changements de référentiel - mpsi1-fenelon-sainte
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changements de référentiel Table des matières 1 mouvement d’entraînement 1.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 mouvements particuliers . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 mouvement de translation . . . . . . . . 1.2.2 mouvement de rotation par rapport à un 1.3 cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 3 3 2 dérivation d’un vecteur par rapport au temps 2.1 loi de dérivation composée d’un vecteur . . . . . . . . . 2.2 application 1 : coordonnées cylindriques . . . . . . . . . 2.3 application 2 : coordonnées sphériques . . . . . . . . . . 2.3.1 composition des vecteurs rotations . . . . . . . . 2.3.2 vitesse et accélération en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 5 5 5 3 loi de composition des vitesses 5 4 loi de composition des accélérations 6 1 La description d’un mouvement est relative : elle dépend de celui qui observe le mouvement. Pour décrire un mouvement, il faut donc préciser l’observateur c’est-à-dire le référentiel. Un référentiel est constitué d’un repère (spatial) lié un solide de référence et d’une chronologie dans ce repère. Le solide de référence est immobile pour l’observateur comme si l’observateur faisait partie du solide. L’origine et les vecteurs de base restent donc immobiles dans la description du mouvement, indépendants du temps. Plusieurs référentiels "naturels" peuvent coexister dans une situation physique donnée. Par exemple, pour un passager se déplaçant à l’intérieur d’un train en mouvement par rapport à la Terre, le train et la Terre sont tous deux des solides de référence par rapport auxquels le mouvement du passager peut être étudié. Connaissant le mouvement du passager dans le train et celui du train par rapport à la Terre, comment peut-on en déduire le mouvement de cette personne par rapport à la Terre ? C’est ce que nous allons préciser dans ce chapitre. L’observateur privilégie un référentiel qu’il considère comme fixe, par rapport auquel il souhaite étudier les mouvements : ce référentiel se nomme le référentiel absolu. Le mouvement étudié par rapport à ce référentiel est le mouvement absolu. Le référentiel en mouvement par rapport au référentiel absolu par rapport auquel le mouvement du système étudié est (en général !) plus simple est le référentiel d’entraînement. Le mouvement du référentiel d’entraînement par rapport au référentiel absolu est le mouvement d’entraînement. Enfin, le mouvement du système étudié par rapport au référentiel d’entraînement est le mouvement relatif. La connaissance du mouvement relatif et du mouvement d’entraînement permet de connaître le mouvement absolu. 1 mouvement d’entraînement Le référentiel d’entraînement est défini grâce à un solide de référence, dont il faut préciser le mouvement par rapport au référentiel absolu. 1.1 définition Un solide est un ensemble de points tel que deux quelconques de ces points restent toujours à la même distance l’un de l’autre. 1.2 1.2.1 mouvements particuliers mouvement de translation définition : Un solide est en mouvement de translation par rapport à un référentiel R si, −−→ pour deux points A et B quelconques de ce solide, le vecteur AB garde toujours les mêmes direction, sens et norme au cours du temps. 