Séries entières et équations différentielles

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Séries entières et équations différentielles
Exercice 1 [ 01013 ] [correction]
Soient p∈Net
f(x) =
+∞
X
n=0 n+p
p!xn
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant cette fonction.
b) Calculer f(x)en étudiant (1 −x)f0(x).
Exercice 2 [ 01014 ] [correction]
Soit fdéfinie sur ]−1,1[ par
f(x) = arcsin x
√1−x2
a) Justifier que fest développable en série entière sur ]−1,1[.
b) Montrer que fest solution de l’équation différentielle (1 −x2)y0−xy = 1.
c) Déterminer le développement en série entière de fsur ]−1,1[.
Exercice 3 [ 03699 ] [correction]
a) Quel est l’ensemble de définition de
f(x) = arcsin x
√1−x2?
b) Montrer que fest solution d’une équation différentielle linéaire du premier
ordre avec pour condition initiale f(0) = 0.
c) Trouver ce développement en série entière et en donner le rayon de convergence.
Exercice 4 [ 01015 ] [correction]
Former le développement en série entière en 0 de la fonction
f:x7→ arccos x
√1−x2
Exercice 5 [ 01017 ] [correction]
Soient α∈Ret
f:x7→ cos(αarcsin x)
a) Déterminer une équation différentielle d’ordre 2 dont fest solution.
b) En déduire un développement en série entière de f.
Exercice 6 [ 01018 ] [correction]
Former le développement en série entière en 0 de
x7→ sh (arcsin x)
Exercice 7 [ 03694 ] [correction]
a) Etudier la parité de
f:x7→ ex2/2Zx
0
e−t2/2dt
b) Montrer que fest solution d’une équation différentielle à déterminer.
c) Justifier que fest développable en série entière et donner ce développement.
Exercice 8 [ 01019 ] [correction]
a) Former de deux façons le développement en série entière en 0 de
f:x7→ e−x2Zx
0
et2dt
b) En déduire la relation
n
X
k=0
(−1)k
2k+ 1 n
k! 2n n!=4n
(2n+ 1)
Exercice 9 [ 02481 ] [correction]
On considère une suite réelle (un)n>0vérifiant
un+2 = (n+ 1)un+1 −(n+ 2)unet u0=u1=−1
a) Calculer, avec un logiciel de calcul formel, les 10 premiers termes de la suite.
b) On pose f(x) =
+∞
P
n=0
unxn. Trouver fà l’aide d’une équation différentielle.
c) On pose g(x) =
+∞
P
n=0
un
n!xn. Trouver gà l’aide d’une équation différentielle.
Exercice 10 [ 03659 ] [correction]
a) Former une équation différentielle vérifiée par
f:x > −17→ Z+∞
1
e−t
x+tdt
b) En déduire le développable en série entière en 0 de f.
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Exercice 11 [ 03301 ] [correction]
Développer f(x) = ch(x) cos(x)en série entière en l’exprimant à l’aide de
fonctions exponentielles.
Retrouver le résultat en remarquant que fest solution de l’équation différentielle
y(4) + 4y= 0.
Exercice 12 [ 02500 ] [correction]
Soient k > 0et
f(x) = Z1
0
tksin(xt)dt
a) Montrer que fest continue sur R.
b) Montrer que fest dérivable sur Ret vérifie
∀x∈R, xf0(x)+(k+ 1)f(x) = sin x
c) Déterminer toutes les fonctions développables en série entière en 0 solutions de
xy0+ (k+ 1)y= sin xen précisant le rayon de convergence.
Exercice 13 [ 02498 ] [correction]
On considère l’équation différentielle
(E) : ty0+y= 3t2cos(t3/2)
a) Montrer qu’il existe une unique solution vde (E)développable en série entière
sur un voisinage de 0.
b) Trouver l’ensemble des solutions de (E)sur R+?et en déduire une expression
plus simple de v.
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) On a
n+p
p!=n(n−1) . . . (n−p+ 1)
p!∼1 p!np
donc le rayon de convergence de fvaut 1.
b) Sur ]−1,1[ fest de classe C∞et
f0(x) =
+∞
X
n=1 n+p
p!nxn−1
Donc
(1 −x)f0(x) =
+∞
X
n=0
(n+ 1) n+p+ 1
p!xn−
+∞
X
n=0
n n+p
p!xn=
+∞
X
n=0
αnxn
avec
αn= (n+ 1) n+p+ 1
p!−n n+p p!
qui donne
αn= (n+p+ 1) n+p
p!−n n+p p!= (p+ 1) n+p p!
