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Chapitre3
Lesrégimesdefonctionnement
dequelquescircuitslinéaires
Le chapitreprécédentavaitpourobjetl’étudede circuitsrésistifsalimentéspardes sourcesde
tensionou de courantcontinues.Parcontrelaprésence de condensateur(s)etdebobine(s)
estgénéralementliée àun courant (ou unetension)variabledansletemps.Nousallons
voiricicommentse comportelesignalenfonction du tempsdansun telcas.
3.1.Etudedesrégimeslibres
Lerégimelibre estlerégimeobservéquand toutesles sources sontéteintes.Descomposants
passifsetlinéairesformentun circuitdanslequelsetrouveinitialementdel’énergiesousforme
detension(dansun condensateur)ou de courant (dansunebobine).L’objectifesticid’étudier
l’évolution destensionsetdescourantsdansle circuit,pourdesconditionsinitialesdonnées
(surietu).
3.1.1.Lerégimelibred’un circuitRC
3.1.1.1.Position du problème
Interrupteur
UC(t)
C R
I(t)
Fig.3.1.CircuitRC
Soitun circuitcomposéd’unerésistance,d’un condensateuretd’un interrupteur.Les
conditionsinitiales sontles suivantes: l’interrupteurestouvert (donc empêchele courantde
passer)etle condensateurestchargéqo.At=0, l’interrupteurestfermé,ce quipermet
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans23 novembre2003

26 Chapitre3Lesrégimesdefonctionnementdequelquescircuitslinéaires
ensuiteaucourantdepasserdoncaucondensateurdesedécharger.
L’objectifde ce paragraphe estlesuivant:
1.Etablirl’équation di¤érentiellevéri…ée paruc(t)auxbornesdu condensateur;
2.donnerunesolution deuc(t)pourcette équation di¤érentielle;
3.en déduire égalementl’évolutionic(t)dansle circuit;
4.e¤ectuerun bilanénergétique.
3.1.1.2.Etablissementdel’équation di¤érentielle
Le circuitRCne comportequ’unemaille.Latensionestidentiqueauxbornesdelarésis-
tance etdu condensateur.Ilvientdonc:
uC=¡Ri=¡RµCduC
dt¶
soit
duC
dt+1 RCuC=0:(1)
C’estl’équation di¤érentielleàrésoudrepourobteniruc(t):
Remarque3.1L’équationobtenue estune équationdi¤érentiellelinéairedu1ierordre:le
circuitestlui-mêmedit”linéairedupremierordre”.
RCesthomogèneàun tempsOn pose¿=RC.Cetempsintervientdansl’équation di¤é-
rentielle commegrandeurcaractéristique. Onappelleainsi¿=RCletempscaractéristique
du circuitRC(outempsderelaxation).
3.1.1.3.Solution
Lasolution del’équation di¤érentielle(1)est:
uC(t)=Aexp(¡t=¿):
IlresteàdéterminerlaconstanteAquiestdonnée parlesconditionsinitiales:
àt=0,uC(t=0+)=q0=CdoncA=q0=C.
Lasolutionestdonc…nalement:
uC(t)=q0
Cexp(¡t=¿):
Remarque3.2L’équationdi¤érentielle étantdupremierordre,seuleune conditioninitiale
su¢tpourdéterminerlasolution.
Remarque3.3Latangenteàl’originedelacourbe coupel’axedesabscissesent=¿.
(Démonstrationdonnée encours)
Remarque3.4LesignaluC(t)tendvers0quandletempstendversl’in…ni(le condensateur
sedécharge).Onpeutconsidérerquele condensateurestquasimentdéchargé àt0quandilne
resteplusque1%delatensioninitialeàsesbornes:
uC(t0)=1
100
q0
C=q0 Cexp(¡t0=¿)
23 novembre2003 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section3.1Etudedesrégimeslibres27
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0123456
Fig.3.2.Décharge ducondensateur:tensionenfonctiondutemps.Leséchelles sontnormalisées:
uC(t)=(q0=C)enordonnée,ett=¿enabscisse.
soit
exp(¡t0=¿)=1
100;
t0=¿ln(100)
t0'4;6¿:
Ilfaut4à5¿pourquele condensateursedécharge.
