Théor`eme de Césaro et applications Version provisoire Plan de ce

Th´eor`eme de C´esaro et applications
Version provisoire
Plan de ce chapitre
1. Th´eor`eme de C´esaro et d´emonstration
2. Exemples d’application
3. Exercices corrig´es
4. Exercices non corrig´es
1 Th´eor`eme de C´esaro et d´emonstration
D´efinition 1 Soit (un)nNune suite r´eelle ; on lui associe la suite (vn)nNd´efinie par :
v0=u0et nN, vn=u1+u2+··· +un
n.
La suite (vn)nNest appel´ee moyenne de C´esaro de la suite (un)nN.
Th´eor`eme 1 Si la suite (un)nNconverge vers lalors la suite (vn)nNconverge aussi vers l.
Remarque 1
1. La r´eciproque est en g´en´eral fausse : lim
n+vn=ln’implique pas n´ecessairement que
lim
n+un=lcomme le montre l’exemple suivant.
Consid´erons , par exemple, un= (1)n; alors
vn=(1) + (+1) + ... + (1)n
n=0 si nest pair
1
nsi nest impair.
Nous avons donc lim
n+vn= 0, alors que la suite (un)nNdiverge.
2. En revanche, si la suite(un)nNest monotone alors la r´eciproque est vraie.
D´efinition 2 Lorsque la suite (vn)converge vers un r´eel l, on dit que la suite (un)converge en
moyenne vers l. Nous voyons donc que la convergence d’une suite entraˆıne sa convergence en
moyenne (avec la mˆeme limite), la r´eciproque ´etant fausse.
D´emonstration du th´eor`eme 1
Soit ε > 0 fix´e, on veut montrer que
N=N(ε)Ntel que nNon ait |vnl|< ε.
Or par hypoth`ese lim
n→∞ un=l, donc :
p=p(ε)Ntel que npon ait |unl|<ε
2.
1
On a, pour tout np,
vnl=u1+u2+··· +un
nl,
=u1+u2+··· +up+up+1 +··· +unnl
n,
=(u1l)+(u2l) + ··· + (upl)+(up+1 l) + ··· + (unl)
n,
=(u1l)+(u2l) + ··· + (upl)
n+(up+1 l) + ··· + (unl)
n.
En vertu de l’in´egalit´e triangulaire :
|vnl| ≤ 1
n
p
X
k=1 |ukl|+1
n
n
X
k=p+1 |ukl|.
En posant
C=
p
X
k=1 |ukl|
(notons que Cest une constante ind´ependante de n) et puisque |ukl|<ε
2pour tout kp,
on a :
|vnl| ≤ C
n+np
n
ε
2,
C
n+ε
2car np
n<1.
Par ailleurs, lim
n→∞
C
n= 0 donc
q=q(ε)Ntel que nqon ait |C
n|=C
n<ε
2.
Donc, en prenant N= max(p, q), on a finalement
nN, |vnl|< ε.
Th´eor`eme 2 Si la suite (un)nNconverge vers +alors la suite (vn)nNconverge aussi vers
+.
De mˆeme, si la suite (un)nNconverge vers −∞ alors la suite (vn)nNconverge aussi vers −∞.
D´emonstration du th´eor`eme 2
Supposons que lim
n+un= +et montrons que lim
n+vn= +.
Soit A > 0. Il existe alors NNtel que nNun2A. Pour nN, nous ´ecrirons alors
vn=1
n
N1
X
k=1
uk+1
n
n
X
k=N
uk
vn=1
n
N1
X
k=1
uk+nN+ 1
n×2A.
2
Le second membre de cette in´egalit´e tend vers 2Alorsque ntend vers +(Net A´etant fix´es),
il est donc possible de le rendre sup´erieur `a Aen choisissant nassez grand (nN0); pour
nmax{N, N 0}, nous aurons donc vnA; nous avons donc prouv´e que
AR,N0NnN0=vnA
donc lim
n+vn= +.
Remarque 2 L`a aussi, la r´eciproque est fausse : consid´erons la suite (un)nNde terme g´en´eral
un=nsi nest pair
1
nsi nest impair.
Alors lim
n+vn= +car nN,v2n=n+ 1
2et v2n+1 =n(n+ 1)
2n+ 1 ; mais nous n’avons pas
lim
n+un= +.
2 Exemples d’application du th´eor`eme de C´esaro
Exemple 1: Soit (vn)n1la suite de terme g´en´eral vn=1
n+1
2n+1
3n+··· +1
n2.
