11 Formes bilinéaires et quadratiques réelles ou complexes

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Formes bilinéaires et quadratiques réelles
ou complexes
On se limite pour ce chapitre à l’étude des formes bilinéaires et quadratiques définies sur un
espace vectoriel réel ou complexe.
On désigne pour ce chapitre par Eun espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie
ou non.
On notera Kle corps de réels ou des complexes, en précisant quand cela sera nécessaire s’il
s’agit de Rou C.Par scalaire on entend réel ou complexe.
L’étude des formes quadratiques sur un corps quelconque de caractéristique différente de 2
sera reprise plus loin.
11.1 Formes linéaires
On rappelle la définition suivante déjà donnée au paragraphe 8.4.
Définition 11.1 Une forme linéaire sur Eest une application linéaire de Edans K.
Exemple 11.1 Si Eest un espace vectoriel de dimension net B= (ej)1≤j≤nune base de E,
alors la j-ième projection :
pj:x=
n
X
i=1
xiei7→ xj
où jest un entier compris entre 1et n, est une forme linéaire sur E.
Exemple 11.2 Si Eest un espace vectoriel de dimension n, B= (ej)1≤j≤nune base de Eet
α1, α2,··· , αndes scalaires, alors l’application :
`:x=
n
X
i=1
xiei7→ α1x1+α2x2+··· +αnxn
est une forme linéaire sur E.
En fait toutes les formes linéaires sur Ede dimension nsont de la forme précédente. En
effet, tout vecteur xde Es’écrit x=
n
P
j=1
xjejet pour tout forme linéaire `sur E, on a :
`(x) = `Ãn
X
j=1
xjej!=
n
X
j=1
xj`(ej) =
n
X
j=1
αjxj
161

162 Formes bilinéaires et quadratiques réelles ou complexes
en notant αj=`(ej)pour tout entier jcompris entre 1et n.
La matrice ligne :
L= (α1, α2,··· , αn) = (`(e1), ` (e2),··· , ` (en))
est tout simplement la matrice de `dans la base B= (ej)1≤j≤nde Eet on a :
∀x∈E, ` (x) = L·x= (α1, α2,··· , αn)
x1
x2
.
.
.
xn
=
n
X
j=1
αjxj.
Ce résultat peut aussi s’exprimer sous la forme :
∀x∈E, ` (x) =
n
X
j=1
αjpj(x) = Ãn
X
j=1
αjpj!(x)
où pjdésigne, pour jcompris entre 1et n, la projection x7→ xj.
On peut donc écrire, une base Bde Eétant donnée, toute forme linéaire `sur Esous la
forme :
`=
n
X
j=1
αjpj
où les αj∈Ksont uniquement déterminés par αj=`(ej)pour tout entier jcompris entre 1
et n.
Nous avons donc montré le résultat suivant.
Théorème 11.1 Si Eest un espace vectoriel de dimension net B= (ej)1≤j≤nune base de E,
alors l’ensemble de toutes les formes linéaires sur Eest un espace vectoriel de dimension nde
base (p1,··· , pn).
On rappelle que si on dispose d’une base Bd’un espace vectoriel Edire qu’une famille
(v1,···, vp)d’éléments de Eest libre (ou que ces éléments sont linéairement indépendants)
équivaut à dire que les vecteurs colonnes X1,··· , Xpformés des composantes de ces vecteurs
dans la base Bsont linéairement indépendants dans Kn.On peut donc parler de formes linéaires
linéairement indépendantes.
On rappelle également que pour montrer que le système (X1,··· , Xp)est libre dans Kn,il
suffit d’extraire de la matrice (X1,··· , Xp)un déterminant d’ordre pnon nul (ce qui impose
bien sur que p≤n).
Dire que le système (X1,··· , Xp)est libre dans Knéquivaut aussi à dire que la matrice
(X1,··· , Xp)est de rang p. Comme une matrice et sa transposée ont même rang, il revient au
même de calculer le rang de la matrice transposée 
tX1
.
.
.
tXp
.
On retiendra que des formes linéaires `1,··· , `pdéfinies sur E, de base B= (ej)1≤j≤n,par :
∀x∈E, `i(x) =
n
X
j=1
αi,j xj(1 ≤i≤p)

Formes linéaires 163
sont linéairement indépendantes si, et seulement si la matrice :
A=
L1
.
.
.
Lp
=
α11 α12 ··· α1n
α21 α22 ··· α2n
.
.
.....
.
.
αp1αp2··· αpn
est de rang p(Liest la matrice de `idans la base Bde E), ce qui revient à dire qu’on peut en
extraire un déterminant d’ordre pnon nul.
Exercice 11.1 Montrer que les formes linéaires (`j)1≤j≤3définies sur K5par :
`1(x) = x1+x2+x3+x4+x5
`2(x) = 3x1−2x3+ 2x4+x5
`3(x) = 3x2+x3+ 3x4
sont linéairement indépendantes.
Solution 11.1 Il s’agit de vérifier que la matrice :
A=
L1
L2
L3
=
1 1 1 1 1
3 0 −221
0 3 1 3 0 
est de rang 3,ce qui résulte de :
¯¯¯¯¯¯
1 1 1
3 0 −2
0 3 1 ¯¯¯¯¯¯
= 12 6= 0.
Remarque 11.1 La somme de deux formes linéaires sur Eest une forme linéaire, mais en
général le produit de deux formes linéaires sur En’est pas une forme linéaire.
Exercice 11.2 Soient `1et `2deux formes linéaires sur E. Montrer que l’application `1`2est
une forme linéaire sur Esi, et seulement si, l’une de ces deux formes est l’application nulle.
Solution 11.2 Il est clair que si l’une de ces deux formes est l’application nulle, alors `1`2est
une forme linéaire sur E.
Réciproquement supposons que `1`2soit linéaire. On a alors pour tout scalaire λet tous vecteurs
x, y dans E:
`1(x)`2(x) + λ`1(y)`2(y) = (`1`2) (x) + λ(`1`2) (y)
= (`1`2) (x+λy) = `1(x+λy)`2(x+λy)
= (`1(x) + λ`1(y)) (`2(x) + λ`2(y))
=`1(x)`2(x) + λ(`1(x)`2(y) + `1(y)`2(x)) + λ2`1(y)`2(y)
et le polynôme :
`1(y)`2(y)λ2+ (`1(x)`2(y) + `1(y)`2(x)−`1(y)`2(y)) λ
est identiquement nul, ce qui équivaut à :
`1(y)`2(y) = 0 et `1(x)`2(y) + `1(y)`2(x)−`1(y)`2(y) = 0

