Endomorphismes symétriques d`un espace vectoriel

Endomorphismes sym´etriques d’un espace vectoriel euclidien
E d´esigne un espace vectoriel euclidien de dimension n∈N∗. Le produit scalaire sur E sera not´e
< ., . >.
1 Endomorphismes sym´etriques - G´en´eralit´es
D´efinition 1 Soit u un endomorphisme de E. On dit que u est un endomorphisme sym´etrique de
E si :
∀x, y ∈E, hu(x), yi=hx, u(y)i
Notation : On note S(E) l’ensemble des endomorphismes sym´etriques sur E.
Proposition 1 S(E)est un sous espace vectoriel de L(E).
Preuve - S(E)⊂L(E)
S(E)6=∅car idE∈S(E).
Soient u, v ∈S(E), α, β ∈R.
h(αu +βv)(x), yi=hαu(x) + βv(x), yi
=αhu(x), yi+βhv(x), yi(bilin´earit´e du produit scalaire)
=αhx, u(y)i+βhx, v(y)i(car u, v ∈S(E))
=hx, (αu +βv)(y)i(bilin´earit´e du produit scalaire)
Donc αu +βv ∈S(E). 2
Proposition 2 Soit u une application de E dans E. u est un endomorphisme sym´etrique si et
seulement si :
∀x, y ∈E, hu(x), yi=hx, u(y)i
Preuve - La condition est n´ecessaire (c’est la d´efinition mˆeme d’un endomorphique sym´etrique).
La condition est suffisante : Supposons que l’application uv´erifie :
∀x, y ∈E, hu(x), yi=hx, u(y)i
1

Endomorphismes sym´etriques d’un espace vectoriel euclidien
Il s’agit de montrer que uest lin´eaire.
Soient x1, x2∈E, α ∈R.
hu(x1+αx2), yi=hx1+αx2, u(y)i
=hx1, u(y)i+αhx2, u(y)i(bilin´earit´e du produit scalaire)
=hu(x1), yi+αhu(x2), yi
=hu(x1) + αu(x2), yi(bilin´earit´e du produit scalaire)
Donc : ∀y∈E, hu(x1) + αu(x2), yi=hu(x1) + αu(x2), yi
donc u(x1+αx2) = u(x1) + αu(x2).
uest donc lin´eaire. 2
Th´eor`eme 1 Caract´erisation matricielle :
Soit u un endomorphisme de E. u est sym´etrique si et seulement si sa matrice dans une base
orthonormale est sym´etrique.
Preuve - Soit e= (e1, ..., en) une base orthonormale de E telle que mat(u;e) soit sym´etrique.
Soit M= (mij )16i6n
16j6n
=mat(u;e). Alors tM=M.
Soient x, y ∈E, X =mat(x;e), Y =mat(y;e).
hu(x), yi=t(MX)Y(car la base est orthonormale)
=tXtMY (r`egle de calcul sur les transpos´ees)
hx, u(y)i=tX(MMY)
=tMY
Comme tM=M, on a donc : ∀x, y ∈E, hu(x), yi=hx, u(y)i.uest donc sym´etrique.
Si uest un endomorphisme sym´etrique, alors pour tous x, y ∈E,hu(x), yi=hx, u(y)i
Soit e= (e1, ...en) une base orthonormale de E.
Soit M= (mij )16i6n
16j6n
la matrice de urelativement `a la base e.
Alors pour tous X, Y ∈ Mn,1(R),tXtMY =tXM Y . Donc tM=Met donc Mest sym´etrique. 2
Proposition 3 Soit u un endomorphisme de E. Alors :
(ker(u))⊥= Im(u),(Im(u))⊥= ker(u)et E= ker(u)
⊥
⊕Im(u)
Si F est un sous espace vectoriel de E stable par u, alors F⊥est stable par u.
Preuve - Soit y∈Im(u). ∃x∈E, u(x) = y.
Soit z∈ker(u).
c
S. Duchet -www.epsilon2000.fr.st 2/6

Endomorphismes sym´etriques d’un espace vectoriel euclidien
hy, zi=hu(x), zi
=hx, u(z)i(car u∈S(E))
=hx, 0i(car z∈ker(u))
=hx, 0i
= 0
donc y∈(ker(u))⊥donc Im(u)⊂(ker(u))⊥.
Soit y∈(Im(u))⊥.
kxk2=hu(y), u(y)i
=hy, u ◦u(y)i(car u∈S(E))
= 0 (car y∈(Im(u))⊥et u◦u(y)∈Im(u))
donc u(y) = 0
donc y∈ker(u)
donc (Im(u))⊥⊂ker(u)
donc (ker(u))⊥⊂(Im(u))⊥⊥ (voir chapitre espaces euclidiens)
Or, (Im(u))⊥⊥ = Im(u) (voir chapitre espaces euclidiens)
Donc (ker(u))⊥⊂Im(u).
(ker(u))⊥= Im(u) donc (ker(u))⊥⊥ = (Im(u))⊥.
Or (ker(u))⊥⊥ = ker(u) donc ker(u) = (Im(u))⊥.
ker(u) est un sous espace vectoriel de Edonc E= ker(u)⊕(ker(u))⊥(voir chapitre espaces eucli-
diens).
Or, (ker(u))⊥= Im(u) donc E= ker(u)
⊥
⊕Im(u).
Soit Eun sous espace vectoriel de Estable par u.
Soit x∈F⊥. Soit y∈F.
hu(x), yi=hx, u(y)i
= 0 (car x∈F⊥, u(y)∈Fcar Fest stable par u)
donc u(x)∈F⊥donc u(F⊥)⊂F⊥.2
c
S. Duchet -www.epsilon2000.fr.st 3/6

