Arithmétique des Polynômes

Arithmétique des Polynômes
Dans toute cette partie, K désigne le corps Q, R ou C. On note K [X] l’anneau des polynômes
à cœ¢ cients dans K. On suppose connu le chapitre concernant les polynômes du premier semestre
(DS2111).
1
Divisibilité
Dé…nition 1 Soient A; B 2 K [X]. On dit que B divise A ou que B est un diviseur de A ou que A
est un multiple de B s’il existe un polynôme Q 2 K [X] tel que A = BQ. Lorsque B divise A, on
écrit : BjA.
Dé…nition 2 Si A 2 K [X], on note AK [X] l’ensemble des multiples de A.
Théorème 3 Division euclidienne. Soit A; B 2 K [X] avec B 6= 0. Il existe un unique couple
(Q; R) de polynômes de K [X] tel que :
A = BQ + R avec deg(R) < deg(B)
On dit que Q est le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B.
Remarque 4 Si R = 0 on a par convention deg(R) =
Lemme 5 Soit A 2 K [X] et x0 2 K on a
A (x0 ) = 0 () (X
1.
x0 ) divise A
Démonstration. Écrivons la division euclidienne de A par (X
A = (X
x0 ),
x0 ) Q + R
avec deg (R) < deg (X x0 ) = 1. Donc R est un polynôme constant R = r 2 K, remplaçons X par
x0 dans l’équation précédente :
A (x0 ) = (x0
A (x0 ) = r
x0 ) Q (x0 ) + r
Si A (x0 ) = 0 on a r = 0 et donc
A = (X
Réciproquement si (X
x0 ) divise A alors il existe Q tel que
A = (X
et donc A (x0 ) = (x0
x0 ) Q
x0 ) Q
x0 ) Q (x0 ) = 0.
Dé…nition 6 Soit a 2 K. Soit P un polynôme. L’ensemble fm 2 N; tels que (X
un plus grand élément, noté m(a) et appelé multiplicité de la racine a de P .
a)m j P g admet
Remarque 7 AK [X] est un sous groupe de (K [X] ; +) mais certains de ses sous groupe ne sont
pas de cette forme, et donc pour généraliser la dé…nition du pgcd que l’on a vu pour Z; il va falloir
utiliser la deuxième opération :
et donc dé…nir une structure algébrique nouvelle.
1
2
Anneaux et Idéaux
2.1
Généralités
Dé…nition 8 On appelle Anneau un ensemble A muni de deux lois de composition internes notées
+ et , telles que(A; +) est un groupe commutatif, d’élément neutre noté 0 et tel que
la multiplication est associative :
8a; b; c 2 A;
(ab)c = a(bc)
la multiplication est distributive par rapport à la loi + :
8a; b; c 2 A;
(a + b)c = ac + bc et c(a + b) = ca + cb
la multiplication possède un élément neutre noté 1A ou 1 :
8a 2 A; a
1=1
a=a
Si de plus la multiplication est commutative, on dit que A est un anneau commutatif.
Exemple 9
L’ensemble Z muni de l’addition et de la multiplication est un anneau commutatif.
(K (X) ; +; ) est un anneau commutatif.
L’ensemble F(R; R) des applications de R dans R muni de l’addition f + g : x 7! f (x) + g(x)
et de la multiplication f g : x 7! f (x)g(x) est un anneau commutatif.
L’ensemble Mn (R) des matrices carrées à n lignes et n colonnes est un anneau non-commutatif.
_ _
Z=nZ; +;
2.2
est un anneau commutatif.
Règles de calcul
Proposition 10 Soit (A; +; ) un anneau. Alors :
pour tout a 2 A; a 0 = 0 = 0 a
pour tout a; b 2 A; ( a) b = a ( b) = (ab)
pour tous a; b 2 A; ( a) ( b) = ab
pour tout n 2 N, pour tout a 2 A; ( a)2n = a2n et ( a)2n+1 = a2n+1
pour tout n 2 Z et pour tous a; b 2 A; (na) b = a (nb) = n (ab).
Démonstration. Soit a 2 A, alors a 0 = a (0 + 0) = a 0 + a 0 et donc a 0 = 0. De
même 0 a = 0.
