Vecteurs vitesse et accélération

Vecteurs vitesse et accélération
Représentation graphique
V A ∈S / S la vitesse instantanée d'un point A appartenant au solide (S1) par
On représente par un vecteur 
rapport à un solide (S0)
1
0
Ce vecteur est caractérisé par:
- son point d'application: A
- sa direction: tangente à la trajectoire*
- son sens: celui du mouvement
- son module (ou sa norme) en m/s
* A propos de la direction du vecteur vitesse:
la vitesse instantanée d'un point est en fait une vitesse moyenne calculée sur un temps très court.
d  At =0 At=1
d  At=0 At=1 
V A ∈S / S =
= lim t 0
dt
t
1
0
Quelque soit le type de trajectoire étudié, lorsque la distance entre les points est petite, l'hypothèse que
l'arc et la corde de la courbe sont égaux sera retenue.
La représentation graphique donne une tangente à la trajectoire étudiée.
At=0
At=1

V A ∈S / S
1
0
A
Mouvement de translation
• Vecteur vitesse
Dans un mouvement de translation, tous les points du solide ont la même vitesse.
V A ∈S / S est sur la trajectoire
- si la translation est rectiligne, 
V A ∈S / S est tangent à la trajectoire
- si la translation est circulaire, 
1
0
1
0
• Vecteur accélération
Dans un mouvement de translation rectiligne:
 A∈ S / S et le vecteur vitesse 
V A ∈S / S sont colinéaires.
- le vecteur accélération 

V A ∈S / S et 
 A∈ S / S sont dans le même sens si le mouvement est accéléré.(cas ci-dessous)

V A ∈S / S et 
 A∈ S / S sont de sens opposé si le mouvement est freiné (ou décéléré)
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1

 A∈ S / S
1

V A ∈S / S
1
0
0
A
0
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0
Mouvement de rotation
• Vecteur vitesse
0
La vitesse instantanée d'un point appartenant à (1)
varie en fonction de la fréquence de rotation et de
la position du point par rapport au centre de
rotation.
1
O
B
A
Pour une fréquence de rotation donnée, plus on
s'éloigne du centre de rotation, plus la vitesse
linéaire du point augmente (il y a une trajectoire
plus longue à parcourir)

V B ∈S / S
1
0

V A ∈S / S
1
0
w 1/0
V A ∈S / S est tel que:
Le vecteur vitesse 
1
0

V A ∈S / S
1
- point d'application: A
- direction: perpendiculaire au rayon (OA)
- sens: celui de w1/0
0
V A ∈S / S = 1 /0⋅OA
V A ∈S / S en m/s
avec:
- module:
1
0
1
0
w1/0 en rad/s
OA en m
Propriété:
O
B
A

V B ∈S / S
1
0

V A ∈S / S
1
0
les vecteurs vitesses sont proportionnels à leur distance de l'axe de
rotation.
On peut donc les déduire les uns des autres par la propriété de
Thalès:
V A ∈S / S
V B∈ S / S
 1/ 0 =
=
OA
OB
1
0
1
0
On appelle aussi cette propriété "propriété du champ des vecteurs vitesses".
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• Vecteurs accélérations
•• Accélération normale:
L'accélération normale d'un point A en rotation est représentée par
un vecteur tel que:

V A ∈S / S
1
0
A

 N A∈ S / S
1

 N A∈ S / S
1
0
0
w 1/0
- point d'application: A
- direction: rayon (OA)
- sens: vers le centre O
 N A∈ S / S =  21 /0⋅OA
- module: 
 N A∈ S / S en m/s²
avec: 
1
1
0
1
O
0
w1/0 en rad/s
OA en m
0
Remarque:
- l'accélération normale existe dès lors qu'un solide est en mouvement de rotation, de translation
circulaire, ou en mouvement plan.
- l'accélération normale est aussi appelée "accélération centripète". (voir le cours de dynamique)
•• Accélération tangentielle

V A ∈S / S
1

 T A∈ S / S
0
1
L'accélération tangentielle d'un point A en rotation est
représentée par un vecteur tel que:
0
A

 T A∈ S / S
1
0
w 1/0
- point d'application: A
- direction: perpendiculaire au rayon (OA)
- sens: - celui de w1/0 : accélération
- inverse à w1/0 : freinage
 T A∈ S / S = ' ' 1 /0⋅OA
- module: 
 T A∈ S / S en m/s²
avec: 
1
1
O
0
0
1
0
Q''1/0 en rad/s²
OA en m
w' 1/0 = Q'' 1/0
Remarque:
- l'accélération tangentielle est fonction de l'accélération angulaire Q''(ou w') et du rayon (OA)
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•• Accélération d'un point (cas général)
j
Accélération générale d'un point dans le plan:

 T A∈ S / S
1
i

 A∈ S / S =
 N A∈S /S 
 T A∈ S / S
1
0
1
1
1
0
A
0
avec R = OA (rayon)

 N A∈ S / S
1
0
w 1/0
1
O
0
0
0

 A∈ S / S = − 21/ 0⋅R⋅i  ' ' 1 /0⋅R⋅j

 A∈ S / S
1
0
w' 1/0 = Q'' 1/0
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