EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry

EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE
M2IF Evry
Monique Jeanblanc
Universit´e d’EVRY
Mars 2009

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Contents
1 Rappels 7
1.1 Tribu............................................. 7
1.2 Variablesgaussiennes.................................... 8
1.3 Esp´eranceconditionnelle.................................. 9
1.4 Martingales ......................................... 11
1.5 Tempsd’arrˆet........................................ 12
1.6 Changementdeprobabilit´e ................................ 13
1.7 Alg`ebreb´eta-Gamma.................................... 13
1.8 Divers............................................ 14
2 Mouvement Brownien 15
2.1 Propri´et´es´el´ementaires................................... 15
2.2 ProcessusGaussiens .................................... 17
2.3 BrownienMultidimensionnel ............................... 18
2.4 Tempsd’atteinte ...................................... 19
2.5 Scaling............................................ 22
2.6 Compl´ements ........................................ 22
2.7 Finance ........................................... 24
2.8 Probl`eme .......................................... 24
2.8.1 Partie I : R´esultats pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8.2 PartieII....................................... 25
2.8.3 PartieIII ...................................... 26
3 Int´egrale d’Itˆo 29
3.1 Int´egraledeWiener .................................... 30
3.2 Formuled’Itˆo........................................ 31
3.3 Casmultidimensionnel................................... 36
3.4 Compl´ements ........................................ 37
3.5 Brownien g´eom´etrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Lecrochet.......................................... 39
3.7 Finance ........................................... 40
3

4CONTENTS
4 Exemples 45
4.1 ProcessusdeBessel..................................... 45
4.2 ProcessusdeBesselcarr´e ................................. 46
4.3 Autresprocessus....................................... 49
4.4 Descalculs ......................................... 50
5 Equations diff´erentielles stochastiques 51
5.1 Equationlin´eaire ...................................... 51
5.2 Processusaffines ...................................... 55
5.3 Autres´equations ...................................... 55
5.4 Finance ........................................... 56
5.5 Equationsdiff´erentielles .................................. 57
6 Girsanov 59
6.1 R´esultats´el´ementaires.................................... 59
6.2 Crochet............................................ 61
6.3 Processus. ......................................... 61
6.4 Casmultidimensionel.................................... 65
6.5 Tempsd’arrˆet. ....................................... 66
6.6 Finance ........................................... 68
7 Compl´ements 75
7.1 Th´eor`emedeL´evy...................................... 75
7.2 Equationsr´etrogrades ................................... 76
7.3 Th´eor`emes de repr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.4 Tempslocal.......................................... 79
7.5 Lois ............................................. 80
7.6 Filtrations.......................................... 81
7.7 Optionsbarri`eres...................................... 82
7.8 M´eandres,ponts,excursions................................ 82
7.9 Divers ............................................ 82
8 Processus `a sauts 85
8.1 ProcessusdePoisson.................................... 85
8.2 Poissoncompos´e ...................................... 86
8.3 Formuled’Itˆo........................................ 87
8.4 TempsdeD´efaut ...................................... 88
8.5 March´e complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1 Rappels, Corrig´es 91
1.1 Tribu............................................. 91
1.2 Variablesgaussiennes. ................................... 92

CONTENTS 5
1.3 Esp´eranceconditionnelle.................................. 94
1.4 Martingales ......................................... 96
1.5 Tempsd’arrˆet........................................ 97
1.6 Tempsdiscret........................................ 98
1.7 Alg`ebreb´eta-gamma.................................... 98
1.8 Divers ............................................ 98
2 Mouvement Brownien, Corrig´es 101
2.1 Propri´et´es´el´ementaires................................... 101
2.2 ProcessusGaussien..................................... 105
2.3 Multidimensionnel ..................................... 107
2.4 Tempsd’atteinte ...................................... 107
2.5 Scaling............................................ 109
2.6 Compl´ements ........................................ 109
2.7 Finance ........................................... 111
3 Int´egrale d’Itˆo, Corrig´es 113
3.1 Int´egraledeWiener .................................... 113
3.2 Formuled’Itˆo........................................ 114
3.3 Casmultidimensionnel................................... 118
3.4 Compl´ements ........................................ 118
3.5 Brownien g´eom´etrique et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6 Lecrochet.......................................... 122
3.7 Finance ........................................... 122
4 Exemples, Corrig´es 125
4.1 ProcessusdeBessel..................................... 125
4.2 ProcessusdeBesselcarr´e ................................. 126
4.3 Autresprocessus ...................................... 127
4.4 DesCalculs ......................................... 127
5 Equations diff´erentielles stochastiques, Corrig´es 129
5.1 EquationLin´eaire...................................... 129
5.2 Processusaffines ...................................... 132
5.3 Finance ........................................... 132
5.4 Equationsdiff´erentielles .................................. 134
6 Girsanov, Corrig´es 135
6.1 R´esultats´el´ementaires ................................... 135
6.2 Crochet ........................................... 135
6.3 Processus .......................................... 136
6.4 Casmultidimensionnel................................... 138