Chapitre 14 : Variables aléatoires continues

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
Variables aléatoires continues
Chapitre 14
Variables aléatoires continues
F. Delacroix, École des Mines de Douai, 14 mars 2011
Introduction
Présentation et objectifs
Le chapitre précédent s’est concentré sur la définition générale de la notion de variable
aléatoire et le cas des variables aléatoires discrètes. On se place ici dans le cas continu,
c’est-à-dire dans le cas où les valeurs possibles d’une variable aléatoire ne constituent plus
un ensemble fini ou dénombrable, mais un intervalle de R.
Cette considération nécessite une nouvelle façon de décrire la loi de probabilité d’une
variable aléatoire, et de redéfinir les notions d’espérance et de variance. On peut toutefois
signaler que ces définitions s’unissent à celles du chapitre 13 (dont la définition employait
des séries) dans le cadre très général de l’intégrale de Lebesgue.
On s’intéresse ensuite à quelques lois de probabilités classiques, qu’il est indispensable de connaître tant leur utilisation est fréquente, notamment dans les modèles statistiques. On insiste tout particulièrement sur les lois uniforme, normale et exponentielle (à
connaître par coeur), avant de donner un aperçu de quelques autres lois classiques.
Prérequis:
Chapitres 12, 13, 4
Suites:
Chapitre 15
Statistique inductive (1ère année)
Optimisation
Mathématiques financières et sciences « molles »
1
Introduction
1.1
Définitions
Soit (Ω, T , P ) un espace probabilisé.
Définition 1
Une variable aléatoire X : Ω → R est dite continue (parfois : absolument continue)
s’il existe une fonction f : R → R+ continue par morceaux telle que pour tout borélien
B de R on ait
Z
P (X ∈ B) =
f (x) dx.
B
La fonction f est alors appelée densité de probabilité de X.
1
Chapitre 14
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On observera que la densité de probabilité d’une variable aléatoire donnée n’est pas
unique puisqu’on peut toujours modifier la valeur de f en des points isolés (ce qui ne
modifie pas la valeur de l’intégrale ci-dessus).
♠ Exprimer à l’aide de la densité de probabilité f les probabilités P (a 6 X 6 b),
P (X < a), P (X 6 a), P (X = a), P (X > a), P (X ∈ Z).
On retiendra que la probabilité pour une variable aléatoire continue X de prendre une
(ou un nombre fini ou infini dénombrable de) valeur(s) isolée(s) quelconque(s) est toujours
nulle. Autrement dit, l’évènement « X prend une valeur particulière a » (et ce quelle que
soit la valeur a) est un évènement « presque impossible » (au sens défini au chapitre 12).
Ce n’est bien sûr pas nécessairement l’évènement impossible.
Proposition 1
Si f est la densité de probabilité d’une variable aléatoire X continue, l’intégrale
Z +∞
f (x) dx
−∞
converge et vaut 1.
♠ Démontrer cette proposition.
1.2
Propriétés et exemples
Proposition 2
La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue X de densité de probabilité
f est
FX : R −−−→ R
Z
x
x 7−−−→
f (t) dt.
−∞
En particulier, FX est dérivable aux points où f est continue et FX0 = f .
On rappelle également qu’une fonction de répartition est toujours croissante, de limites
0 en −∞ et 1 en +∞. On remarquera également que la densité f n’étant pas supposée
continue, FX n’est pas nécessairement de classe C 1 .
♠ Démontrer cette proposition.
♠ Montrer qu’en tout point de R, FX admet une dérivée à gauche et une dérivée
à droite.
♠ Déterminer la constante réelle C pour que la fonction

