Arithmétique des Polynômes

Arithmétique des Polynômes
Dans toute cette partie, Kdésigne le corps Q,Rou C. On note K[X]l’anneau des polynômes
à cœ¢ cients dans K. On suppose connu le chapitre concernant les polynômes du premier semestre
(DS2111).
1 Divisibilité
Dé…nition 1 Soient A; B 2K[X]. On dit que Bdivise Aou que Best un diviseur de Aou que A
est un multiple de Bs’il existe un polynôme Q2K[X]tel que A=BQ. Lorsque Bdivise A, on
écrit : BjA.
Dé…nition 2 Si A2K[X], on note AK[X]l’ensemble des multiples de A.
Théorème 3 Division euclidienne. Soit A; B 2K[X]avec B6= 0. Il existe un unique couple
(Q; R)de polynômes de K[X]tel que :
A=BQ +Ravec deg(R)<deg(B)
On dit que Qest le quotient et Rle reste de la division euclidienne de Apar B.
Remarque 4 Si R= 0 on a par convention deg(R) = 1 .
Lemme 5 Soit A2K[X]et x02Kon a
A(x0) = 0 () (Xx0)divise A
Démonstration. Écrivons la division euclidienne de Apar (Xx0),
A= (Xx0)Q+R
avec deg (R)<deg (Xx0)=1. Donc Rest un polynôme constant R=r2K, remplaçons Xpar
x0dans l’équation précédente :
A(x0)=(x0x0)Q(x0) + r
A(x0) = r
Si A(x0) = 0 on a r= 0 et donc
A= (Xx0)Q
Réciproquement si (Xx0)divise Aalors il existe Qtel que
A= (Xx0)Q
et donc A(x0) = (x0x0)Q(x0) = 0.
Dé…nition 6 Soit a2K. Soit Pun polynôme. L’ensemble fm2N;tels que (Xa)mjPgadmet
un plus grand élément, noté m(a)et appelé multiplicité de la racine ade P.
Remarque 7 AK[X]est un sous groupe de (K[X];+) mais certains de ses sous groupe ne sont
pas de cette forme, et donc pour généraliser la dé…nition du pgcd que l’on a vu pour Z;il va falloir
utiliser la deuxième opération : et donc dé…nir une structure algébrique nouvelle.
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2 Anneaux et Idéaux
2.1 Généralités
Dé…nition 8 On appelle Anneau un ensemble Amuni de deux lois de composition internes notées
+et , telles que(A; +) est un groupe commutatif, d’élément neutre noté 0et tel que
la multiplication est associative :
8a; b; c 2A; (ab)c=a(bc)
la multiplication est distributive par rapport à la loi +:
8a; b; c 2A; (a+b)c=ac +bc et c(a+b) = ca +cb
la multiplication possède un élément neutre noté 1Aou 1:
8a2A; a 1 = 1 a=a
Si de plus la multiplication est commutative, on dit que Aest un anneau commutatif.
Exemple 9 L’ensemble Zmuni de l’addition et de la multiplication est un anneau commutatif.
(K(X);+;)est un anneau commutatif.
L’ensemble F(R;R)des applications de Rdans Rmuni de l’addition f+g:x7! f(x) + g(x)
et de la multiplication fg:x7! f(x)g(x)est un anneau commutatif.
L’ensemble Mn(R)des matrices carrées à nlignes et ncolonnes est un anneau non-commutatif.
Z=nZ;_ +;_ est un anneau commutatif.
2.2 Règles de calcul
Proposition 10 Soit (A; +;)un anneau. Alors :
pour tout a2A; a 0=0=0a
pour tout a; b 2A; (a)b=a(b) = (ab)
pour tous a; b 2A; (a)(b) = ab
pour tout n2N, pour tout a2A; (a)2n=a2net (a)2n+1 =a2n+1
pour tout n2Zet pour tous a; b 2A; (na)b=a(nb) = n(ab).
Démonstration. Soit a2A, alors a0 = a(0 + 0) = a0 + a0et donc a0=0. De
même 0a= 0.
