UNE COURTE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE

UNE COURTE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE
DIJKGRAAF–WITTEN
GW´ ENA¨ EL MASSUYEAU
R´ esum´ e. Cette note, informelle et impr´ecise, accompagne un expos´e donn´e durant
la «Journ´ee G´eom´etrie, Topologie et Physique »`a Strasbourg, le 28 F´evrier 2008.
Nous introduisons les invariants de Dijkgraaf–Witten et nous donnons leur formule
par somme d’´etats.
Table des mati` eres
1. Introduction 1
2. Quelques rappels de cohomologie des groupes 2
3. Invariants de DW en petite dimension 5
4. Formule par somme d’´etats pour les invariants de DW 7
5. Quelques propri´et´es des invariants de DW 10
6. Des invariants quantiques de Witten aux invariants de DW 11
7. Pour aller plus loin . . . 14
R´ef´erences 15
1. Introduction
Soit Gun groupe fini et soit K(G, 1) un espace d’Eilenberg–MacLane. Ainsi, K(G, 1)
est l’espace topologique point´e (unique `a ´equivalence d’homotopie pr`es) satisfaisant
π1(K(G, 1),) = Get πi(K(G, 1),) = 0 pour i > 1.
On choisit aussi
α∈Hd(G; U(1)) = Hd(K(G, 1); U(1)).
D´efinition 1.1.Soit Mune d-vari´et´e ferm´ee, orient´ee et connexe. L’invariant de Dijkgraaf–
Witten de M, relatif `a la classe de cohomologie α, est
Zα(M) := |G|−1X
γ∈Hom(π1(M,),G)α, (fγ)∗([M])∈C.
Ici, ∈Mest un point base et fγ:M→K(G, 1) est l’application point´ee (unique `a
homotopie pr`es) telle que (fγ)∗=γau niveau du π1(−) : ces choix ne comptent pas.
Malgr´e leur d´efinition tr`es simple, les invariants de Dijkgraaf–Witten n’ont ´et´e for-
mul´es que r´ecemment. Ils semblent ˆetre apparus pour la premi`ere fois en 1990 dans
l’article [7], pour servir de «toy examples »aux invariants quantiques de Witten [20].
Date: 26 F´evrier 2008.
1

2
2. Quelques rappels de cohomologie des groupes
Nous commen¸cons par quelques rappels en cohomologie des groupes et nous renvoyons,
pour de plus amples d´etails, `a [3] ou `a [10, §VI]. Dans la suite, Gest un groupe et Z[G]
d´esigne son alg`ebre de groupe.
2.1. D´efinitions. Le n-i`eme groupe d’homologie de G`a coefficients dans R, un Z[G]-
module `a droite, est
Hn(G;R) := TorZ[G]
n(R, Z)
o`u Zest vu comme Z[G]-module trivial `a gauche. Ainsi, si P→Z→0 est une r´esolution
projective du Z[G]-module Z, on a
(2.1) Hn(G;R) = Hn(R⊗Z[G]P).
Dualement, le n-i`eme groupe de cohomologie de G`a coefficients dans L, un Z[G]-module
`a gauche, est
Hn(G;L) := Extn
Z[G](Z, L).
Ainsi, si P→Z→0 est une r´esolution projective du Z[G]-module Z, on a
(2.2) Hn(G;L) = Hn(HomZ[G](P, L)).
2.2. Recours au K(G, 1).Le calcul de l’homologie de Gn´ecessite donc de trouver une
r´esolution projective de Zcomme Z[G]-module trivial `a gauche. Cela peut se construire
topologiquement, grˆace au lemme suivant.
Lemme 2.1. Soit K(G, 1) un espace d’Eilenberg–MacLane, avec une d´ecomposition en
cellules orient´ees. Alors, le complexe des chaˆınes cellulaires de son revˆetement universel
est une r´esolution libre de Zcomme Z[G]-module trivial `a gauche.
D´emonstration. Soit p:e K(G, 1) →K(G, 1) le revˆetement universel : e K(G, 1) est connexe
par arcs et simplement connexe. De plus, puisque pest une fibration de fibre discr`ete,
on a πi(e K(G, 1),)'πi(K(G, 1),) = 0 pour tout i≥2. Donc, e K(G, 1) est contractile si
bien que
Hie K(G, 1); Z= 0 pour i > 0.
Donc, le complexe cellulaire r´eduit de e K(G, 1) est acyclique. Par ailleurs,
G=π1(K(G, 1),)'Aut e K(G, 1), p
agit `a gauche sur e K(G, 1) et, donc, sur son complexe cellulaire. Ainsi, l’augmentation
Ce K(G, 1)ε −→ Z−→ 0
fournit une r´esolution de Zcomme Z[G]-module trivial `a gauche. 
D’apr`es (2.1) et (2.2), on a donc
Hn(G;R) = Hn(K(G, 1); R) et Hn(G;L) = Hn(K(G, 1); L)
o`u R → K(G, 1) est le fibr´e de coefficients d´efini par l’anti-homomorphisme de groupes
π1(K(G, 1),)→Aut(R) donnant l’action de Gsur R. (Idem pour Lvis-`a-vis de L.)