C(4x − 2x2 )
f : x 7−−−→ 
0
si 0 < x < 2
sinon
soit une densité de probabilité. Tracer le graphe de f . Déterminer la fonction de
répartition d’une variable aléatoire X admettant f pour densité de probabilité.
Montrer que cette fonction de répartition est C 1 (est-elle C 2 ?) et tracer son
graphe.
2
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Variables aléatoires continues
♠ La durée de fonctionnement (en heures) d’un ordinateur avant la première
panne est une variable aléatoire X admettant pour densité de probabilité la
fonction

x
λe− 100
si x > 0
f : x 7−−−→
0
sinon.
Calculer la constante réelle λ. Quelle est la probabilité que cette durée de fonctionnement soit comprise entre 50h et 150h ? Inférieure à 100h ?
2
Espérance et variance
On introduit ces notions qui sont analogues à celles vues dans le chapitre précédent à
propos des variables aléatoires discrètes. Grosso modo cela revient à remplacer les sommes
(finies ou de séries) par des intégrales. En réalité, ces définitions s’unissent dans le cadre
d’une définition plus générale de l’intégrale, émanant de la théorie de la mesure et de
l’intégration de Lebesgue, et qui englobe à la fois les séries et les intégrales (définies ou
impropres).
2.1
Définition de l’espérance
Définition 2
On dit qu’une variable aléatoire X de densité de probabilité
f admet une espérance
Z
+∞
x f (x) dx converge. Dans
(parfois : admet une espérance finie) si l’intégrale
−∞
ce cas, le nombre
E[X] =
Z +∞
x f (x) dx
−∞
s’appelle l’espérance de X.
♠ Déterminer les espérances de variables aléatoires admettant pour densités les
exemples de la section 1.2
♠ Donner un exemple de variable aléatoire n’admettant pas d’espérance.
2.2
Espérance d’une fonction d’une variable aléatoire continue
Théorème 3
Si X est une variable aléatoire continue de densité de probabilité f et g : R → R
continue par morceaux,Z alors la variable aléatoire g(X) admet une espérance si et
+∞
g(x) f (x) dx converge. Alors on a
seulement si l’intégrale
−∞
E [g(X)] =
Z +∞
g(x) f (x) dx.
−∞
Les résultats généraux vus au chapitre précédent pour les variables aléatoires discrètes
demeurent valables. Citons par exemple :
3
Chapitre 14
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Corollaire 4
Si une variable aléatoire X admet une espérance, alors pour tous a, b ∈ R la variable
aléatoire aX + b admet une espérance et
E[aX + b] = aE[X] + b.
♠ Appliquer le théorème 3 et la linéarité de l’intégrale pour démontrer ce corollaire.
Proposition 5
Si deux variables aléatoires X et Y admettent des espérances, alors X + Y admet une
espérance et
E[X + Y ] = E[X] + E[Y ]
♠ En déduire que l’espérance est linéaire.
2.3
Variance
On redéfinit la variance d’une variable aléatoire, mais ses propriétés restent les mêmes
que pour les variables discrètes, pour les raisons indiquées plus haut. La démonstration
de ces propriétés, notamment la proposition 6, est d’ailleurs souvent rigoureusement identique. On remarquera à ce propos que les définitions et résultats sont énoncés sans préciser
s’il s’agit d’une variable aléatoire continue ou discrète.
On peut également reprendre le vocabulaire des moments et moments centrés, tel
qu’utilisé dans le chapitre précédent.
Définition 3
Soit X une variable aléatoire. S’il existe, le nombre
h
Var(X) = E (X − E[X])2
s’appelle la variance de X. Dans ce cas, σ(X) =
i
q
Var(X) est l’écart-type de X.
On utilise souvent la formule suivante pour calculer la variance d’une variable aléatoire :
Proposition 6
Pour une variable aléatoire X, Var(X) existe si et seulement si E[X] et E[X 2 ] existent.
On a alors
Var(X) = E[X 2 ] − E[X]2 .
4
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Variables aléatoires continues
♠ Reprendre les deux exemples de la section 1.2 et calculer la variance et l’écarttype dans chaque cas.
♠ Donner un exemple d’une variable aléatoire continue admettant une espérance
mais pas de variance.
♠ Que devient la variance lorsqu’on fait subir une transformation affine à la
variable aléatoire ?
3
Loi uniforme
Dans cette section, on définit la loi uniforme sur un intervalle, qui est la transposition
de l’hypothèse d’équiprobabilité (cas des variables discrètes) en ce sens qu’aucune « zone »
de l’intervalle n’est privilégiée.
3.1
Définition et exemple
Soient a, b ∈ R tels que a < b.
Définition 4
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a, b] si elle admet pour
densité de probabilité la fonction
f : x 7−→

