Cours complet sur la continuité avec la méthode de balayage et la

[La continuité \
Table des matières
I Introduction 1
II Notion de continuité 1
1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 Exemples et contre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
III Théorème des valeurs intermédiaires 3
1 Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Corollaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Exemple d’utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
a) Premier exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
b) Deuxième exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Comment obtenir un encadrement des solutions ? 5
1 Méthode de balayage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Méthode de dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
V Continuité et suite 7

La continuité
I Introduction
fétant une fonction définie sur un intervalle [a;b]. On s’intéresse aux équations du type f(x)=kcomment
choisir kpour que l’équation ait des solutions ? La fonction doit-elle posséder des propriétés particulières
pour garantir l’existence ou l’unicité des solutions ?
Une étude graphique va nous aider à cerner le problème :
ab
x
M
k
f(b)
f(a)
Figure 1
II Notion de continuité
1 Définitions
Dire qu’une fonction f, définie au voisinage de a, est continue en asignifie que :
lim
x→af(x)=f(a)
Dire qu’une fonction f, définie sur un intervalle I, est continue sur I signifie que fest continue en
tout réel de l’intervalle I.
Définition
2 Graphique
1
2
3
1 2 3-1-2
Fonction discontinue en 1
1
2
3
1 2 3-1-2
Fonction continue sur £−1 ; 3¤
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La continuité
3 Exemples et contre exemple
Les fonctions usuelles, en particulier les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction
racine carré, la fonction sinus, la fonction cosinus et la fonction valeur absolue sont continues sur
leur ensemble de définition.
La somme, la différence, le produit, le quotient et la composée de fonctions continues sont continues.
Les fonctions dérivables sont continues, mais la réciproque est fausse :
– La fonction racine carrée est continue sur [0 ; +∞[ mais elle n’est pas dérivable en 0 ;
– la fonction valeur absolue est continue sur Rmais elle n’est pas dérivable en 0.
Propriété
La fonction partie entière
La partie entière d’un réel x, que l’on note E(x) est le seul entier relatif qui vérifie
E(x)Éx<E(x)+1
C’est le plus grand entier inférieur ou égal à x
Définition
La fonction partie entière est continue sur tout intervalle ¤k;k+1£où kest un entier relatif, mais elle est
discontinue en toutes valeurs entières.
1
2
3
-1
-2
-3
1 2 3-1-2-3-4
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La continuité
III Théorème des valeurs intermédiaires
1 Théorème
Soit fune fonction définie et continue sur un intervalle I
Soit aet bdeux réels de l’intervalle I.
Pour tout réel kcompris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel ccompris entre aet btel que
f(c)=k.
On peut le formuler en disant que l’équation f(x)=kadmet au moins une solution dans £a;b¤.
Théorème
ab
c
M
k
f(b)
f(a)
Figure 1
La continuité de la fonction nous assure que sa courbe représentative coupe au moins une fois la droite
d’équation y=kpour des valeurs de kcomprise entre f(a) et f(b).
On remarque qu’elle peut la couper plusieurs fois.
Remarques :
L’hypothèse « fest continue » est essentielle comme le montre l’exemple suivant :
L’équation f(x)=kn’a pas de solution, pourtant le réel kest compris entre f(a) et f(b) car elle n’est pas
continue en c, elle fait un saut.
y=k
a
f(a)
b
f(b)
c
L’hypothèse « fest définie sur un intervalle» est essentielle comme le montre l’exemple suivant :
L’équation f(x)=kn’a pas de solution, pourtant le réel kest compris entre f(a) et f(b), la fonction est
continue sur son domaine de définition £a;c¤∪£d;b¤. Mais le domaine de définition n’est pas un inter-
valle, il a un «trou».
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La continuité
y=k
a
f(a)
b
f(b)
cd
2 Corollaire
Soit fune fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I alors
•L’ensemble de toutes les images des réels de I est un intervalle dont les bornes sont les limites de f
aux bornes de I, il se nomme l’intervalle image et on peut le noter f(I).
•Pour tout réel kde l’intervalle image, l’équation f(x)=kadmet une solution unique dans I.
Corollaire
y=k
a
f(a)
b
f(b)
α
+
3 Exemple d’utilisation
a) Premier exemple
On considère la fonction fdéfinie sur ¤1 ; +∞£par f(x)=1
x−1.
Quel est le nombre de solutions de l’équation f(x)=2 ? Même question pour l’équation f(x)=0.
On a le tableau de variation suivant :
x1+∞
f′(x)−
f(x)
+∞
0
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