ELECTROSTATIQUE CHARGES, POTENTIEL, CHAMP

ELECTROSTATIQUE
CHARGES, POTENTIEL, CHAMP
On appelle électromagnétisme, l'étude de l'ensemble des phénomènes liés aux interactions entre particules chargées.
Soit un ensemble D de particules chargées, mobiles ou non: D s'appelle "distribution de charges et de courants".
Une telle distribution modifie les propriétés de l'espace: on dit qu'elle créé un champ électromagnétique. L'action complète
 
 

de D à un instant t, en un point M caractérisé par son vecteur position r , est décrite par deux vecteurs E ( r ,t) et B ( r ,t)
 
appelés composantes du champ électromagnétique [ E , B ] en M à t.
 
cas général : [ E , B ] solutions de 4 équations couplées, appelées équations de Maxwell (faisant intervenir à la fois des


composantes de E et de B et leurs dérivées par rapport au temps ou aux coordonnées d'espace) : blocs 3, 4 et 5.
cas particulier : répartition des charges et des courants indépendante du temps : régime permanent : les équations vérifiées




par E et B sont découplées, E et B peuvent être calculés séparément.
 
cas plus particulier : charges immobiles (pas de courants) B = 0 : électrostatique  bloc 1
sinon : le champ électrique est permanent, le champ magnétique aussi : magnétostatique  bloc 2
 bloc 1 : 4.1a. et 4.1b. : électrostatique
 bloc 2 : 4.2a. et 4.2b. : magnétostatique
 bloc 3 : Equations de Maxwell
 bloc 4 : Energie du champ électromagnétique
 bloc 5 : 4.5a., 4.5b. et 4.5c. : Propagation et rayonnement
I.
Champ électrostatique
1.
Charge électrique
a)
Charge d’une particule
La charge d’une particule est une grandeur qui caractère les actions électromagnétiques qu’elle exerce et qu’elle subit.
C’est une grandeur scalaire (= réel) s’exprimant en coulomb (C).
Il existe deux types de charges, de signes opposés :
La charge d’une particule est par convention positive si la particule et un électron s’attirent, elle est négative si la particule
et un électron se repoussent.
b)
Quantification de la charge
Les charges de toutes les particules connues (observables à l’état libre) sont de la forme :
q=pe où p est un entier relatif, et e=1,6021890.10 -19C
4.1a. électrostatique : charges, potentiel, champ
1
Il n’existe pas de particules stables portant une charge de valeur absolue inférieure à e : e est appelée charge élémentaire.
La charge d’une particule est nécessairement un multiple entier de e : on dit que la charge est quantifiée ; e est aussi appelé
quantum de charge.
Un électron porte la charge « -e », un proton la charge « +e », un neutron la charge 0.
Depuis 1964, on a été conduit à postuler l’existence d’entités plus élémentaires appelées quarks, dont la charge est une
fraction de e, mais ces entités n’ont jamais été observées à l’état libre : les quarks restent toujours « groupés » de telle sorte
que la charge de toute particule observable à l’état libre est bien de la forme q=pe. Par exemple, un proton est constitué de
2 quarks u de charge 2e/3 et d’un quark e de charge –e/3.
Un corps macroscopique est chargé électriquement s’il possède un défaut ou un excès d’électrons : il est chargé
positivement s’il possède un défaut d’électrons, négativement s’il possède un excès d’électrons.
On peut charger un corps par frottement : lorsqu’on frotte une baguette de verre avec un morceau de laine, la laine arrache
des électrons des couches externes des atomes qui composent le verre : la baguette se charge positivement, la laine
négativement. Lorsqu’on frotte un bâton d’ébonite avec une peau de chat, celle-ci dépose des électrons sur le bâton : le
bâton se charge négativement, la peau positivement.
Pour un corps chargé, l’entier p est très grand, de telle sorte que la quantification n’est pas discernable.
Ex : soit une boule de sureau de charge q=10-8C. q/e=6,25.1010 : un électron de plus ou de moins ne change pas la charge
macroscopique.
c)
Propriétés
La charge électrique est une grandeur conservative : la charge d’un système fermé est constante.
Ex : désintégration du neutron : n→p++e-+ 
La charge est une grandeur invariante : la charge d’un système a même valeur dans tout référentiel.
d)
Distributions de charges
On appelle distribution de charges un ensemble de particules chargées (immobiles en électrostatique).
On distingue plusieurs catégories de distributions de charges.
- charge ponctuelle.
C’est une modélisation utilisée quand les dimensions caractéristiques de la distribution sont très petites (devant les
distances intervenant dans les phénomènes étudiés).
Ex : particules élémentaires, objets chargés « de petite taille ».
- Distribution de charges ponctuelles (ou distribution discrète de particules chargées).
C’est un ensemble de charges ponctuelles.
- Distribution continue de charges.
Si une région de l’espace est remplie de charges dont les distances mutuelles sont très petites devant les distances aux
points d’observation, on considère que les charges sont réparties de façon continue, et on parle de « distribution continue
de charges ».
On distinguera :