 1
b−a
0
si x ∈ [a, b]
sinon.
On note alors X ∼ U([a, b]).
Bien sûr, on peut également définir la loi uniforme sur ]a, b[, ]a, b] ou [a, b[.
♠ Montrer que l’on a bien défini une densité de probabilité. Calculer et représenter la fonction de répartition d’une variable aléatoire X suivant la loi U([a, b]).
♠ Généraliser cette définition à une réunion finie d’intervalles de longueurs finies
non réduits à des singletons.
♠ A partir de 7h, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt donné (7h, 7h15,
7h30 etc.). Un voyageur se présente entre 7h et 8h. L’heure de son arrivée est
notée 7h+H où H est exprimé en minutes. On suppose que la variable aléatoire
H suit la loi U([0, 60[). Démontrer que la variable aléatoire A qui désigne le
temps d’attente, en minutes, de ce voyageur suit la loi U([0, 15[). En déduire la
probabilité que son attente soit inférieure à 5min, et la probabilité qu’elle soit
supérieure à 10min.
3.2
Espérance et variance
5
Chapitre 14
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Proposition 7
Si X ∼ U([a, b]), alors
E[X] =
a+b
,
2
Var(X) =
(b − a)2
12
et
σ(X) =
b−a
√ .
2 3
♠ Démontrer ces formules par calcul direct.
♠ Dans l’exemple du voyageur ci-dessus, quelle est la moyenne théorique E[A]
du temps d’attente ? Quel est son écart-type σ(A) ? Quelle est la probabilité
que le temps d’attente soit compris entre E[A] − σ(A) et E[A] + σ(A) ?
4
Loi normale
4.1
Définition
Définition 5
On dit qu’une variable aléatoire suit la loi normale de paramètres (µ, σ 2 ) (où
µ ∈ R et σ ∈ R∗+ ), et on note X ∼ N (µ, σ 2 ), si elle admet pour densité de probabilité
la fonction
f : R −−−→ R
"
#
1
(x − µ)2
√
x 7−−−→
exp −
.
2σ 2
σ 2π
Lorsque µ = 0, la loi est dite centrée. Lorsque µ = 0 et σ = 1, on dit que c’est la loi
normale centrée réduite, ou loi standard.
♠ Expliciter la densité de probabilité de la loi standard.
Proposition 8
La loi normale N (µ, σ 2 ) est bien définie, c’est-à-dire que l’intégrale
Z +∞
−∞
(x−µ)2
1
√ e− 2σ2 dx
σ 2π
converge et vaut 1.
♠ Montrer que, par un changement de variable affine simple, cette vérification se
ramène à celle de la bonne définition de la loi standard.
4.2
6
Espérance et variance
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Variables aléatoires continues
Proposition 9
Si X ∼ N (µ, σ 2 ), alors
E[X] = µ,
Var(X) = σ 2
et
σ(X) = σ.
♠ Démontrer cette proposition.
4.3
Propriétés
Proposition 10
Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ 2 ), alors, pour tous réels α, β, la
variable aléatoire Y = αX + β suit la loi normale N (αµ + β, α2 σ 2 ).
♠ Vérifier que cette transformation est compatible avec la proposition 9 et le
corollaire 4 (ainsi que de la propriété correspondante de la variance).
♠ Démontrer cette proposition en calculant la fonction de répartition de la variable aléatoire Y .
Corollaire 11 (Réduction d’une loi normale)
Soient X une variable aléatoire, µ ∈ R et σ ∈ R∗+ . On a
(X ∼ N (µ, σ 2 )) ⇐⇒
X −µ
suit la loi standard .
σ
♠ Démontrer ce corollaire à l’aide de la proposition 10 appliquée à des constantes
bien choisies.
Notation
La fonction de répartition de la loi standard N (0, 1) est notée Φ. C’est la fonction
Φ : R −−−→ R
1 Z x − t2
x 7−−−→ √
e 2 dt
2π −∞
dont le graphe est présenté en annexe B.
Dans la pratique, les valeurs de Φ sont tabulées ; une telle table est présentée en
annexe C. La proposition ci-dessous résume les propriétés de Φ et précise l’usage de cette
table.
7
Chapitre 14
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Proposition 12
On a
Φ(0) = 0, 5
et
∀x ∈ R,
Φ(−x) = 1 − Φ(x).
De plus, Φ est une bijection croissante de R sur ]0, 1[ de classe C ∞ .
Si X est une variable aléatoire
la loi N (µ, σ 2 ), alors sa fonction de répartition
suivant
FX est donnée par FX (x) = Φ x−µ
.
σ
♠ Que signifie la propriété Φ(−x) = 1 − Φ(x) en termes de symétrie de la courbe
représentative de Φ ?
♠ Montrer que Φ est développable en série entière et donner ce développement.
4.4
Exemple
Une épreuve de baccalauréat donne une répartition des notes suivant la loi N (11, 32 ).
♠ Quelle est la moyenne théorique des notes ?
♠ Quelle sont les pourcentages théoriques de mentions TB ? de mention B ? d’admis ? de mention AB ? d’admis en repêchage ? de recalés ?
5
Loi exponentielle
5.1
Définition
Définition 6
Pour λ ∈ R∗+ fixé, on dit qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de
paramètre λ si elle admet pour densité de probabilité la fonction
f : R −−−→ R