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2.3. Mod`ele simplicial. Nous sommes donc ramen´es au probl`eme de la construction
d’un K(G, 1). Il existe une construction syst´ematique de K(G, 1) : c’est le mod`ele sim-
plicial de Milnor.
A tout σ= (g0, . . . , gn)∈Gn+1, on associe une copie ∆σdu simplex standard de
dimension nde sommets (vσ
0, . . . , vσ
n). Soit diσ= (g0,...,bgi, . . . , gn)∈Gnet soit δσ
i:
∆diσ→∆σle plongement lin´eaire envoyant les points vdiσ
0, . . . , vdiσ n−1sur vσ
0,...,c
vσ
i, . . . , vσ
n
respectivement. On pose
(2.3) g K∆(G, 1) := G
n≥0, σ∈Gn+1
∆σ∼
o`u ∼identifie chaque ∆diσavec la i-i`eme face de ∆σvia δσ
i. On v´erifie que g
K∆(G, 1) est
contractile grˆace `a la r´etraction lin´eaire par morceaux qui envoie chaque n-simplex ∆σ,
associ´e `a σ= (g0, . . . , gn), sur le 0-simplex ∆(1) `a l’int´erieur du (n+ 1)-simplex ∆hσ,
associ´e `a hσ := (1, g0, . . . , gn) :
1g0
g1
De plus, Gagit `a gauche sur g K∆(G, 1) : pour tout g∈Get pour tout σ= (g0, . . . , gn)∈
Gn+1, le simplex ∆σest appliqu´e lin´eairement sur ∆g·σo`u g·σ:= (gg0, . . . , ggn), les
points vσ
0, . . . , vσ
nallant sur vg·σ
0, . . . , vg·σ
nrespectivement. Puisque cette action est libre,
K∆(G, 1) := g K∆(G, 1)/G
est un K(G, 1) et g K∆(G, 1) est son revˆetement universel.
La triangulation ´evidente de g K∆(G, 1) d´efinit une d´ecomposition en cellules orient´ees.
D’apr`es le Lemme 2.1, le complexe des chaˆınes cellulaires de g K∆(G, 1) fournit donc une
r´esolution libre de Zcomme Z[G]-module trivial `a gauche. C’est le complexe standard
homog`ene de G
· · · ∂3 −→ H2(G)∂2 −→ H1(G)∂1 −→ H0(G)ε −→ Z→0
avec pour chaˆınes Hn(G) := Z·Gn+1 et avec pour op´erateur de bord
(2.4) ∂n(g0, . . . , gn) =
n
X
i=0
(−1)i·(g0,...,bgi, . . . , gn).
On pr´ef`ere d´ecrire ce complexe d’une autre fa¸con. Le complexe standard inhomog`ene
de Gest le complexe de Z[G]-modules
· · · ∂3 −→ I2(G)∂2 −→ I1(G)∂1 −→ I0(G)ε −→ Z→0
avec pour chaˆınes In(G) := Z[G]·Gnet avec pour op´erateur de bord
(2.5)
∂nh1|. . . |hn] = h1·[h2|···|hn]+
n−1
X
i=1
(−1)i·[h1|···|hihi+1|···|hn]+(−1)n·[h1|···|hn−1].

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En effet, les complexes I(G) et H(G) sont isomorphes par l’application
[h1|···|hn]7−→ (1, h1, h1h2, . . . , h1h2. . . hn).
La m´ethode pr´ec´edente s’am´eliore en faisant plus d’identifications entre les simplex
pour d´efinir g K∆(G, 1) en (2.3). Pour tout σ= (g0, . . . , gn)∈Gn+1, nous notons siσ:=
(g0, . . . , gi, gi, . . . , gn)∈Gn+2 et nous demandons que la relation ∼´ecrase le (n+ 1)-
simplex ∆siσsur le n-simplex ∆σ, via l’application lin´eaire envoyant vsiσ
0, . . . , vsiσ n+1 sur
vσ
0, . . . , vσ
i, vσ i, . . . , vσ
nrespectivement. L’espace g
K∆(G, 1) obtenu reste contractile et on
obtient ainsi le complexe standard homog`ene normalis´e de G, not´e H(G), avec pour
chaˆınes
Hn(G) := Z·(g0, . . . , gn)∈Gn+1 :gi6=gi+1
et l’op´erateur de bord (2.4). Ce complexe est isomorphe au complexe standard inho-
mog`ene normalis´e de G, not´e I(G), avec pour chaˆınes
In(G) := Z[G]· {[h1|···|hn]∈Gn:hi6= 1}
et l’op´erateur de bord (2.5).
2.4. Exemples. Dans la suite, nous n’aurons besoin que de l’homologie de G`a coeffi-
cients (non-tordus) dans Z. D’apr`es §2.3, H∗(G;Z) est l’homologie du complexe
(2.6) B(G) := Z⊗Z[G]I(G)
ayant pour chaˆınes
Bn(G) = Z· {[h1|···|hn]∈Gn:hi6= 1}
et pour op´erateur de bord
∂n[h1|. . . |hn] = [h2|···|hn] +
n−1
X
i=1
(−1)i·[h1|···|hihi+1|···|hn]+(−1)n·[h1|···|hn−1].
B(G) est le complexe des chaˆınes cellulaires de K∆(G, 1) pour la triangulation singuli`ere
qu’il h´erite de la triangulation de g K∆(G, 1). On l’appelle complexe bar du groupe G.
Nous aurons aussi besoin de la cohomologie de G`a coefficients (non-tordus) dans le
groupe ab´elien U(1), lequel sera not´e multiplicativement. D’apr`es §2.3, H∗(G; U(1)) est
la cohomologie du complexe de cochaˆınes
HomZ(B(G),U(1)),
qui est le complexe des cochaˆınes cellulaires de K∆(G, 1) `a valeurs dans U(1). Notons
qu’un d-cocycle pour ce complexe est une fonction a:Gd→U(1) v´erifiant
a(h1|···|hd)(−1)d+1 ·a(h2|···|hd+1)·
d
Y
i=1
a(h1|···|hihi+1|···|hd+1)(−1)i= 1
ainsi que
a(1|h2|···|hd) = a(h1|1|h3|···|hd) = · · · =a(h1|···|hd−1|1) = 1.