Si les charges sont réparties en volume (cas d’un corps de forme ordinaire macroscopique chargé), on parle de
distribution volumique.
Dans notre étude, conformément au programme, on n’observe pas la matière à l’échelle atomique, mais à
l’échelle dite mésoscopique et on définit une densité volumique  qui représente en fait une valeur moyenne
4.1a. électrostatique : charges, potentiel, champ
2
(nivelée) sur un volume élémentaire dit mésoscopique, i.e très petit à l’échelle macroscopique, mais très grand à
l’échelle atomique.
(P) 
lim
  0
à l' échelle
macroscopique
q

:  tend vers zéro à l’échelle macroscopique mais reste très grand à l’échelle atomique
On traite la matière comme un milieu continu, en ignorant sa structure atomique.
On la caractérise par la densité volumique de charges en chacun de ses points : (P)=dQ/d en C.m-3.

Si les charges d’un corps macroscopique chargé sont réparties sur une épaisseur faible devant les autres
dimensions du corps, on parlera de distribution surfacique. On la caractérise par la densité surfacique de charges
en chacun de ses points : (P)=dQ/dS en C.m-2.

Si les charges d’un corps macroscopique sont localisées au voisinage d’une courbe, i.e. réparties dans un tube de
section très faible, on parlera de distribution linéique. On la caractérise par la densité linéique de charges en
chacun de ses points : (P)=dQ/dl en C.m-1.
2.
Loi de force de Coulomb
Une charge électrique q, par sa présence, exerce une force sur toute autre particule chargée Q : on dit que la charge q
rayonne ou crée un champ électrique autour d’elle et que l’autre charge, Q, est plongée dans le champ créé par q et subit
donc une force de nature électrique.
Lorsque la charge électrique qui créé le champ est immobile, le champ électrique est dit « électrostatique » : cas pour ce
chapitre.

Une charge électrique ponctuelle, q, placée en S, exerce sur une charge Q située en P, la force f 
qQ
40 SP
2
.
SP
SP
La droite d’action de cette force est la droite SP. La force est répulsive si les charges sont de mêmes signes, attractive si
elles sont de signes opposés. Le module de la force est inversement proportionnel au carré de la distance entre les charges
ponctuelles.
0 est une constante appelée « permittivité du vide », dont on pourra retenir la valeur approchée :  0  1 (36.109 ) SI.
Cette loi d’origine expérimentale, proposée par Coulomb en 1785, est maintenant vérifiée avec une très grande précision
(mieux que 10-16 en valeur relative sur l’exposant de r), pour des distances allant de 10 -16m à plusieurs km.
3.
Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle : loi de Coulomb
D’après la loi de force de Coulomb, la force exercée sur Q placée en P est de la forme :


f  QE(P) avec

E ( P) 
q
40 SP
2
.
SP
champ crée par la charge q placée en S
SP

E(P) est appelé champ électrostatique créé en P par la charge ponctuelle q située en S.

L’expression donnant E(P) est également appelée « loi de Coulomb ».
4.
Principe de superposition
Soit q1 une charge ponctuelle en S1, q2 une charge ponctuelle en S2, Q une charge ponctuelle en P.
4.1a. électrostatique : charges, potentiel, champ
3


Soit f 1 la force qu'exercerait q1 sur Q en l'absence de q2, f 2 la force qu'exercerait q2 sur Q en l'absence de q1.

Soit f la force exercée par la distribution {q1,q2} sur la charge Q.
  
