changements de référentiel - mpsi1-fenelon-sainte

changements de référentiel
Table des matières
1 mouvement d’entraînement 2
1.1 définition ..................................... 2
1.2 mouvements particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 mouvement de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 mouvement de rotation par rapport à un axe fixe . . . . . . . . . . . 3
1.3 casgénéral..................................... 3
2 dérivation d’un vecteur par rapport au temps 4
2.1 loi de dérivation composée d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 application 1 : coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 application 2 : coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 composition des vecteurs rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2 vitesse et accélération en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . 5
3 loi de composition des vitesses 5
4 loi de composition des accélérations 6
1

La description d’un mouvement est relative : elle dépend de celui qui observe le mouve-
ment.
Pour décrire un mouvement, il faut donc préciser l’observateur c’est-à-dire le référentiel. Un
référentiel est constitué d’un repère (spatial) lié un solide de référence et d’une chronologie
dans ce repère.
Le solide de référence est immobile pour l’observateur comme si l’observateur faisait partie
du solide.
L’origine et les vecteurs de base restent donc immobiles dans la description du mouvement,
indépendants du temps.
Plusieurs référentiels "naturels" peuvent coexister dans une situation physique donnée. Par
exemple, pour un passager se déplaçant à l’intérieur d’un train en mouvement par rapport
à la Terre, le train et la Terre sont tous deux des solides de référence par rapport auxquels
le mouvement du passager peut être étudié. Connaissant le mouvement du passager dans
le train et celui du train par rapport à la Terre, comment peut-on en déduire le mouvement
de cette personne par rapport à la Terre ? C’est ce que nous allons préciser dans ce chapitre.
L’observateur privilégie un référentiel qu’il considère comme fixe, par rapport auquel il
souhaite étudier les mouvements : ce référentiel se nomme le référentiel absolu. Le mouve-
ment étudié par rapport à ce référentiel est le mouvement absolu.
Le référentiel en mouvement par rapport au référentiel absolu par rapport auquel le mou-
vement du système étudié est (en général !) plus simple est le référentiel d’entraînement.
Le mouvement du référentiel d’entraînement par rapport au référentiel absolu est le mou-
vement d’entraînement.
Enfin, le mouvement du système étudié par rapport au référentiel d’entraînement est le
mouvement relatif. La connaissance du mouvement relatif et du mouvement d’entraînement
permet de connaître le mouvement absolu.
1 mouvement d’entraînement
Le référentiel d’entraînement est défini grâce à un solide de référence, dont il faut préciser
le mouvement par rapport au référentiel absolu.
1.1 définition
Un solide est un ensemble de points tel que deux quelconques de ces points
restent toujours à la même distance l’un de l’autre.
1.2 mouvements particuliers
1.2.1 mouvement de translation
définition : Un solide est en mouvement de translation par rapport à un référentiel Rsi,
pour deux points A et B quelconques de ce solide, le vecteur −−→ AB garde toujours les mêmes
direction, sens et norme au cours du temps.
2

Conséquence : les trajectoires de tous les points d’un solide en translation sont superpo-
sables.
Si ces trajectoires sont :
- des courbes de forme quelconque : on parle de translation curviligne
- des droites parallèles : on parle de translation rectiligne
- des cercles de même rayon : on parle de translation circulaire.
propriété : comme −−→ AB =−→ cte,−−→ OB −−→ OA =−→ cte. On a donc
−→
vB/R(t) = −→ vA/R(t)
Au cours d’une translation, tous les points d’un solide ont à chaque instant
le même vecteur vitesse, et donc le même vecteur accélération.
Dans le cas où le référentiel R1est en translation par rapport à R, tout vecteur lié à
R1demeure constant par rapport à R, en particulier les vecteurs de base −→ ex1,−→ ey1et −→ ez1.
On a donc :
d−→
ex1
dt R
=d−→
ey1
dt R
=d−→
ez1
dt R
=−→ 0
1.2.2 mouvement de rotation par rapport à un axe fixe
définition : le référentiel R1est en rotation autour d’un axe fixe de Rs’il existe un vecteur
qu’on appelle vecteur rotation d’entraînement de R1par rapport à R, noté −→ Ω−→
R1/−→ Rtel
que :
d−→
ex1
dt R
=−→ ΩR1/R∧−→ ex1
d−→
ey1
dt R
=−→ ΩR1/R∧−→ ey1
d−→
ez1
dt R
=−→ ΩR1/R∧−→ ez1
1.3 cas général
Le mouvement d’entraînement de R1par rapport Rest la superposition :
- d’une rotation de vecteur rotation −→ ΩR1/R
3