λe−λx
x 7−−−→
0
si x > 0
sinon.
On note alors X ∼ E(λ).
♠ Tracer l’allure du graphe de cette fonction.
♠ Montrer que la loi de la durée de fonctionnement de l’ordinateur de la section 1.2 est en fait une loi exponentielle, dont on précisera le paramètre.
Proposition 13
La loi exponentielle est bien définie et la fonction de répartition d’une variable aléatoire
X ∼ E(λ) est donnée par
FX : R −−−→ R

x 7−−−→
8
0
1 − e
−λx
si x < 0
si x > 0.
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Variables aléatoires continues
♠ Démontrer cette proposition.
♠ Tracer l’allure du graphe de FX .
Proposition 14
Si X est une variable aléatoire suivant la loi E(λ), alors
E[X] =
1
,
λ
Var(X) =
1
λ2
et
σ(X) =
1
.
λ
♠ Démontrer cette proposition à l’aide d’intégrations par parties.
Typiquement, la loi exponentielle apparaît lorsqu’il s’agit de considérer le temps d’attente avant qu’un évènement se produise : apparition d’un tremblement de terre, durée
d’une conversation téléphonique, durée de vie d’un composant, désintégration d’un noyau
atomique radioactif, etc.
♠ Pour ces exemples de modélisation, comment choisit-on le paramètre λ ?
Remarque
Si on suppose que, dans un échantillon de matériau radioactif, chaque atome a une
durée de vie (i.e. avant désintégration) qui suit la même loi exponentielle, et si l’on
admet que ces atomes sont en nombre infini et sans influence les uns sur les autres, on
peut démontrer que l’activité de l’échantillon (nombre de désintégrations par seconde,
unité : Becquerel (Bq)) est une exponentielle décroissante en fonction du temps.
5.2
Absence de mémoire
Définition 7
On dit qu’une variable aléatoire X positive n’a pas de mémoire si
∀s, t ∈ R+ ,
P ({X > s + t} | {X > t}) = P (X > s).
♠ Réécrire cette définition sans la probabilité conditionnelle.
Proposition 15
Une variable aléatoire suivant une loi exponentielle n’a pas de mémoire.
♠ Démontrer cette proposition grâce à la propriété fondamentale de l’exponentielle es+t = es et .
♠ Que signifie concrètement cette propriété pour les variables aléatoires de type
« temps d’attente » ?
9
Chapitre 14
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Remarque
On peut démontrer assez facilement que les fonctions exponentielles sont les seules
fonctions f continues vérifiant l’équation fonctionnelle
f (s + t) = f (s)f (t).
En conséquence, si X est une variable aléatoire continue sans mémoire, alors la loi de
X est exponentielle (réciproque de la proposition 15).
6
Fonction d’une variable aléatoire continue
6.1
Exemple
Connaissant la loi d’une variable aléatoire X, connaître celle de la variable aléatoire
Y = g(X), où g est une fonction continue par morceaux, passe généralement par la
détermination de la fonction de répartition de Y . La densité de Y peut alors être obtenue
en dérivant cette fonction de répartition.