Soit a; b 2 A, alors a b + ( a) b = (a a) b = 0 b = 0, donc ( a) b = (a b). De
même, a ( b) = (a b).
Soit a; b 2 A. Montrons par récurrence que, pour n 2 N, (na) b = n(ab). Il est clair que
(0a) b = 0 = 0(a b). Soit n 2 N, supposons que (na) b = n(a b). Alors
((n + 1)a)
b = (na + a)
b = (na)
b+a
b = n(a
Ainsi, d’après le théorème de récurrence, pour tout n 2 N, (na)
n 2 N , a (nb) = n(a b). cqfd.
2
b) + a
b = n(a
b = (n + 1)(a
b)
b). De même, pour tout
Proposition 11 Formule du binôme :
Soit a et b deux éléments d’un anneau A qui commutent, c’est-à-dire qui véri…ent a
Alors :
(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an 1 b1 +
+ Cnn 1 a1 bn 1 + Cnn bn
b=b
a.
Rappel
Cnp =
2.3
n
(n
1)
(n
(p
1))
p!
Sous-anneaux et Idéaux
Dé…nition 12 Soit (A; +; ) un anneau. Soit B une partie de A. On dit que B est un sous-anneaux
de A si et seulement si:
(B; +) est un sous-groupe de (A; +)
1A appartient à B
pour tout a; b 2 B; ab 2 B.
Exemple 13
Z est un sous-anneau de Q qui est lui-même un sous-anneau de R.
nZ n’est pas un sous-anneau de Z pour n 6= 1. Donc la notion de sous-anneaux ne pourra pas
être utilisée pour généraliser la dé…nition du pgcd précédente :-( .
p
p
L’ensemble Q 2 = fa + b 2 j a; b 2 Qg est un sous-anneau de R.
Dé…nition 14 Soit (A; +; ) un anneau. Soit I une partie de A. On dit que I est un idéal de A si
et seulement si :
(I; +) est un sous-groupe de (A; +)
pour tout i 2 I; et pour tout a 2 A on a ai 2 A et ia 2 A.
Exemple 15
nZ est un ideal de Z pour tout n.
AK [X] est un idéal de K [X]
Plus généralement si A est un anneau commutatif et si a 2 A alors aA : l’ensembles des
multiples de a est un idéal de A:
Démonstration. Il su¢ t de démontrer le troisième point.
a 0 = 0 donc 0 2 aA
Soit x = au et y = av deux élément de aA alors x + y = au + av = a (u + v) 2 aA et
x = a ( u) 2 aA
Donc aA est un sous-groupe de (A; +) :
Soit x = au un élément de aA et soit y 2 A alors xy = auy = a (uy) 2 aA et yx = xy car A
est commutatif donc yx 2 aA.
Donc aA est un idéal de A.
3
2.4
Intersection et sommes d’idéaux
Proposition 16 Soit (A; +; ) un anneau commutatif . Soient I et J deux idéaux de A.
I \ J est un idéal de A
I + J est un idéal de A
Démonstration. On sait que I \ J et I + J sont des sous-groupes de (A; +) donc il su¢ t de
véri…er la deuxième condition.
Soit a 2 A et soit x 2 I \ J alors ax 2 I (car x 2 I) et ax 2 J (car x 2 J) donc ax 2 I \ J.
Soit y 2 I + J, alors il existe i 2 I et j 2 J tel que y = i + j donc ay = a (i + j) = ai + aj 2 I + J.
2.5
Anneaux principaux
Dorénavant on désignera par A un anneau commutatif.
Dé…nition 17 Un idéal I de A est dit principal si il est formé des multiples d’un éléments a de A;
c’est à dire si I = aA.
Dé…nition 18 Un anneau A est dit principal si tous les idéaux de A sont principaux.
Exemple 19 Z est un idéal principal. En e¤et si I est un idéal de Z c’est un sous-groupe de (Z; +)
donc on a I = nZ.
Dé…nition 20 On dit qu’un polynôme est unitaire s’il est non nul et si son cœ¢ cient de plus haut
degré est égal à 1.
Proposition 21 L’anneauK [X] est un anneau principal.