Ensuite, le calculdu couranti(t)s’e¤ectuesimplementenécrivant
i=¡uC
R=¡q0 RCexp(¡t=¿):
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0123456
Fig.3.3.Courantenfonctiondutemps.Leséchelles sontnormalisées:i(t)RC=q0enordonnée,et
t=¿enabscisse.
Remarque3.5Lacourbe 3.2estcontinue:pourt<0;uC=q0=Cpuisdécroîtde cette
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans23 novembre2003

28 Chapitre3Lesrégimesdefonctionnementdequelquescircuitslinéaires
valeuraprèst=0.Ceciétaitprévisible:latensionauxbornesducondensateurest toujours
continuedansletemps.
Remarque3.6Lacourbe 3.3estdiscontinue:pourt<0;iC=0puispassesubitement
à¡q0=(RC)àt=0+.Iln’ya pasdeprésence de bobinedansle circuit:rien n’empêchele
courantd’êtrediscontinudansletemps.
3.1.1.4.Etude énergétique
Laméthode consisteàfaireapparaîtreunegrandeurhomogèneàune énergieou une
puissance. Onsaitqu’unepuissance esthomogèneàu¤i:on peutdoncobtenirsimplement
une égalité entrelesdi¤érentespuissances soitenécrivantuneloidesmailles(avec u)quel’on
multipliepari,soituneloidesnoeuds(avec i)quel’onmultiplieparu. Onécritici laloides
maillesappliquée àl’uniquemailleprésente:
uC+Ri=0:
Lamultiplication parle courantidonnedoncun bilan depuissance :
i:uC+Ri2=0
µCduC
dt¶uC=¡Ri2
soit
d
dtµ1 2Cu2
C¶=¡Ri2:
Cette équations’interprètedelamanièresuivante: l’énergie¡1=2Cu2
C¢perdueparle conden-
sateurparunitédetempsestégaleàlapuissance dissipée parlarésistance ¡¡Ri2¢(sous
formede chaleurpare¤etJoule).
3.1.2.Régimelibred’un circuitRL
3.1.2.1.Position du problème
Soitun circuitcomposéd’unerésistance etd’unebobine. On partdesconditionsinitiales
suivantes:un générateurde couranti0aétéplacé auxbornesdelabobine:un courant
iocirculealorsdanslabobine.At=0, l’interrupteurestouvert,ce quirevientàenlever
legénérateurdu circuit.Le courantdelabobineva alorspasserdanslarésistance etêtre
”freiné”parlarésistance.L’énergie contenuedanslabobineau départvaprogressivement
êtredissipée danslarésistance.
L’objectifde ce paragraphe estlesuivant:
1.Etablirl’équation di¤érentiellevéri…ée pari(t)danslabobine;
2.donnerunesolution del’évolutioni(t)dansle circuit;
3.en déduirel’évolution delatensionu(t)auxbornesdelabobine;
4.e¤ectuerun bilanénergétique.
3.1.2.2.Etablissementdel’équation di¤érentielle
Le circuitRLne comportequ’unemaille.Latensionestidentiqueauxbornesdelarésis-
tance etdelabobine.Ilvientdonc:
23 novembre2003 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section3.1Etudedesrégimeslibres29
Interrupteur
u(t) L
R
Io
i(t)
Fig.3.4.CircuitRL
u=¡Ri=Ldi
dt
soit
di
dt+R Li=0:(2)
C’estl’équation di¤érentielleàrésoudrepourobteniri(t):
Remarque3.7L’équationobtenue estune équationdi¤érentiellelinéairedu1ierordre:le
circuitestlui-mêmedit”linéairedupremierordre”.
R=Lesthomogèneàl’inversed’un tempsOn pose¿=L=R.Cetempsintervientdans
l’équation di¤érentielle commegrandeurcaractéristique. Onappelle¿=L=Rletempsca-
ractéristiquedu circuitRL(outempsderelaxation).
3.1.2.3.solution
Lasolution del’équation di¤érentielle
di
dt+1 ¿i=0:(3)
est:
i(t)=Bexp(¡t=¿):
IlresteàdéterminerBquiestdonnée parlesconditionsinitiales:àt=0,i(t=0+)=i0
doncB=i0.
Lasolutionest…nalement:
i(t)=i0exp(¡t=¿):
Remarque3.8L’équationdi¤érentielle étantdupremierordre,seuleune conditioninitiale
su¢tpourdéterminerlasolution.
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans23 novembre2003