♠ On suppose qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme U([0, 1]) et on
pose Y = X n (où n ∈ N∗ ). Exprimer l’évènement {Y 6 y} en fonction de
X (préciser les valeurs de y pour lesquelles ceci a un intérêt). En déduire
l’expression de la fonction de répartition de Y en fonction de celle de X (qui
est connue), puis la densité de probabilité de Y .
♠ Etant donnée une
√ variable aléatoire continue X positive de loi supposée connue,
on pose Y = X. Exprimer l’évènement {Y 6 y} grâce à X. En déduire la
fonction de répartition de Y en fonction de celle de X. En déduire la densité
de probabilité de Y en fonction de celle de X.
6.2
Résultat général
On donne ici un énoncé général dans le cas où la fonction g est dérivable strictement
monotone ; il vaut mieux le redémontrer dans chaque cas, comme dans les exemples précédents. Cela permet également d’adapter la démonstration à des cas particuliers où g ne
serait pas monotone (g(x) = |x| par exemple).
Théorème 16
Soit X une variable aléatoire continue de densité de probabilité fX . Si g est une fonction
strictement monotone et dérivable, alors la variable aléatoire Y = g(X) admet pour
densité

dg −1


−1
f
(y)
si y ∈ g(X(Ω))
X g (y) dy
fY : y 7−→


0
sinon.
10
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Variables aléatoires continues
♠ Que signifie exactement la condition y ∈ g(X(Ω)) ? Qu’est-ce que g −1 ? Pourquoi cette fonction g −1 est-elle bien définie ? Quel est son ensemble de définition ?
♠ Prouver ce théorème de la même façon que dans les exemples précédents. Vérifier la cohérence du résultat du théorème 16 avec ces exemples.
7
Autres lois continues
Les lois décrites dans cette section ne sont pas à connaître par coeur en année après sup,
mais présentent un intérêt pour la suite, ainsi qu’un bon entraînement à la manipulation
des variables aléatoires.
7.1
Loi de Laplace
Il s’agit d’une variante de la loi exponentielle, dont la densité a été rendue symétrique
grâce à la fonction valeur absolue.
Définition 8
On dit qu’une variable aléatoire suit la loi de Laplace de paramètre λ si elle
admet pour densité la fonction
f : R −−−→ R
1 −λ|x|
x 7−−−→
λe
2
♠ Vérifier que l’on a bien défini ainsi une densité de probabilité et calculer la
fonction de répartition correspondante (distinguer selon le signe de x).
♠ Etudier et représenter graphiquement la densité f et la fonction de répartition
F de la loi de Laplace de paramètre λ.
♠ Que vaut l’espérance d’une telle variable aléatoire (le démontrer sans calcul
grâce à une propriété de symétrie) ?
♠ Calculer la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire suivant la loi de
Laplace de paramètre λ.
7.2
Loi Gamma
Définition 9
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi Γ de paramètres (t, λ) (où t, λ ∈ R∗+ )
si elle admet pour densité de probabilité la fonction f définie par
∀x ∈ R,
f (x) =