Endomorphismes sym´etriques d’un espace vectoriel euclidien
2 R´eduction des endomorphismes sym´etriques
Th´eor`eme 2 Soit u un endomorphisme de E. Alors :
(i) Les sous espaces propres de u sont en somme directe ;
(ii) χuest scind´e dans R[X](donc toutes les valeurs propres de u sont r´eelles) ;
(iii) u est diagonalisable et il existe une base orthonormale de E form´ee de vecteurs propres de u.
Preuve - (i) Soient x, y deux vecteurs propres de uassoci´es `a des valeurs propres distinctes λet
ξ.
Alors u(x) = λx et u(y) = ξy.
hu(x), yi=hλx, yi
=λhx, yi
Mais on a aussi :
hu(x), yi=hx, u(y)i
=hx, ξyi
=ξhx, yi
Par cons´equent, λhx, yi=ξhx, yidonc (λ−ξ)hx, yi= 0. Or, λ−ξ6= 0 donc hx, yi= 0, c’est-`a-dire
x⊥y.
Par ailleurs, les sous espaces propres de usont en somme directe (voir chapitre «´el´ements propres
d’un endomorphisme »), d’o`u le r´esultat.
(ii)χu, consid´er´e comme ´el´ement de C[X] est scind´e sur C[X]. Soit λune racine de χudans C(λ
est valeur propre complexe de u). Soit xun vecteur propre associ´e `a la valeur propre λ:u(x) = λx.
Soient eune base orthonormale de E,M=mat(u;e) et X=mat(x;e). on a donc :
MX =λX
tXM X =λtXX
t(tXM X) = λt(tXX)
tXtMX=λtXX
tXtMX =λtXX
Or M=Mcar Mest `a coefficients r´eels et tM=Mcar Mest sym´etrique donc tXM X =λtXX.
Par cons´equent, λtXX =λtXX.
Si X=
x1
.
.
.
xn
, alors tXX =
n
P
i=1
|xi|2donc tXX 6= 0 car x6= 0.
Par cons´equent, λ=λdonc λ∈R. Les valeurs propres de usont r´eelles et χuest scind´e dans R[X].
(iii) D´emonstration par r´ecurrence sur la dimension de E. notons P(n) la propri´et´e suivante :
c
S. Duchet -www.epsilon2000.fr.st 4/6

Endomorphismes sym´etriques d’un espace vectoriel euclidien
«si Eest un espace euclidien de dimension net si uest un endomorphisme sym´etrique de E, alors
uest diagonalisable et il existe une base orthonormale de Eform´ee de vecteurs propres de u».
Pour n= 1, le r´esultat est imm´ediat.
Soit n∈N∗. Supposons P(n) vraie.
Soit Eun espace euclidien de dimension n+ 1. Soit uun endomorphisme sym´etrique de E. D’apr`es
(ii), uadmet au moins une valeur propre r´eelle λ. Soit e1un vecteur propre unitaire associ´e `a λ. Soit
F= (Vect(e1))⊥. Vect(e1) ´etant un sous espace vectoriel stable par u,Fest aussi stable par u(voir
paragraphe pr´ec´edent). Notons uFl’endomorphisme induit par usur F.uFest un endomorphisme
sym´etrique de Fet dim(F) = dim(E)−dim(Vect(e1)) = n. d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence, uF
est diagonalisable et il existe une base orthonormale (e2, ...en+1) de Fform´ee de vecteurs propres
de uF(donc de u). Alors uest diagonalisable et il existe une base orthonormale de Eform´ee de
vecteurs propres de u: (e1, ..., en+1).
Donc P(n+ 1) est vraie et par cons´equent P(n) est vraie pour tout n∈N∗.2
3 Application `a la r´eduction des courbes du second degr´e
On consid`ere dans R2la courbe d’´equation : ax2+bxy +cy2+dx +ey +f= 0, a, b, c, d, e, f ´etant
des r´eels tels que (a, b, c)6= (0,0,0). Notons (E) cette ´equation. Notons Bla base canonique de R2.
Nous allons rechercher une ´equation r´eduite de (E).
Soit q:R2→Rd´efinie par (x, y)7→ ax2+bxy +cy2.qest une forme quadratique sur R2.
mat(q;B) = ab
2
b
2c!. Notons Acette matrice.
∀x, y ∈R, q(x, y) =tXAX, o`u X= x
y!.
Aest une matrice sym´etrique r´eelle donc Aest diagonalisable et il existe une base orthonorm´ee B′de
R2form´ee de vecteurs propres de A. Il existe donc P∈O(R2), α, β ∈Rtels que tP AP = α0
0β!.
Si X= x
y!∈R2, notons X′=P−1X= x′
y′!. On a alors :
q(x, y) = tXAX
=t(P X′)AP X′
=tX′(tP AP )X′
=x′y′ α0
0β! x′ y′!
=αx′2+βy′2
c
S. Duchet -www.epsilon2000.fr.st 5/6