Démonstration. Soit I un idéal de K [X], Notons d le plus petit degré atteint par les polynômes
non nuls de I, c’est à dire
d = min fdeg (P ) ; P 2 I; P 6= 0g
et soit D 2 I tel que deg (D) = d. On va montrer que I = DK [X] donc que I est principal, ce qui
conclura la preuve.
Tout d’abord comme D 2 I on a DK [X] I.
Soit P un polynôme de I; e¤ectuons la division euclidienne de P par D il existe donc Q et R tel
que
P = DQ + R avec deg(R) < deg(D)
comme P 2 I et DQ 2 I on a P DQ 2 I (c’est un groupe) et donc R 2 I et deg(R) < d: Comme
d est le degré minimal des éléments non-nuls de I, on a forcément R = 0 et donc P = DQ et donc
P 2 DK [X]. Finalement I DK [X].
3
PGCD de deux polynômes
Rappel : On dit qu’un polynôme est unitaire s’il est non nul et si son cœ¢ cient de plus haut degré
est égal à 1.
Les deux paragraphes précédents montrent que dans un anneau principal, les idéaux véri…ent
toutes les propriétés nécéssaires pour que l’on puisse les utiliser pour dé…nir le pgcd et le ppcm de
deux éléments :-) . On peut donc maintenant dé…nir le pgcd et le ppcm de deux polynômes.
4
Dé…nition 22 Soient A et B deux polynômes de K [X]. AK [X] + BK [X] est un idéal de K [X]
donc il existe D 2 K [X] unitaire tel que AK [X] + BK [X] = DK [X]. On appelle D le plus grand
diviseur commun de A et B et on note D = pgcd(A; B) ou D = A ^ B.
Proposition 23 Soit A et B deux polynômes de K [X] non tous deux nuls, alors D = pgcd(A; B) si
et seulement si
le polynôme D divise A et B
si D0 est un diviseur de A et de B alors D0 divise D
Démonstration. Tout à fait analogue à celle donnée dans le cas de Z.
pgcd(2X + 2; X 2 + 2X + 1) = X + 1.
Exemple 24
Si A 2 K , pour tout polynôme B on a pgcd(A; B) = 1.
pgcd(X
(X
1) ; (X
1)
(X + 2)) = X
1
pgcd(X p ; X q ) = X min(p;q) .
Proposition 25 Soient A; B 2 K [X]. On a les propriétés suivantes :
pgcd(A; B) = pgcd(B; A) ;
si A est non nul, pgcd(A; A) = (1=a)A où a désigne le cœ¢ cient dominant de A
pour tout a; b 2 K , pgcd(aA; bB) = pgcd(A; B)
pour tout polynôme unitaire C 2 K [X], on a pgcd(CA; CB) = C pgcd(A; B).
Proposition 26 Algorithme d’Euclide. Soient A et B deux polynômes non nuls. On construit
par récurrence une suite de polynômes (Rn )n2N de la façon suivante : R0 = A, R1 = B, R2 est le
reste de la division euclidienne de R0 par R1 , et de proche en proche, tant que Rn 6= 0, Rn+1 est égal
au reste de la division euclidienne de Rn 1 par Rn . Alors il existe un entier N tel que RN 6= 0 et
RN +1 = 0. De plus, pgcd(A; B) = (1=cN )RN où cN désigne le cœ¢ cient dominant de RN .
Exemple 27 Soit A = X 5 + X 3 + X 2 + 1 et B = X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1. On a
X 5 + X 3 + X 2 + 1 = (X 1)(X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1) + 2X 2 + 2
X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 = 21 X 2 + 12 X + 12 (2X 2 + 2) +0
Le dernier reste non nul étant 2X 2 + 2, on obtient que pgcd(A; B) = X 2 + 1.
Proposition 28 Relation de Bézout. Soit A; B deux polynômes de K [X]. Alors il existe des
polynômes U et V tels que
pgcd(A; B) = AU + BV
Démonstration. Analogue à la preuve sur Z.
5
4
Polynômes premiers entre eux
Dé…nition 29 Soit A; B 2 K. On dit que A et B sont premiers entre eux si pgcd(A; B) = 1.