- et d’une translation qu’on peut caractériser par −→ vO1/R= (d−−→
OO1
dt )Ravec O un point fixe
dans Ret O1un point fixe dans R1.
Dans le cas d’un mouvement de translation simple, le vecteur rotation d’entraînement
est nul.
Dans le cas d’un mouvement de rotation pure, le vecteur −−→ OO1est constant.
2 dérivation d’un vecteur par rapport au temps
2.1 loi de dérivation composée d’un vecteur
Soit −→ A(t)un vecteur quelconque.
Exprimons −→ A(t)dans la base de R1et dérivons par rapport R:
−→
A(t) = Ax1
−→
ex1+Ay1
−→
ey1+Az1
−→
ez1
d−→
A
dt !R
=˙ Ax1
−→
ex1+˙ Ay1
−→
ey1+˙ Az1
−→
ez1+Ax1
˙
−→
ex1+Ay1
˙
−→
ey1+Az1
˙
−→
ez1
d−→
A
dt !R
= d−→
A
dt !R1
+Ax1
˙
−→
ex1+Ay1
˙
−→
ey1+Az1
˙
−→
ez1
Exprimons les vecteurs ˙
−→
ex1,˙
−→
ey1,˙
−→
ez1, qui caractérisent le mouvement de R1par rapport
R, dans la base de R1:
d−→
ex1
dt R
=−→ ΩR1/R∧−→ ex1
d−→
ey1
dt R
=−→ ΩR1/R∧−→ ey1
d−→
ez1
dt R
=−→ ΩR1/R∧−→ ez1
Finalement
d−→
A
dt !R
= d−→
A
dt !R1
+−→ ΩR1/R∧−→ A
2.2 application 1 : coordonnées cylindriques
En associant un solide Scart à la base locale cartésienne et un autre Scyl à la base locale
cylindro-polaire, il apparaît que −→ ΩRcyl/Rcart =˙ θ−→ ez. On peut alors mettre à profit la rela-
tion de dérivation vectorielle pour calculer les expressions de la vitesse et de l’accélération
dans la base cylindro-polaire :
−→
vM/R= d−−→
OM
dt !R
= ˙r−→ er+ ˙z−→ ez+˙ θ−→ ez∧−−→ OM
−→
vM/R= ˙r−→ er+ ˙z−→ ez+r˙ θ−→ eθ
De même,
−→
aM/R=d−→
vM/R
dt R
=d−→
vM/R
dt R1
+˙ θ−→ ez∧−→ vM/R
4

−→
aM/R= ¨r−→ er+ ¨z−→ ez+ (r¨ θ+ ˙r˙ θ)−→ eθ+ ( ˙r˙ θ−→ eθ−r˙ θ2−→ er)
−→
aM/R= (¨r−r˙ θ2)−→ er+ (2 ˙r˙ θ+r¨ θ)−→ eθ+ ¨z−→ ez
2.3 application 2 : coordonnées sphériques
Le référentiel sphérique a un mouvement autour du référentiel cartésien qui peut se dé-
composer en deux rotations : une rotation de vecteur rotation −→ ΩR0/R= ˙ϕ−→ ez, puis une
rotation de vecteur rotation −→ ΩR1/R0=˙ θ−→ eϕ
2.3.1 composition des vecteurs rotations
Soient R1,R2et R3
d−→
A
dt !R1
= d−→
A
dt !R2
+−→ ΩR2/R1∧−→ A= d−→
A
dt !R3
+−→ ΩR3/R2∧−→ A+−→ ΩR2/R1∧−→ A
= d−→
A
dt !R3
+ (−→ ΩR3/R2+−→ ΩR2/R1)∧−→ A
−→
ΩR3/R1=−→ ΩR3/R2+−→ ΩR2/R1
2.3.2 vitesse et accélération en coordonnées sphériques
−→
vM/R= d−−→
OM
dt !R
= ˙r−→ er+ ˙ϕ−→ ez∧−−→ OM +˙ θ−→ eϕ∧−−→ OM
−→
vM/R= ˙r−→ er+r˙ θ−→ eθ+r˙ϕsin θ−→ eϕ
De même, l’accélération s’écrit :
−→
aM/R=d−→
vM/R
dt R
=d−→
vM/R
dt R1
+ ( ˙ϕ−→ ez+˙ θ−→ eϕ)∧−→ vM/R
−→
aM/R= ¨r−→ er+ ( ˙r˙ϕsin θ+r¨ϕsin θ+r˙ϕ˙ θcos θ)−→ eϕ+ (r¨ θ+ ˙r˙ θ)−→ eθ+ ( ˙ϕ−→ ez+˙ θ−→ eϕ)∧−→ vM/R
−→
aM/R= (¨r−r˙ θ2−r˙ φ2sin2θ)−→ er+ (r¨ θ+ 2 ˙r˙ θ−r˙ φ2sin θcos θ)−→ eθ+ (r¨ φsin θ+ 2 ˙r˙ φsin θ+ 2r˙ θ˙ φcos θ)−→ eφ
3 loi de composition des vitesses
−→
vM/R1= d−−−→
O1M
dt !R1
= d−−−→
O1O2
dt !R1
+ d−−−→
O2M
dt !R1
= d−−−→
O1O2
dt !R1
+ d−−−→
O2M
dt !R2
+−→ ΩR2/R1∧−−−→ O2M
=−→ vO2/R1+−→ vM/R2+−→ ΩR2/R1∧−−−→ O2M
−→
vM/R1=−→ vM/R2+−→ ve
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