Théor`eme de Césaro et applications Version provisoire Plan de ce

Th´eor`eme de C´esaro et applications
Version provisoire
Plan de ce chapitre
1. Th´eor`eme de C´esaro et d´emonstration
2. Exemples d’application
3. Exercices corrig´es
4. Exercices non corrig´es
1 Th´eor`eme de C´esaro et d´emonstration
D´efinition 1 Soit (un)n∈Nune suite r´eelle ; on lui associe la suite (vn)n∈Nd´efinie par :
v0=u0et ∀n∈N∗, vn=u1+u2+··· +un
n.
La suite (vn)n∈Nest appel´ee moyenne de C´esaro de la suite (un)n∈N.
Th´eor`eme 1 Si la suite (un)n∈Nconverge vers lalors la suite (vn)n∈Nconverge aussi vers l.
Remarque 1
1. La r´eciproque est en g´en´eral fausse : lim
n→+∞vn=ln’implique pas n´ecessairement que
lim
n→+∞un=lcomme le montre l’exemple suivant.
Consid´erons , par exemple, un= (−1)n; alors
vn=(−1) + (+1) + ... + (−1)n
n=0 si nest pair
−1
nsi nest impair.
Nous avons donc lim
n→+∞vn= 0, alors que la suite (un)n∈Ndiverge.
2. En revanche, si la suite(un)n∈Nest monotone alors la r´eciproque est vraie.
D´efinition 2 Lorsque la suite (vn)converge vers un r´eel l, on dit que la suite (un)converge en
moyenne vers l. Nous voyons donc que la convergence d’une suite entraˆıne sa convergence en
moyenne (avec la mˆeme limite), la r´eciproque ´etant fausse.
D´emonstration du th´eor`eme 1
Soit ε > 0 fix´e, on veut montrer que
∃N=N(ε)∈Ntel que ∀n≥Non ait |vn−l|< ε.
Or par hypoth`ese lim
n→∞ un=l, donc :
∃p=p(ε)∈Ntel que ∀n≥pon ait |un−l|<ε
2.
1

On a, pour tout n≥p,
vn−l=u1+u2+··· +un
n−l,
=u1+u2+··· +up+up+1 +··· +un−nl
n,
=(u1−l)+(u2−l) + ··· + (up−l)+(up+1 −l) + ··· + (un−l)
n,
=(u1−l)+(u2−l) + ··· + (up−l)
n+(up+1 −l) + ··· + (un−l) n.
En vertu de l’in´egalit´e triangulaire :
|vn−l| ≤ 1
n
p
X
k=1 |uk−l|+1
n
n
X
k=p+1 |uk−l|.
En posant
C=
p
X
k=1 |uk−l|
(notons que Cest une constante ind´ependante de n) et puisque |uk−l|<ε
2pour tout k≥p,
on a :
|vn−l| ≤ C
n+n−p n
ε
2,
≤C
n+ε 2car n−p n<1.
Par ailleurs, lim
n→∞
C
n= 0 donc
∃q=q(ε)∈Ntel que ∀n≥qon ait |C
n|=C n<ε 2.
Donc, en prenant N= max(p, q), on a finalement
∀n≥N, |vn−l|< ε. 
Th´eor`eme 2 Si la suite (un)n∈Nconverge vers +∞alors la suite (vn)n∈Nconverge aussi vers
+∞.
De mˆeme, si la suite (un)n∈Nconverge vers −∞ alors la suite (vn)n∈Nconverge aussi vers −∞.
D´emonstration du th´eor`eme 2
Supposons que lim
n→+∞un= +∞et montrons que lim n→+∞vn= +∞.
Soit A > 0. Il existe alors N∈Ntel que n≥N⇒un≥2A. Pour n≥N, nous ´ecrirons alors
vn=1
n
N−1
X
k=1
uk+1
n
n
X
k=N
uk
vn=1
n
N−1
X
k=1
uk+n−N+ 1
n×2A.
2

Le second membre de cette in´egalit´e tend vers 2Alorsque ntend vers +∞(Net A´etant fix´es),
il est donc possible de le rendre sup´erieur `a Aen choisissant nassez grand (n≥N0); pour
n≥max{N, N 0}, nous aurons donc vn≥A; nous avons donc prouv´e que
∀A∈R,∃N0∈Nn≥N0=⇒vn≥A
donc lim
n−→+∞vn= +∞.
Remarque 2 L`a aussi, la r´eciproque est fausse : consid´erons la suite (un)n∈Nde terme g´en´eral
un=nsi nest pair
−1
nsi nest impair.
Alors lim
n→+∞vn= +∞car ∀n∈N∗,v2n=n+ 1
2et v2n+1 =n(n+ 1) 2n+ 1 ; mais nous n’avons pas
lim
n−→+∞un= +∞.
2 Exemples d’application du th´eor`eme de C´esaro
Exemple 1: Soit (vn)n≥1la suite de terme g´en´eral vn=1
n+1 2n+1 3n+··· +1 n2.
On se propose de calculer lim
n−→∞ vn. On a :
vn=
1
1+1 2+1 3+··· +1 n
n
c’est-`a-dire que (vn)n∈N∗est la moyenne de C´esaro de la suite ( 1
n)n∈N∗qui tend vers 0 quand n
tend vers l’infini ; donc lim
n−→+∞vn= 0.
Exemple 2: D´eterminons lim
n−→+∞wno`u (wn)n≥1est la suite de terme g´en´eral
wn=
n
Y
k=1
(1 + 2
k)k
n.
Posons
vn= ln wn=1
n
n
X
k=1
ln (1 + 2
k)k.
La suite (vn)n∈N∗ainsi obtenue est la moyenne de C´esaro de la suite (un)n∈N∗de terme g´en´eral
un= ln (1 + 2
n)n.
D´eterminons lim
n−→+∞un:
un=nln 1 + 2
n= 2 ×ln (1 + 2
n)
2
n
.
Donc lim
n−→+∞un= 2, d’o`u lim n−→+∞vn= 2 et par suite
lim
n−→+∞wn=e2.
3