2 Conséquence : les trajectoires de tous les points d’un solide en translation sont superposables. Si ces trajectoires sont : - des courbes de forme quelconque : on parle de translation curviligne - des droites parallèles : on parle de translation rectiligne - des cercles de même rayon : on parle de translation circulaire. −−→ − → −−→ −→ − → propriété : comme AB = cte, OB − OA = cte. On a donc → − − v B/R (t) = → v A/R (t) Au cours d’une translation, tous les points d’un solide ont à chaque instant le même vecteur vitesse, et donc le même vecteur accélération. Dans le cas où le référentiel R1 est en translation par rapport à R, tout vecteur lié à − − − R1 demeure constant par rapport à R, en particulier les vecteurs de base → e x1 ,→ e y1 et → e z1 . On a donc : → → → d− e y1 d− e z1 d− e x1 → − = = = 0 dt dt dt R R R 1.2.2 mouvement de rotation par rapport à un axe fixe définition : le référentiel R1 est en rotation autour d’un axe fixe de R s’il existe un vecteur → − → − → tel qu’on appelle vecteur rotation d’entraînement de R1 par rapport à R, noté Ω − R 1/ R que : → → − d− e x1 − = Ω R1 /R ∧ → e x1 dt R → − → − d e y1 − = Ω R1 /R ∧ → e y1 dt R − → − d→ e z1 − = Ω R1 /R ∧ → e z1 dt R 1.3 cas général Le mouvement d’entraînement de R1 par rapport R est la superposition : → − - d’une rotation de vecteur rotation Ω R1 /R 3 −−→ dOO1 → − - et d’une translation qu’on peut caractériser par v O1 /R = ( ) avec O un point fixe dt R dans R et O1 un point fixe dans R1 . Dans le cas d’un mouvement de translation simple, le vecteur rotation d’entraînement est nul. −−→ Dans le cas d’un mouvement de rotation pure, le vecteur OO1 est constant. 2 dérivation d’un vecteur par rapport au temps 2.1 loi de dérivation composée d’un vecteur → − Soit A (t) un vecteur quelconque. → − Exprimons A (t) dans la base de R1 et dérivons par rapport R : → − − − − e z1 e y1 + Az1 → e x1 + A y1 → A (t) = Ax1 → → −! dA −̇ −̇ −̇ − − − e z1 e y1 + A z 1 → e x1 + A y1 → e z1 + Ax1 → e y1 + Ȧz1 → e x1 + Ȧy1 → = Ȧx1 → dt R → −! → −! dA dA −̇ −̇ −̇ = + Ax1 → e x1 + A y1 → e y1 + Az1 → e z1 dt dt R R1 −̇ −̇ −̇ Exprimons les vecteurs → e x1 , → e y1 , → e z1 , qui caractérisent le mouvement de R1 par rapport R, dans la base de R1 : → → − d− e x1 − = Ω R1 /R ∧ → e x1 dt R → → − d− e y1 − = Ω R1 /R ∧ → e y1 dt R → → − d− e z1 − = Ω R1 /R ∧ → e z1 dt R Finalement → −! dA = dt R 2.2 → −! dA dt → − → − + Ω R1 /R ∧ A R1 application 1 : coordonnées cylindriques En associant un solide Scart à la base locale cartésienne et un autre Scyl à la base locale → − − cylindro-polaire, il apparaît que Ω Rc yl/Rcart = θ̇→ e z . On peut alors mettre à profit la relation de dérivation vectorielle pour calculer les expressions de la vitesse et de l’accélération dans la base cylindro-polaire : −−→ ! −−→ dOM → − − − − v M/R = = ṙ→ e r + ż → e z + θ̇→ e z ∧ OM dt R → − − − − v M/R = ṙ→ e r + ż → e z + rθ̇→ eθ De même, → − a M/R = → → d− v M/R d− v M/R − − = + θ̇→ ez ∧→ v M/R dt dt R R1 4 → − − − − − − a M/R = r̈→ e r + z̈ → e z + (rθ̈ + ṙθ̇)→ e θ + (ṙθ̇→ e θ − rθ̇2 → e r) → − − − − a M/R = (r̈ − rθ̇2 )→ e r + (2ṙθ̇ + rθ̈)→ e θ + z̈ → ez 2.3 application 2 : coordonnées sphériques Le référentiel sphérique a un mouvement autour du référentiel cartésien qui peut se dé→ − − composer en deux rotations : une rotation de vecteur rotation Ω R0 /R = ϕ̇→ e z , puis une → − → − rotation de vecteur rotation Ω R1 /R0 = θ̇ e ϕ 2.3.1 composition des vecteurs rotations Soient R1 , R2 et R3 → −! → −! dA dA = dt dt R1 → − → − + Ω R2 /R1 ∧ A = R2 = → −! dA dt → −! dA dt → − → − → − → − + Ω R3 /R2 ∧ A + Ω R2 /R1 ∧ A R3 → − → − → − + ( Ω R3 /R2 + Ω R2 /R1 ) ∧ A R3 → − → − → − Ω R3 /R1 = Ω R3 /R2 + Ω R2 /R1 2.3.2 vitesse et accélération en coordonnées sphériques → − v M/R = −−→ ! −−→ −−→ dOM − − − = ṙ→ e r + ϕ̇→ e z ∧ OM + θ̇→ e ϕ ∧ OM dt R → − − − − v M/R = ṙ→ e r + rθ̇→ e θ + rϕ̇ sin θ→ eϕ De même, l’accélération s’écrit : → → d− v M/R d− v M/R → − − − − a M/R = = + (ϕ̇→ e z + θ̇→ e ϕ) ∧ → v M/R dt dt R R1 → − − − − − − − a M/R = r̈→ e r + (ṙϕ̇ sin θ + rϕ̈ sin θ + rϕ̇θ̇ cos θ)→ e ϕ + (rθ̈ + ṙθ̇)→ e θ + (ϕ̇→ e z + θ̇→ e ϕ) ∧ → v M/R → − − − − a M/R = (r̈ − rθ̇2 − rφ̇2 sin2 θ) → er + (rθ̈ + 2ṙθ̇ − rφ̇2 sin θ cos θ) → eθ + (rφ̈ sin θ + 2ṙφ̇ sin θ + 2rθ̇φ̇ cos θ) → eφ 3 loi de composition des vitesses −−−→ ! −−−→ ! −−−→ ! d O1 M d O1 O2 d O2 M = + dt dt dt R1 R1 R1 ! ! −−−→ −−−→ → − −−−→ d O1 O2 d O2 M + + Ω R2 /R1 ∧ O2 M dt dt → − v M/R1 = = R1 R2 −−−→ → − − − =→ v O2 /R1 + → v M/R2 + Ω R2 /R1 ∧ O2 M → − − − v M/R1 = → v M/R2 + → ve 5 − avec → v e appelée vitesse d’entraînement → − −−−→ → − − ve=→ v (O2 )R1 + Ω R2 /R1 ∧ O2 M La vitesse d’entraînement peut aussi se calculer comme la vitesse par rapport R1 de M ∗ appelé point coïncident. Le point coïncident, noté M∗ , est le point : - fixe dans R1 - qui coïncide avec M à l’instant t considéré → − − − − v M ∗ /R1 = → v M ∗ /R2 + → ve=→ ve 4 loi de composition des accélérations → d− v M/R1 dt R1 → − d v M/R2 − −−−→ d → + + Ω R2 /R1 ∧ O2 M dt dt R1 R1 → − a M/R1 = → d− v O2 /R1 = dt R1 Calculons les trois termes séparément → d− v O2 /R1 − =→ a O2 /R1 dt R1 → → d− v M/R2 d− v M/R2 → − → − − − − = + Ω R2 /R1 ∧ → v M/R2 = → a M/R2 + Ω R2 /R1 ∧ → v M/R2 dt dt R1 R2 → − d Ω R2 /R1 −−−→ → − − −−−→ d → Ω R2 /R1 ∧ O2 M ∧ O2 M + Ω R2 /R1 ∧ = dt dt R1 " → − −−−→ ! d Ω R2 /R1 −−−→ → − d O2 M = ∧ O2 M + Ω R2 /R1 ∧ dt dt −−−→ ! d O2 M dt R1 → − −−−→ + Ω R2 /R1 ∧ O2 M # R2 → − h d Ω R2 /R1 −−−→ → − → − −−−→i − = ∧ O2 M + Ω R2 /R1 ∧ → v (M )R2 + Ω R2 /R1 ∧ O2 M dt En rassemblant les résultats → − d Ω R2 /R1 −−−→ → − → − −−−→ → − → − → − a M/R1 = a M/R2 + a O2 /R1 + ∧ O2 M + Ω R2 /R1 ∧ ( Ω R2 /R1 ∧ O2 M ) dt → − − +2 Ω R2 /R1 ∧ → v M/R2 L’accélération d’entraînement est définie comme l’accélération par rapport à R1 du point coïncident M ∗ → − d Ω R2 /R1 −−−→ → − → → − − ∗ a (M )R1 = 0 + a (O2 )R1 + ∧ O2 M dt → − → − −−−→ → − − + Ω R2 /R1 ∧ ( Ω R2 /R1 ∧ O2 M ) + 0 = → ae 6 → − d Ω R2 /R1 −−−→ → − → − −−−→ → − → − a e = a (O2 )R1 + ∧ O2 M + Ω R2 /R1 ∧ ( Ω R2 /R1 ∧ O2 M ) dt L’accélération par rapport R1 est donc égale à l’accélération par rapport R2 + l’accélération d’entraînement + un troisième terme appelé accélération de Coriolis → − − − − a (M )R1 = → a (M )R2 + → ae+→ ac → − → − − a c = 2 Ω R2 /R1 ∧ → v (M )R2 cas particuliers : 1. Dans le cas d’un mouvement de translation du référentiel relatif, le champ de vitesse d’entraînement et le champ d’accélération d’entraînement sont uniformes. 2. Si R2 est en rotation uniforme à la vitesse angulaire Ω autour d’un axe fixe de R1 par − − − e z (O1 = O2 = O) (on est dans le cas de la base cylindrique) e z2 = → exemple → e z1 = → → − − Ω = Ω→ ez −−→ −−→ −−→ − − OM = OH + HM = r → er +z→ ez → − −−→ → − − − − − v e = Ω R2 /R1 ∧ OM = Ω → e z ∧ (r → er +z→ e z ) = rΩ → eθ → − → − −−→ → − − − − − − a e = Ω R2 /R1 ∧ ( Ω R2 /R1 ∧ OM ) = Ω → e z ∧ (Ω → e z ∧ (r → er +z→ e z )) = −rΩ2 → er 7