Principe de superposition f  f1  f 2
Ou encore, en divisant membre à membre par la charge test Q :
 

E  E1  E 2 : le champ total créé est la somme des champs créés par chaque élément de la distribution
L’interaction entre deux charges est donc indépendante de la présence ou non d’autres charges.
Il suffit donc pour connaître les effets d’un ensemble de charges, d’additionner les effets des charges prises
individuellement.
Il s’agit d’une additivité vectorielle !
5.
Champ électrostatique créé par une distribution
D'après la loi de Coulomb et le principe de superposition, la force exercée par une distribution de charges D, sur une
charge "test" Q placée en un point P, est le produit de Q, par un vecteur ne dépendant pas de Q mais uniquement du lieu P
et de la distribution source D. Ce vecteur est appelé champ électrostatique au point M de (créé par) la distribution D.
a)
Champ en P d'une distribution de charges ponctuelles qi placées en des points Si
n

E ( P)  
i 1
b)
qi
40 S i P
2
.
Si P
Si P
Champ en P d'une distribution continue de charges

E (P) 

SD
dq(S)
40 SP
2
.
SP
SP
avec dq=d pour une distribution volumique, dS pour une distribution surfacique, dl pour une distribution linéique.
II.
Symétries et invariances des distributions et du champ créé
1.
Symétries et invariances des distributions
a)
Symétrie plane
Soit une distribution D.
On dit que  est un plan de symétrie de
D (même géométrie et mêmes charges).
D si la distribution D’ obtenue par symétrie de D par rapport à  coïncide avec
exemples :
 Cas d’un fil cylindrique chargé « infini », de section non nulle. Tout plan contenant son axe est un plan de symétrie,
ainsi que tout plan normal à l’axe.
 spire plane chargée linéiquement uniformément : son plan est plan de symétrie, ainsi que tout plan contenant son axe.
4.1a. électrostatique : charges, potentiel, champ
4
 Ensemble de deux charges identiques : le plan médiateur est plan de symétrie.
 Ensemble de deux charges opposées : tout plan contenant les deux charges est un plan de symétrie.
b)
Antisymétrie plane
Soit une distribution D.
On dit qu’un plan  est un plan d’antisymétrie de D si l’opération de symétrie par rapport à * laisse la géométrie de
inchangée mais change le signe des charges.
D
exemples :
 Ensemble de deux charges opposées : le plan médiateur est plan d’antisymétrie.
 Ensemble de deux plaques planes parallèles, en regard, uniformément chargées, de densités surfaciques de charge
opposées : le plan médian est plan d’antisymétrie.
c)
Invariance par translation
Soit une distribution D. On dit qu’elle est invariante par translation le long d’un axe Oz, si et seulement si la distribution
obtenue par une translation quelconque de D le long de Oz coïncide avec D.
Exemples :

fil rectiligne infini uniformément chargé : invariant par translation parallèlement à lui-même.

Plaque plane infinie uniformément chargée : invariante par toute translation parallèlement à elle-même.
d)
Invariance par rotation autour d’un axe
Soit une distribution D. On dit qu’elle est invariante par rotation autour d’un axe Oz, si et seulement si la distribution
obtenue par une rotation quelconque de D autour de Oz coïncide avec D.
exemple : distribution de charges annulaire uniforme d’axe Oz, fil rectiligne infini d’axe Oz, cylindre d’axe Oz
uniformément chargé en volume…
e)
invariance par rotation autour d’un point
Soit une distribution D. On dit qu’elle est invariante par rotation autour d’un point O, si et seulement si la distribution
obtenue par une rotation quelconque de D autour de O coïncide avec D.
exemple : sphère uniformément chargée en volume.
2.
Propriétés de symétrie et invariances du champ créé
a)
Principe de Curie
Le principe de symétrie de Curie postule que « les effets ont au moins les symétries des causes ».
Appliqué à l’électrostatique, ce principe implique que le champ électrostatique (effet) à au moins les mêmes symétries que
le distribution de charges (cause).
b)
Invariance d’une distribution source et du champ correspondant
Nous admettrons que le champ électrostatique possède les mêmes invariances que sa distribution source :
4.1a. électrostatique : charges, potentiel, champ
5
Si la distribution source est invariante par rotation autour d’un axe, le champ électrique qu’elle produit l’est également : le
champ ne dépend pas de la coordonnée le long de cet axe.
Si la distribution source est invariante par translation le long d’un axe , le champ électrique qu’elle produit l’est
également : les composantes du champ ne dépendent pas de la coordonnée angulaire dans le système de coordonnées
cylindriques d’axe .
Si la distribution source est invariante par rotation autour d’un point O, le champ électrique qu’elle produit l’est
également : les composantes du champ ne dépendent d’aucune coordonnée angulaire.
c)
En un point d’un plan de symétrie de la distribution source, le champ
appartient à ce plan.
On admettra par ailleurs le résultat plus général suivant
En M’ symétrique d’un point M par rapport à plan de symétrie de la distribution, le champ électrique est le symétrique (par
rapport à ce même plan) du champ en M (ou encore : en deux points M et M’ symétriques par rapport à un plan de
symétrie de la distribution, les champs sont symétriques).
d)
En un point d’un plan d’antisymétrie de la distribution source, le champ
est normal à ce plan.
On admettra par ailleurs le résultat plus général suivant.
En M’ symétrique d’un point M par rapport à un plan d’antisymétrie de la distribution, le champ électrostatique est
l’antisymétrique (par rapport à ce même plan) du champ en M (ou encore : en deux points M et M’ symétriques par rapport
à un plan d’antisymétrie de la distribution, les champs sont antisymétriques, i.e. opposés du symétrique par rapport à ce
plan).
3.
Exemple d’utilisation
Champ créé par un fil cylindrique infini chargé uniformément.
III.
Potentiel électrostatique
Le champ électrique est la grandeur physique pertinente pour caractériser une distribution de charges ; cependant c’est une
grandeur vectorielle, parfois délicate à calculer. De ce fait, on introduit une grandeur scalaire, intermédiaire formel de
calcul, appelée potentiel électrostatique.
1.
Gradient
a)
Définition intrinsèque
Le gradient en M de la fonction f est un vecteur qui pointe vers la zone de plus forte valeur de f au voisinage immédiat
de M. Il a pour direction celle le long de laquelle f varie le plus fort autour de M. Sa norme traduit la rapidité de la
variation de f le long de cette direction, au voisinage de M. Le gradient caractérise la non uniformité du champ scalaire
f(M).
Plus précisément :
Le gradient en un point M du champ scalaire f noté gradf est le vecteur tel que la variation df de f que l’on observe si on


