Centres étrangers 2015. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2015. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (7 points) (commun à tous les candidats)
Soit a un nombre réel fixé non nul.
Le but de cet exercice est d’étudier la suite (un ) définie par :
u0 = a et, pour tout n de N,
un+1 = e2un − eun .
On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : un+1 = eun (eun − 1).
1) Soit g la fonction définie pour tout réel x par :
g(x) = e2x − ex − x.
a) Calculer g ′ (x) et prouver que, pour tout réel x : g ′ (x) = (ex − 1) (2ex + 1).
b) Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.
c) En remarquant que un+1 − un = g (un ), étudier le sens de variation de la suite (un ).
2) Dans cette question, on suppose que a ! 0.
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un ! 0.
b) Déduire des questions précédentes que la suite (un ) est convergente.
c) Dans le cas où a vaut 0, donner la limite de la suite (un ).
3) Dans cette question, on suppose que a > 0.
La suite (un ) étant croissante, la question 1) permet d’affirmer que, pour tout entier naturel n, un " a.
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 − un " g(a).
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un " a + n × g(a).
c) Déterminer la limite de la suite (un ).
4) Dans cette question, on prend a = 0, 02.
L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier n tel que un > M, où M désigne un réel positif.
Cet algorithme est incomplet.
Variables
n est un entier, u et M sont deux réels
Initialisation
u prend la valeur 0, 02
n prend la valeur 0
Saisir la valeur de M
Traitement
Tant que . . .
...
...
Fin tant que
Sortie
Afficher n
a) Sur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.
b) A l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si M = 60.
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c Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.
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EXERCICE 3 : corrigé
1) a) La fonction g est dérivable sur R en tant que somme de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x,
g ′ (x) = 2e2x − ex − 1.
D’autre part, pour tout réel x,
(ex − 1) (2ex + 1) = 2e2x + ex − 2ex − 1 = 2e2x − ex − 1 = g ′ (x).
Pour tout réel x, g ′ (x) = (ex − 1) (2ex + 1).
b) Pour tout réel x, ex > 0 et donc 2ex + 1 > 0. On en déduit que pour tout réel x, g ′ (x) est du signe de ex − 1. On
sait que pour tout réel x, ex − 1 > 0 si x > 0, ex − 1 = 0 si x = 0 et ex − 1 < 0 si x < 0. On en déduit que la fonction
g ′ est strictement négative sur ] − ∞, 0[, strictement positive sur ]0, +∞[ et s’annule en 0.
La fonction g est ainsi strictement décroissante sur ] − ∞, 0] et strictement croissante sur [0, +∞[. La fonction g admet
donc un minimum en 0 et ce minimum est
g(0) = e0 − e0 − 0 = 0.
On en déduit que la fonction g est positive sur R.
c) Soit n un entier naturel.
un+1 − un = e2un − eun − un = g (un ) .
Puisque la fonction g est positive sur R, pour tout entier naturel n, g (un ) ! 0 et donc pour tout entier naturel n,
un+1 − un ! 0 ou enfin pour tout entier naturel n, un+1 ! un . Ceci montre que
la suite (un )n∈N est croissante.
2) a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un " 0.
• u0 = a avec a " 0. Donc, l’inégalité à démontrer est vraie quand n = 0.
• Soit n ! 0. Supposons que un " 0. Par croissance de la fonction exponentielle sur R, eun " 1 puis eun − 1 " 0.
D’autre part, eun ! 0 et donc eun (eun − 1) " 0 ou encore un+1 " 0.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, un " 0.
b) La suite (un )n∈N est croissante et majorée par 0. On en déduit que la suite (un )n∈N est convergente.
c) Montrons par récurrence que pour tout n ! 0, un = 0.
• u0 = a avec a = 0. Donc, l’égalité à démontrer est vraie quand n = 0.
• Soit n ! 0. Supposons que un = 0. Alors un+1 = e0 − e0 = 0.
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, un = 0. En particulier, lim un = 0.
n→+∞
3) a) Soit n ∈ N. On a un ! a > 0. D’après la question 1)b), la fonction g est croissante sur [0, +∞[. On en déduit
que g (un ) ! g(a) ou encore un+1 − un ! g(a).
On a montré que pour tout entier naturel n, un+1 − un ! g(a).
b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un " a + ng(a).
• u0 = a et a + 0 × g(a) = a. Donc, u0 ! a + 0 × g(a). L’inégalité à démontrer est vraie quand n = 0.
• Soit n ! 0. Supposons que un " a + ng(a).
un+1 ! un + g(a) (d’après la question précédente)
! a + ng(a) + g(a) (par hypothèse de récurrence)
= a + (n + 1)g(a).
On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, un " a + ng(a).
c) Puisque a > 0, on a encore g(a) > 0 puis
a + ng(a), on en déduit que
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lim (a + ng(a)) = +∞. Puisque pour tout entier naturel n, un "
n→+∞
lim un = +∞.
n→+∞
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4) a) Algorithme complété.
Variables
n est un entier, u et M sont deux réels
Initialisation
u prend la valeur 0, 02
n prend la valeur 0
Saisir la valeur de M
Traitement
Tant que u " M
u prend la valeur e2u − eu
n prend la valeur n + 1
Fin tant que
Sortie
Afficher n
b) Si M = 60, la calculatrice fournit n = 36.
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