Chapitre 14 : Variables aléatoires continues

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques Variables aléatoires continues
Chapitre 14
Variables aléatoires continues
F. Delacroix, École des Mines de Douai, 14 mars 2011
Introduction
Présentation et objectifs
Le chapitre précédent s’est concentré sur la définition générale de la notion de variable
aléatoire et le cas des variables aléatoires discrètes. On se place ici dans le cas continu,
c’est-à-dire dans le cas où les valeurs possibles d’une variable aléatoire ne constituent plus
un ensemble fini ou dénombrable, mais un intervalle de R.
Cette considération nécessite une nouvelle façon de décrire la loi de probabilité d’une
variable aléatoire, et de redéfinir les notions d’espérance et de variance. On peut toutefois
signaler que ces définitions s’unissent à celles du chapitre 13 (dont la définition employait
des séries) dans le cadre très général de l’intégrale de Lebesgue.
On s’intéresse ensuite à quelques lois de probabilités classiques, qu’il est indispen-
sable de connaître tant leur utilisation est fréquente, notamment dans les modèles statis-
tiques. On insiste tout particulièrement sur les lois uniforme, normale et exponentielle (à
connaître par coeur), avant de donner un aperçu de quelques autres lois classiques.
Prérequis:
Chapitres 12, 13, 4
Suites:
Chapitre 15
Statistique inductive (1ère année)
Optimisation
Mathématiques financières et sciences « molles »
1 Introduction
1.1 Définitions
Soit (Ω,T, P )un espace probabilisé.
Définition 1
Une variable aléatoire X: Ω →Rest dite continue (parfois : absolument continue)
s’il existe une fonction f:R→R+continue par morceaux telle que pour tout borélien
Bde Ron ait
P(X∈B) = ZB f(x)dx.
La fonction fest alors appelée densité de probabilité de X.
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On observera que la densité de probabilité d’une variable aléatoire donnée n’est pas
unique puisqu’on peut toujours modifier la valeur de fen des points isolés (ce qui ne
modifie pas la valeur de l’intégrale ci-dessus).
♠Exprimer à l’aide de la densité de probabilité fles probabilités P(a6X6b),
P(X < a),P(X6a),P(X=a),P(X > a),P(X∈Z).
On retiendra que la probabilité pour une variable aléatoire continue Xde prendre une
(ou un nombre fini ou infini dénombrable de) valeur(s) isolée(s) quelconque(s) est toujours
nulle. Autrement dit, l’évènement « Xprend une valeur particulière a» (et ce quelle que
soit la valeur a) est un évènement « presque impossible » (au sens défini au chapitre 12).
Ce n’est bien sûr pas nécessairement l’évènement impossible.
Proposition 1
Si fest la densité de probabilité d’une variable aléatoire Xcontinue, l’intégrale
Z+∞
−∞
f(x)dx
converge et vaut 1.
♠Démontrer cette proposition.
1.2 Propriétés et exemples
Proposition 2
La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue Xde densité de probabilité
fest
FX:R−−−→ R
x7−−−→ Zx
−∞
f(t)dt.
En particulier, FXest dérivable aux points où fest continue et F0
X=f.
On rappelle également qu’une fonction de répartition est toujours croissante, de limites
0en −∞ et 1en +∞. On remarquera également que la densité fn’étant pas supposée
continue, FXn’est pas nécessairement de classe C1.
♠Démontrer cette proposition.
♠Montrer qu’en tout point de R,FXadmet une dérivée à gauche et une dérivée
à droite.
♠Déterminer la constante réelle Cpour que la fonction
f:x7−−−→
C(4x−2x2)si 0<x<2
0sinon
soit une densité de probabilité. Tracer le graphe de f. Déterminer la fonction de
répartition d’une variable aléatoire Xadmettant fpour densité de probabilité.
Montrer que cette fonction de répartition est C1(est-elle C2?) et tracer son
graphe.
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♠La durée de fonctionnement (en heures) d’un ordinateur avant la première
panne est une variable aléatoire Xadmettant pour densité de probabilité la
fonction
f:x7−−−→
λe−x
100 si x>0
0sinon.
Calculer la constante réelle λ. Quelle est la probabilité que cette durée de fonc-
tionnement soit comprise entre 50het 150h? Inférieure à 100h?
2 Espérance et variance
On introduit ces notions qui sont analogues à celles vues dans le chapitre précédent à
propos des variables aléatoires discrètes. Grosso modo cela revient à remplacer les sommes
(finies ou de séries) par des intégrales. En réalité, ces définitions s’unissent dans le cadre
d’une définition plus générale de l’intégrale, émanant de la théorie de la mesure et de
l’intégration de Lebesgue, et qui englobe à la fois les séries et les intégrales (définies ou
impropres).
