Combinatoire 1

2013-2014
Combinatoire 1
Jeudi 3 octobre
1.
Le principe des tiroirs
Si n + 1 objets sont rangés dans n tiroirs, alors il y a un tiroir qui contient au
moins deux objets.
Plus généralement, si kn + 1 objets sont rangés dans n tiroirs, alors il y a un tiroir
qui contient au moins k + 1 objets.
101 points sont placés dans un carré 10 × 10. Montrer que deux de ces
3
points sont à distance 6 .
2
Exercice 2. 7 points sont placés dans un triangle ABC . Montrer que 3 de ces points
1
forment un triangle d'aire 6 SABC .
4
Exercice 3. Montrer que si x1 , . . . , xn+1 sont des nombres entiers, alors il existe i
et j distincts tels que xi − xj est divisible par n.
Exercice 1.
Montrer que si x1 , . . . , xn+2 sont des nombres entiers, alors il existe i
et j distincts tels que xi + xj ou xi − xj est divisible par 2n.
Exercice 4.
Montrer que, étant donné 6 personnes, il y a un groupe de 3 personnes
qui ne se connaissent pas, ou bien qui se connaissent toutes.
Exercice 5.
On suppose que, dans un groupe de 7 garçons, chaque garçon a au
moins 3 frères parmi les 6 autres garçons. Montrer que les 7 garçons sont tous frères.
Exercice 6.
Exercice 7.
(*) Soient x1 , . . . , x11 des entiers. Montrer qu'il existe ai ∈ {−1, 0, 1}
non tous nuls tels que
11
X
ai xi est divisible par 2013.
i=1
(*) Montrer que si x est irrationnel et n ∈ N∗ , alors il existe p et q
1
entiers tels que 1 6 q 6 n et |qx − p| 6 . En déduire qu'il existe une innité de
Exercice 8.
n
p
1
1
1
couples (p, q) d'entiers tels que |x − | 6 2 . Peut-on remplacer 2 par 3 dans
q
q
q
q
l'assertion précédente ?
2.
Permutations, arrangements, combinaisons
Permutations :
1 × 2 × 3 × · · · × n.
le nombre de manières de permuter n objets est égal à n! =
le nombre de manières de choisir une liste ordonnée de p objets
distincts parmi n est Apn = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1).
Arrangements :
1
2
Combinaisons :
parmi n est
le nombre de manières de choisir p objets distincts non ordonnés
n
n(n − 1) · · · (n − p + 1)
n!
=
=
=
.
p!
p!(n − p)!
p
n
n
n(n − 1)
.
Exemple :
= n,
=
2
1
2
Cnp
Etant donné un groupe de 5 garçons et 4 lles, de combien de manières
peut-on former une équipe de 4 personnes comprenant au moins un garçon et au
moins une lle ?
Exercice 9.
De combien de manières peut-on distribuer n+1 objets à n personnes
de sorte que chaque personne reçoive au moins un objet ?
Exercice 10.
Une sauterelle se déplace sur les sommets d'un quadrillage m × n. A
chaque instant, elle eectue, soit un pas vers la droite, soit un pas vers le haut. Quel
est le nombre de chemins possibles reliant les sommets (0, 0) et (m, n) ?
Exercice 11.
Soit n ∈ N. Déterminer le nombre de p-uplets (x1 , . . . , xp ) d'entiers
> 0 tels que x1 + · · · + xp = n.
Exercice 12.
Exercice 13.
{1, . . . , n}.
Déterminer le nombre de fonctions croissantes de {1, . . . , p} dans
Dans un tournoi, deux équipes A et B s'arontent. Chaque équipe
est formée de 7 joueurs. Le premier joueur de l'équipe A rencontre le premier joueur
de l'équipe B ; le perdant est éliminé, et le gagnant rencontre le 2e joueur de l'autre
équipe, et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les joueurs de l'une des deux équipes
soient éliminés.
Déterminer le nombre de processus possibles.
Exercice 14.
Exercice 15. (*) Un rectangle 2 × 3 est divisé en six carrés unité. Déterminer le
nombre de manières de colorier les petits carrés en bleu, rouge, vert, jaune, noir, ou
orange, de sorte que deux carrés adjacents ne sont pas de la même couleur.
3.
Principe d'inclusion-exclusion
On note |A| le nombre d'éléments de A.
On a |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Déterminer le nombre d'entiers compris entre 1 et 1000 qui ne sont
ni multiples de 3 ni multiples de 5.
Exercice 16.
Combien y a-t-il de nombres > 20000 dont les cinq chires sont
distincts et gurent parmi {1, 2, 3, 4, 5}, et qui ne sont pas multiples de 5 ?
Exercice 17.
(*) Montrer que le nombre de dérangements (=permutations sans
points xes) de n éléments est égal à
Exercice 18.
1
1
1
(−1)n
n! 1 − + − + · · · +
1! 2! 3!
n!