Centres étrangers 2015. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (7 points) (commun à tous les candidats)
Soit aun nombre réel fixé non nul.
Le but de cet exercice est d’étudier la suite (un)définie par :
u0=aet, pour tout nde N,u
n+1=e2un−eun.
On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : un+1=eun(eun−1).
1) Soit gla fonction définie pour tout réel xpar :
g(x)=e2x −ex−x.
a) Calculer g′(x)et prouver que, pour tout réel x:g′(x)=(ex−1)(2ex+1).
b) Déterminer les variations de la fonction get donner la valeur de son minimum.
c) En remarquant que un+1−un=g(un),étudierlesensdevariationdelasuite(un).
2) Dans cette question, on suppose que a!0.
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,un!0.
b) Déduire des questions précédentes que la suite (un)est convergente.
c) Dans le cas où avaut 0,donnerlalimitedelasuite(un).
3) Dans cette question, on suppose que a>0.
La suite (un)étant croissante, la question 1) permet d’affirmer que, pour tout entier naturel n,un"a.
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n,ona:un+1−un"g(a).
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,ona:un"a+n×g(a).
c) Déterminer la limite de la suite (un).
4) Dans cette question, on prend a=0, 02.
L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier ntel que un>M,oùMdésigne un réel positif.
Cet algorithme est incomplet.
Variabl es nest un entier, uet Msont deux réels
Initialisation uprend la valeur 0, 02
nprend la valeur 0
Saisir la valeur de M
Traite ment Tant que . . .
...
...
Fin tant que
Sortie Afficher n
a) Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.
b) Al’aidedelacalculatrice,déterminerlavaleurquecetalgorithme affichera si M=60.
http ://www.maths-france.fr 1 c ⃝Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

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EXERCICE 3 : corrigé
1) a) La fonction gest dérivable sur Ren tant que somme de fonctions dérivables sur Ret pour tout réel x,
g′(x)=2e2x −ex−1.
D’autre part, pour tout réel x,
(ex−1)(2ex+1)=2e2x +ex−2ex−1=2e2x −ex−1=g′(x).
Pour tout réel x,g′(x)=(ex−1)(2ex+1).
b) Pour tout réel x,ex>0et donc 2ex+1>0.Onendéduitquepourtoutréelx,g′(x)est du signe de ex−1.On
sait que pour tout réel x,ex−1>0si x>0,ex−1=0si x=0et ex−1<0si x<0.Onendéduitquelafonction
g′est strictement négative sur ]−∞,0[,strictementpositivesur]0, +∞[et s’annule en 0.
La fonction gest ainsi strictement décroissante sur ]−∞,0]et strictement croissante sur [0, +∞[.Lafonctiongadmet
donc un minimum en 0et ce minimum est
g(0)=e0−e0−0=0.
On en déduit que la fonction gest positive sur R.
c) Soit nun entier naturel.
un+1−un=e2un−eun−un=g(un).
Puisque la fonction gest positive sur R,pourtoutentiernatureln,g(un)!0et donc pour tout entier naturel n,
un+1−un!0ou enfin pour tout entier naturel n,un+1!un.Cecimontreque
la suite (un)n∈Nest croissante.
2) a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n,un"0.
•u0=aavec a"0.Donc,l’inégalitéàdémontrerestvraiequandn=0.
•Soit n!0.Supposonsqueun"0.ParcroissancedelafonctionexponentiellesurR,eun"1puis eun−1"0.
D’autre part, eun!0et donc eun(eun−1)"0ou encore un+1"0.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n,un"0.
b) La suite (un)n∈Nest croissante et majorée par 0.Onendéduitquelasuite(un)n∈Nest convergente.
c) Montrons par récurrence que pour tout n!0,un=0.
•u0=aavec a=0.Donc,l’égalitéàdémontrerestvraiequandn=0.
•Soit n!0.Supposonsqueun=0.Alorsun+1=e0−e0=0.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n,un=0.Enparticulier, lim
n→+∞
un=0.
3) a) Soit n∈N.Onaun!a>0.D’aprèslaquestion1)b),lafonctiongest croissante sur [0, +∞[.Onendéduit
que g(un)!g(a)ou encore un+1−un!g(a).
On a montré que pour tout entier naturel n,un+1−un!g(a).
b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n,un"a+ng(a).
•u0=aet a+0×g(a)=a.Donc,u0!a+0×g(a).L’inégalitéàdémontrerestvraiequandn=0.
•Soit n!0.Supposonsqueun"a+ng(a).
un+1!un+g(a)(d’après la question précédente)
!a+ng(a)+g(a)(par hypothèse de récurrence)
=a+(n+1)g(a).
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n,un"a+ng(a).
c) Puisque a>0,onaencoreg(a)>0puis lim
n→+∞
(a+ng(a)) = +∞.Puisquepourtoutentiernatureln,un"
a+ng(a),onendéduitque lim
n→+∞
un=+∞.
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4) a) Algorithme complété.
Variabl es nest un entier, uet Msont deux réels
Initialisation uprend la valeur 0, 02
nprend la valeur 0
Saisir la valeur de M
Traite ment Tant que u"M
uprend la valeur e2u −eu
nprend la valeur n+1
Fin tant que
Sortie Afficher n
b) Si M=60,lacalculatricefournitn=36.
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