Action hamiltonienne d`un tore et formule de localisation en

Action hamiltonienne d’un tore et formule de localisation
en cohomologie ´equivariante
Paul-Emile Paradan
R´esum´e −Exploitant une id´ee de Witten [8], nous ´etablissons une formule de
localisation en cohomologie ´equivariante dans le cadre d’une action hamiltonienne
d’un tore sur une vari´et´e symplectique compacte X. L’int´egrale sur Xd’une forme
´equivariante ferm´ee s’exprime comme une int´egrale sur les points critiques de la
fonction ´egale au carr´e de l’application moment.
Hamiltonian torus action and localization formula
in equivariant cohomology
Abstract −Using an idea of Witten [8], we give a localization formula in
equivariant cohomology in the case of an Hamiltonian torus action on a compact
symplectic manifold X. The integral over Xof an equivariant closed form can be
written as an integral over the submanifold of critical points of the square of the
moment map.
Abridged English Version −Let Xbe a compact symplectic manifold
equipped with an Hamiltonian action of a compact Lie group G, with Lie
algebra g. We denote by Ω the symplectic form on Xand µ:X → g∗the
moment map of this action.
Let H∞
G(X) the G-equivariant cohomology of Xwith C∞coefficients (cf
1.1). Integration over X, denoted RX, induces a morphism RX:H∞
G(X)→
C∞(g)G, where C∞(g)Gdenotes the algebra of smooth, G-invariant func-
tions on g.
Let k.kbe a G-invariant scalar product on g. In [8], Witten introduced
the “partition functions” Z(u) = RX ×gα(X)eiΩg(X)e−ukXk2/2dX with u > 0,
where α(X) is a closed differential form which is polynomial in the variable
X, and Ωg(X) = Ω + hµ, Xiis the equivariant symplectic form.
Under the hypothesis that Gacts freely on µ−1(0), Witten proposed a
formula of the form Z(u) = PNZN(u), where “N” ranges over the con-
nected components of the subset Cr(kµk2) of critical points of the square of
the moment map. In this formula, each function ZN(u) should only depend
of the value of the form αon N. Witten determined the function Zµ−1(0),
which is in fact a polynomial, and gives for the other terms a bound of the
form ZN(u) = O(e−kN/u), u > 0 with kN>0. Witten’s formula has been
proved by Jeffrey and Kirwan [2], using different methods than Witten .
1

One of the problems which makes the calculus of the functions ZNdiffi-
cult is that, in the context of a general compact group, the subset Cr(kµk2)
is not a smooth submanifold of X.
In the case of an Hamiltonian torus action, we work out the ideas of Wit-
ten to obtain a new kind of localization formula in equivariant cohomology.
In this Note, we explain the ingredients of this formula.
Suppose now that the group G=Tis a torus with Lie algebra t. Consider
the applications µε=µ−ε, ε ∈t∗. For ε∈t∗generic, Cr(kµεk2) is smooth
and we have a decomposition Cr(kµεk2) = ∪∆∈BCε
∆, where Bis a collection
of affine subspaces of t∗(cf. Proposition 2). Fix a generic ε∈t∗. Using the
same process of localization as Witten, we show that for every η∈ H∞
T(X)
we have the equality ZX
η=X
∆∈B
Iε
∆(η)
in the space C−∞(t) of generalized functions on t(cf. 1.1), where the general-
ized functions Iε
∆(η) have support contained in the subspace of torthogonal
(for the duality) to the direction of the affine subspace ∆ , and depend only
of the value of the form ηon the submanifold Cε
∆(cf. Th´eor`eme).
This localization permits us to give an explicit description of the asymp-
totic behaviour of the partition functions “Z(u)” (cf. Proposition 3).
The reader will find the proofs of the propositions and the theorem in
[6].
1. Cohomologie ´ equivariante ` a coefficients g´ en´ eralis´ es.−1.1.
Soit Xune vari´et´e diff´erentielle. On note A(X) l’alg`ebre sur Cdes formes
diff´erentielles et dla d´erivation ext´erieure. Si ξest un champ de vecteurs
sur X, on note c(ξ) : A(X)→ A(X) la contraction par le champ de vecteurs
ξ.