2.1 Définition de l’espérance
Définition 2
On dit qu’une variable aléatoire Xde densité de probabilité fadmet une espérance
(parfois : admet une espérance finie) si l’intégrale Z+∞
−∞
x f(x)dx converge. Dans
ce cas, le nombre
E[X] = Z+∞
−∞
x f(x)dx
s’appelle l’espérance de X.
♠Déterminer les espérances de variables aléatoires admettant pour densités les
exemples de la section 1.2
♠Donner un exemple de variable aléatoire n’admettant pas d’espérance.
2.2 Espérance d’une fonction d’une variable aléatoire continue
Théorème 3
Si Xest une variable aléatoire continue de densité de probabilité fet g:R→R
continue par morceaux, alors la variable aléatoire g(X)admet une espérance si et
seulement si l’intégrale Z+∞
−∞
g(x)f(x)dx converge. Alors on a
E[g(X)] = Z+∞
−∞
g(x)f(x)dx.
Les résultats généraux vus au chapitre précédent pour les variables aléatoires discrètes
demeurent valables. Citons par exemple :
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Corollaire 4
Si une variable aléatoire Xadmet une espérance, alors pour tous a, b ∈Rla variable
aléatoire aX +badmet une espérance et
E[aX +b] = aE[X] + b.
♠Appliquer le théorème 3 et la linéarité de l’intégrale pour démontrer ce corol-
laire.
Proposition 5
Si deux variables aléatoires Xet Yadmettent des espérances, alors X+Yadmet une
espérance et
E[X+Y] = E[X] + E[Y]
♠En déduire que l’espérance est linéaire.
2.3 Variance
On redéfinit la variance d’une variable aléatoire, mais ses propriétés restent les mêmes
que pour les variables discrètes, pour les raisons indiquées plus haut. La démonstration
de ces propriétés, notamment la proposition 6, est d’ailleurs souvent rigoureusement iden-
tique. On remarquera à ce propos que les définitions et résultats sont énoncés sans préciser
s’il s’agit d’une variable aléatoire continue ou discrète.
On peut également reprendre le vocabulaire des moments et moments centrés, tel
qu’utilisé dans le chapitre précédent.
Définition 3
Soit Xune variable aléatoire. S’il existe, le nombre
Var(X) = Eh(X−E[X])2i
s’appelle la variance de X. Dans ce cas, σ(X) = qVar(X)est l’écart-type de X.
On utilise souvent la formule suivante pour calculer la variance d’une variable aléa-
toire :
Proposition 6
Pour une variable aléatoire X,Var(X)existe si et seulement si E[X]et E[X2]existent.
On a alors
Var(X) = E[X2]−E[X]2.
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♠Reprendre les deux exemples de la section 1.2 et calculer la variance et l’écart-
type dans chaque cas.
♠Donner un exemple d’une variable aléatoire continue admettant une espérance
mais pas de variance.
♠Que devient la variance lorsqu’on fait subir une transformation affine à la
variable aléatoire ?
3 Loi uniforme
Dans cette section, on définit la loi uniforme sur un intervalle, qui est la transposition
de l’hypothèse d’équiprobabilité (cas des variables discrètes) en ce sens qu’aucune « zone »
de l’intervalle n’est privilégiée.
3.1 Définition et exemple
Soient a, b ∈Rtels que a<b.
Définition 4
On dit qu’une variable aléatoire Xsuit la loi uniforme sur [a, b]si elle admet pour
densité de probabilité la fonction
f:x7−→ 
1
b−asi x∈[a, b]
0sinon.
On note alors X∼ U([a, b]).
Bien sûr, on peut également définir la loi uniforme sur ]a, b[,]a, b]ou [a, b[.
♠Montrer que l’on a bien défini une densité de probabilité. Calculer et représen-
ter la fonction de répartition d’une variable aléatoire Xsuivant la loi U([a, b]).
♠Généraliser cette définition à une réunion finie d’intervalles de longueurs finies
non réduits à des singletons.
♠A partir de 7h, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt donné (7h, 7h15,
7h30 etc.). Un voyageur se présente entre 7h et 8h. L’heure de son arrivée est
notée 7h+Hoù Hest exprimé en minutes. On suppose que la variable aléatoire
Hsuit la loi U([0,60[). Démontrer que la variable aléatoire Aqui désigne le
temps d’attente, en minutes, de ce voyageur suit la loi U([0,15[). En déduire la
probabilité que son attente soit inférieure à 5min, et la probabilité qu’elle soit
supérieure à 10min.
3.2 Espérance et variance
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