se déplace de d l à partir de M est : df  gradf .d l

D’après l’interprétation géométrique du produit scalaire, pour un déplacement de longueur d l donnée, df est maximale si
le déplacement est dans la direction et le sens du vecteur gradf . Si le déplacement est orthogonal au vecteur gradf , df est
nul (f ne varie pas).
4.1a. électrostatique : charges, potentiel, champ
6
Le vecteur gradf en un point M est orienté dans la direction et le sens où f croît le plus rapidement au voisinage de M.
Ex : champ de température à l’intérieur de la Terre, champ de pression dans un bassin.
b)
Composantes du vecteur gradient.




En coordonnées cartésiennes, le déplacement élémentaire s’écrit : d l  dxu x  dyu y  dzu z






Par ailleurs, d’après la définition de gradf , df  gradf x dx  gradf y dy  gradf z dz et, pour une fonction f des 3
variables (x,y,z) df 
f
f
f
dx  dy  dz .
x
y
z
En identifiant, on obtient : gradf 
f 
f 
f 
u x  u y  u z : expression à connaître.
x
y
z
En cylindrique, le gradient s’écrit : gradf 
f 
1 f 
f 
u 
u   u z mais seul est à connaître le cas où f ne dépend que de

 
z
la première coordonnée cylindrique ρ :
Si f ne dépend que de la première coordonnée cylindrique ρ : gradf 
f 
u

f  1 f 
1 f 
ur 
u 
u  , mais seul est à connaître le cas où f est
r
r 
r sin  
invariante par rotation autour de O, origine des coordonnées sphériques :
En sphérique, le gradient s’écrit : gradf 
Si f ne dépend que de la première coordonnée sphérique r=OM : gradf 
2.
f 
ur .
r
Potentiel associé au champ créé par une charge ponctuelle


Pour une charge ponctuelle, il existe un champ scalaire V(M) dont le champ électrique E est le gradient : E  gradV
Calculons la circulation élémentaire du champ électrique d’une charge ponctuelle q, celle-ci étant placée à l’origine des
coordonnées sphériques utilisées.
 
dC  E.d r 
q
q
+cst
dr  dV avec V 
2
4

40 r
0r
Il existe un champ scalaire, dont le gradient est au signe près (pour des raisons historiques) le champ électrique.
 