Soit Gun groupe de Lie, d’alg`ebre de Lie g, op´erant sur X. Cette
action d´etermine un morphisme X→XXde gdans l’alg`ebre des champs
de vecteurs de X.
Rappelons le mod`ele de De Rham pour la cohomologie G-´equivariante
de X[1, 5]. Soit C∞(g,A(X)) l’alg`ebre des formes α(X) sur Xd´ependant de
mani`ere C∞de X∈g. Nous noterons A∞
G(X) la sous-alg`ebre de C∞(g,A(X))
form´ee des ´el´ements G-invariants. On d´efinit l’op´erateur Dsur A∞
G(X) par
(Dα)(X) := (d−c(XX))(α(X)) . On remarque que D2= 0 sur A∞
G(X).
La cohomologie du complexe (A∞
G(X),D) est appel´ee la cohomologie G-
´equivariante (`a coefficients C∞) de X, et not´ee H∞
G(X).
Soit C−∞(g,A(X)) l’espace des fonctions g´en´eralis´ees sur g`a valeurs
formes diff´erentielles sur X. On note A−∞
G(X) le sous-espace des ´el´ements
2

G-invariants de C−∞(g,A(X)). On remarque que A∞
G(X)⊂ A−∞
G(X) et on
note encore Dla diff´erentielle sur A−∞
G(X) qui prolonge celle de A∞
G(X)
(pour la d´efinition voir [5]). La cohomologie du complexe (A−∞
G(X),D)
est appel´ee la cohomologie G-´equivariante (`a coefficients C−∞) de X, et est
not´ee H−∞
G(X).
On note C−∞(g)Gl’espace des fonctions g´en´eralis´ees sur ginvariantes par
G. Si Xest une G-vari´et´e compacte orient´ee, l’int´egration α→RXα(X)
sur Xest une application RXde A−∞
G(X) dans C−∞(g)G. Cette application
envoie le sous-espace A∞
G(X) dans l’alg`ebre C∞(g)Gdes fonctions C∞sur g
qui sont G-invariantes.
1.2. Soit E → Mun G-fibr´e euclidien orient´e sur une vari´et´e M, muni
d’une connexion lin´eaire euclidienne G-invariante ∇E. On note A(M, E) =
Γ(M, ∧T∗M⊗ E) l’espace des formes diff´erentielles sur M`a valeurs dans
E. Au moyen de la connexion ∇E, on d´efinit le moment de X∈g: c’est
un op´erateur µE(X)∈ A(M, so(E)) ⊂End(A(M, E)) (D´efinition 7.5., [1]).
Ici so(E) d´esigne le sous-fibr´e de E ⊗ E∗form´e des endomorphismes anti-
sym´etriques de E. D´efinissons maintenant quelques formes ´equivariantes.
Si RE∈ A(M, so(E)) est la courbure de la connexion ∇E, la courbure
´equivariante de ∇Eest l’application de gdans A(M, so(E)) d´efinie par X→
RE
g(X) = µE(X) + RE.
Consid´erons le pfaffien det1/2
o:A(M, so(E)) → A(M). On d´efinit la
forme d’Euler ´equivariante de (E,∇E) en posant Eulo(E,∇E)(X)
=det1/2
o(−1
2πRE
g(X)). On d´emontre que Eulo(E,∇E) est une forme ´equivariante
ferm´ee `a coefficients polynomiaux, et que sa classe de cohomologie ne d´epend
ni de la connexion, ni du produit scalaire sur les fibres (voir [1], chapitre 7).