−λx

(λx)t−1

 λe
si x > 0


0
sinon.
Γ(t)
11
Chapitre 14
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On rappelle que la fonction Γ (cf. chapitre 4) est définie par
∀t ∈ R,
Γ(t) =
Z +∞
e−y y t−1 dy
0
et vérifie, entre autres, Γ(t) = (t − 1)Γ(t − 1) et Γ(n) = (n − 1)! pour tout n ∈ N∗ .
♠ Vérifier qu’il s’agit bien d’une densité de probabilité.
♠ Qu’est-ce que la loi Γ de paramètres (1, λ) ?
On trouvera en annexe D les représentations graphiques de quelques courbes de densités Γ pour quelques valeurs de t.
Lorsque t est un entier strictement positif, cette loi apparaît fréquemment comme
temps d’attente avant l’apparition de la tème occurence d’un évènement donné (sous certaines hypothèses formant ce que l’on appelle un processus de Poisson).
♠ Montrer, à l’aide des propriétés de la fonction Γ, que l’espérance et la variance
d’une variable aléatoire X suivant la loi Γ de paramètres (t, λ) sont données
par
t
t
et
Var(X) = 2 .
E[X] =
λ
λ
Citons le cas particulier suivant, que l’on rencontre fréquemment en matière de tests
statistiques.
Définition 10
La loi Γ de paramètres ( 12 , n2 ) (où n ∈ N∗ ) s’appelle la loi χ2n (lire : loi chi-deux à n
degrés de liberté).
♠ Expliciter la fonction de densité de la loi χ2n , ainsi que son espérance et sa
variance.
La loi χ2n peut s’interpréter comme l’erreur commise lors du tir sur une cible à n
dimensions lorsque l’erreur dans chaque dimension suit une distribution normale.
7.3
Loi de Weibull
Définition 11
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi de Weibull de paramètres (ν, α, β)
(où α, β ∈ R∗+ ) si elle admet pour densité de probabilité la fonction




f : x 7−→ 

0
12
β
α
!
x−ν
α
β−1
"
x−ν
exp −
α
β #
si x > ν
sinon.
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Variables aléatoires continues
♠ En remarquant que cette fonction est du type u0 eu sur ]ν, +∞[, vérifier que f
est bien une densité de probabilité et calculer la fonction de répartition d’une
variable aléatoire X suivant cette loi.
Cette loi est utilisée comme approximation lorsqu’il s’agit de modéliser la durée de
fonctionnement d’une chaîne de composants (« chaîne » est à prendre dans le sens où la
défaillance d’un seul composant suffit à briser la chaîne).
7.4
Loi de Cauchy
Définition 12
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi de Cauchy de paramètre θ (où
θ ∈ R) si elle admet pour densité de probabilité la fonction
f : x 7−→
1
1
.
π 1 + (x − θ)2
♠ Vérifier qu’il s’agit bien d’une densité de probabilité et représenter cette fonction.
♠ Calculer la fonction de répartition d’une variable aléatoire suivant la loi de
Cauchy de paramètre θ et la représenter graphiquement.
♠ Une telle variable aléatoire admet-elle une espérance ?
−
→
− →
− →
L’espace d’une pièce (supposée infinie) est rapporté à un repère orthonormé (O, i , j , k ).
Un projecteur lumineux L, placé au point de coordonées (0, 0, 1), peut pivoter autour de
→
−
l’axe (Oy). L’angle orienté entre la demi-droite verticale (L, − k ) et le rayon lumineux
−
→
− →
issu du projecteur est noté α (faire un schéma dans le plan (O, i , k )). On suppose que
α est une variable aléatoire suivant la loi uniforme U(] − π2 , π2 [).
♠ Montrer que l’abscisse X du point d’intersection du faisceau lumineux avec
→
−
l’axe (O, i ) est une variable aléatoire qui suit la loi de Cauchy de paramètre 0
(exprimer la relation liant X et α et calculer la fonction de répartition de X).
8
Exercices
Les exercices 1 et 2 sont à préparer.
Exercice 1
Soit X une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est une fonction
f définie par