Soit a; b 2A, alors ab+ (a)b= (aa)b= 0 b= 0, donc (a)b=(ab). De
même, a(b) = (ab).
Soit a; b 2A. Montrons par récurrence que, pour n2N,(na)b=n(ab). Il est clair que
(0a)b= 0 = 0(ab). Soit n2N, supposons que (na)b=n(ab). Alors
((n+ 1)a)b= (na +a)b= (na)b+ab=n(ab) + ab= (n+ 1)(ab)
Ainsi, d’après le théorème de récurrence, pour tout n2N,(na)b=n(ab). De même, pour tout
n2N,a(nb) = n(ab). cqfd.
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Proposition 11 Formule du binôme :
Soit aet bdeux éléments d’un anneau Aqui commutent, c’est-à-dire qui véri…ent ab=ba.
Alors :
(a+b)n=C0
nan+C1 nan1b1+ +Cn1 na1bn1+Cn nbn
Rappel
Cp
n=n(n1)    (n(p1))
p!
2.3 Sous-anneaux et Idéaux
Dé…nition 12 Soit (A; +;)un anneau. Soit Bune partie de A. On dit que Best un sous-anneaux
de Asi et seulement si:
(B; +) est un sous-groupe de (A; +)
1Aappartient à B
pour tout a; b 2B; ab 2B.
Exemple 13 Zest un sous-anneau de Qqui est lui-même un sous-anneau de R.
nZn’est pas un sous-anneau de Zpour n6= 1. Donc la notion de sous-anneaux ne pourra pas
être utilisée pour généraliser la dé…nition du pgcd précédente :-( .
L’ensemble Qp2=fa+bp2ja; b 2Qgest un sous-anneau de R.
Dé…nition 14 Soit (A; +;)un anneau. Soit Iune partie de A. On dit que Iest un idéal de Asi
et seulement si :
(I; +) est un sous-groupe de (A; +)
pour tout i2I; et pour tout a2Aon a ai 2Aet ia 2A.
Exemple 15 nZest un ideal de Zpour tout n.
AK[X]est un idéal de K[X]
Plus généralement si Aest un anneau commutatif et si a2Aalors aA : l’ensembles des
multiples de aest un idéal de A:
Démonstration. Il su¢ t de démontrer le troisième point.
a0 = 0 donc 02aA
Soit x=au et y=av deux élément de aA alors x+y=au +av =a(u+v)2aA et
x=a(u)2aA
Donc aA est un sous-groupe de (A; +) :
Soit x=au un élément de aA et soit y2Aalors xy =auy =a(uy)2aA et yx =xy car A
est commutatif donc yx 2aA.
Donc aA est un idéal de A.
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2.4 Intersection et sommes d’idéaux
Proposition 16 Soit (A; +;)un anneau commutatif . Soient Iet Jdeux idéaux de A.
I\Jest un idéal de A
I+Jest un idéal de A
Démonstration. On sait que I\Jet I+Jsont des sous-groupes de (A; +) donc il su¢ t de
véri…er la deuxième condition.
Soit a2Aet soit x2I\Jalors ax 2I(car x2I) et ax 2J(car x2J) donc ax 2I\J.
Soit y2I+J, alors il existe i2Iet j2Jtel que y=i+jdonc ay =a(i+j) = ai+aj 2I+J.
2.5 Anneaux principaux
Dorénavant on désignera par Aun anneau commutatif.
Dé…nition 17 Un idéal Ide Aest dit principal si il est formé des multiples d’un éléments ade A;
c’est à dire si I=aA.
Dé…nition 18 Un anneau Aest dit principal si tous les idéaux de Asont principaux.
Exemple 19 Zest un idéal principal. En e¤et si Iest un idéal de Zc’est un sous-groupe de (Z;+)
donc on a I=nZ.
Dé…nition 20 On dit qu’un polynôme est unitaire s’il est non nul et si son cœ¢ cient de plus haut
degré est égal à 1.
Proposition 21 L’anneauK[X]est un anneau principal.