Supposons que G=Test un tore et notons tson alg`ebre de Lie. On
suppose que les points fixes de l’action de Tsur Esont les points de la
vari´et´e M:ET=M. Dans ce cadre, nous allons inverser la forme d’Euler
´equivariante dans A−∞
T(M). Soit β∈ttel que le champ de vecteurs engendr´e
par βsur Es’annule exactement sur M. On constate que pour tout s > 0 et
tout X∈tla forme Eulo(E,∇E)(X+isβ) poss`ede une composante de degr´e
0 qui ne s’annule pas sur M; on peut donc l’inverser dans A(M). On v´erifie
que pour tout s > 0, X→As(X) = Eulo(E,∇E)(X+isβ)−1est une forme
´equivariante ferm´ee sur M. En passant `a la limite sur snous obtenons la
Proposition 1 La famille (As)s>0de formes ´equivariantes (`a coeffi-
cients C∞) sur Mconverge, lorsque s→0, vers une forme ´equivariante
ferm´ee Eul−1
β(E,∇E)∈ A−∞
T(M).
1.3. Soit Pune vari´et´e compacte sur laquelle un tore Tagit localement
librement. On consid`ere le quotient M:= P/T qui poss`ede une structure
3

de V-vari´et´e [4]. Les formes diff´erentielles de Msont d´efinies comme les
´el´ements T-basiques de l’alg`ebre A(P). Ces ´el´ements forment une sous-
alg`ebre A(M) qui est stable par rapport `a la diff´erentiation ext´erieure: on
note H(M) la cohomologie du complexe (A(M), d). Le tore agit triviale-
ment sur M, ainsi A−∞
T(M) := C−∞(t,A(M)) et la cohomologie associ´ee,
H−∞
T(M), est ´egale `a C−∞(t,H(M)).
Soit ω∈ H2(M)⊗tla courbure du V-fibr´e principal P→M. On
note δ(X−ω)∈ H−∞
T(M) la classe de support 0 d´efinie par < δ(X−
ω), φ(X)dX >:= φ(ω) vol(T, dX), pour toute fonction φ∈C∞(t). Dans
cette formule dX est une mesure euclidienne pour tet vol(T, dX) est le
volume du groupe Tpour la mesure de Haar compatible avec dX.
2. Action hamiltonienne et points critiques de kµk2.−Soit
(X,Ω) une vari´et´e symplectique compacte munie de l’action hamiltonienne
d’un tore T. On note tl’alg`ebre de Lie de Tet t∗l’espace vectoriel dual. On
note µ:X → t∗l’application moment; c’est une application T-´equivariante
qui v´erifie c(XX)Ω = dhµ, Xi, X ∈t. Pour tout ε∈t∗, on note µε
l’application µ−ε(c’est encore une application moment).
Comme la vari´et´e Xest compacte, l’action de Tsur Xposs`ede un nombre
fini de types d’orbites: soient T1,...,Trles sous-groupes de T, stabilisateurs
de points de X. Pour chaque l= 1,...,r on note Zk
l, k = 1,...,nlles
composantes connexes de XTlqui ont pour stabilisateur g´en´erique le sous-
groupe Tl. Les Zk
lsont des sous-vari´et´es symplectiques T-invariantes de
X. Le th´eor`eme de convexit´e d’Atiyah-Guillemin-Sternberg assure que les
Plk := µ(Zk
l) sont des polytopes de t∗. On a −→
Plk⊥= Lie(Tl),∀k=
1,...,nl.Dans cette ´egalit´e −→ Plk est le sous-espace vectoriel engendr´e par
{a−b|a, b ∈Plk}et ⊥d´esigne l’orthogonal pour la dualit´e entre tet t∗.
On note B:= {Aff(Plk)|l, k}l’ensemble des sous-espaces affines de t∗
engendr´es par les polytopes Plk. Pour chaque ∆ ∈ B, on note T∆le sous-tore
de Td’alg`ebre de Lie (−→ ∆)⊥.
