Th´eor`eme de C´esaro et applications
Version provisoire
Plan de ce chapitre
1. Th´eor`eme de C´esaro et d´emonstration
2. Exemples d’application
3. Exercices corrig´es
4. Exercices non corrig´es
1 Th´eor`eme de C´esaro et d´emonstration
D´efinition 1 Soit (un)n∈Nune suite r´eelle ; on lui associe la suite (vn)n∈Nd´efinie par :
v0=u0et ∀n∈N∗, vn=u1+u2+··· +un
n.
La suite (vn)n∈Nest appel´ee moyenne de C´esaro de la suite (un)n∈N.
Th´eor`eme 1 Si la suite (un)n∈Nconverge vers lalors la suite (vn)n∈Nconverge aussi vers l.
Remarque 1
1. La r´eciproque est en g´en´eral fausse : lim
n→+∞vn=ln’implique pas n´ecessairement que
lim
n→+∞un=lcomme le montre l’exemple suivant.
Consid´erons , par exemple, un= (−1)n; alors
vn=(−1) + (+1) + ... + (−1)n
n=0 si nest pair
−1
nsi nest impair.
Nous avons donc lim
n→+∞vn= 0, alors que la suite (un)n∈Ndiverge.
2. En revanche, si la suite(un)n∈Nest monotone alors la r´eciproque est vraie.
D´efinition 2 Lorsque la suite (vn)converge vers un r´eel l, on dit que la suite (un)converge en
moyenne vers l. Nous voyons donc que la convergence d’une suite entraˆıne sa convergence en
moyenne (avec la mˆeme limite), la r´eciproque ´etant fausse.
D´emonstration du th´eor`eme 1
Soit ε > 0 fix´e, on veut montrer que
∃N=N(ε)∈Ntel que ∀n≥Non ait |vn−l|< ε.
Or par hypoth`ese lim
n→∞ un=l, donc :
∃p=p(ε)∈Ntel que ∀n≥pon ait |un−l|<ε
2.
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