k(4x − x2 ) si x ∈]0, 4[
∀x ∈ R,
f (x) =
0
sinon
où k est un réel fixé.
13
Chapitre 14
1.
2.
3.
4.
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
Calculer k. Déterminer la fonction de répartition de X.
Déterminer la probabilité des évènements {1 < X < 2}, {X > 3 | X > 2}, {X ∈ N}.
Calculer l’espérance et la variance de X.
√
Déterminer la densité de probabilité de la variable aléatoire Y = X.
Exercice 2
Soit X une variable aléatoire continue admettant pour densité la fonction f définie
par
∀x ∈ R,
f (x) =

0
si x < 0
2
− x2
xe
si x > 0.
1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité.
2. Quelle est la loi de Y = X 2 ?
3. Calculer E[X] et Var(X).
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer, pour λ ∈ R∗+ ,
la loi de probabilité de la variable aléatoire
1
Y = − ln(1 − X).
λ
Exercice 4
Soit X une variable aléatoire réelle admettant pour densité la fonction h définie par
∀x ∈ R,
h(x) =
1
.
π(1 + x2 )
1. Montrer que h est bien une densité. La variable X admet-elle une espérance ?
2. Déterminer une densité de la variable aléatoire U = ln |X|.
Z +∞
ln t
3. Montrer que l’intégrale
dt converge et la calculer en posant u =
1 + t2
0
déduire l’existence et la valeur de E[U ].
1
.
t
En
Exercice 5
Soient X une variable aléatoire suivant la loi normale N (0, 22 ) et la variable aléatoire
à valeurs matricielles
!
2X 1
M=
.
−4 X
1. Déterminer la probabilité que M possède deux valeurs propres distinctes.
2. Déterminer la probabilité que M possède des valeurs propres non réelles.
3. Déterminer la probabilité que M possède des valeurs propres imaginaires pures.
14
École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
Variables aléatoires continues
Exercice 6
Un appareil électronique est constitué de composants qui, lorsqu’ils tombent en panne,
sont remplacés immédiatement. Pour tout entier naturel n, on note Tn le temps, exprimé en
semaines, écoulé entre l’instant 0 et l’instant de la nème panne survenant à l’emplacement
d’un composant donné. Pour t ∈ R∗+ , on note Nt la variable aléatoire égale au nombre de
pannes du même composant dans l’intervalle de temps [0, t]. On admet que Nt ∼ P(λt)
où λ ∈ R∗+ .
1.
1.1 Comparer les évènements {T1 > t} et {Nt = 0}.
1.2 Reconnaître la loi de T1 .
2.
2.1 Exprimer la probabilité de l’évènement {Tn > t} pour t > 0.
2.2 Montrer que Tn est une variable aléatoire continue dont on précisera la densité de
probabilité.
3. On considère deux composants identiques au précédent. Etudier la loi de probabilité
de T , variable aléatoire égale au temps écoulé entre l’instant 0 et l’instant de la première
panne de l’un des deux composants (préciser les hypothèses d’indépendance raisonnables
que l’on est amené à faire).
Exercice 7
On considère une variable aléatoire T suivant la loi uniforme sur [0, 1]. On définit les
variables aléatoires X = inf{T, 1 − T }, Y = sup{T, 1 − T } et M = X Y .
1. Montrer que X et Y suivent des lois uniformes que l’on précisera. Donner leurs espérances et variances.
2. On note FM la fonction de répartition de M et fM une densité de probabilité de M .
2.1 Montrer que ∀m ∈ R, FM (m) = P (T (1 − T ) 6 m).
2.2 Etudier la fonction définie sur [0, 1] par t 7−→ t(1 − t) et montrer que