On munit t∗d’un produit scalaire et on note j:t→t∗l’isomorphisme
induit par ce produit scalaire. Pour tout ε∈t∗, nous consid´erons la fonction
kµεk2de Xdans R. En nous inspirant du premier chapitre de [3], nous
obtenons la
Proposition 2 Pour tout ε∈t∗, les points critiques de kµεk2se mettent
sous la forme
Cr(kµεk2) = [
∆∈B XT∆∩µ−1(β(ε, ∆)),
o`u β(ε, ∆) est le projet´e orthogonal de εsur ∆. Il existe un ouvert dense
4

Wde t∗tel que pour tout ε∈Wl’ensemble Cr(kµεk2)est une sous-vari´et´e
de X, l’union pr´ec´edente est disjointe, et le groupe T /T∆agit localement
librement sur Cε
∆:= XT∆∩µ−1(β(ε, ∆)).
3. Localisation sur les points critiques de kµεk2.−3.1. On fixe
ε∈W. Pour chaque ∆ ∈ B, nous faisons le choix d’un suppl´ementaire de t∆
dans tque l’on note t/t∆, tel que l’on ait une d´ecomposition T=T∆×T /T∆
o`u T/T∆d´esigne le sous-tore de Td’alg`ebre de Lie t/t∆.
Comme le groupe T /T∆agit localement librement sur la vari´et´e C
∆, on
peut d´efinir la V-vari´et´e quotient Mε
∆:= Cε ∆.T/T∆[4]. Nous avons le
morphisme de Kirwan k∆:H∞
T(X)→ H∞ T∆(Mε ∆), d´efini comme le compos´e
du morphisme de restriction H∞
T(X)→ H∞ T(Cε ∆) et de l’isomorphisme de
Chern-Weil H∞
T(Cε ∆)∼
→ H∞
T∆(Mε ∆).
A chaque composante connexe Fde Cε
∆on associe le groupe S∆(F) qui
est le stabilisateur g´en´erique de T/T∆sur Fet on note |S∆|(F) son cardinal.
L’application F→ |S∆|(F) d´etermine une fonction localement constante sur
Mε
∆qui sera not´ee |S∆|.
Soient β∆:= j−1(β(ε, ∆) −ε)∈t∆et N∆le fibr´e normal de XT∆
dans Xrestreint `a C
∆. Lorsque ε∈W, le champ de vecteurs sur N∆
engendr´e par β∆s’annule exactement sur C
∆. Ces donn´ees nous permet-
tent de d´efinir, au moyen d’une connexion ∇N∆, une forme T∆-´equivariante
ferm´ee `a coefficients g´en´eralis´es sur Cε
∆: Eul −1
β∆(N∆,∇N∆)∈ A−∞
T∆(Cε
∆) (cf.
Proposition 1). En choisissant la connexion T /T∆-horizontale on voit que
Eul −1
β∆(N∆,∇N∆)∈ C−∞(t∆,A(Mε
∆)) := A−∞
T∆(Mε
∆). On notera Eul −1
β∆(E∆)∈
H−∞
T∆(Mε
∆) la classe de cette forme ´equivariante. La notation E∆fait r´ef´erence
au V-fibr´e T∆-´equivariant E∆:= N∆.T/T∆→ Mε
∆.
Le V-fibr´e principal Cε
∆→ Mε ∆de courbure ω∆fournit , d’apr´es 1.3.,
la classe δ(X−ω∆)∈ H−∞
T/T∆(Mε
∆). La d´ecomposition t=t∆⊕t/t∆in-
duit une application bilin´eaire (η, ν)7→ ην,H−∞
T∆(Mε
∆)×H−∞
T/T∆(Mε
∆)→
H−∞
T(Mε
∆). La V-vari´et´e Mε ∆poss`ede une structure symplectique h´erit´ee
de celle de X. Elle est donc orient´ee et l’int´egration sur Mε
∆, not´ee RMε
∆,
d´efinit un morphisme de H−∞
T(Mε
∆) dans C−∞(t).
On peut maintenant ´enoncer le r´esultat principal de cette Note:
Th´eor`eme Soient ε∈Wet η∈ A∞
T(X)une forme ferm´ee. Nous avons
dans C−∞(t)l’´egalit´e
ZX
η=X
∆∈B
Iε
∆(η),
5