3 Exercices
Exercice 1
1. Soit (un)n∈Nune suite r´eelle telle que
lim
n−→+∞(un+1 −un) = lo`u l∈R.
Montrer que lim
n−→+∞
un
n=l.
2. Soit (xn)n∈Nune suite `a valeurs dans R∗
+.
lim
n→+∞
xn+1
xn
=lo`u l∈[0,+∞].
2.1 Montrer que si lim
n−→+∞
xn+1
xn
=lo`u l∈[0,+∞] alors lim
n−→+∞
n
√xn=l.
Application Calculer lim
n→+∞
n
pCn
2n; lim
n→+∞
n
√n! ; lim
n→+∞
n
n
√n!.
2.2 Montrer par des exemples que la r´eciproque de 2.1 est fausse.
Corrig´e
1. Nous avons lim
n→+∞(un−un−1) = l, d’o`u, en posant
vn=(u1−u0)+(u2−u1) + ... + (un−un−1)
n,
nous savons que lim
n→+∞vn=ld’apr`es le th´eor`eme 1.
Or, vn=un
n−u0 net lim
n→+∞
u0
n= 0, d’o`u lim
n→+∞
un
n=l.
2. Par composition des limites, si lim
n→+∞
xn+1
xn
=l, alors lim
n→+∞ln xn+1
xn=l0, avec
l0=
ln lsi l∈]0,+∞[
−∞ si l= 0
+∞si l= +∞
Posons un= ln xn. Nous avons alors lim
n→+∞(un+1 −un) = l0, d’o`u
lim
n→+∞
un
n= lim
n→+∞
ln xn
n=l0d’apr`es la premi`ere question .
Alors, en composant par la fonction exponentielle, nous obtenons
lim
n→+∞e
ln xn
n=
el0si l∈]0,+∞[
0 si l= 0
+∞si l= +∞
Dans tous les cas, nous avons donc lim
n→+∞(xn)1
n= lim
n→+∞
n
√xn=l.
Voici un exemple o`u la r´eciproque est fausse : soit la suite de terme g´en´eral xn= 2 + (−1)n;
alors, pour tout p,x2p= 3 et x2p+1 = 1.
Comme lim
n→+∞
n
√3 = lim
n→+∞
n
√1 = 1, nous en d´eduisons que lim
n→+∞
n
√xn= 1.
4

Mais xn+1
xn
vaut alternativement 1
3et 3, donc ne peut converger.
Application
Si un=Cn
2n,alors
un+1
un
=(2n+ 1)(2n+ 2)
(n+ 1)2qui tend vers 4
donc lim
n→+∞
n
pCn
2n= 4.
Si un=n!, un+1
un
=n+ 1 tend vers +∞, donc lim
n→+∞
n
√n! = +∞.
Si un=nn
n!,un+1 un
=1 + 1
nn
tend vers e, donc lim
n→+∞
n
n
√n!=e.
Exercice 2
Soient aet bdeux r´eels et soit la suite (un)n≥1v´erifiant
lim
n→+∞u2n=aet lim n→+∞u2n+1 =b.
On pose pour tout n∈N∗,vn=u1+u2+... +un
n. Calculer lim
n→+∞vn.
Corrig´e
Posons pour tout n∈N∗,x2n=u2n−aet x2n+1 =u2n+1 −b.
Il est clair que les sous-suites (x2n)n≥1et (x2n+1)n≥1convergent vers 0, donc la suite (xn)n≥1
tend vers 0.
En appliquant le th´eor`eme de C´esaro `a la suite (xn)n≥1, on obtient
lim
n−→+∞
x1+x2+... +xn
n= 0.
Or
x1+x2+... +xn
n=u1+u2+... +un n−a nEn 2+b nEn+ 1 2
=vn−a
nEn 2+b nEn+ 1 2
Par ailleurs, lim
x→+∞
E(x)
x= 1, donc
lim
n→+∞
a
nEn 2=a 2lim
n→+∞
En
2
n
2
=a
2
et
lim
n→+∞
b
nEn+ 1 2=b 2lim
n→+∞
n+ 1
n.En+1
2
n+1
2
=b
2.
D’o`u
lim
n−→+∞vn=a+b
2.
5