164 Formes bilinéaires et quadratiques réelles ou complexes
ou encore à :
`1(y)`2(y) = 0 et `1(x)`2(y) + `1(y)`2(x) = 0
pour tous x, y dans E.
Si `16= 0,il existe alors y∈Etel que `1(y)6= 0,donc `2(y)=0et `1(y)`2(x) = 0 pour tout
x∈E, ce qui équivaut à `2= 0.
Exercice 11.3 Déterminer le noyau de la forme linéaire définie sur l’espace K3par :
`:v=
x
y
z
7→ x−y
Solution 11.3 Ce noyau est :
ker (`) = ©v∈K3|x=yª
= v=
x
x
z
=xv1+zv2|(x, y)∈K2
où on a noté v1=
1
1
0
et v2=
0
0
1
.Les vecteurs v1et v2étant linéairement indépendants,
ce noyau est le plan vectoriel engendré par v1et v2.
De manière plus générale, on donne la définition suivante.
Définition 11.2 On appelle hyperplan de E, le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E.
Sur E, de base B= (ej)1≤j≤n,un hyperplan et donc l’ensemble des vecteurs x=
n
P
j=1
xjej
tels que :
α1x1+α2x2+··· +αnxn= 0
où les scalaires αjne sont pas tous nuls.
De plus une forme linéaire non nulle `étant surjective (exercice 8.8), le théorème du rang
nous dit que, pour pour Ede dimension n, on a :
dim (ker (`)) = n−1.
Réciproquement si Hest un sous-espace de dimension n−1dans Ede dimension n, il admet
une base (ei)1≤i≤n−1qui peut se compléter en une base (ei)1≤i≤nde Eet Hest le noyau de la
n-ième projection :
pn:x=
n
X
j=1
xjej7→ xn.
Nous avons donc montré le résultat suivant.
Théorème 11.2 Sur un espace vectoriel Ede dimension nun hyperplan est un sous-espace
de Ede dimension n−1.
Les supplémentaires d’un hyperplan dans Ede dimension finie sont donc des droites. En fait
ce résultat est général.

Formes bilinéaires 165
Théorème 11.3 Si Hest un hyperplan d’un espace vectoriel E, il existe alors une droite D
telle que E=H⊕D.
Démonstration. On a H= ker (`)où `est une forme linéaire non nulle sur E. Il existe
donc un vecteur non nul adans Etel que `(a) = 0.En désignant par D=Kala droite dirigée
par a, on a alors E=H⊕D. En effet, si x∈H∩D, il existe un scalaire λtel que x=λa
et `(x) = λ` (a) = 0 nous donne λ= 0.On a donc H∩D={0}.De plus pour tout vecteur
x∈E, le vecteur y=x−`(x)
`(a)aest dans H= ker (`)et avec x=y+`(x) `(a)a, on déduit que
x∈H+D. On a donc E=H+Det E=H⊕D.
Réciproquement un sous-espace vectoriel Hde Esupplémentaire d’une droite Dest le noyau
de la forme linéaire `qui associe à tout vecteur xde Esa projection sur D, c’est donc un
hyperplan.
On a donc le résultat suivant.
Théorème 11.4 Un hyperplan de Eest un sous-espace de Esupplémentaire d’une droite.
11.2 Formes bilinéaires
Définition 11.3 Une forme bilinéaire sur Eest une application :
ϕ:E×E→K
(x, y)7→ ϕ(x, y)
telle que pour tout xdans El’application y7→ ϕ(x, y)est linéaire et pour tout ydans E
l’application x7→ ϕ(x, y)est linéaire.
Définition 11.4 On dit qu’une forme bilinéaire ϕsur Eest symétrique si ϕ(y, x) = ϕ(x, y)
pour tous x, y dans E.
Définition 11.5 On dit qu’une forme bilinéaire ϕsur Eest anti-symétrique (ou alternée) si
ϕ(y, x) = −ϕ(x, y)pour tous x, y dans E.
Remarque 11.2 Une application symétrique ϕde E2dans Kest bilinéaire si, et seulement
si, l’une des deux applications y7→ ϕ(x, y)(pour tout xdans E) ou x7→ ϕ(x, y)(pour tout y
dans E) est linéaire.
Exemple 11.3 Si `1et `2sont deux formes linéaires sur E, alors l’application :
(x, y)7→ `1(x)`2(y)
est une forme bilinéaire sur E.
Exemple 11.4 Si Eest l’espace C0([a, b],R)des fonctions continues de [a, b]dans R,alors
l’application :
ϕ: (f, g)7→ Zb
a
f(t)g(t)dt
est une forme bilinéaire.