0

si m 6 0
√
FM (m) = 1 − 1 − 4m si 0 < m <



1
si m > 14 .
1
4
2.3
√ En déduire l’expression de fM et calculer l’espérance et la variance de M (poser
u = 1 − 4t).
Exercice 8
Un appareil électrique fonctionne avec trois piles P1 , P2 et P3 . La durée de vie de
la pile Pi (1 6 i 6 3) est une variable aléatoire notée Xi . On suppose que les variables
Xi sont mutuellement indépendantes et suivent toutes la même loi exponentielle E(λ) où
λ ∈ R∗+ . L’appareil s’arrête de fonctionner dès que deux piles sont mortes.
Déterminer la loi de probabilité et l’espérance de la variable aléatoire T égale au temps
de fonctionnement de l’appareil.
15
Chapitre 14
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
Exercice 9
Soit T une variable aléatoire suivant la loi standard. Soient a ∈ R∗+ et X = |T | + a.
1. Exprimer la fonction de répartition F de X en fonction de la fonction de répartition
Φ de la loi standard.
2. En déduire une densité de X et calculer son espérance.
Exercice 10
Soit X une variable aléatoire suivant la loi E(λ). On pose Y = bXc (partie entière de
X) et Z = X − Y (partie fractionnaire de X).
1. Déterminer la loi de Y . Donner la fonction de répartition de Z.
2. Calculer E[Y ] et E[Z].
Annexes
A
Densité de lois normales
On utilise la définition suivante dans MAPLE :
>
f:=(x,mu,sigma)->exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2))/(sigma*sqrt(2*Pi));
Alors la fonction de densité de la loi normale centrée réduite est représentée par :
>
plot(f(x,0,1),x=-4..4);
16
École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
Variables aléatoires continues
De même, on peut représenter la loi normale de paramètres (3, 52 ) par
>
plot(f(x,3,5),x=-9..15);
(on pourra remarquer l’influence des paramètres sur la position et l’étalement de la distribution normale).
B
Fonctions de répartition de lois normales
La fonction de répartition d’une loi Normale N (µ, σ 2 ) peut être obtenue en MAPLE
par l’instruction suivante :
>
F:=(x,mu,sigma)->int(f(t,mu,sigma),t=-infinity..x);
On peut représenter la fonction Φ, correspondant à la loi standard N (0, 1), par
l’instruction
>
plot(F(x,0,1),x=-4..4);
17
Chapitre 14
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
De même, le graphe de la fonction de répartition de la loi normale de paramètres
(3, 5) s’obtient par
>
plot(F(x,3,5),x=-9..15);
(on observera à nouveau l’influence des paramètres sur la position et l’étalement de cette
courbe, et on verifiera à ce sujet que cette influence est compatible avec la relation liant la
fonction de répartition d’une loi normale à Φ, fonction de répartition de la loi standard).
18
École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
C
Variables aléatoires continues
Table de la loi normale
Loi normale
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0
0,5000
0,5398
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
0,01
0,5040
0,5438
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9987
0,9991
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
0,02
0,5080
0,5478
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,03
0,5120
0,5517
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9988
0,9991
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,04
0,5160
0,5557
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9988
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,05
0,5199
0,5596
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,06
0,5239
0,5636
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9994
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,07
0,5279
0,5675
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9989
0,9992
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,08
0,5319
0,5714
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
0,09
0,5359
0,5753
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
1,0000
Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
19
Chapitre 14
D
MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS
Quelques densités de lois continues
On représente graphiquement quelques densités de lois continues classiques
Densité de Laplace de paramètre 3
Quelques densités de loi Γ pour différents paramètres (t, λ) :
20
λ=1 t=1
λ=1 t=2
λ=1 t=3
λ=1 t=4
École des Mines de Douai — FIAASMathématiques
Variables aléatoires continues
Densité de Weibull de paramètres (1, 1, 2)
Densité de Cauchy de paramètre 1
21