Exemple 30 Les polynômes 2 et 2X + 4 dans R [X] sont premiers entre eux.
Les polynômes X 2 +X+1 et X 3 1 ne sont pas premiers entre eux car X 3 1 = (X
1) (X 2 + X + 1) :
Proposition 31 Soient A et B deux polynômes de K [X], alors si ils ont une racine en commun,
c’est à dire s’il existe x0 2 K tel que
A (x0 ) = B (x0 ) = 0
alors A et B ne sont pas premiers entre eux.
Démonstration. Si A (x0 ) = B (x0 ) = 0 alors (X
divise pgcd(A; B) donc pgcd(A; B) 6= 1.
x0 ) divise A et B d’après le lemme 5 donc
Proposition 32 Soient A et B deux polynômes de K [X], si il ne sont pas premiers entre eux alors
ils ont au moins une racine complexe en commun.
Démonstration. Soit D = pgcd(A; B) comme A et B ne sont pas premiers entre eux deg (D)
1. On admet que tout polynôme de K [X] non constant admet au moins une racine complexe (c’est le
théorème de D’Alembert). Donc il existe z0 2 C tel que D (z0 ) = 0 comme A et B sont des multiples
de D on a A (z0 ) = 0 et B (z0 ) = 0.
Proposition 33 Soit A; B 2 K [X] non tous les deux nuls. Soit D un polynôme unitaire qui divise
A et B. Il existe A0 2 K [X] tel que A = DA0 et il existe B 0 2 K [X] tel que B = DB 0 . Alors D est
le pgcd de A et B si et seulement si A0 et B 0 sont premiers entre eux.
Démonstration. Analogue à celle vu dans le chapitre sur Z.
Théorème 34 Théorème de Bézout. Deux polynômes A et B de K [X] sont premiers entre eux
si et seulement s’il existe deux polynômes U; V 2 K [X] tels que
AU + BV = 1
Démonstration. Analogue à celle donnée sur Z.
Théorème 35 Théorème de Gauss. Soit A; B et C trois polynômes de K [X]. Si A divise BC et
si A et B sont premiers entre eux alors A divise C.
Démonstration. Analogue à celle vu dans le chapitre sur Z.
Corollaire 36
Soit n 2 N, n 2. Soit A1 ; : : : ; An des polynômes de K [X] premiers entre eux
deux à deux. Si A est divisible par chacun des Ai (i = 1 : : : n) alors A est divisible par leur
produit.
Soit n 2 N, n 2. Soit A1 ; : : : ; An des polynômes de K [X]. Si A est premier avec chacun des
Ai (i = 1 : : : n) alors A est premier avec leur produit.
Démonstration. Analogue à celle vu dans le chapitre sur Z.
6
5
PPCM de deux polynômes
Dé…nition 37 Soient A et B 2 K [X], il existe M 2 K [X] unitaire tel que AK [X] \ BK [X] =
M K [X].
M est appelé le plus petit multiple commun de A; B, noté ppcm(A; B) (ou A _ B).
Proposition 38 Soient A et B deux polynomes sur K. Soit M 2 K [X]. Alors M = ppcm(A; B) si
et seulement si
M est un multiple de A et B
si P est un multiple de A et de B alors M divise P
Cela explique le nom de plus petit multiple commun pour M .
Démonstration. Même raisonnement que pour le cas de Z.
pcm(2X + 2; X 2 + 2X + 1) = X 2 + 2X + 1.
Exemple 39
Si A 2 K , pour tout polynôme B on a ppcm(A; B) = (1=b)B où b désigne le cœ¢ cient dominant
de B.
ppcm(X
(X
1) ; (X
1)
(X + 2)) = X
(X
1)
(X + 2)
ppcm(X p ; X q ) = X max(p;q) .
Proposition 40 Soient A; B 2 K [X]. On a les propriétés suivantes :
pour tout a; b 2 K , ppcm(aA; bB) = ppcm(A; B)
pour tout polynôme unitaire C 2 K [X], on a ppcm(CA; CB) = C ppcm(A; B).
Proposition 41 Soient A et B deux polynomes unitaires de K [X] on a la relation :
pgcd(A; B) ppcm(A; B) = AB
Démonstration. Même raisonnement que dans le cas de Z.
