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Théorème de Césaro et applications
Version provisoire
Plan de ce chapitre
1.
2.
3.
4.
1
Théorème de Césaro et démonstration
Exemples d’application
Exercices corrigés
Exercices non corrigés
Théorème de Césaro et démonstration
Définition 1 Soit (un )n∈N une suite réelle ; on lui associe la suite (vn )n∈N définie par :
v0 = u0 et ∀n ∈ N∗ , vn =
u1 + u2 + · · · + un
.
n
La suite (vn )n∈N est appelée moyenne de Césaro de la suite (un )n∈N .
Théorème 1 Si la suite (un )n∈N converge vers l alors la suite (vn )n∈N converge aussi vers l.
Remarque 1
1. La réciproque est en général fausse :
lim vn = l n’implique pas nécessairement que
n→+∞
lim un = l comme le montre l’exemple suivant.
n→+∞
Considérons , par exemple, un = (−1)n ; alors
(−1) + (+1) + ... + (−1)n
=
vn =
n
0 si n est pair
− n1 si n est impair.
Nous avons donc lim vn = 0, alors que la suite (un )n∈N diverge.
n→+∞
2. En revanche, si la suite(un )n∈N est monotone alors la réciproque est vraie.
Définition 2 Lorsque la suite (vn ) converge vers un réel l, on dit que la suite (un ) converge en
moyenne vers l. Nous voyons donc que la convergence d’une suite entraı̂ne sa convergence en
moyenne (avec la même limite), la réciproque étant fausse.
Démonstration du théorème 1
Soit ε > 0 fixé, on veut montrer que
∃N = N (ε) ∈ N tel que ∀n ≥ N on ait |vn − l| < ε.
Or par hypothèse lim un = l, donc :
n→∞
ε
∃p = p(ε) ∈ N tel que ∀n ≥ p on ait |un − l| < .
2
1
On a, pour tout n ≥ p,
u1 + u2 + · · · + un
− l,
n
u1 + u2 + · · · + up + up+1 + · · · + un − nl
,
n
(u1 − l) + (u2 − l) + · · · + (up − l) + (up+1 − l) + · · · + (un − l)
,
n
(u1 − l) + (u2 − l) + · · · + (up − l) (up+1 − l) + · · · + (un − l)
+
.
n
n
vn − l =
=
=
=
En vertu de l’inégalité triangulaire :
p
n
1 X
1X
|uk − l| +
|uk − l|.
|vn − l| ≤
n
n
k=1
k=p+1
En posant
C=
p
X
|uk − l|
k=1
(notons que C est une constante indépendante de n) et puisque |uk − l| <
on a :
|vn − l| ≤
≤
ε
2
pour tout k ≥ p,
C
n−p ε
+
,
n
n 2
C
ε
n−p
+
car
< 1.
n
2
n
C
= 0 donc
n→∞ n
Par ailleurs, lim
∃q = q(ε) ∈ N tel que ∀n ≥ q on ait |
C
C
ε
|=
< .
n
n
2
Donc, en prenant N = max(p, q), on a finalement
∀n ≥ N, |vn − l| < ε. Théorème 2 Si la suite (un )n∈N converge vers +∞ alors la suite (vn )n∈N converge aussi vers
+∞.
De même, si la suite (un )n∈N converge vers −∞ alors la suite (vn )n∈N converge aussi vers −∞.
Démonstration du théorème 2
Supposons que lim un = +∞ et montrons que lim vn = +∞.
n→+∞
n→+∞
Soit A > 0. Il existe alors N ∈ N tel que n ≥ N ⇒ un ≥ 2A. Pour n ≥ N , nous écrirons alors
N −1
n
1 X
1 X
vn =
uk +
uk
n
n
k=1
vn =
k=N
N −1
1 X
n−N +1
× 2A.
uk +
n
n
k=1
2
Le second membre de cette inégalité tend vers 2A lorsque n tend vers +∞ (N et A étant fixés),
il est donc possible de le rendre supérieur à A en choisissant n assez grand (n ≥ N 0 ); pour
n ≥ max{N, N 0 }, nous aurons donc vn ≥ A; nous avons donc prouvé que
∀A ∈ R, ∃N0 ∈ N n ≥ N0 =⇒ vn ≥ A
donc
lim
n−→+∞
vn = +∞.
Remarque 2 Là aussi, la réciproque est fausse : considérons la suite (un )n∈N de terme général
n
si n est pair
un =
− n1 si n est impair.
Alors
n→+∞
lim
n−→+∞
2
n+1
n(n + 1)
et v2n+1 =
; mais nous n’avons pas
2
2n + 1
lim vn = +∞ car ∀n ∈ N∗ , v2n =
un = +∞.
Exemples d’application du théorème de Césaro
1
1
1
1
+
+ ··· + 2.
Exemple 1: Soit (vn )n≥1 la suite de terme général vn = +
n 2n 3n
n
On se propose de calculer lim vn . On a :
n−→∞
vn =
1
1
+
1
2
+
1
3
+ ··· +
n
1
n
1
c’est-à-dire que (vn )n∈N∗ est la moyenne de Césaro de la suite ( )n∈N∗ qui tend vers 0 quand n
n
tend vers l’infini ; donc lim vn = 0.
n−→+∞
Exemple 2: Déterminons
lim
n−→+∞
wn où (wn )n≥1 est la suite de terme général
wn =
n
Y
k=1
Posons
2 k
(1 + ) n .
k
n
1X
2 k
vn = ln wn =
ln (1 + ) .
n
k
k=1
La suite (vn )n∈N∗ ainsi obtenue est la moyenne de Césaro de la suite (un )n∈N∗ de terme général
2 n
un = ln (1 + ) .
n
Déterminons
lim
n−→+∞
un :
ln (1 + n2 )
2
un = n ln 1 +
=2×
.
2
n
n
Donc
lim
n−→+∞
un = 2, d’où
lim
n−→+∞
vn = 2 et par suite
lim
n−→+∞
wn = e2 . 3
3
Exercices
Exercice 1
1. Soit (un )n∈N une suite réelle telle que
lim (un+1 − un ) = l où l ∈ R.
n−→+∞
Montrer que
un
= l.
n
une suite à valeurs dans R∗+ .
lim
n−→+∞
2. Soit (xn )n∈N
lim
n→+∞
xn+1
= l où l ∈ [0, +∞].
xn
√
xn+1
= l où l ∈ [0, +∞] alors lim n xn = l.
n−→+∞ xn
n−→+∞
√
p
n ; lim n n! ; lim √n .
Application Calculer lim n C2n
n→+∞
n→+∞ n n!
n→+∞
2.2 Montrer par des exemples que la réciproque de 2.1 est fausse.
2.1 Montrer que si
lim
Corrigé
1. Nous avons lim (un − un−1 ) = l, d’où, en posant
n→+∞
(u1 − u0 ) + (u2 − u1 ) + ... + (un − un−1 )
,
n
nous savons que lim vn = l d’après le théorème 1.
n→+∞
un u0
u0
un
Or, vn =
−
et lim
= 0, d’où lim
= l.
n→+∞ n
n→+∞ n
n
n
xn+1
xn+1
2. Par composition des limites, si lim
= l, alors lim ln
= l0 , avec
n→+∞ xn
n→+∞
xn