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3. Invariants de DW en petite dimension
Soit α∈Hd(G; U(1)) o`u Gest un groupe fini. Dans cette section, nous examinons
l’invariant de Dijkgraaf–Witten Zαen petite dimension d: il existe des formules «in-
trins`eques »pour d= 1 et d= 2 ... mais la situation est plus complexe pour d= 3 !
3.1. Formule en dimension d= 1.La donn´ee de α∈H1(G; U(1)) est ´equivalente `a
celle d’un 1-cocycle normalis´e a:G→U(1), i.e. un homomorphisme de groupes. On a
Zα(S1) = |G|−1X
γ∈Hom(π1(S1,),G)α, (fγ)∗([S1])=|G|−1X
g∈G
a(g).
Nous concluons que
Zα(S1) = 1 si α= 1,
0 si α6= 1.
3.2. Formule en dimension d= 2.Repr´esentons α∈H2(G; U(1)) par un 2-cocycle
normalis´e a:G×G→U(1). Ainsi, nous avons
a(h|k)·a(gh|k)−1·a(g|hk)·a(g|h)−1= 1, a(g|1) = 1 et a(1|h) = 1.
Une a-repr´esentation de Gest un C-espace vectoriel Vde dimension finie, muni
d’une application ρ:G→Aut(V) tel que ρ(g1g2) = a(g1|g2)·ρ(g1)◦ρ(g2). Soit R(G;a)
l’ensemble des a-repr´esentations irr´eductibles de G, `a isomorphisme pr`es.
Fait 3.1. |R(G;a)|est ´egal au nombre de classes de conjugaison d’´el´ements a-r´eguliers
de G, un ´el´ement gde G´etant dit a-r´egulier si (∀h∈G, [g, h] = 1 ⇒a(g|h) = a(h|g)).
Fait 3.2. R(G;a)ne d´epend essentiellement que de α={a}. Plus pr´ecis´ement, si
a0=a·(b◦∂2)(o`u b:G→U(1) est telle que b(1) = 1), alors R(G;a)est en bijection
canonique avec R(G;a0)par {(V, ρ)} 7→ {(V, b ·ρ)}.
Fait 3.3. Pour tout {(V, ρ)} ∈ R(G;a),dim(V)divise |G|.
Tous ces faits sont bien connus lorsque αest trivial (th´eorie des repr´esentations des
groupes finis) : voir [11] pour le cas g´en´eral.
Th´eor`eme 3.4 (Turaev [18]).Pour toute surface Σferm´ee connexe et orient´ee, on a
Zα(Σ) = X
{(V,ρ)}∈R(G;a)|G|
dim(V)−χ(Σ)
.
En particulier, pour α= 1, on retrouve la formule de Frobenius–Mednykh [14] :
|Hom(π1(Σ,), G)|=|G|X
{(V,ρ)}∈R(G)|G|
dim(V)−χ(Σ)
o`u R(G) d´esigne l’ensemble des repr´esentations irr´eductibles de G, `a isomorphisme pr`es.
Preuve du Th´eor`eme 3.4 pour Σ = S1×S1.Le tore S1×S1est un K(Z2,1). Soit (e1, e2)
la base canonique de Z⊕Z. La classe fondamentale
[S1×S1]∈H2(S1×S1;Z) = H2(Z2;Z)
est repr´esent´ee par le 2-cycle
e1∧e2:= [e1|e2]−[e2|e1]∈B2(Z2).