Démonstration. Soit Iun idéal de K[X], Notons dle plus petit degré atteint par les polynômes
non nuls de I, c’est à dire
d=min fdeg (P); P 2I; P 6= 0g
et soit D2Itel que deg (D) = d. On va montrer que I=DK[X]donc que Iest principal, ce qui
conclura la preuve.
Tout d’abord comme D2Ion a DK[X]I.
Soit Pun polynôme de I; e¤ectuons la division euclidienne de Ppar Dil existe donc Qet Rtel
que
P=DQ +Ravec deg(R)<deg(D)
comme P2Iet DQ 2Ion a PDQ 2I(c’est un groupe) et donc R2Iet deg(R)< d: Comme
dest le degré minimal des éléments non-nuls de I, on a forcément R= 0 et donc P=DQ et donc
P2DK[X]. Finalement IDK[X].
3 PGCD de deux polynômes
Rappel : On dit qu’un polynôme est unitaire s’il est non nul et si son cœ¢ cient de plus haut degré
est égal à 1.
Les deux paragraphes précédents montrent que dans un anneau principal, les idéaux véri…ent
toutes les propriétés nécéssaires pour que l’on puisse les utiliser pour dé…nir le pgcd et le ppcm de
deux éléments :-) . On peut donc maintenant dé…nir le pgcd et le ppcm de deux polynômes.
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Dé…nition 22 Soient Aet Bdeux polynômes de K[X].AK[X] + BK[X]est un idéal de K[X]
donc il existe D2K[X]unitaire tel que AK[X] + BK[X] = DK[X]. On appelle Dle plus grand
diviseur commun de Aet Bet on note D=pgcd(A; B)ou D=A^B.
Proposition 23 Soit Aet Bdeux polynômes de K[X]non tous deux nuls, alors D=pgcd(A; B)si
et seulement si le polynôme Ddivise Aet B
si D0est un diviseur de Aet de Balors D0divise D
Démonstration. Tout à fait analogue à celle donnée dans le cas de Z.
Exemple 24 pgcd(2X+ 2; X2+ 2X+ 1) = X+ 1.
Si A2K, pour tout polynôme Bon a pgcd(A; B) = 1.
pgcd(X(X1) ;(X1) (X+ 2)) = X1
pgcd(Xp; Xq) = Xmin(p;q).
Proposition 25 Soient A; B 2K[X]. On a les propriétés suivantes :
pgcd(A; B) = pgcd(B; A);
si Aest non nul, pgcd(A; A) = (1=a)Aoù adésigne le cœ¢ cient dominant de A
pour tout a; b 2K, pgcd(aA; bB) = pgcd(A; B)
pour tout polynôme unitaire C2K[X], on a pgcd(CA; CB) = Cpgcd(A; B).
Proposition 26 Algorithme d’Euclide. Soient Aet Bdeux polynômes non nuls. On construit
par récurrence une suite de polynômes (Rn)n2Nde la façon suivante : R0=A,R1=B,R2est le
reste de la division euclidienne de R0par R1, et de proche en proche, tant que Rn6= 0,Rn+1 est égal
au reste de la division euclidienne de Rn1par Rn. Alors il existe un entier Ntel que RN6= 0 et
RN+1 = 0. De plus, pgcd(A; B) = (1=cN)RNoù cNdésigne le cœ¢ cient dominant de RN.
Exemple 27 Soit A=X5+X3+X2+ 1 et B=X4+X3+ 2X2+X+ 1. On a
X5+X3+X2+ 1 = (X1)(X4+X3+ 2X2+X+1)+2X2+ 2
X4+X3+ 2X2+X+ 1 = 1
2X2+1 2X+1 2(2X2+ 2) +0
Le dernier reste non nul étant 2X2+ 2, on obtient que pgcd(A; B) = X2+ 1.
Proposition 28 Relation de Bézout. Soit A; B deux polynômes de K[X]. Alors il existe des
polynômes Uet Vtels que
pgcd(A; B) = AU +BV
Démonstration. Analogue à la preuve sur Z.
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