6
Polynômes irréductibles
Dé…nition 42 Un polynôme P 2 K [X] est irréductible sur K s’il n’est pas constant et si :
8Q; R 2 K [X] ;
P = QR =) deg(Q) = 0 ou deg(R) = 0
C’est à dire que l’on ne peut pas écrire P comme le produit de deux polynômes non-constants.
Exemple 43
Tout polynôme de degré un est irréductible.
Le polynôme P = X 2 + X + 1 est irréductible sur R.
Le polynôme P = X 2 + X + 1 n’est pas irréductible sur C.
Proposition 44 Soit P un polynôme de K [X] de degré supérieur ou égal à deux. Alors
P est irréductible sur K =) P n’a pas de racines dans K
7
Démonstration. On va démontrer l’implication contraposée :
P a une racine dans K =) P n’est pas irréductible sur K
Or d’après le lemme 5 si x0 est une racine de P alors P = (X
a deg (Q) 1 donc P n’est pas irréductible sur K.
x0 ) Q et comme deg (P )
2 on
Corollaire 45 Les seuls polynômes irréductibles de C [X] sont les polynômes de degré un.
Démonstration. Comme tout polynôme complexe non constant a une racine dans C (théorème
de D’Alembert), c’est une conséquence immédiate de la proposition.
Remarque 46 La réciproque de la proposition précédente est fausse. Donnons un contre exemple :
P = X 4 + 1. Si x 2 R, x4 + 1 1 donc P n’a pas de racines réelles. Pourtant on a
X4 + 1 = X2 +
p
X2
2X + 1
p
2X + 1
Proposition 47 Si P et Q sont deux polynômes irréductibles unitaires distincts de K [X] alors P et
Q sont premiers entre eux.
Proposition 48 Tout polynôme A 2 K [X] non constant est divisible par un polynôme irréductible
unitaire.
Théorème 49 Décomposition en facteurs irréductibles. Soit A un polynôme de K [X] de degré
1. Il existe a 2 K, s 2 N , des polynômes irréductibles unitaires P1 ; : : : ; Ps deux à deux distincts
et des entiers naturels non nuls m1 ; : : : ; ms tels que
A = aP1m1
7
Psms
Corps
Dé…nition 50 Un corps K est un anneau dont tous les éléments non nuls sont inversibles.
Exemple 51 Q; R et C sont des corps.
Si p est un nombre premier alors Z=pZ est un corps.
8
L’anneau K [X] =(P )
Dé…nition 52 Soit P un polynôme de K [X]. Soit A; B 2 K [X], on dit que A est congru à B
modulo P , si P divise A B. Cette propriété se note A B mod P ou A B [P ].
Proposition 53 Soit P 2 K [X]. La relation ARB , A B [P ] est une relation d’équivalence.
On note K [X] =(P ) l’ensemble quotient de K [X] par cette relation d’équivalence.
Proposition 54 On munit l’ensemble K [X] =(P ) d’une addition + et d’une multiplication
par :
8A; B 2 K [X] =(P ); A + B = A + B
8A; B 2 K [X] =(P ); A B = AB
Alors (K [X] =(P ); +; ) est un anneau.
8
dé…nies
Exemple 55 Dans R [X], on considère le polynôme P = X 2 + 1.
Soit A 2 R [X], il existe Q; R 2 R [X] tels que A = P Q + R avec R = 0 ou deg(R)
Donc la classe de A dans peut se représenter par un polynôme de degré 1.
Soit deux éléments R [X] =(P ) : a + bX et c + dX alors leur produit est
1.
(a + bX) (c + dX) = ac + (ad + bc) X + bdX 2
= ac bd + (ad + bc) X mod X 2 + 1
Si on indenti…e
a + bX
! a + ib
on voit qu’on obtient une identi…cation
R [X] =(X 2 + 1)
!C
Proposition 56 Les élément inversible de K [X] =(P ) sont les classes des polynômes premiers avec
P:
Démonstration. Avec le théorême de Bézout (voir la preuve sur Z).
Proposition 57 L’anneau (K [X] =(P ); +; ) est un corps si et seulement si P est irréductible sur
K [X].
9