si l ∈]0, +∞[
 ln l
−∞ si l = 0
l0 =

+∞ si l = +∞
vn =
Posons un = ln xn . Nous avons alors lim (un+1 − un ) = l0 , d’où
n→+∞
lim
n→+∞
un
ln xn
= lim
= l0 d’après la première question .
n→+∞ n
n
Alors, en composant par la fonction exponentielle, nous obtenons
 l0
ln xn
 e si l ∈]0, +∞[
n
lim e
=
0 si l = 0
n→+∞

+∞ si l = +∞
1
√
Dans tous les cas, nous avons donc lim (xn ) n = lim n xn = l.
n→+∞
n→+∞
Voici un exemple où la réciproque est fausse : soit la suite de terme général xn = 2 + (−1)n ;
alors, pour tout√p, x2p = 3 et
x2p+1 = 1.
√
√
n
n
Comme lim
3 = lim
1 = 1, nous en déduisons que lim n xn = 1.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
4
xn+1
1
vaut alternativement et 3, donc ne peut converger.
xn
3
Application
n ,alors
Si un = C2n
un+1
(2n + 1)(2n + 2)
=
qui tend vers 4
un
(n + 1)2
p
n = 4.
donc lim n C2n
n→+∞
√
un+1
n
= n + 1 tend vers +∞, donc lim
Si un = n!,
n! = +∞.
n→+∞
un
nn un+1
1 n
n
Si un =
= 1+
tend vers e, donc lim √
= e.
,
n
n→+∞
n! un
n
n!
Mais
Exercice 2
Soient a et b deux réels et soit la suite (un )n≥1 vérifiant
lim u2n = a et
n→+∞
On pose pour tout n ∈ N∗ , vn =
lim u2n+1 = b.
n→+∞
u1 + u2 + ... + un
. Calculer lim vn .
n→+∞
n
Corrigé
Posons pour tout n ∈ N∗ , x2n = u2n − a et x2n+1 = u2n+1 − b.
Il est clair que les sous-suites (x2n )n≥1 et (x2n+1 )n≥1 convergent vers 0, donc la suite (xn )n≥1
tend vers 0.
En appliquant le théorème de Césaro à la suite (xn )n≥1 , on obtient
lim
n−→+∞
x1 + x2 + ... + xn
= 0.
n
Or
x1 + x2 + ... + xn
n
Par ailleurs, lim
x→+∞
u1 + u2 + ... + un
a n b
n+1
=
−
E
+ E
n
n
2
n
2
a n b
n+1
= vn −
E
+ E
n
2
n
2
E(x)
= 1, donc
x
E
a n a
lim
E
=
lim
n→+∞ n
2
2 n→+∞
n
2
n
2
et
b
lim
E
n→+∞ n
n+1
2
b
n+1 E
=
lim
.
2 n→+∞ n
D’où
lim
n−→+∞
vn =
5
a+b
.
2
=
a
2
n+1
2
n+1
2
b
= .
2
4
Exercices non corrigés
Exercice 1 : Soit (un ) une suite réelle qui converge vers l 6= 0. On suppose que un est non nul
pour tout entier naturel.
Montrer que la suite (vn )n≥1 définie par
n
1
1
1
=
+
+ ··· +
vn
u1 u2
un
converge et calculer sa limite.
Exercice 2 : Soit (an )n≥0 et (bn )n≥0 deux suites réelles convergeant respectivement vers a et
b. Montrer que la suite de terme général
n
1 X
un =
ak bn−k
n+1
k=0
converge vers ab.
6