Par suite
(1 −x)f0(x)=(p+ 1)f(x)
Les solutions de l’équation différentielle linéaire d’ordre 1
(1 −x)y0= (p+ 1)y
sur ]−1,1[ sont
y(x) = C
(1 −x)p+1
avec C∈R.
Sachant f(0) = 1, on obtient
f(x) = 1
(1 −x)p+1
Exercice 2 : [énoncé]
a) x7→ 1
√1−x2est développable en série entière sur ]−1,1[ et par suite la primitive
x7→ arcsin xl’est aussi. Par produit de fonctions développable en série entière sur
]−1,1[,fl’est aussi.
b) fest dérivable sur ]−1,1[ et
f0(x) = 1
1−x2+xarcsin x
(1 −x2)3/2
donc
(1 −x2)f0(x)−xf(x)=1
c) Puisque fest impaire, le développement en série entière de fest de la forme
f(x) =
+∞
P
n=0
anx2n+1. On a f0(x) =
+∞
P
n=0
(2n+ 1)anx2npuis
(1 −x2)f0(x)−xf(x) =
+∞
X
n=0
(2n+ 1)anx2n−
+∞
X
n=0
(2n+ 1)anx2n+2 −
+∞
X
n=0
anx2n+2
donc
(1 −x2)f0(x)−xf(x) = a0+
+∞
X
n=0
((2n+ 3)an+1 −(2n+ 2)an)x2n+2 = 1
Par unicité des coefficients d’un développement en série entière
a0= 1 et ∀n∈N, an+1 =2n+ 2
2n+ 3an
d’où
an=22n(n!)2
(2n+ 1)!
Puisque pour x6= 0
an+1x2n+3
anx2n+1 
=4(n+ 1)2x2
(2n+ 3)(2n+ 2) →x2
on obtient R= 1.
Exercice 3 : [énoncé]
a) La fonction fest définie sur ]−1,1[.
b) On vérifie (1 −x2)f0(x)−xf(x)=1et f(0) = 0.
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c) x7→ 1
√1−x2est développable en série entière sur ]−1,1[ et par suite la primitive
x7→ arcsin xl’est aussi.
Par produit de fonctions développable en série entière sur ]−1,1[,fl’est aussi.
Puisque fest impaire, le développement en série entière de fest de la forme
f(x) =
+∞
X
n=0
anx2n+1
On a f0(x) =
+∞
P
n=0
(2n+ 1)anx2npuis
(1 −x2)f0(x)−xf(x) =
+∞
X
n=0
(2n+ 1)anx2n−
+∞
X
n=0
(2n+ 1)anx2n+2 −
+∞
X
n=0
anx2n+2
donc
(1 −x2)f0(x)−xf(x) = a0+
+∞
X
n=0
((2n+ 3)an+1 −(2n+ 2)an)x2n+2 = 1
Par unicité des coefficients d’un développement en série entière
a0= 1 et ∀n∈N, an+1 =2n+ 2
2n+ 3an
d’où
an=22n(n!)2
(2n+ 1)!
Puisque pour x6= 0
an+1x2n+3
anx2n+1 
=4(n+ 1)2x2
(2n+ 3)(2n+ 2) →x2
on obtient R= 1.
Exercice 4 : [énoncé]
fadmet un développement en série entière en 0 par produit fonctions
développables en série entière.
De plus son rayon de convergence vérifie R>1.
On peut donc écrire
f(x) =
+∞
X
n=0
anxnsur ]−1,1[
fest dérivable et fest solution de l’équation différentielle
(x2−1)y0+xy −1=0
Or
(x2−1)f0(x) + xf(x)−1 = −(a1+ 1) +
+∞
X
n=1
(nan−1−(n+ 1)an+1)xn
Par identification
a1=−1et ∀n>1, an+1 =n
n+ 1an−1
De plus a0=f(0) = π/2donc
a2p=(2p−1)
2p× ··· × 1 2a0=(2p)! (2pp!)2
π
2et a2p+1 =2p 2p+ 1 ··· 2 3a1=−(2pp!)2 (2p+ 1)!
