Correction de l`épreuve commune niveau troisième Octobre 2011

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Correction de l’épreuve commune niveau troisième Octobre 2011
Partie numérique
Exercice 1
  
=
− ×
  


 = ( − ) ÷


=
 
+−
+
 
+
 
=
 

− × ( − )
 

12
3×7
=
−
5 5×3×3
2 9
1
=( − )÷
3 3
9
6 2 3
+ −
= 6 6 6
24 9
4
12 + 12 + 12
=
5 2
4 3
− ×( − )
7 7
4 4
12
7
=
−
5 5×3
7
1
= (− ) ÷
3
9
5
= 6
37
12
=
5 2 1
− ×
7 7 4
=
5 12
×
6 37
=
5
2×1
−
7 7×2×2
=
5×6×2
6 × 37
=
5 1
−
7 14
=
10
37
=
10 1
9
−
=
14 14 14
=
12 × 3
7
−
5×3 5×3
7
=− ×9
3
=
36 − 7
15
=−
=
29
15
= −21
7×3×3
3
Exercice 2
=
,  ×  ×  × −
 ×  × ( )−
= 25 × 10−4−7
=
0,4 × 1500
103 × 10−7
× 15
24
10 × (104 )−2
= 25 × 10−11
=
4 × 6 × 25
103+(−7)
× 15
4×6
10 × 104×(−2)
= 2,5 × 101 × 10−11
= 25 ×
103−7
1015 × 10−8
= 25 ×
10−4
1015+(−8)
10−4
= 25 ×
107
 = 2,5 × 10−10
 = ,  × 
= 1,2 × 10−3 × 1012
= 1,2 × 10−3+12
= 1,2 × 109
Exercice 3

Un nombre  est dit rationnel, si on peut le mettre sous la forme suivante :

 :      :    

é  é.
=

Un nombre  est dit décimal, si on peut le mettre sous la forme suivante :
=


 :        .
10
Puisque     , et que     é  é . On en
déduit que tout nombre décimal est un nombre rationnel.
Exemple :
2,1054 =

21054
104
   é,    .
Un nombre rationnel peut ne pas être décimal.
Exemple :
2 ′
     é.
3
Sinon, il existe  entier relatif et  entier naturel tels que :
2

= 
3 10

2 × 10 = 3 × 
On en déduit que 3 divise 2 × 10 absurde car la somme des chiffres du nombre 2 × 10 est égale
à 2 n’est pas un multiple de 3.
Conclusion :
2 ′
    é.
3
Exercice 4
Calcul du (1515; 1789) à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Dividende
1789
1515
274
145
129
16
diviseur
1515
274
145
129
16
1
Reste
274
145
129
16
1
0
Le dernier reste
non nul
Dans l’algorithme d’Euclide le  est le dernier reste non nul, donc (1515; 1789) = 1
Les deux nombres 1515  1789 sont premiers entre eux.
Partie géométrie
Exercice 1
Construction :
1- Calcul de BC :
Remarque :
Condition nécessaire :
On ne peut utiliser le théorème de Pythagore que si le triangle est rectangle.

 ∶ Est un triangle rectangle en  .

D’après le théorème de Pythagore.
« La longueur de l’hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des longueurs
des deux autres côtés. »
 2 = 2 +  2
Application numérique :
 2 = 652 + 1562
 2 = 4225 + 24336
 2 = 28561
 = √28561
 = 169 
 = 16,9 
2- Calcul d’aire :
Soit : () L’aire du triangle .
 × ℎ
2
 × 
() =
2
() =
Application numérique :
() =
65 × 156
2
() =   
3- Calcul de  :
Expression de l’aire en fonction de .
Dans cette question, on prend comme base le côté ∶ [] et pour hauteur la droite ().
 × 
() =
2
169 × 
() =
2
On en déduit que :
169 × 
= 5070
2
2×
169 × 
= 2 × 5070
2
169 ×  = 10140
169 ×  10140
=
169
169
 =  
Exercice 2
1- Le triangle  est rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :
 2 =  2 +  2
Application numérique :
 2 = 482 + 642
 2 = 6400
 = √6400
 =  
Le triangle  est rectangle en L, d’après le théorème de Pythagore, on a :
 2 = 2 +  2
Application numérique :
602 = 2 + 482
3600 = 2 + 2304
3600 − 2304 = 2 + 2304 − 2304
1296 = 2
 = √1296
 =  
2- Le triangle  est rectangle en .
Pour utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, on a besoin des longueurs des trois
côtés de ce triangle.



La longueur de [].
 = 60 .
La longueur de [].
D’après la question 1 :
 = 80 
La longueur de [].
 ∈ []
Donc  =  + 
 = 64 + 36
 = 100 
Le côté le plus long est [].
D’une part :
2 = 1002
2 = 10 000
D’autre part :
 2 + 2 = 602 + 802
 2 + 2 = 3 600 + 6 400
 2 + 2 = 10 000
On constate que  =  + .
Le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est rectangle d’hypoténuse
le côté le plus long.
Problème
I-
Première partie :
1- Peut-on répondre favorablement aux souhaits des trois enfants.
3 2 1 3 × 5 + 2 × 7 + 1 × 5 15 + 14 + 5 34
+ + =
=
=
7 5 7
35
35
35
Est la fraction du gâteau souhaitée par les trois enfants.
34 35
<
35 35
Donc il est possible de répondre favorablement aux souhaits des trois enfants.
2- Le pourcentage du gâteau qui reste.
Après avoir servi les trois enfants la fraction du gâteau qui restera sera :
35 34
1
−
=
35 35 35
Quantité
Pourcentage

100


Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.
100 
=
35
1
Donc 35 ×  = 100 × 1
100
=
35
 ≅ 2,85 %
3- La masse totale du gâteau :
On utilise une deuxième fois un tableau de proportionnalité.
3
Fraction du gâteau
7
Masse en grammes
315
1

3
×  = 1 × 315
7
7 3
7
× ×  = × 1 × 315
3 7
3
7 × 315 7 × 3 × 105
=
=
3
3
 =  
II-
Deuxième partie :
« Le reste de la division Euclidienne de 3003 par 143 est zéro »
1- Traduction de la phrase ci-dessus par une égalité mathématique.
3003 = 143 × 
2- Deux phrases équivalentes :
3003     143.
143     3003
III-
Troisième partie :
1- Le plus grand nombre de bouquets identiques :
Le nombre de bouquets identiques est un diviseur des deux nombres.
Le plus grand nombre de bouquets identiques est donc
le (3003; 286).
On utilise l’algorithme d’Euclide pour déterminer le (3003; 286)
Dividende
3003
286
diviseur
286
143
Reste
143
0
On peut donc former au maximum 143 bouquets « identiques ».
2- La composition de chaque bouquet :
3003 ÷ 143 = 21
286 ÷ 143 = 2
Chaque bouquet contiendra 21 brins de muguet et 2 roses.
Le dernier
reste non nul
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