1 partie : 2 partie :

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Séquence 3 – MA12
Séquence 3
1ère partie :
Second degré
2e partie :
Probabilités (1)
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Séquence 3 – MA12
Second degré
1ère partie
Sommaire
1. Pré-requis
2. Forme canonique, étude d’une fonction du second degré
3. Équation du second degré
4. Factorisation et signe du trinôme ax
2 +
bx + c
5. Algorithmique
6. Synthèse de la partie 1 de la séquence
7. Exercices d’approfondissement
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Séquence 3 – MA12
Définitions
Etant donnés trois nombres réels a , b et c , avec a ≠0, la fonction f , définie
sur  par fx ax bx c () ,=++
2 est appelée fonction polynôme de degré
deux ou encore fonction du second degré.
La quantité
ax bx c
2++ est appelée trinôme du second degré ou plus
simplement trinôme.
L’équation
ax bx c
20++=est appelée équation du second degré.
Définitions
Identités remarquables
Quels que soient les nombres réels a et b , les égalités suivantes sont toujours vraies :
 ()
ab a abb +=++
22 2
2
 ()
ab a abb −=−+
22 2
2
 ()() .
abab a b +−=−
22
Propriété
Il faut bien connaître ces trois identités remarquables et savoir les manipuler
dans les deux sens.
Elles seront utilisées toutes les trois dans les transformations des trinômes du
second degré et dans la résolution des équations du second degré, en particulier
dans les transformations illustrées par les trois calculs qui suivent.
 On transforme
xx
22+en reconnaissant qu’il s’agit du début d’un carré.
En effet, on sait que : xx x
22
21 1++=+(), et donc on peut écrire :
xxx
22
211+=+−().
 On transforme
xx
26−en reconnaissant qu’il s’agit du début d’un carré.
En effet, on sait que :
xx x
22
69 3−+=−(), et donc on peut écrire :
xxx
22
639−=−−().
A
B
1Pré-requis
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Séquence 3 – MA12
Dans les deux cas précédents, le coefficient de x est un nombre entier qui est
pair, on a pu alors l’utiliser facilement pour reconnaître le double produit d’une
identité remarquable.
Voici maintenant le cas de
xx
25+.
On fait apparaître le double produit :
xxx x
22
52
5
2
+=+×, c’est donc ici le
nombre 5
2qui va jouer le rôle de
b dans la formule générale.
D’après l’identité remarquable :
xxx xx +
=+× + =++
5
225 2
5
2525 4
2
2
2
2,
on a : xxx
2
2
55
2
25
4
+=+
−.
Équations
Voici quelques exemples d’équations que vous devez savoir résoudre.
 Équations du 1er degré
Résoudre : 340 x −=. Résoudre : −+=254 x .
Solution :
34034
4
3
xx
x
−=⇔ =
⇔=
L’ensemble S des solutions est
S=
4
3.
Solution :
−+=⇔−=−
⇔=
−
−=
254 2 1
1
2
1
2
xx
x
L’ensemble S des solutions est
S=
1
2.
 Équations produits
Résoudre ()( ).23470 xx +−+=
On applique d’abord la règle du produit nul :
()( )23470230 470
23 47
xx x x
xx
x
+−+=⇔+= − +=
⇔=− −=−
⇔
ou
ou
== −=−
−=
3
2
7
4
7
4
ou x .
L’ensemble S des solutions est S =−
3
2
7
4
;.
C
Exemple 1
Exemple 2
Solution
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Séquence 3 – MA12
 Quelques équations du second degré de forme
simple
Résoudre : 340
2
xx +=. Résoudre : x
230−=.
Solution :
340 340
0340
04
3
2
xx xx
xx
xx
+=⇔ +=
⇔= +=
⇔= =
−
()
ou
ou
L’ensemble S des solutions est
S=−
04
3
;.
Solution :
xx
xx
xx
x
22
2
30 3 0
330
30 30
3
−=⇔ −
(
)
=
⇔−
(
)
+
(
)
=
⇔− = + =
⇔=
ou
ouu
x =− 3
L’ensemble S des solutions est
S=−
{}
33;.
Dans les deux
cas on s’est ramené à un produit nul.
 Sens de variation des fonctions
On rappelle plusieurs résultats sur le sens de variations de certaines fonctions.
tLa fonction carrée est décroissante sur ]–∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
t Soit
x
0 un nombre réel, la fonction définie sur ⺢ par
xxx ()−02est décroissante sur
]–∞ ;
x
0] et croissante sur [
x
0 ; +∞[.
t Soit
u une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre réel, les fonctions u et u + k ont
le même sens de variation sur I.
t Soit
u une fonction définie sur un intervalle I et Q un nombre réel, alors
 tTJQ≥ 0, les fonctions
u et Q u ont le même sens de variation sur I.
 tTJQ ≤ 0, les fonctions
u et Q u varient en sens contraire sur I.
Propriété
 Tableaux
de signes d’une expression factorisée
Représentation graphique des fonctions
Résolution graphique des équations, des inéquation
s
Ces notions ont été rappelées et utilisées dans les séquences précédentes.
 Fonctions polynômes de degré 2 dans le cours de
Seconde
Dans le cours de Seconde, des propriétés des fonctions du second degré ont été
conjecturées, puis admises.
Ces propriétés ont été démontrées dans la séquence 2, et d’autres seront revues
et démontrées dans les chapitres de cette séquence.
Exemple 3
Remarque
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