INTRODUCTION À LA THÉORIE DES REPRÉSENTATIONS

Master de sciences, mention mathématiques
Année 2008–2009
INTRODUCTION À LA THÉORIE
DES REPRÉSENTATIONS
UFR de mathématique et d’informatique — Université Louis Pasteur
7, rue René Descartes — 67084 Strasbourg Cedex

Table des matières
Introduction 1
1 Modules sur un anneau 3
1.1 Lelangagedesmodules ............................... 3
1.1.1 Rappels sur les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Définition d’un module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Constructions catégoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Le (bi)foncteur Hom ............................. 12
1.1.5 Le (bi)foncteur Ext1
A............................. 14
1.1.6 Modules injectifs et projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Découpage d’un module en petits morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1 Conditions de finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Théorème de Krull-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.3 Modules de type fini sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.4 Théorème de Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.5 Groupe de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3 Modules complètement réductibles, radical, socle . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.1 Modules complètement réductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.2 Théorème de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.3 Radical, tête et socle d’un module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.4 Sous-modules superflus et essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.4 Produittensoriel ................................... 44
1.4.1 Produit tensoriel de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.4.2 Produit tensoriel d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.4.3 Bimodules................................... 53
1.4.4 Changementdebase............................. 55
1.4.5 Structure des modules complètement réductibles . . . . . . . . . . . . . 55
i

2 Théorie élémentaire des anneaux 59
2.1 Anneaux simples et semi-simples artiniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.1.1 Théorème de Wedderburn-Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.1.2 Anneaux semi-simples artiniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2 RadicaldeJacobson ................................. 64
2.2.1 Définition du radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.2 Cas d’un anneau artinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3 Quelques résultats concernant les modules projectifs et injectifs . . . . . . . . . 71
2.3.1 Cas d’un anneau local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.2 Idempotents.................................. 72
2.3.3 Modules principaux indécomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3.4 Couvertures projectives et enveloppes injectives . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4 Blocs d’un anneau artinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.1 Idempotents centraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.2 Classesdeliaison............................... 85
3 Algèbres 89
3.1 k-linéarité....................................... 89
3.1.1 Préliminaires ................................. 89
3.1.2 Algèbres.................................... 90
3.1.3 Changementdebase............................. 92
3.1.4 Algèbres symétriques et extérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2 Résultatsclassiques..................................100
3.2.1 Représentations d’une algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.2.2 Quelques faits sur les algèbres de dimension finie . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.3 Représentations et changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.4 Théorèmes de Burnside et de Frobenius-Schur . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2.5 Caractère d’une représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.6 Représentations absolument irréducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2.7 Caractères linéaires d’une algèbre, caractère central d’une représentation 111
3.3 Algèbresséparables..................................113
ii

3.3.1 Complète réductibilité et changement de base . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.2 Cohomologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3.3 Théorème de Wedderburn-Malcev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.3.4 Le théorème de réciprocité de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4 Représentations des groupes 127
4.1 Définition, premiers exemples et constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.1 k-algèbred’ungroupe ............................128
4.1.2 Exemples ...................................129
4.1.3 Opérations sur les représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.1.4 Fonctions centrales et caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1.5 Anneau de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.2 Représentations ordinaires des groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.1 Séparabilité..................................140
4.2.2 Caractères irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2.3 Un peu d’analyse hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.4 Cas particulier des groupes abéliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.2.5 Centre de l’algèbre du groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2.6 Théorème paqbdeBurnside .........................154
4.3 Représentations et caractères induits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.1 Restriction, induction, coinduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.2 Propriétés de l’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.3.3 Trois théorèmes de Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4 Représentations continues des groupes compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4.1 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4.2 Coefficients d’une représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4.3 Mesureinvariante...............................166
4.4.4 Théorème de Maschke et relations d’orthogonalité . . . . . . . . . . . . 167
4.4.5 Le théorème de Peter-Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.4.6 Représentations unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
iii