Inductance propre

Force magnétomotrice d’entrefer
Inductance propre de l’enroulement d’une phase
L’enroulement d’une phase statorique d’une machine bipolaire à courant alternatif comporte
deux bobines identiques, elles-mêmes divisées en deux sections identiques S1 et S2connectées en
série et comportant chacune n spires. La figure 1 montre un développement plan de l’enroulement;
on note :
L, longueur développée;
", longueur utile d’un conducteur dans une encoche;
e, épaisseur d’entrefer;
µ
o, perméabilité magnétique du vide.
S
S
x
AB
L/6
L/8
−
−−
−
L/8
−
−−
−
L/6
−
−−
−
L/3
−
−−
−
3L/8
−
−−
−
2L/3
1
2
axe de la phase
O
−
−−
−
5L/8
FIG. 1 Développement plan de l’enroulement d’une phase
QUESTION 1
L’enroulement est alimenté par un courant continu I circulant de A vers B, dans le sens indiqué
sur la figure 1.
1.1 Faire apparaître les courants d’encoche (en indiquant la position angulaire) et les lignes du
champ magnétique sur la coupe transversale de la machine (voir document-réponse)
1.2 Définir la force magnétomotrice d’entrefer et énoncer la propriété qui permet d’en faire l’étude
le long de l’entrefer.
1.3 Tracer le graphe de répartition de la force magnétomotrice d’entrefer
ε
()x, en déduire celui de
l’induction B(x) (voir document-réponse).
1.4 La bobine est le siège d’un flux d’induction propre
φ
p; établir l’expression de ce flux totalisé et
en déduire la formule permettant le calcul de l’inductance propre Lp.
QUESTION 2
Le rotor est en fait une roue polaire créatrice dans l’entrefer d’une induction à répartition
sinusoïdale d’expression :
bx t B t x L(,) cos( ( / ))=−
ωπ
2

lorsque la vitesse
ω
est constante.
2.1 Déterminer l’expression instantanée des flux d’induction totalisés
φ
S1 et
φ
S2 respectivement
dans les sections S1 et S2.
2.2 Les sections S1 et S2 sont le siège des f.e.m. respectives e1 et e2 ; établir leurs expressions, puis
celle de la f.e.m. e induite dans la phase AB, mise sous la forme Et2sin( )
ωψ
+.
DOCUMENT RÉPONSE
0
xL/4
−
−−
−
L/4
−
−−
−
L/2
−
−−
−
3L/4
ε
εε
ε
(x) B(x)=
ε
εε
ε
(x)
S1
S2

Corrigé succinct
QUESTION 1
1.1 Distribution des courants d’encoche / lignes du champ magnétique.
π/4
π/4π/4
π/4
π/3
π/3π/3
π/3
1.2 Force magnétomotrice d’entrefer (f.m.m.) :
&&
Hdl He
entrefer
..
∫=,
(l’orientation de dl
&
va du rotor au stator)
• La f.m.m. à droite d’une encoche est égale à la f.m.m. à gauche augmentée du courant
d’encoche sortant vers l’observateur,
• La f.m.m. est constante entre deux encoches successives.
1.3 Graphe de répartition de la f.m.m.
ε
()x.
0
xL/4
−
−−
−
L/4
−
−−
−
L/2
−
−−
−
3L/4
ε
εε
ε
(x) B(x)=
ε
εε
ε
(x)
S1
S2
nI
2nI
-nI
-2ni
µ
µµ
µ
/e
0
00
0

1.4 L’induction étant radiale dans l’entrefer, la surface utile pour le calcul du flux dans les spires est
la surface cylindrique interne au stator localisée entre les deux encoches recevant les faisceaux de n
conducteurs d’une section.
Le flux propre
φ
p est égal à 4n fois le flux à travers une spire car les flux à travers les sections
sont égaux :
φµµ µ
ppp
nnI
e
LnI
e
LLI L n L
e
=
+
=⇒=424
2
4
13
6
00
02
"" "
QUESTION 2
2.1
φ
SL
L
nbxtdx
18
6
=−
∫(,)
/
/
"
φπ
πωπ
S
nB L t
1
7
24 24
=
−
sin cos( )
"
φπ
πωπ
S
nB L t
2
7
24 24
=
+
sin cos( )
"
2.2 Les f.e.m. de Faraday (avec l’orientation donnée des contours) sont définies par :
ed
dt ed dt
SS
1
1
2
2
=− =−
φφ
,
eBL te
BL t
12
7
24 24
7
24 24
=−=+
ω
π
πωπω
π
πωπ
sin( )sin( ( )), sin( )sin( ( ))
""
2.3 eeeE t=+= +22
12
( ) sin( )
ωψ
ψω
π
ππ
==022 7
24 24
, sin( ) cos( )EBL"
Fin du corrigé
section S1
l
xx+dx
L/6-L/8
0
b(x, t)
x