dV  E.d l : le champ électrostatique en M est un vecteur qui pointe vers la zone de plus faible valeur du potentiel au
voisinage immédiat de M (signe -). Le champ électrostatique est orienté dans le sens des potentiels décroissants. Le champ
électrostatique caractérise la non uniformité du potentiel V(M). Il est identiquement nul si et seulement si le potentiel est
uniforme.
Le potentiel est défini à une constante additive près. Un choix naturel (dit du potentiel absolu), est de prendre cette
constante nulle, i.e. de considérer le potentiel nul loin de la charge source.
Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle q placée en O : V 
4.1a. électrostatique : charges, potentiel, champ
7
q
40 r
3.
Potentiel associé à une distribution de charges quelconque
On montre (en partant du cas d'une charge ponctuelle et en utilisant le principe de superposition), que le champ

électrostatique est un champ de gradient, c’est-à-dire qu'il existe un champ scalaire V(P) tel que : E  gradV
n
Distribution de charges ponctuelles qi placées en des points Si
V( P) 
 4
i 1
V( P) 
Distribution continue de charges :
qi
0
Si P
dq
avec dq=d, dS ou dl
4

0SP
SD

Ex : potentiel d’un doublet de charge, surface V(x,y).
4.

E  gradV
Relation entre champ et potentiel

 
E.d l  dV

 
 E.d l  V(B)  V(A)  V(A)  V(B)
AB
Rq

* unité de E : V.m-1


* la circulation de E sur un parcours fermé quelconque est nulle : on dit que E est à circulation conservative.
IV.
Topographie du champ électrostatique
1.
Ligne de champ
Une ligne de champ électrostatique est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ électrostatique,

orientée dans le sens de E .
Schéma :
Rq : deux lignes de champ ne peuvent pas se couper sauf en des points singuliers où le champ est nul ou non défini. (En
effet, si 2 lignes de champ se coupaient, en leur point d’intersection, le champ aurait deux directions différentes, ce qui est
absurde).
Ex : lignes de champ d’une charge ponctuelle.
2.
Spectre électrique
On appelle spectre électrique d’une distribution de charges, un réseau de ldc de cette distribution.
4.1a. électrostatique : charges, potentiel, champ
8
En pratique, on visualise un spectre soit expérimentalement, soit à partir d’une simulation informatique.
Détermination expérimentale : si on saupoudre de grains de semoule la surface d’un liquide où règne un champ électrique,
chaque grain, constitué d’une substance isolante initialement neutre, reste neutre, mais subit le phénomène de polarisation :
ses charges positives sont déplacées dans le sens du champ, ses charges négatives dans le sens opposé ; de ce fait, chaque

grain subit un couple de force et s’oriente parallèlement à E . L’ensemble des grains visualise le spectre.
Simulation informatique : diagrammes fléchés : le logiciel dessine en chaque point d’un réseau plus ou moins serré, une
petite flèche dont la direction et le sens correspondent à ceux du champ électrique en ce point.
Rq : dans un cas comme dans l’autre, on ne peut en général pas visualiser le spectre dans l’espace, on se contente de la
visualiser dans un plan particulier.
Ex : spectre d’un doublet (deux charges identiques placées ici (en (1,0,0) et (-1,0,0) .
Remarque : Le champ électrostatique a un caractère divergent à partir des sources : les lignes de champ électrostatique
divergent à partir des charges positives et convergent vers les charges négatives.
3.
Surfaces équipotentielles
Une surface équipotentielle est une surface dont tous les points ont même valeur du potentiel électrostatique.
Le champ électrique est, en chaque point M de l’espace, normal à la surface équipotentielle passant par ce point, et orienté
dans le sens des potentiels décroissants.

Les lignes de champ électrostatique E (M) sont orthogonales aux surfaces équipotentielles en tout point M de l’espace.
Le long d’une ligne de champ parcourue dans le sens positif, le potentiel est décroissant.
Une ligne de champ ne peut pas être une courbe fermée (puisque le potentiel décroît constamment le long d’une ldc).
2 surfaces équipotentielles ne peuvent pas se couper (en un point d’intersection, le potentiel aurait deux valeurs distinctes,
ce qui est absurde).
Remarque Si la distribution étudiée est invariante par rotation autour d’un axe (Oz par exemple), les surfaces
équipotentielles seront également invariantes par rotation autour de Oz. On en représentera en général la coupe par un plan
contenant Oz. Cette coupe sera donc constituée de courbes équipotentielles.
4.1a. électrostatique : charges, potentiel, champ
9
Exemple : surfaces équipotentielles d’un doublet électrostatique.
4.
Tubes de champ
Un tube de champ est une surface imaginaire formée par l’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur une courbe
fermée.
4.1a. électrostatique : charges, potentiel, champ
10