On se propose de calculer lim
n→∞ vn. On a :
vn=
1
1+1
2+1
3+··· +1
n
n
c’est-`a-dire que (vn)nNest la moyenne de C´esaro de la suite ( 1
n)nNqui tend vers 0 quand n
tend vers l’infini ; donc lim
n+vn= 0.
Exemple 2: eterminons lim
n+wno`u (wn)n1est la suite de terme g´en´eral
wn=
n
Y
k=1
(1 + 2
k)k
n.
Posons
vn= ln wn=1
n
n
X
k=1
ln (1 + 2
k)k.
La suite (vn)nNainsi obtenue est la moyenne de C´esaro de la suite (un)nNde terme g´en´eral
un= ln (1 + 2
n)n.
D´eterminons lim
n+un:
un=nln 1 + 2
n= 2 ×ln (1 + 2
n)
2
n
.
Donc lim
n+un= 2, d’o`u lim
n+vn= 2 et par suite
lim
n+wn=e2.
3
3 Exercices
Exercice 1
1. Soit (un)nNune suite r´eelle telle que
lim
n+(un+1 un) = lo`u lR.
Montrer que lim
n+
un
n=l.
2. Soit (xn)nNune suite `a valeurs dans R
+.
lim
n+
xn+1
xn
=lo`u l[0,+].
2.1 Montrer que si lim
n+
xn+1
xn
=lo`u l[0,+] alors lim
n+
n
xn=l.
Application Calculer lim
n+
n
pCn
2n; lim
n+
n
n! ; lim
n+
n
n
n!.
2.2 Montrer par des exemples que la r´eciproque de 2.1 est fausse.
Corrig´e
1. Nous avons lim
n+(unun1) = l, d’o`u, en posant
vn=(u1u0)+(u2u1) + ... + (unun1)
n,
nous savons que lim
n+vn=ld’apr`es le th´eor`eme 1.
Or, vn=un
nu0
net lim
n+
u0
n= 0, d’o`u lim
n+
un
n=l.
2. Par composition des limites, si lim
n+
xn+1
xn
=l, alors lim
n+ln xn+1
xn=l0, avec
l0=
ln lsi l]0,+[
−∞ si l= 0
+si l= +
Posons un= ln xn. Nous avons alors lim
n+(un+1 un) = l0, d’o`u
lim
n+
un
n= lim
n+
ln xn
n=l0d’apr`es la premi`ere question .
Alors, en composant par la fonction exponentielle, nous obtenons
lim
n+e
ln xn
n=
el0si l]0,+[
0 si l= 0
+si l= +
Dans tous les cas, nous avons donc lim
n+(xn)1
n= lim
n+
n
xn=l.
Voici un exemple o`u la r´eciproque est fausse : soit la suite de terme g´en´eral xn= 2 + (1)n;
alors, pour tout p,x2p= 3 et x2p+1 = 1.
Comme lim
n+
n
3 = lim
n+
n
1 = 1, nous en d´eduisons que lim
n+
n
xn= 1.
4
Mais xn+1
xn
vaut alternativement 1
3et 3, donc ne peut converger.
Application
Si un=Cn
2n,alors
un+1
un
=(2n+ 1)(2n+ 2)
(n+ 1)2qui tend vers 4
donc lim
n+
n
pCn
2n= 4.
Si un=n!, un+1
un
=n+ 1 tend vers +, donc lim
n+
n
n! = +.
Si un=nn
n!,un+1
un
=1 + 1
nn
tend vers e, donc lim
n+
n
n
n!=e.
Exercice 2
Soient aet bdeux r´eels et soit la suite (un)n1erifiant
lim
n+u2n=aet lim
n+u2n+1 =b.
On pose pour tout nN,vn=u1+u2+... +un
n. Calculer lim
n+vn.
Corrig´e
Posons pour tout nN,x2n=u2naet x2n+1 =u2n+1 b.
Il est clair que les sous-suites (x2n)n1et (x2n+1)n1convergent vers 0, donc la suite (xn)n1
tend vers 0.
En appliquant le th´eor`eme de C´esaro `a la suite (xn)n1, on obtient
lim
n+
x1+x2+... +xn
n= 0.
Or
x1+x2+... +xn
n=u1+u2+... +un
na
nEn
2+b
nEn+ 1
2
=vna
nEn
2+b
nEn+ 1
2
Par ailleurs, lim
x+
E(x)
x= 1, donc
lim
n+
a
nEn
2=a
2lim
n+
En
2
n
2
=a
2
et
lim
n+
b
nEn+ 1
2=b
2lim
n+
n+ 1
n.En+1
2
n+1
2
=b
2.
D’o`u
lim
n+vn=a+b
2.
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