Exercice 5 : [énoncé]
a) fest solution de l’équation
(1 −x2)y00 −xy0+α2y= 0
b) fest solution de l’équation différentielle ci-dessus et vérifie les conditions
initiales y(0) = 1 et y0(0) = 0.
Analyse : Soit Panxnune série entière de rayon de convergence R > 0et de
somme S.
La fonction Svérifie sur ]−R, R[l’équation différentielle proposée et les conditions
initiales imposées si, et seulement si,
a0= 1, a1= 0 et
∀n∈N, an+2 =n2−α2
(n+ 2)(n+ 1)an
On en déduit que
a2p+1 = 0 et a2p=(4p2−α2). . . (4 −α2)
(2p)!
Soit Panxnla série entière déterminée par les coefficients précédemment
proposés.
Dans le cas où α∈2Z, les (a2p)sont nuls à partir d’un certain rang, donc la série
entière Panxna un rayon de convergence R= +∞.
Dans le cas où α /∈2Z, pour x6= 0 et up=a2px2p, on a
up+1
up→ |x|2
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donc la série entière Panxna un rayon de convergence R= 1.
Dans les deux cas, les calculs qui précèdent assure que la fonction somme de cette
série entière est solution de l’équation différentielle
(1 −x2)y00 −xy0+α2y= 0
vérifiant y(0) = 1 et y0(0) = 0. Par unicité des solutions à un tel problème
différentiel, on peut conclure que fest égale à la somme des cette série entière.
Exercice 6 : [énoncé]
Posons f:x7→ sh (arcsin x)
fvérifie l’équation différentielle
(1 −x2)y00 −xy0−y= 0
avec les conditions initiales y(0) = 0 et y0(0) = 1.
Analyse :
Soit Panxnune série entière de rayon de convergence R > 0et de somme S.
La fonction Svérifie sur ]−R, R[l’équation différentielle proposée et les conditions
initiales imposées si, et seulement si,
a0= 0, a1= 1 et ∀n∈N, an+2 =n2+ 1
(n+ 2)(n+ 1)an
Ceci donne
a2p= 0 et a2p+1 =
p
Q
k=1 (2p−1)2+ 1
(2p+ 1)!
Synthèse :
Soit Panxnla série entière déterminée par les coefficients précédemment
proposés.
Pour x6= 0 et up=a2p+1x2p+1 ; on a
up+1
up→ |x|2
donc le rayon de convergence de la série entière étudiée vaut 1. Par les calculs qui
précèdent on peut alors affirmer que sa somme Sest solution de l’équation
différentielle
(1 −x2)y00 −xy0−y= 0
vérifiant les conditions initiales y(0) = 0 et y0(0) = 1. Par unicité des solutions à
un tel problème différentiel, on peut conclure que fest la somme des la série
entière introduite sur ]−1,1[.
Exercice 7 : [énoncé]
a) La fonction fest impaire car produit d’une fonction paire par la primitive
s’annulant en 0 d’une fonction paire.
b) fest solution de l’équation différentielle
y0=xy + 1
c) La fonction t7→ e−t2/2est développable en série entière sur R, ces primitives le
sont donc aussi et, par produit de fonctions développable en série entière, on peut
affirmer que fest développable en série entière sur R. Par imparité, on peut
écrire ce développement
f(x) =
+∞
X
n=0
anx2n+1
et l’équation différentielle donne
∀n∈N?,(2n+ 1)an=an−1et a0= 1
On en déduit
an=2nn!
(2n+ 1)!
Exercice 8 : [énoncé]
a) Pour x∈R, on sait par la série exponentielle
e−x2=
+∞
X
n=0
(−1)n
n!x2n
La fonction x7→ Rx
0et2dtest la primitive s’annulant en 0 de x7→ ex2donc par
intégration de série entière
Zx
0
et2dt=
+∞
X
n=0
1
n!(2n+ 1)x2n+1
Par produit de Cauchy de séries absolument convergente.
f(x)=e−x2Zx
0
et2dt=
+∞
X
n=0
n
X
k=0
(−1)n−k
(n−k)!k!(2k+ 1)x2n+1
De plus fest solution de l’équation différentielle
f0(x)+2xf(x)=1
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