choix des inconnues secondaires
correspond exactement une solution du système.
Formule de Cramer : Soit AX = Y un système Cramérien. (A inversible).
L'unique solution
X=
x1
...
xn
de ce système est donnée par :
∀j∈[[ 1, n]] xj=j
avec
=det A
et
j
= déterminant de la matrice déduite de A
en remplaçant sa jième colonne par la colonne des seconds membres.
Démonstration :
(S) : AX = Y
<=>
X=A−1Y
<=>
X=1
com A
tY
<=>
∀i∈[[1, n]]
xi=1
∑
k=1
n
bi ,k yk
avec
bi , k =−1kik ,i
.
<=>
xi=1
∑
k=1
n
−1kiykk , i=
développement de
i
selon sa iième colonne.
<=>
∀i xi=i
.